可达性是Petri网系统(PNSs, Petri net systems) 最重要的动态性质，它直接反映了PNSs的运行情况.而且，PNSs的其余各种动态性质都可通过可达性来定义，如活性、公平性、持续性和可逆性等^[1].因此，可达性判别问题是PNSs理论研究中最重要课题之一.众所周知，对于普通PNSs来说，传统的状态方程存在非负整数解只是PNSs状态可达的一个必要条件.据笔者所知，至今仍然是一个未解决的问题.然而，对某些PNSs子类，传统的状态方程存在非负整数解不仅是状态可达的一个必要条件，也是充分条件.如Tsuji等^[2]讨论了无有向回路PNSs可达性问题，Kumagai等^[3]讨论了一类标识图可达性问题，吴哲辉^[4]讨论了活的标识T-图与活的加权T-系统可达性问题，等等.笔者所讨论的这类PNSs是最常见、应用最广泛的一类PNSs^[5]，它的可达性问题目前只有基于传统状态方程的判别方法，且只是一个必要非充分条件.因此，研究这类PNSs的可达性问题，具有理论和实践意义.

笔者首次利用矩阵的半张量积(STP, the semi-tensor product of matrices) 方法研究了这类PNSs状态可达性问题.首先，利用STP方法建立了这类PNSs的状态演化的离散时间双线性方程.该方程的优点不仅在于它包含状态和变迁的全部信息，而且该方程的变迁-状态转移矩阵对PNSs的可达性分析至关重要.其次，给出了这类PNSs的变迁-状态邻接矩阵的定义，并利用变迁-状态邻接矩阵和状态演化方程给出了这类PNSs状态可达性判别的几个充要条件.同时，给出了这类PNSs任意2个可达状态之间的可达路径计算公式.

1 预备知识 1.1 所用到的一些符号及其说明

① M_m×n表示m×n实矩阵构成的集合.

② M_{(i, j)}表示矩阵M的第i行、第j列元素.

③ Col_j(M) 表示矩阵M的第j列.

④ Col (M) 表示矩阵M的列构成的集合.

⑤ 1_n=$\left[{\underbrace {1, 1, \cdots, 1}_n} \right]$.

⑥ δ_n⁰=${\left[{\underbrace {0, 0, \cdots, 0}_n} \right]^{\rm{T}}}$.

⑦ Δ_n={δ_n¹, δ_n², …, δ_nⁿ}，其中δ_n^k表示单位矩阵I_n的第k列，1≤k≤n.

⑧ L=[δ_m^i₁, δ_m^i₂, …, δ_m^i_n]简记为L=δ_m[i₁, i₂, …, i_n]，其中i_k∈{0, 1, 2, …, n}.

⑨ Blk_i(A) 表示矩阵A∈M_n×mn第i个n×n块矩阵，1≤i≤m，即A=[Blk₁(A), …, Blk_m(A)].

⑩ ℕ₊表示正整数构成的集合.

⑪ ℕⁿ={α|α=(a₁, …, a_n)^T, a_i∈ℕ, i=1, 2, …, n}.

⑫ ℝⁿ表示实数域上n维列向量的集合.

⑬ $C_n^m = \frac{{n!}}{{m!\left( {n-m} \right)!}}$

1.2 STP

这里只介绍所用到STP的一些内容，有关STP更详细介绍见文献[6].

定义1^[6]  设矩阵A∈M_m×n，B∈M_p×q，则称(A⊗I_t/n)(B⊗I_t/p) 为A与B的半张量积.即

$ \mathit{\boldsymbol{A}} \times \mathit{\boldsymbol{B}} = (\mathit{\boldsymbol{A}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_{t/n}})(\mathit{\boldsymbol{B}} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_{t/p}}) $

(1)

其中：t=LCM (n, p) 为n与p最小公倍数，⊗为矩阵的Kronecker积.

注：当n=p时，(1) 式变为A×B=AB，即STP是普通矩阵乘积的推广.因此，在不导致混淆的情况下，略去符号“×”.

定义2^[6]  一个换位矩阵W_{[m, n]}是一个mn×mn矩阵，其定义如下：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[m,n]}} = {\mathit{\boldsymbol{\delta }}_{mn}}[1,m + 1,2m + 1, \cdots ,\left( {n - 1} \right)m + 1,}\\ {2,m + 2,2m + 2, \ldots ,\left( {n - 1} \right)m + 2, \ldots ,m,2m, \ldots ,nm]} \end{array} $

(2)

引理1^[6]设X∈ℝ^m, Y∈ℝⁿ, 则

$ {\mathit{\boldsymbol{W}}_{[m,n]}}\mathit{\boldsymbol{XY}} = \mathit{\boldsymbol{YX}},{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[n,m]}}\mathit{\boldsymbol{YX}} = \mathit{\boldsymbol{XY}} $

(3)

1.3 Petri网

下面只介绍所用到PNSs的一些概念，有关PNSs更全面的介绍见文献[1, 4].

定义3^[1]  一个加权PNSs是一个5元组N=(P, T, F, W, M₁)，其中P={p₁, p₂, …, p_n}为有限库所集合，T={t₁, t₂, …, t_m}为有限变迁集合，F⊆(P×T)∪(T×P) 为弧/流关系集合，W:F→{1, 2, …}为权函数，M₁:P→{0, 1, 2, …}为初始状态\初始标识，P∩T=∅且P∪T≠Φ.

注：如果W:F→{1}(权函数的函数值恒1)，称N=(P, T, F, W, M₁) 为普通PNSs，并简记为N=(P, T, F, M₁).因为普通PNSs与加权PNSs有相同的模拟能力，二者不同的只是建模的效率和方便性.所以，只讨论原型PNSs.

定义4^[4]  一个PNSs具有如下变迁发生规则：

1) 对于变迁，若

$ \forall p \in P:p \in {}^ \bullet t \to M\left( p \right) \ge 1 $

则称变迁t在标识M有发生权，记为M[t>.

2) 设M[t>，则标识M发生变迁t得到一个新的标识M′(记为M[t>M′) 且有

$ M\prime \left( p \right) = \left\{ \begin{array}{l} M\left( p \right) - 1,p \in {}^ \bullet t - {t^ \bullet }\\ M\left( p \right) + 1,p \in {t^ \bullet } - {}^ \bullet t\\ M\left( p \right),其他 \end{array} \right. $

(4)

其中^•t和t^•分别表示变迁t的输入库所集和输出库所集.

2 PNSs的矩阵表示

本节讨论一类PNSs动态演化的矩阵表示.考虑N=(P, T, F, M₁)，其中∀t∈T:|^•t|=|t^•|=1.有的文献将这类PNSs称为标识S-图或状态机.下面所提及的网系统均为这类PNSs.

在这类PNSs中，由于每个变迁的发生恰有一个库所减少一个标识而另一个库所增加一个标识.因此，由定义4不难得出如下引理.

引理2  设PNSs N=(P, T, F, M₁) 的初始状态为M₁=[x₁, x₂, …, x_n]^T，$\mathit{\boldsymbol{M}} = {[{{\tilde x}_1}, {{\tilde x}_2}, \ldots, {{\tilde x}_n}]^{\rm{T}}}$为其任意可达状态，则

$ \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\tilde x}_i}} $

(5)

由引理2可知，一旦N=(P, T, F, M₁) 的初始状态确定，则这类PNSs就是有界的，即有有限个状态.其全部可能的状态数可通过如下引理得到.

引理3  设n维整数列向量α=[x₁, x₂, …, x_n]^T，且满足$\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} = k} $，则满足该条件的向量个数为

$ s = C_{n + k - 1}^{n - 1} $

(6)

众所周知，PNSs的状态个数随着库所、变迁和标识数增加呈指数增长，进而导致所谓的“状态空间爆炸”问题，这是PNSs的致命缺点.但由引理2和引理3可知，所讨论的这类PNSs的状态个数最多为s=C_n+k-1^n-1，其中n为库所个数，k为库所中标识总数.这是一个多项式时间增长的，而不是指数增长的.这就是此类PNSs在实际系统中被广泛应用的原因所在.

下面，考虑这类PNSs状态方程的矩阵表示.对于N=(P, T, F, M₁)，其中∀t∈T:|^•t|=|t^•|=1.初始状态M₁=[x₁, x₂, …, x_n]^T满足$\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} = k} $.由引理3可知，N的状态个数最多为s=C_n+k-1^n-1.因此，不妨设其状态集为S={M₁, M₂, …, M_s}，变迁集为T={t₁, t₂, …, t_m}.将N的状态和变迁表示成向量形式，即δ_nⁱ~M_i(1≤i≤n)，δ_m^j~t_j (1≤j≤m).于是，可以得到状态集和变迁集的向量形式分别为S~Δ_s={δ_s¹, δ_s², …, δ_s^s, }，T~Δ_m={δ_m¹, δ_m², …, δ_m^m}.

用x(t) 表示t步时状态的向量形式，x(t)=δ_s⁰表示前一时刻的状态在相应变迁下不能发生；u(t) 表示t步时变迁的向量形式.由定义4可知，第t+1步时的状态由第t步时状态和第t步时的使能变迁决定.因此，有

$ \mathit{\boldsymbol{x}}\left( {t + 1} \right) = f\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}\left( t \right),\mathit{\boldsymbol{u}}\left( t \right)} \right) $

(7)

利用STP可以将式(7) 转化为离散时间双线性系统，即有如下定理.

定理1  设PNSs N=(P, T, F, M₁) 满足∀t∈T:|^•t|=|t^•|=1，则N的动态演化可等价表示为

$ \mathit{\boldsymbol{x}}\left( {t + 1} \right) = \mathit{\boldsymbol{Lu}}\left( t \right)\mathit{\boldsymbol{x}}\left( t \right) $

(8)

其中：L∈L_s×sm称为N的变迁-状态转移矩阵，s=C_n+k-1^n-1，n为N库所的个数，k为N中各库所标识数之和.

3 PNSs的可达性分析

下面讨论这类PNSs的可达性问题.首先，给出这类PNSs可达性定义.

定义5^[4]   设PNSs N=(P, T, F, M₁) 满足∀t∈T:|^•t|=|t^•|=1.若∃t∈T，使得M[t>M′，则称状态M′是从状态M直接可达的.如果存在变迁序列t₁t₂…t_k-1和状态序列M₁M₂…M_k使得

$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_1}[{t_1} > {\mathit{\boldsymbol{M}}_2}[{t_2} > {\mathit{\boldsymbol{M}}_3} \cdots {\mathit{\boldsymbol{M}}_{k - 1}}[{t_{k - 1}} > {\mathit{\boldsymbol{M}}_k} $

(9)

称状态M_k是从状态M₁经过t-1步可达的.

方便起见，记变迁序列σ=t₁t₂…t_k∈T^*，则(9) 式可简记为M₁[σ>M_k.

引理4[6]  设∝j=1tδmj=δmti，则δmj=Sj, mt∝δmti，j=1, 2, …, t.其中：

$ \left. \begin{array}{l} {S^t}_{1,m} = {I_m} \otimes {1_{{m^{t - 1}}}}\\ {S^t}_{2,m} = \underbrace {[{I_m} \otimes {1_{{m^{t - 2}}}}, \cdots ,{I_m} \otimes {1_{{m^{t - 2}}}}]}_m\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \\ {S^t}_{t - 1,m} = \underbrace {[{I_m} \otimes {1_m}, \cdots ,{I_m} \otimes {1_m}]}_{{m^{t - 2}}}\\ {S^t}_{t,m} = \underbrace {[{I_m}, \cdots ,{I_m}]}_{{m^{t - 1}}} \end{array} \right\} $

(10)

定理2  设PNSsN=(P, T, F, M₁) 的状态演化方程如式(8) 所示. x₁=x(1)=δ_s¹为初始状态，x_d=δ_s^d为目标状态，则x_d是从x₁经t步可达的当且仅当∃i∈{1, 2, …, m^t}，使得

$ {\mathit{\boldsymbol{x}}_d} = {\rm{Co}}{{\rm{l}}_i}({(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[s,m]}})^t}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1}) $

(11)

且可达路径可由引理4中δmti=ti1ti2…tit得到.

证明  由式(8) 可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{x}}\left( {t + 1} \right) = \mathit{\boldsymbol{Lu}}\left( t \right)\mathit{\boldsymbol{x}}\left( t \right) = \mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[s,m]}}\mathit{\boldsymbol{x}}\left( t \right)\mathit{\boldsymbol{u}}\left( t \right) = }\\ {{{(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[s,m]}})}^2}\mathit{\boldsymbol{x}}\left( {t - 1} \right)\mathit{\boldsymbol{u}}\left( {t - 1} \right)\mathit{\boldsymbol{u}}\left( t \right) \cdots = }\\ {{{(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[s,m]}})}^t}\mathit{\boldsymbol{x}}\left( 1 \right)\mathit{\boldsymbol{u}}\left( 1 \right)\mathit{\boldsymbol{u}}\left( 2 \right) \cdots \mathit{\boldsymbol{u}}\left( t \right) = }\\ {({{(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[s,m]}})}^t}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1}){ \propto ^t}_{j = 1}\mathit{\boldsymbol{u}}\left( j \right)} \end{array} $

(12)

必要性：若x_d是从x₁经t步可达的，则存在使能变迁序列u(1)u(2)…u(t)，使得式(12) 成立.因此，x_d∈Col ((LW_{[s, m]})^tx₁).于是存在i∈{1, 2, …, m^t}，使得x_d=Col_i((LW_{[s, m]})^tx₁).此外，由引理4容易得到可达路径δⁱ_m^t=t_i1t_i2…t_it.

充分性：若存在i∈{1, 2, …, mt}，使得式(11) 成立，则存在使能变迁序列∝j=1tu(j)=δmti，使得式(12) 成立，即xd=((LW[s, m])tx1)∝j=1tu(j).因此，状态xd是从x1经t步可达的.

证毕.

推论1  PNSsN=(P, T, F, M₁) 的状态x_d=δ_s^d是从x₁=δ_s¹可达的当且仅当存在正整数k≤s，使得

$ {\mathit{\boldsymbol{x}}_d} \in \left\{ {\bigcup\limits_{t = 1}^k {{\rm{Col}}({{(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[s,m]}})}^t}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1})} } \right\} $

其中s为N的状态个数.

下面给出PNSs的变迁-状态邻接矩阵定义，然后利用所定义的变迁-状态邻接矩阵讨论PNSs状态可达性问题.

定义6  设PNSsN=(P, T, F, M₁) 的状态集为S={M₁, M₂, …, M_s}.称A=(a_ij)_s×s为N的变迁-状态邻接矩阵，其中：

$ {a_{ij}} = \left\{ \begin{array}{l} 1,\exists {t_k} \in T,s.t.{\mathit{\boldsymbol{M}}_j}[t > {\mathit{\boldsymbol{M}}_i}\\ 0,其他 \end{array} \right. $

由定义6容易得到定理3.

定理3  设PNSsN=(P, T, F, M₁)，矩阵A=(a_ij)_s×s为其变迁-状态邻接矩阵，且假设A^t=(a_ij^t)_s×s, A¹=A，则状态M_i是从状态M_j经t步可达的当且仅当a_ij^t>0.此外，若a_ij^t=c≠0，则从状态M_j经t步到达状态M_i有c条路径.

为了得到PNSs的变迁-状态转移矩阵L和变迁-状态邻接矩阵A的关系，首先将Petri网N的变迁-状态转移矩阵L∈L_s×sm做如下分解：

$ \mathit{\boldsymbol{L}} = ({\rm{Bl}}{{\rm{k}}_1}\left( \mathit{\boldsymbol{L}} \right),{\rm{Bl}}{{\rm{k}}_2}\left( \mathit{\boldsymbol{L}} \right), \cdots ,{\rm{Bl}}{{\rm{k}}_m}\left( \mathit{\boldsymbol{L}} \right)) $

(13)

其中Blk_l(L)∈M_s×s为矩阵L的第l块(1≤l≤m).于是，有如下命题.

命题1  设PNSsN=(P, T, F, M₁) 的变迁-状态转移矩阵如式(13) 所示，变迁-状态邻接矩阵A如定义6所示，则

$ \mathit{\boldsymbol{A}} = \sum\limits_{l = 1}^m {Bl{k_l}\left( \mathit{\boldsymbol{L}} \right)} $

(14)

定理3表明，{A^t|t=1, 2, …}包含了PNSsN状态可达性的全部信息.由代数学中的Cayley-Hamilton定理^[7]可知，若(A^t)_{(i, j)}=0, ∀t≤s，则(A^t)_{(i, j)}=0，∀t=1, 2, ….因此，只需考虑{A^t|t≤s}即可.

由定义6、定理3和命题1可得出如下结论.

定理4  设PNSsN=(P, T, F, M₁) 的状态演化方程如式(8) 所示，S={M₁, M₂, …, M_s}为其状态集，则：

1) 状态M_i是从状态M_j经t步可达的当且仅当

$ {\left( {{{\left( {\sum\limits_{l = 1}^m {{\rm{Bl}}{{\rm{k}}_l}\left( \mathit{\boldsymbol{L}} \right)} } \right)}^t}} \right)_{\left( {i,j} \right)}} > 0 $

2) 状态M_i是从状态M_j可达的当且仅当存在正整数k(k≤s) 使得

$ \sum\limits_{t = 1}^k {{{\left( {{{\left( {\sum\limits_{l = 1}^m {{\rm{Bl}}{{\rm{k}}_l}\left( \mathit{\boldsymbol{L}} \right)} } \right)}^t}} \right)}_{\left( {i,j} \right)}} > 0} $

4 举例分析

例1  讨论图 1所示PNSs的可达性问题.

由定义4可知，此PNSs的状态转移图如图 2所示.

设此Petri网的状态集S={M₁, M₂, …, M₁₀}, 变迁集T={t₁, t₂, t₃, t₄}.为了得到其状态演化动态方程，将此Petri网状态和变迁分别表示成向量形式，即δⁱ₁₀~M_i(1≤i≤10)，δ^j₄~t_j(1≤j≤4)，则状态集和变迁集的向量形式分别为Δ₁₀={δ₁₀¹, δ₁₀², …, δ₁₀¹⁰}，Δ₄={δ₄¹, δ₄², δ₄³, δ₄⁴}.借助于STP，此PNSs的状态演化可表示为

$ \mathit{\boldsymbol{x}}\left( {t + 1} \right) = \mathit{\boldsymbol{Lu}}\left( t \right)\mathit{\boldsymbol{x}}\left( t \right) $

其中变迁-状态转移矩阵为

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{L}} = {\mathit{\boldsymbol{\delta }}_{10}}[2,0,5,6,0,0,0,0,1,0,3,5,0,0,8,7,0,0,0,\\ 0,4,6,0,0,7,10,0,0,0,0,0,0,0,9,0,1,3,0,0,4] \end{array} $

利用定理2，讨论此PNSs的可达性问题.为节省篇幅，仅讨论t=3时的情况.

当t=3时，有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{Co}}{{\rm{l}}_{12}}({{(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[10,4]}})}^3}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1}) = {\rm{Co}}{{\rm{l}}_{36}}({{(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[10,4]}})}^3}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1}) = }\\ {{\rm{Co}}{{\rm{l}}_{45}}({{(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[10,4]}})}^3}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1}) = \mathit{\boldsymbol{\delta }}_{10}^1}\\ {{\rm{Co}}{{\rm{l}}_7}({{(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[10,4]}})}^3}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1}) = {\rm{Co}}{{\rm{l}}_{10}}({{(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[10,4]}})}^3}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1}) = }\\ {{\rm{Co}}{{\rm{l}}_{19}}({{(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[10,4]}})}^3}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1}){\rm{ }} = {\rm{Co}}{{\rm{l}}_{34}}({{(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[10,4]}})}^3}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1}) = \mathit{\boldsymbol{\delta }}_{10}^7}\\ {{\rm{Co}}{{\rm{l}}_6}({{(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[10,4]}})}^3}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1}) = {\rm{Co}}{{\rm{l}}_{18}}({{(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[10,4]}})}^3}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1}) = \mathit{\boldsymbol{\delta }}_{10}^8}\\ {{\rm{Co}}{{\rm{l}}_{11}}({{(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[10,4]}})}^3}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1}) = {\rm{Co}}{{\rm{l}}_{35}}({{(\mathit{\boldsymbol{L}}{\mathit{\boldsymbol{W}}_{[10,4]}})}^3}{\mathit{\boldsymbol{x}}_1}) = \mathit{\boldsymbol{\delta }}_{10}^{10}} \end{array} $

其余各列均为零.由定理2可知，状态M₁、M₇、M₈、M₁₀是从初始状态M₁经3步可达的.例如，对于状态M₇，其可达路径为δ₆₄⁷=δ₄¹δ₄²δ₄³~t₁t₂t₃，δ₆₄¹⁰=δ₄¹δ₄³δ₄²~t₁t₃t₂，δ₆₄¹⁹=δ₄²δ₄¹δ₄³~t₂t₁t₃，δ₆₄³⁴=δ₄³δ₄¹δ₄³~t₃t₁t₂.

作为所得结果的一个简单应用，研究了这类PNSs的可逆性问题.

由文献[1]可知，PNSsN=(P, T, F, M₁) 是可逆的网系统当且仅当∀M∈R(N, M₁)，总有M₁∈R(N, M) 成立.换句话说，N=(P, T, F, M₁) 是可逆的网系统当且仅当它的任意两状态都是互相可达的.

为此，考虑状态M₁和M₈.对任意正整数t，经简单计算有Col (LW_{[10, 4]})^tδ₁₀⁸={δ₁₀⁰}成立，因此δ₁₀¹∉Col (LW_{[10, 4]})^tδ₁₀⁸.由定理2可知，状态M₈不能达到状态M₁.因此，例1所示的Petri网是不可逆的网系统.

注：实例的数值计算是通过Matlab的STP工具箱完成的.关于STP数值计算的详细介绍见网址http://lsc.amss.ac.cn/~simdcheng/stp/STP.zip.

5 结束语

基于STP方法研究了一类PNSs建模和可达性问题.首先，利用STP方法建立了这类PNSs的动态演化方程；其次，利用PNSs的变迁-状态邻接矩阵和变迁-状态转移矩阵给出了其状态可达性判别的几个充要条件，与此同时也给出了任意2个可达状态之间的可达路径的计算公式；最后，实例说明了所得到结果的可行性和有效性.

未来的工作将集中在以下几方面：①利用所建立的数学框架研究此类PNSs的其他控制问题，如可控性、可观测性及稳定性等问题；②将所得到的结果推广到更一般的PNSs中.