异构蜂窝网络(HCN，heterogeneous cellular networks)在3GPP的LTE-A中，作为一种有效提升系统吞吐量的方案被广泛研究^[1].其中一个热点问题是设计小区范围扩展(CRE, cell range expansion)以及增强型小区间干扰协调(eICIC，enhanced inter-cell interference coordination)^[1-2].基于CRE和eICIC的异构蜂窝网络性能取决于范围扩展偏置因子(REB，range expansion bias)和几乎空白子帧(ABS，almost blank subframes)的配置.大量工作进行了相关研究^[3-9]，包括给定REB的情况下研究了ABS的配置问题^[3]，以及应用不同的方法联合优化CRE及eICIC来改善系统性能^[4-8].然而现有研究在设计资源配置时统一假设用户为均匀分布，并未考虑用户分布特性的影响.因此，在假设用户分布非均匀的条件下，联合优化eICIC和CRE配置；考虑用户非均匀分布场景的复杂度，使用斯坦伯格博弈建模优化问题，并计算网络中最优的ABS密度及pico基站最优的REB配置.

异构蜂窝网络架构如图 1所示，N_pico个pico基站以频谱共享模式部署在一个宏基站(MBS，macro cellular base station)覆盖范围内，即pico基站及宏基站可以在相同频段同时传输.假设所有的pico基站发送功率相同，pico基站及MBS发送功率分别为P_p，P_m.系统用户数为N，连接到MBS的用户为N_m，连接第i个pico基站的用户数为N_{p, i}.由于pico基站的小区范围扩展，pico基站用户分为易受干扰的用户(VUE，victim user equipments)及普通用户类型，且为两个互补子集合，分别表示为N_{p, i}^v和N_{p, i}ⁿ. N_{p, i}^v的值取决于偏置值b_i及用户分布密度ρ_i. ABS密度表示为α. pico基站在没有宏蜂窝干扰的情况下使用ABS给VUE发送数据.剩余的子帧供宏蜂窝用户(MUE, macro user equipments)及pico基站普通用户使用.分别定义u_m^j，u_{p, i}^j，为MBS中第j个用户，第i个pico基站中第j个普通用户及第j个VUE.

图 1

图 1

图 1 网络架构

对于MUE u_m^j，受到来自所有pico基站的干扰，其信干噪比表示为

(1)

其中：h_ij为基站i到用户j间的平均信道增益，σ²为噪声功率.同理，pico基站的普通用户受到来自MBS和其他pico基站的干扰，其信干噪比表示为

(2)

pico基站中VUE使用ABS消除干扰，所以仅受到来自其他pico基站的干扰，其信干噪比表示为

(3)

由香农公式可得用户的传输速率

(4)

为了最大化异构蜂窝网络系统吞吐量，实现负载均衡，因此联合设计最优的eICIC和CRE方案.进而需要得到1) 最优的ABS密度α；2) 每个pico基站对应的最优的REB值，即β=[β₁, β₂, …, β_Npico].

为了改善系统吞吐量，MBS将服务质量低的用户VUE分给pico基站从而减轻负载；同时，为了鼓励pico基站扩展覆盖范围实现分流，MBS通过增加ABS密度α作为对pico基站的回报.该过程可以建模为斯坦伯格博弈.斯坦伯格博弈是一个策略博弈，包括一个领导者及多个跟随者互相竞争资源.建模MBS为领导者，pico基站为跟随者. MBS根据效用函数给出一个ABS密度值α. pico基站根据MBS的决策及效用函数计算REB值β，并且假设所有的pico基站理性且自私，其目标是最大化各自的效用函数.

由于MBS及pico基站的同频部署，临近pico基站的MUE受到严重的跨层干扰，极大地降低了系统性能，通过将信道条件差的用户分配到pico基站，系统平均吞吐量增加，并且为MBS分流.因此，定义所有用户平均吞吐量为MBS效用函数.具体表示为

(5)

其中，G函数表示多用户分集增益，可以表示为^[9]

(6)

N_m取决于向量β，β_i的值越大表示更多的MUE被分配到第i个pico基站，MUE数量较少.另外，在斯坦伯格博弈中，对∀i，β_i是关于α的增函数；因为仅当ABS密度增加时，pico基站才愿意接纳更多的VUE并提供更好的服务，进而表明pico基站的小区范围扩展取决于ABS密度.然而，当过分增大ABS密度时，MUE可用资源减少，导致MBS效用函数下降.因此，MBS必须确定最优的ABS密度值最大化效用函数，具体通过解决以下问题实现.

问题1：

(7)

同理，在pico基站侧，定义其效用函数为

(8)

为了鼓励pico基站扩展小区范围，定义C函数为激励函数，且C函数关于N_{p, i}^v为递增的凸函数，表示为

(9)

其中Q和p是常数.

由式(8) 可知，对于pico基站改善REB的回报主要体现在两方面：一是ABS密度的增加带来平均吞吐量的收益；二是激励函数的收益.固定ABS密度的条件下，当pico增加扩展偏置数值时，更多的MUE分配到pico基站，其回报将会增加.然而，随着偏置数值增加，过多的MUE接入到pico基站，由于通信距离增加及干扰，VUE的信道质量降低，导致VUE的平均吞吐量下降.因此，有必要选择最优的CRE偏置因子，最大化pico基站的效用函数.其问题建模为

问题2：

(10)

问题1与问题2联合构成了斯坦伯格博弈.博弈的目标是找到斯坦伯格博弈均衡解(SE，Stackelberg equilibrium)，从而保证领导者(MBS)及跟随者(pico基站)无法单方面脱离SE.

对于上述斯坦纳伯格博弈，SE定义如下：取α^*为问题1的一个可行解，β_i^*为问题2的一个可行解，当满足如下条件时，对于所有的可行解(α, β)，(α^*, β^*)是斯坦伯格博弈的SE.

(11)

(12)

为了求得SE，使用倒推法分析斯坦伯格博弈：领导者(MBS)首先变化，跟随者(pico基站)相应做出变化.首先，MBS决定一个ABS密度α的策略，下一步每个pico基站调整偏置因子β_i，决定扩展范围并优化效用函数.

对于一个给定的ABS密度α，通过求解问题2，每个pico基站选择一个最优的REB.由于N_{p, i}ⁿ是离散的，导致函数U_{p, i}非线性.因此，不能得到β_i的闭式解.但是，由于MBS接入的用户数量是固定的，且REB最大值为15 dB^[10]，pico基站通过研究所有可能的策略，可以发现最优的β_i.令β_i^*表示问题2的最优解.即

(13)

由于MBS通过X2接口得知pico基站的情况.基于所有pico基站的最佳响应β^*=[β₁^*, β₂^*, …, β^*_Np]，从而MBS确定ABS密度α.策略α通过求解问题1最大化效用函数来得到.

(14)

式(14) 表示pico基站小区扩展之后的MUE数量.除了变量α外其他变量均已知，容易求得变量α的值.表示问题1的最优α值为α^*.则MBS的最优策略表示为

(15)

在获得α^*后，pico基站根据α^*值继续调整REB获得最优的β^*，继而MBS继续依据β^*，重新计算新的α^*.在一定时间范围内，直到MBS和pico基站的效用函数不再增加时，博弈结束.

SE求解算法步骤

步骤1  MBS根据历史信息寻找一个确定的α值.

步骤2  迭代

 while(U_m值增加)

  初始化β=[0, …, 0]

  while(U_{p, i}值增加)

   β_i=β_i+δ

   更新U_{p, i}

  end while

  根据α得到最优的β^*

  根据β^*得到U_m

  计算当下最优值α

 end while

步骤3 得到最优的α^*和β^*.

在仿真部分，所有系统参数及假设均参考LTE标准^[10]. 表 1总结了重要的仿真参数，采用文献[10]中郊区部署下的路径损耗模型.所有pico基站可以选择各自最优的REB，而非同一个数值，更符合场景中用户非均匀分布的特点.

表 1

表 1

表 1 关键仿真参数

表 1 关键仿真参数

图 2仿真了一个pico基站在不同的ABS密度中的效用函数值.如图 2所示，起初pico基站的效用值随着REB增加而增加，后随着REB的进一步增加而下降.并且α的值越大，效用函数值也越大. pico基站效用函数最大值随着α增加而增加.该结果可以理解为：pico基站基于偏置因子扩展小区范围，更多的MUE成为VUE，激励函数的存在使pico基站的效用函数增加.然而，如果太多用户接入pico基站，导致更多的VUE信道条件变差，降低了pico基站的性能.而ABS密度α增大，VUE可以使用更多的ABS资源，因此，pico基站效用值更好，且最大值变慢.

图 2

图 2

图 2 不同α和β值下的pico基站效用值

图 3揭示了MBS的效用值与α及pico基站数量的关系.当α值较低时提高α值，导致pico基站增加REB，进而临近pico基站的MUE接入pico基站.然而，当α过分增大时，MBS的效用值下降.由分析知剩余的非ABS密度太低，不能满足MUE的需求.另外，可以看出在不同pico基站数量下的最优值α^*不同，8基站的α^*大于4基站的α^*，因为当MUE数量较多时，pico基站越多时，可以接入MUE的数量越多，作为回报MBS释放更多的时隙资源.

图 3

图 3

图 3 不同pico基站数量和α值的MBS效用值

图 4表明了SE求解算法的收敛性.设定4个pico基站用户密度逐渐增加，如图所示，MBS及所有pico基站在120 ms之后达到收敛，并且得到α=0.32，β=[3, 5, 8, 10].在仿真中，MBS每10 ms调整一次α值，pico基站相应地从0开始调整β，导致pico基站的非线性增长.另外，用户密度高的pico基站的效用值及最优REB值胜于用户密度低的pico基站.因为用户分布密度高的平均信道质量更好.

图 4

图 4

图 4 MBS和pico基站效用函数的收敛性

研究了在用户非均匀分布的异构蜂窝网络中，联合优化CRE及eICIC的问题.通过分析在CRE中的参数REB及eICIC中的参数ABS密度，构建了斯坦伯格博弈的联合优化问题，并且在博弈中，MBS作为领导者决定ABS密度，pico基站作为跟随者决定REB.另外，提出了迭代的求解算法获得SE.最终，仿真结果表明了提出的SE算法的有效性，并验证了针对用户非均匀分布场景下联合优化CRE及eICIC方案性能的优越性.