数字滤波器组在数字信号处理中占有重要的地位，可广泛应用于语音信号分析、图像信号处理、多载波通信、宽带数字信道化等领域中，因此数字滤波器组越来越受到人们的关注^[1-2]. 频率响应屏蔽(FRM，frequency response masking)技术因其特别适合窄过渡带、任意带宽的滤波器设计以及比直接实现形式具有低得多的计算复杂度而备受关注^[3].

Li 等^[4]将FRM技术引入离散傅里叶变换(DFT，discrete Fourier transform)滤波器组中，减小了原型滤波器的长度，降低了计算量，但是随着信道数目的增加，对原型滤波器的过渡带要求越来越窄，对硬件资源要求太高. Wei 等^[5]在传统FRM结构的基础上，提出一种二级FRM的滤波器设计方法，消除了内插因子的约束条件，但是结构中所有的屏蔽滤波器必须由同一个原型滤波器进行调制得到，降低了结构的灵活性. 罗等^[6]提出一种可变带宽FRM滤波新结构，陈等^[7]基于FRM提出一种过渡带窄、信道混叠小的信道化接收机结构，算法高效，这两种结构因先进行滤波处理，会受到采样速率的限制，无法直接应用到高速数据采集的信道化处理中.

笔者提出了一种基于FRM的偶型排列信道化改进结构，只需设计合适的屏蔽滤波器并进行多相DFT分解就能得到窄过渡带的滤波器组结构，具有计算复杂度低的特点，且将抽取模块置于结构最前端，不受采样率较高的限制，可直接应用到高速系统中.

1 调制滤波器组技术 1.1 偶型排列频带划分

对调制滤波器组进行频带划分，分为奇型排列划分和偶型排列划分，下面主要针对偶型排列划分方式进行研究. M个滤波器组进行均匀调制，偶型排列频带划分结构中，第k个信道对应的中心频率ω_k满足：

${\omega _k} = 2\pi k/M,k = 0,1, \ldots ,M - 1$

(1)

1.2 偶型排列信道化高效结构

在均匀滤波器组低通实现结构中，输入信号为s(n)，低通滤波器为g(n)，复指数调制因子为e^jω_kn(k=0,1,…,M-1)，信道数为M，抽取数为K，令M=FK，F为大于0的正整数(F=0时，为临界抽取)，原型低通滤波器长度为N，则每个子带滤波器长度为T=N/M. 信道化输出为y_k(m)k=0,1,…,M-1.

由滤波器组低通实现结构可知，第k个信道的输出信号表示为

$\begin{array}{l} {y_k}\left( m \right) = [s\left( n \right){e^{j{w_k}n}}] \otimes g\left( n \right){|_{n = mK}} = \\ \sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {s\left( {n - i} \right){e^{j{\omega _k}(n - i)}}g\left( i \right){|_{n = mK}} = } \\ \sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {s\left( {mK - i} \right){e^{j{\omega _k}(mK - i)}}g\left( i \right)} \end{array}$

(2)

其中：⊗表示卷积，k=0,1,…,M-1. 令信号K倍抽取后的多相结构表达式为s_p(m)=s(mK-p)，滤波器多相分量表达式为g_p(m)=g(mM+p)，将i=iM+p，p=0,1,…,M-1代入式(2)中，可得

$\begin{array}{l} {y_k}\left( m \right) = \\ \sum\limits_{p = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{i = 0}^{T - 1} {s\left( {mK - iM - p} \right){e^{j{\omega _k}(mK - iM - p)}}g\left( {iM + p} \right) = } } \\ \sum\limits_{p = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{i = 0}^{T - 1} {{s_p}\left( {m - iF} \right){e^{j{\omega _k}\left( {m - iF} \right)K}}{g_p}\left( i \right){e^{ - j{w_k}p}}} } \end{array}$

(3)

令$l = iF,{h_p}\left( i \right) = {g_p}\left( {\frac{i}{F}} \right)$,则h_p(i)是g_p(i)的F倍内插，则第k个信道的输出信号表示为

$\begin{array}{l} {y_k}\left( m \right) = \sum\limits_{p = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{l = 0}^{\left( {T - 1} \right)F} {{s_p}\left( {m - l} \right){e^{j{\omega _k}\left( {m - l} \right)K}}{g_p}\left( {l/F} \right){e^{ - j{\omega _k}p}} = } } \\ \sum\limits_{p = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{l = 0}^{\left( {T - 1} \right)F} {{s_p}\left( {m - l} \right){e^{j{\omega _k}\left( {m - l} \right)K}}{h_p}\left( l \right){e^{ - j{\omega _k}p}}} } \end{array}$

(4)

则式(4)的z变换可以表示为

$\begin{array}{l} {y_k}\left( z \right) = \sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {{y_k}\left( m \right){z^{ - m}}} \\ \sum\limits_{p = 0}^{M - 1} {{s_p}(z{e^{ - j{\omega _k}K}}){h_p}\left( z \right){e^{ - j{\omega _k}p}}} \end{array}$

(5)

滤波器组输出后的有效带宽变为原来的1/M，因此后端进行K(K≤M)倍抽取也不产生频谱混叠，利用多相滤波结构可得

$\begin{array}{l} {y_k}\left( z \right) = \sum\limits_{p = 0}^{M - 1} {{s_p}(z{e^{ - j{\omega _k}K}}){h_p}\left( z \right){e^{ - j{\omega _k}p}}} = \\ \sum\limits_{p = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{l = 0}^{M - 1} {{s_p}(z{e^{ - j{\omega _k}K}}){z^{ - l}}{E_l}({z^M}){e^{ - j{\omega _k}p}}} } \end{array}$

(6)

其中E_l(z)为h(n)多相滤波分量. 将中心频率ω_k=2πk/M代入式(6)中，K倍抽取提前，可得如图 1所示的偶型排列信道化高效结构.

2 频率响应屏蔽技术

设H_a(z)为线性相位的低通数字滤波器，滤波器长度为N_a，通带和阻带截止频率分别为ω_ap和ω_as，过渡带为Δb=ω_as-ω_ap，设H_c(z)为H_a(z)的线性相位的互补滤波器，则

${H_c}\left( z \right) = {z^{ - \left( {{N_{a - 1}}} \right)/2}} - {H_a}\left( z \right)$

(7)

那么，互补滤波器H_c(z)的通带截止频率ω_cp=1-ω_as，阻带截止频率ω_cs=1-ω_ap.

基于FRM的滤波器结构如图 2所示.

由图 2FRM滤波器组结构可得基于FRM的数字滤波器^[8]：

$H\left( z \right) = {H_a}({z^L}){H_{Ma}}\left( z \right) + {H_c}({z^L}){H_{Mc}}({z^L})$

(8)

其中：H_Ma(z)、H_Mc(z)为屏蔽滤波器；L为插值因子. 屏蔽滤波器用来屏蔽掉原型滤波器因插值而产生的多余的镜像带宽.

当原型滤波器长度N_a为奇数时，消除了对插值倍数L的限制，并且两个屏蔽滤波器由同一个低通滤波器调制得到，便于上下支路相加合成FRM的整体滤波器.

3 偶型排列信道化高效结构改进 3.1 FRM信道化结构推导

设P(z)为FRM滤波器的原型滤波器，其表达式为

$P\left( z \right) = H{\prime _a}({z^L})H{\prime _{Ma}}\left( z \right) + H{\prime _c}({z^L})H{\prime _{Mc}}\left( z \right)$

(9)

其中H′_a(z)、H′_Ma(z)、H′_Mc(z)是长度分别为N_ao、N_Ma、N_Mc的零相位对称滤波器，并且H′_c(z)=1-H′_a(z)，滤波器的线性相位因果形式如下：

${H_{ao}}\left( z \right) = {z^{ - L({N_{ao}}}} - 1)/2H{\prime _a}({z^L})$

(10)

${H_{co}}\left( z \right) = {z^{ - L({N_{ao}}}} - 1)/2H{\prime _c}({z^L}){\rm{ }}$

(11)

${H_{Ma}}\left( z \right) = {z^{ - ({N_{Mac}}}} - 1)/2H{\prime _{Ma}}\left( z \right)$

(12)

${H_{Mc}}\left( z \right) = {z^{ - ({N_{Mac}}}} - 1)/2H{\prime _{Mc}}\left( z \right)$

(13)

其中N_Mac=max {N_Ma,N_Mc}.

将式(10)~(13)代入式(9)中，则FRM滤波器组各通道传递函数为

$\begin{array}{l} {H_k}\left( z \right) = P(z{W_M}^k) = \\ {W^{ak}}_M{H_{ao}}(z{W_M}^k){H_{Ma}}(z{W_M}^k) + \\ {W_M}^{ak}{H_{co}}(z{W_M}^k){H_{Mc}}(z{W_M}^k) \end{array}$

(14)

其中：k=0,1,…,M-1；a=(N_p-1)/2；N_p=L(N_ao-1)+N_Mac；W_M=e^-j2π/M.

利用多相分解可得：

${H_{ao}}\left( z \right) = \sum\limits_{l = 0}^{M - 1} {{z^{ - l}}{H_{ao,l}}({z^M})} $

(15)

${H_{co}}\left( z \right) = \sum\limits_{l = 0}^{M - 1} {{z^{ - l}}{H_{co,l}}({z^M})} $

(16)

${H_{Ma}}\left( z \right) = \sum\limits_{p = 0}^{M - 1} {{z^{ - p}}{H_{Ma,p}}({z^M})} $

(17)

${H_{Mc}}\left( z \right) = \sum\limits_{p = 0}^{M - 1} {{z^{ - p}}{H_{Mc,p}}({z^M})} $

(18)

将式(15)~(18)代入式(14)中，可得FRM滤波器组各通道传递函数：

$\begin{align} & {{H}_{k}}\left( z \right)= \\ & {{W}_{M}}^{ak}\sum\limits_{l=0}^{M-1}{{{(z_{M}^{k})}^{-1}}{{H}_{ao,l}}({{z}^{M}})}\sum\limits_{p=0}^{M-1}{{{(zW_{M}^{k})}^{-p}}{{H}_{Ma,p}}({{z}^{M}})}+ \\ & {{W}_{M}}^{ak}\sum\limits_{l=0}^{M-1}{{{(zW_{M}^{k})}^{-1}}{{H}_{co,l}}({{z}^{M}})}\sum\limits_{p=0}^{M-1}{{{(zW_{M}^{k})}^{-p}}{{H}_{Mc,p}}({{z}^{M}})} \\ \end{align}$

(19)

屏蔽滤波器组有M个通道，原型滤波器进行L倍插值会产生L倍镜像通带，且各镜像通带中心频率以2π/L为周期，要求屏蔽滤波器的带宽刚好覆盖镜像通道时，即L=IM,I=1,2,…. 在设计原型滤波器与上下支路两个屏蔽滤波器时，应满足以下条件：

${{\omega }_{map}}=\omega {{\prime }_{ap}}/L+2\left( L/M-1 \right)/L$

(20)

${{\omega }_{mas}}=1/L+\omega {{\prime }_{ap}}/L+2\left( L/M-1 \right)/L$

(21)

${{\omega }_{mcp}}=1/L+\omega {{\prime }_{ap}}/L+2\left( L/M-1 \right)/L$

(22)

${{\omega }_{mcs}}=2/L+\omega {{\prime }_{ap}}/L+2\left( L/M-1 \right)/L$

(23)

其中：ω′_ap、ω′_as为H′_a(z)的通带截止频率与阻带起始频率；ω_map、ω_mas、ω_mcp,ω_mcs分别为屏蔽滤波器H′_Ma(z)和H′_Mc(z)的通带截止频率与阻带起始频率.

设上支路屏蔽滤波器滤波为原型屏蔽滤波器，将上支路屏蔽滤波器π/L频移之后得到下支路屏蔽滤波器滤波，对上下支路的信号进行合并得到子带信号. FRM滤波器的频率响应合成图如图 3所示，以L/M=1为例.

将FRM滤波器组的各个通道的传递函数，即式(19)，替代式(5)中通道的传递函数可得第k个信道输出表达式：

$\begin{align} & {{y}_{k}}\left( z \right)={{W}_{M}}^{ak}\sum\limits_{L=0}^{M-1}{{{s}_{l}}(z{{e}^{-j{{\omega }_{k}}K}}){{z}^{-l}}{{H}_{ao,l}}({{z}^{M}})\times } \\ & \sum\limits_{p=0}^{M-1}{{{(z{{W}^{k}}_{M})}^{-p}}{{H}_{Ma,p}}({{z}^{M}})+{{W}_{M}}^{ak}} \\ & {{W}_{M}}^{ak}\sum\limits_{L=0}^{M-1}{{{s}_{l}}(z{{e}^{-j{{\omega }_{k}}K}}){{z}^{-l}}{{H}_{co,l}}({{z}^{M}})\times } \\ & \sum\limits_{p=0}^{M-1}{{{(z{{W}_{M}}^{k})}^{-p}}{{H}_{Ma,p}}({{z}^{M}})+{{W}_{M}}^{ak}} \\ \end{align}$

(24)

又因为${{H}_{co}}\left( z \right)={{z}^{-L({{N}_{ao}}-1)/2}}-{{H}_{ao}}\left( z \right)$，满足以下公式：

${{H}_{col}}({{z}^{M}})=\left\{ \begin{matrix} \text{ }{{z}^{-L({{N}_{ao}}-1)/2}}+q-{{H}_{ao,q}}({{z}^{M}}),\text{ }l=q \\ -{{H}_{ao,l}}({{z}^{M}}),其他 \\ \end{matrix} \right.$

(25)

其中q为L(N_ao-1)/(2M)的余数.

由式(24)、(25)结合图 1，将K倍抽取提前，可得基于FRM的偶型排列信道化改进结构，如图 4所示.

3.2 FRM信道化结构复杂度分析

由于数字滤波器实现的复杂度主要由过渡带宽决定，并且滤波器阶数与过渡带带宽成反比，这里复杂度数值主要考虑滤波器所用到的乘法器数目，因此设整个滤波器组实现的代价函数为C.

直接实现一个均匀滤波器组的复杂度，即乘法器数目为

${{C}_{d}}=\alpha M/\Delta f$

(26)

其中：α为比例系数，M为信道数目，Δf为合成的FRM窄过渡带滤波器的归一化过渡带宽.

同理，实现一个滤波器组的多相结构的复杂度为

${{C}_{p}}=\frac{\alpha 1}{\Delta f}+MlbM$

(27)

设计方法实现的代价函数为

${{C}_{FRM}}=\frac{\alpha 1}{\Delta {{H}_{a}}}+\alpha 2/\Delta {{H}_{m}}+2MlbM$

(28)

其中：ΔH_a为原型滤波器的归一化过渡带宽，ΔH_m为屏蔽滤波器的归一化过渡带宽.

设定ω_p、ω_s分别为整个FRM滤波器的通带截止频率和阻带起始频率，整个滤波器的归一化过渡带宽为Δf=ω_s-ω_p；θ、Φ分别为原型滤波器的通带截止频率和阻带起始频率，L为内插因子，则原型滤波器的过渡带宽ΔH_a=LΔf. 由于滤波器的长度对通阻带纹波不敏感，所以复杂度分析时暂不考虑通阻带纹波.

假定半带滤波器的通带截止频率为ω″_ap，阻带起始频率为ω″_as. 由半带滤波器的性质可得

$\left. \begin{matrix} \omega {{\prime\prime }_{ap}}+\omega {{\prime\prime }_{as}}=1 \\ \frac{\omega {{\prime\prime }_{as}}}{L}=\frac{\pi }{L}-\frac{\pi -\phi }{L} \\ \end{matrix} \right\}$

(29)

因此，ω″_ap=1-Φ=θ，ω″_as=Φ. 则半带滤波器的过渡带宽为Δf，即原型滤波器为半带滤波器. 结合图 3，FRM滤波器的频率响应合成图可得，屏蔽滤波器的过渡带宽为ΔH_m=1/L.

将各个滤波器的过渡带宽代入式(28)可得

${{C}_{FRM}}=\alpha 1/(L\Delta f)+\alpha 2L+2MlbM$

(30)

由于半带滤波器的稀疏性，其系数一半为零，则原型滤波器设计时所需的乘法器数目减半. 结合以上分析，设计方法实现的代价函数可整理为

$C{{\prime }_{FRM}}=\alpha 1/2(L\Delta f)+\alpha 2L+2MlbM$

(31)

频率响应屏蔽设计中，内插因子L的设计是一个关键问题. 它的设计直接影响到原型滤波器和屏蔽滤波器的设计复杂度，从而影响整个滤波器组的复杂度. 根据复杂度最低准则，可得使复杂度最低的最优L值.

$L=\frac{1}{2\sqrt{\Delta f}}$

(32)

因为L为正整数，取

$L=round\left( \frac{1}{2\sqrt{\Delta f}} \right)$

(33)

其中round(X)表示取距离X最近的整数. 将L值代入式(31)可得

$\begin{align} & C{{\prime }_{FRM}}=\frac{\alpha }{2round\left( \frac{1}{2\sqrt{\Delta f}} \right)\Delta f}+2\alpha round\left( \frac{1}{2\sqrt{\Delta f}} \right)+ \\ & 2MlbM \\ \end{align}$

(34)

对比式(26)、(27)、(34)可知，本设计的FRM滤波器组结构具有更低的计算复杂度. 并且，半带滤波器的频谱具有互补特性，其系数有一半为0，可以有效减少乘法运算，是一种高效的数字滤波器. 如果设置原型滤波器为半带滤波器，则两个屏蔽滤波器的通带宽度及阻带宽度都相等，那么，两个屏蔽滤波器可以由同一个低通滤波器调制得到，再次降低了设计复杂度.

4 系统仿真及分析 4.1 FRM滤波器组仿真

设定滤波器组通道数M为16，下采样倍数K为8，内插因子L为16. 原型滤波器设计采用半带滤波器，并且采用Matlab中的firpm函数设计，通带归一化截止频率为0.452，则阻带归一化起始频率为0.548，滤波器长度N_ao=69. 由式(20)、(21)可得原型屏蔽滤波器的通带截止频率和阻带起始频率约为0.028和0.09，滤波器长度N_Mac=106. 合成的FRM归一化过渡带宽为0.006. 各滤波器设计的幅频响应如图 5所示.

4.2 偶型排列信道化改进结构仿真与分析

仿真条件及参数：采样频率960 MHz，均匀划分为16个信道，即滤波器组通道数M=16，因为后8个信道输出为冗余子带信号，所以只考虑前8个信道的输出. 仿真输入信号为7个信号同时输入，其类型包括了正弦波信号(SIN)、调幅波信号(AM)、线性调频信号(LFM1、LFM2、LFM3)、双边带信号(DSB1、DSB2)，其信号输入参数及理论输出信道编号如表 1所示.

图 6所示为滤波器组输出频域波形，正弦波信号SIN为信道0输出，偶型排列结构中的信道0会有镜像，即出现信号对称；线性调频信号LFM1为信道1输出；幅度调制信号AM为信道2输出；线性调频信号LFM2为信道3输出；双边带调制信号DSB1为信道4输出；线性调频信号LFM3跨信道5、6输出；双边带调制信号DSB2为信道7输出. 与表 1的理论输出信号编号对比可知，其仿真结果验证了该改进结构的正确性.

另外，线性调频信号LFM1的起始频率50 MHz，截止频率88 MHz，而截止频率处于1、2信道的中心处(90 MHz)，由于滤波器组过渡带窄，二者并未出现跨信道现象. 线性调频信号LFM3的起始频率290 MHz,截止频率330 MHz,而截止频率处于5、6信道的中心处(330 MHz)，出现跨信道现象，如图 6输出波形所示. 可见，窄过渡带信道化结构在一定程度上可以减少跨信道现象的出现，但不能完全避免跨信道现象的出现.

在设计得到的滤波器过渡带相同的情况下，由式(26)、(27)、(31)可得对应结构的复杂度数值. 本设计偶型排列信道化改进结构与其他类型结构的复杂度分析对比(临界条件)如表 2所示.

由表 2的复杂度分析对比可得，直接实现这样的窄过渡带滤波器组结构需要乘法器数量为17 664，滤波器组的多相实现结构需要乘法器数量为1 168. 通过研究分析文献^[6]所用的方法，在归一化过渡带宽为0.006的仿真条件下，原型滤波器所需乘法器次数为13，镜像滤波器为18，整个屏蔽滤波器为6×64=384，即文献^[6]的方法所需乘法器次数为415. 文献^[7]中的方法在归一化过渡带宽为0.006的仿真条件下，原型滤波器长度为26. 由于采用半带滤波器，所需乘法次数为13，屏蔽滤波器长度为143，则整个滤波器组所需乘法器数目为427. 由于长度为69的半带滤波器实际非零系数为35，则设计的滤波器组所需乘法器的数目为375. 可见提出的方法设计窄过渡带滤波器组降低了系统的设计复杂度，比直接实现节省了97.8%的乘法器资源，比多相滤波器组实现节省了67.9%的乘法器资源，比文献^[6]中方法节约了9.6%的乘法器资源，比文献^[7]中方法节约了12.1%的乘法器资源，更利于工程实现. 并且提出的基于FRM的偶型排列信道化改进结构将抽取模块放置在最前面的信道化处理环节中，可直接用于高速数据采集与信道化处理系统中.

5 结束语

针对滤波器组设计过程中窄过渡带带来的滤波器阶数较高问题，利用FRM技术，对偶型排列信道化结构进行了改进，在保证偶型排列信道化具有窄过渡带的同时，降低了结构实现的复杂度. 该改进结构针对非最大抽取条件进行推导和改进结构设计，其特例条件是最大抽取结构，因此非最大抽取条件下的改进结构具有更广泛的通用性；同时，该改进结构将抽取模块置于最前面的信道化处理环节中，不再受限于系统采样率的限制，可以使该改进结构用于高速数据采集和信道化处理系统中，具有更加广泛的适用性.