三维多用户多输入多输出(3D MU-MIMO，three dimensional multiuser multiple input multiple output)系统因其能充分利用信道垂直维度增强系统性能而受到广泛关注^[1-2]，且被采纳为新一代移动通信标准^[3]. 在3D MIMO系统中，基站能动态调整垂直波束用于服务不同位置的用户，有效地提高用户性能，尤其是边缘小区用户性能^[4]. 然而，不同位置的用户与基站间的通信链路不仅受3D基站辐射损耗的影响，同时也受小尺度衰落和大尺度衰落即复合衰落的影响^[5]. 因此，复合衰落信道下3D MIMO系统性能研究就显得尤为重要.

在MU-MIMO研究中，和速率是评估其系统性能的一个重要指标. 瑞利对数正态复合衰落因其可准确地表征实际场景下的信道状态而受到广泛关注. Park等^[6]通过高斯-埃尔米特多项式推导给出基于迫零(ZF，zero-forcing)检测瑞利对数正态复合衰落信道点到点MIMO系统近似和速率. Zhong等^[7]针对Nakagami-m对数正态复合衰落信道集中式MIMO和分布式MIMO系统，推导给出和速率近似性能. 然而，在上述文献的研究中，由于对数正态阴影衰落的存在，导致系统和速率不存在闭式解. 基于上述原因，许多研究学者通过获得理论界和近似性能避免上述问题. Matthaiou等^[8]通过伽马阴影衰落代替对数正态阴影衰落得到K复合衰落信道，推导出基于ZF接收检测分布式MIMO和速率闭式解. 文献^[6-8]性能的推导均是假设均匀分布用户位置为固定常量，且所得结论涉及特殊函数，不利于进一步分析系统参数对性能的影响，也不利于工程实现.

针对上述文献存在的问题与不足，笔者研究K复合衰落信道下3D MIMO系统和速率性能，推导给出基于ZF和最大比合并(MRC，maximal-ratio combining)接收检测3D MIMO系统和速率下界闭式解，所得下界充分考虑K复合衰落信道、3D基站和用户分布对系统性能的影响；最后，结合当前研究热点大规模MIMO技术^[9]，给出3D大规模MIMO系统渐进性能分析的闭式解.

1 系统模型 1.1 衰落信道模型

笔者考虑上行单小区3D MIMO系统，小区分为3个扇区，每个扇区中有1个N天线基站，同时服务K个单天线用户(N≥K). 假设所有用户未知信道状态信息(CSI，channel state information)，基站端获知完美CSI，则最佳发送方案为所有用户等功率p_u发送信息,基站接收到的信号向量$y\in {{\mathbb{C}}^{N\times 1}}$为^[2]

$y=\sqrt{{{p}_{u}}}Gx+n$

(1)

其中：$G\in {{\mathbb{C}}^{N\times K}}$为所在扇区基站与服务的用户之间的信道矩阵；g_nk=[G]_nk为基站的第n根天线和第k个用户之间的信道系数；$x\in {{\mathbb{C}}^{K\times 1}}$为K个用户发送的信号；$n\in {{\mathbb{C}}^{N\times 1}}$为零均值、单位协方差的加性高斯白噪声，n~CN(0,I_N). 信道矩阵G包含小尺度衰落和大尺度衰落，其表达式为^[4]

$G=H{{\Omega }^{\frac{1}{2}}}$

(2)

其中：$H\in {{\mathbb{C}}^{N\times K}}$为小尺度衰落，其元素为零均值、单位方差的独立同分布复高斯随机变量；$\Omega \in {{\mathbb{C}}^{K\times K}}$为大尺度衰落，对角线元素Ω_k包含由距离决定的路径损耗d_k^v、服从伽马分布的阴影衰落ξ_k和用户所在扇区基站与第k个用户之间的天线增益$a(\Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}})$. 其中，阴影衰落系数ξ_k为独立的伽马随机变量，其概率密度函数为^[5]

$p({{\xi }_{k}})=\frac{s_{k}^{{{s}_{k}}}\xi _{k}^{{{s}_{k-1}}}}{\Gamma ({{s}_{k}})m_{k}^{{{s}_{k}}}}\exp ~\left( -\frac{{{s}_{k}}{{\xi }_{k}}}{{{m}_{k}}} \right),\text{ }{{\xi }_{k}},{{s}_{k}},{{m}_{k}}\ge 0$

(3)

其中：s_k和m_k分别为伽马分布的形状和尺度参数，Γ(·)为伽马函数^[10].

3D MIMO系统的天线增益$a(\Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}})$包括水平增益和垂直增益，其单位为dB，大小分别由水平方位角$\Delta {{\phi }_{k}}$和垂直俯仰角$\Delta {{\theta }_{k}}$决定^[3]. 假设$({{x}_{\text{BS}}},{{y}_{\text{BS}}},{{z}_{\text{BS}}})$和$({{x}_{k}},{{y}_{k}},{{z}_{k}})$分别为基站和第k个用户的坐标，第k个用户和基站的x轴坐标差值可表示为Δx_k=x_k-x_BS，同理可得y轴坐标差值Δy_k、z轴坐标差值Δz_k. 则水平方位角$\Delta {{\phi }_{k}}$和垂直俯仰角Δθ_k相应为

$\Delta {{\phi }_{k}}=\text{a}\tan 2(\Delta x,\Delta y)-{{\alpha }_{\text{orn}}}$

(4)

$\Delta {{\theta }_{k}}=\text{a}\tan 2(\Delta z,\sqrt{{{(\Delta x)}^{2}}+{{(\Delta y)}^{2}})}-{{\beta }_{\text{tilt}}}$

(5)

其中：初始方向角α_orn为固定值，取α=0°，β_tilt∈[-90,90]为天线下倾角. 此时，天线增益$a(\Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}})$为^[3]

$\begin{align} & a(\Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}})=\max ~\{-12{{(\Delta {{\theta }_{k}}/{{\theta }_{3\text{dB}}})}^{2}},{{S}_{\text{v}}}\}- \\ & \min ~\{12{{(\Delta {{\phi }_{k}}/{{\theta }_{3\text{dB}}})}^{2}},{{S}_{\text{h}}}\}+{{A}_{\text{m}}} \\ \end{align}$

(6)

其中：Φ_3dB和θ_3dB为水平和垂直半功率波束宽度；S_h和S_v为水平和垂直旁瓣电平，A_m为最大天线增益. 基站与第k个用户之间的距离d_k为

${{d}_{k}}=\sqrt{{{(\Delta x)}^{2}}+{{(\Delta y)}^{2}}+{{(\Delta z)}^{2}}}$

(7)

综上，大尺度衰落的数值形式可表示为

${{\Omega }_{k}}={{\xi }_{k}}{{10}^{\frac{a(\Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}})}{10}}}d_{k}^{-v}$

(8)

其中：υ∈[2, 5]为路径损耗指数^[5].

1.2 用户分布模型

在MU-MIMO系统中，系统的性能不仅受衰落影响，而且受用户分布影响. 为了便于分析，假设小区近似为半径R₁的圆，用户独立均匀地分布在一个内半径为R₀、外半径为R₁的环形区域内，则用户分布极坐标形式(τ,φ)的概率密度函数为^[11]

$\begin{align} & f\left( \tau \right)=\frac{2\tau }{R_{1}^{2}-R_{0}^{2}},{{R}_{0}}\le \tau \le {{R}_{1}} \\ & f\left( \varphi \right)=\frac{1}{2\pi },0\le \varphi \le 2\pi \\ \end{align}$

(9)

其中：τ和φ分别为极坐标形式下用户到坐标原点的距离、用户和原点连线与极轴的夹角.

2 3D MIMO系统性能分析

下面研究K复合衰落场景下3D MIMO系统和速率性能，推导给出基于MRC和ZF检测器和速率下界闭式表达式.

2.1 可达和速率分析

笔者采用线性MRC和ZF检测器，检测矩阵为A，则基站检测后信息为

$r={{A}^{\text{H}}}y$

(10)

结合式(1)和式(10)，可得

$r=\sqrt{{{p}_{u}}}{{A}^{\text{H}}}Gx+{{A}^{\text{H}}}n$

(11)

假设r_k和x_k分别为r和x的第k个元素，则有

${{r}_{k}}=\sqrt{{{p}_{u}}}a_{k}^{\text{H}}{{g}_{k}}{{x}_{k}}+\sum\limits_{i=1,i\ne k}^{K}{\sqrt{{{p}_{u}}}a_{k}^{\text{H}}{{g}_{i}}{{x}_{i}}+a_{k}^{\text{H}}n}$

(12)

其中：a_k和g_k分别为矩阵A和G的第k列元素，则第k个用户的信号和干扰加噪声比为

${{\gamma }_{k}}=\frac{{{p}_{u}}|a_{k}^{\text{H}}{{g}_{k}}{{|}^{2}}}{{{p}_{u}}\sum\limits_{i=1,i\ne k}^{K}{|a_{k}^{\text{H}}{{g}_{i}}{{|}^{2}}}+\|{{a}_{k}}{{\|}^{2}}}$

(13)

采用MRC检测器时，A=G，γ_k^MRC为

$\gamma _{k}^{\text{MRC}}=\frac{{{p}_{u}}\|{{g}_{k}}{{\|}^{4}}}{{{p}_{u}}\sum\limits_{i=1,i\ne k}^{K}{|g_{k}^{\text{H}}{{g}_{i}}{{|}^{2}}+\|{{g}_{k}}{{\|}^{2}}}}$

(14)

采用ZF检测器时，${{A}^{\text{H}}}={{({{G}^{\text{H}}}G)}^{-1}}{{G}^{\text{H}}}\gamma _{k}^{\text{ZF}}$为

$\gamma _{k}^{\text{ZF}}=\frac{{{p}_{u}}}{{{[{{({{G}^{\text{H}}}G)}^{-1}}]}_{kk}}}=\frac{{{p}_{u}}{{\left[ \Omega \right]}_{kk}}}{{{[{{({{H}^{\text{H}}}H)}^{-1}}]}_{kk}}}$

(15)

其中：[·]_kk为取矩阵对角线上第k个元素. 综上分析，在接收端所有用户的可达和速率为

$R=\sum\limits_{k=1}^{K}{E[\text{lb}(1+{{\gamma }_{k}})]}$

(16)

其中：期望操作E为针对K复合衰落信道模型，包括小尺度衰落H和大尺度衰落Ω中的随机变量.

2.2 下界速率分析

定理1 在K复合衰落信道下，3D MIMO系统MRC检测器可达和速率下界为

$R_{L}^{\text{MRC}}=\text{ }\sum\limits_{k=1}^{K}{\text{lb}}\frac{1+{{p}_{u}}~\nabla \left( N-1 \right){{m}_{k}}{{10}^{\frac{a\left( \Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}} \right)}{10}}}}{{{p}_{u}}\nabla \sum\limits_{i=1,i\ne k}^{K}{{{m}_{i}}}{{10}^{\frac{a\left( \Delta {{\phi }_{i}},\Delta {{\theta }_{i}} \right)}{10}}}+1}$

(17)

证明 见附录.

由定理1可知，在低信噪比条件下，系统和速率随p_u的增加而增加；在高信噪比条件下，系统和速率下界趋向定值. 此外，系统和速率随基站天线数N、阴影衰落参数m_k的增加而增加，随用户分布小区内径R₀和小区半径R₁的增加而减少.

定理2 在K复合衰落信道下，3D MIMO系统ZF检测器可达和速率下界为

$R_{L}^{\text{ZF}}=\sum\limits_{k=1}^{K}{\text{lb}}\left( 1+{{p}_{u}}\nabla \left( N-K \right){{m}_{k}}{{10}^{\frac{a\left( \Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}} \right)}{10}}} \right)$

(18)

证明 见附录.

由定理2可知，系统可达和速率下界随着发射功率p_u、基站天线数N和阴影衰落参数m_k的增加呈对数增加，随用户分布小区内径R₀和小区半径R₁的增加而减小.

大规模MIMO技术因能充分挖掘空域资源，显著提高频谱效率和能量效率而受到广泛关注^[9]. 然而，在K复合衰落信道下，3D大规模MIMO渐进性能的研究尚未有涉及. 鉴于此，笔者分析在K复合衰落信道下3D大规模MIMO和速率渐进性能.

推论1 在K复合衰落信道下，3D MIMO系统MRC接收可达和速率渐进下界为

$R_{L}^{\text{MRC}}=\sum\limits_{k=1}^{K}{\text{lb}}\frac{1+{{p}_{u}}\nabla \left( N-1 \right){{m}_{k}}{{10}^{\frac{a\left( \Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}} \right)}{10}}}}{{{p}_{u}}\nabla \sum\limits_{i=1,i\ne k}^{K}{{{m}_{i}}}{{10}^{\frac{a\left( \Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}} \right)}{10}}}+1}\to \infty $

(19)

推论2 在K复合衰落信道下，3D MIMO系统ZF接收可达和速率渐进下界为

$R_{L}^{\text{ZF}}=\sum\limits_{k=1}^{K}{\text{lb}}(1+{{p}_{u}}\nabla \left( N-K \right){{m}_{k}}{{10}^{\frac{a\left( \Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}} \right)}{10}}})\to \infty $

(20)

由推论1和推论2可知，随着基站天线数增多，可达和速率渐进下界呈对数增长而趋于无穷，同文献^[2]中的分析结论一致. 3D大规模MIMO系统ZF和MRC接收可达和速率下界由基站天线数N、用户数K、发送端功率p_u、伽马分布的尺度参数m_k、天线增益$a(\Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}})$、路径损耗指数υ等参数决定.

3 仿真结果

下面通过对K复合衰落信道3D MIMO系统进行仿真，验证上述分析. 3D MIMO和衰落参数的设置如表 1所示.

图 1仿真了ZF和MRC检测器和速率下界随下倾角变化曲线. 用户数为K=2，天线数为N=10. 由图 1可知，受天线的垂直俯仰角影响，3D MIMO系统的和速率下界式在下倾角为-30°~-4°的范围内性能优于2D MIMO系统，且在-15°时性能达到最优，与文献[2]的结论一致；天线的功率主瓣在对准用户时，用户的和速率最大，所以3D MIMO系统能自适应调整下倾角，更好地服务小区内用户，尤其是小区边缘用户；在所有下倾角范围内，所得和速率下界能很好地拟合理论和速率.

图 2仿真了MRC和ZF接收检测和速率下界随信噪比变化曲线. 用户数为K=2，天线数分别为N=100和200. 由图 2可知，在高信噪比场景下，ZF检测器消除了用户间干扰，所得性能优于MRC检测器，同文献[8]中的结论一致，MRC和速率趋向定值，验证了上述理论分析的正确性；在低信噪比场景下，MRC和速率与信噪比呈线性关系；在相同信噪比和天线数情况下，3D MIMO的性能优于2D MIMO系统，同文献[2]和[4]中结论一致；从图 2还可以看出，在整个信噪比范围内，所得和速率下界拟合程度较好.

图 3仿真了大规模MIMO系统在2D和3D情况下和速率随天线数的变化曲线. 由图 3可知，随着天线数N的增多，和速率下界都趋向无穷，且与天线数N的增长呈对数形式，证明了理论分析的正确性；表明大规模MIMO系统有效减小了小尺度衰落，可明显提高系统容量，与文献[2, 4, 12]和文献[13]中结论一致.

4 结束语

分析了在K复合衰落信道情况下，3D MIMO系统上行链路的和速率性能，推导给出MRC和ZF检测器的可达和速率下界闭式解. 研究表明，3D MIMO系统的接收端速率受天线下倾角影响，整体性能优于2D MIMO系统. 在下倾角和天线数的变化范围内，和速率下界拟合程度良好，验证了理论分析的正确性. ZF检测器不存在用户间干扰，拟合情况和性能都优于MRC线性检测器.

附录

定理1 证明

结合式(15)和式(16)，利用文献[2]中相关结论,可得

$\begin{align} & R_{L}^{\text{MRC}}=\sum\limits_{k=1}^{K}{\text{lb}}\left( 1+{{\left( E\left\{ \frac{{{p}_{u}}\sum\limits_{i=1,i\ne k}^{K}{{{\left| {{g}_{i}} \right|}^{2}}}+1}{{{p}_{u}}\|{{g}_{k}}{{\|}^{2}}} \right\} \right)}^{1}} \right)= \\ & \sum\limits_{k=1}^{K}{\text{lb}}\left( 1+\left( {{p}_{u}}\sum\limits_{i=1,i\ne k}^{K}{E\left\{ {{\Omega }_{i}} \right\}+1} \right)\times \right. \\ & \left. E{{\left. \left\{ \frac{1}{{{p}_{u}}\|{{g}_{k}}{{\|}^{2}}} \right\} \right)}^{-1}} \right)~ \\ \end{align}$

(21)

其中：${{{\tilde{g}}}_{i}}=\frac{g_{k}^{\text{H}}{{g}_{i}}}{\|{{g}_{k}}\|}\sim CN(0,{{\Omega }_{i}})$，再利用文献[14]的等式

$E\left[ \text{tr}\left\{ {{W}^{-1}} \right\} \right]=\frac{q}{l-q}$

(22)

其中：$W=\|{{g}_{k}}{{\|}^{2}}$，W为一个自由度为l(l＞q)的中心复Wishart矩阵，W~W_q(l,I_l),利用式(22)可得

$E\left\{ \frac{1}{{{p}_{u}}\|{{g}_{k}}{{\|}^{2}}} \right\}=\frac{1}{{{p}_{u}}\left( N-1 \right)E\left\{ {{\Omega }_{k}} \right\}}$

(23)

其中

$E\left( {{\Omega }_{k}} \right)=\underbrace{E\left( {{\xi }_{k}} \right)}_{}\underbrace{E({{10}^{\frac{a(\Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}})}{10}}})}_{}\underbrace{E\left( d_{k}^{-v} \right)}_{}$

(24)

利用式(3)、式(9)和伽马函数性质式^[10]可得

$=\frac{s_{k}^{{{s}_{k}}}}{\Gamma \left( {{s}_{k}} \right)m_{k}^{{{s}_{k}}}}\int_{0}^{+\infty }{\xi _{k}^{{{s}_{k}}}}\exp ~\left( -\frac{{{s}_{k}}{{\xi }_{k}}}{{{m}_{k}}} \right)d\left( {{\xi }_{k}} \right)={{m}_{k}}~$

(25)

$={{10}^{\frac{a(\Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}})}{10}}}$

(26)

$=\frac{2}{R_{1}^{2}-R_{0}^{2}}\int_{{{R}_{0}}}^{{{R}_{1}}}{d_{k}^{-v+1}}\text{d}\left( {{d}_{k}} \right)=\text{ }\frac{2\left( R_{1}^{(2-\upsilon )}-R_{0}^{(2-\upsilon )} \right)}{\left( R_{1}^{2}-R_{0}^{2} \right)\left( 2-\upsilon \right)}$

(27)

为便于表示，将式(27)表示为▽，此时将式(25)、式(26)和式(27)代入式(24)，可得

$E\left( {{\Omega }_{k}} \right)={{m}_{k}}{{10}^{\frac{a(\Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}})}{10}}}\nabla $

(28)

将式(28)代入式(21)，可得定理1结论.

定理2证明

利用文献[2]的结论，可得和速率下界为

$\begin{align} & R_{L}^{\text{ZF}}=\sum\limits_{k=1}^{K}{\text{lb}}{{\left( 1+{{p}_{u}}\frac{E({{\xi }_{k}}{{10}^{\frac{a(\Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}})}{10}}}d_{k}^{-v})}{E\{{{[{{({{H}^{\text{H}}}H)}^{-1}}]}_{kk}}\}} \right)}^{\left( b \right)}}= \\ & \sum\limits_{k=1}^{K}{\text{lb}}1+\frac{K{{p}_{u}}\nabla {{m}_{k}}{{10}^{\frac{a(\Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}})}{10}}}}{E[\text{tr}({{({{H}^{\text{H}}}H)}^{-1}}]} \\ \end{align}$

其中：(b)利用杰森不等式，利用式(22)的结论，可得

$R_{L}^{\text{ZF}}=\sum\limits_{k=1}^{K}{\text{lb}}\left( 1+\frac{{{p}_{u}}\nabla {{m}_{k}}{{10}^{\frac{a(\Delta {{\phi }_{k}},\Delta {{\theta }_{k}})}{10}}}}{\frac{1}{K}\left( \frac{K}{N-K} \right)~} \right)$

综上，可得ZF接收端的和速率下界表达式.