提出了一种基于正则约束总体最小二乘(RCTLS)无源测角定位算法. 首先将非线性测角定位方程转化为线性方程,根据线性方程系数的一阶泰勒近似得到测角噪声与方程系数噪声之间的线性映射,再基于RCTLS算法得到定位目标函数,对其求偏导并忽略噪声高阶项得到定位结果的近似闭式解,通过对RCTLS算法的偏差和均方差进行分析确定正则化参数. 理论分析和仿真实验表明,该算法在观测站数目较少和角度测量噪声较高时与之前的算法相比定位精度有所提高.
The passive location algorithm based on regularized constrained total least squares algorithm (RCTLS) using bearing-only measurements was presented. By this algorithm the non-linear measurement equations are firstly transformed into linear equations, and linear mapping from the measurement noise to the coefficients error is given in accordance with the first order term of Taylor expansion for the coefficients of linear equations about bearing measurements. A quasi-closed-form solution to location was obtained by taking partial derivative of the objective function formed on the basis of RCTLS and ignoring high order terms of the bearing measures. The regularization parameter is determined by analyzing the bias and MSE of RCTLS. Simulations prove that the proposed algorithm achieves better location accuracy than the previous algorithms in the case of fewer observations and higher measurement noise.
无源定位具有作用距离远、安全隐蔽性能好、获取信息多而准等优势，是电子对抗的一个重要的研究方向. 角度是无源探测系统重要的一维测量信息，研究基于角度信息的无源定位算法有广泛的应用价值. 测向交汇定位[1]是经典的无源测角定位算法，但该算法可参与解算的角度信息有限，定位精度不高. Richard[2]介绍的线性最小二乘算法是较常用的算法，它需要将非线性的测量方程泰勒展开变成线性方程，造成较大的线性化误差，影响定位精度. Dogancay[3]等和Wang[4]等分别给出了利用约束总体最小二乘(CTLS，constrained total least squares)的二维和三维无源测角定位，它们都是利用Newton算法进行迭代求解，该算法在足够多的测量信息和较小的测量噪声前提下才具有很好的定位性能. Fan[5]在CTLS算法基础上首先提出了正则约束总体最小二乘(RCTLS，regularized constrained total least squares)算法用于在病态方程中的信号恢复. Li[6]等首先将RCTLS算法应用到基于到达时间差(TDOA，time difference of arrival)的外辐射源定位中.
针对测量信息较少和测量噪声较大时定位效果不理想的问题，提出基于RCTLS的无源测角定位算法，选择合适的正则化参数可以使得该算法与之前的算法相比在观测站数目较少和角度测量噪声较高时具有较高的定位精度. 另外，还给出定位结果的近似闭式解，与之前算法使用的Newton迭代求解相比不需迭代，可快速计算得到定位结果.
1 基于RCTLS算法的无源测角定位以三维空间测角定位为研究背景，待定位的辐射源位置为E(x,y,z)，观测站数目L(L≥2)，第i(i=1,2,…,L)个观测站的导航位置为Oi(xi,yi,zi). 观测站测量得到的辐射源方位角和俯仰角为βi和εi可表示为如下的非线性方程组.
| $\left. \begin{array}{l} {\beta _i} = \arctan \frac{{y - {y_i}}}{{x - {x_i}}}\\ {\varepsilon _i} = \arctan \frac{{z - {z_i}}}{{\sqrt {{{\left( {x - {x_i}} \right)}^2} + {{\left( {y - {y_i}} \right)}^2}} }}\\ i = 1,2,\cdots ,L \end{array} \right\}$ | (1) |
式(1)可变换为如下的等价线性方程组形式.
| $\left. \begin{array}{l} x\sin {\beta _i} = y\cos {\beta _i} = {x_i}\sin {\beta _i} - {y_i}\cos {\beta _i}\\ x\sin {\varepsilon _i} + y\sin {\varepsilon _i} - z\left( {\sin {\beta _i} + \cos {\beta _i}} \right)\cos {\varepsilon _i} = \\ x\sin {\varepsilon _i} + y\sin \varepsilon - z\left( {\sin {\beta _i} + \cos {\beta _i}} \right)\cos {\varepsilon _i}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = 1,2,\cdots ,L \end{array} \right\}$ | (2) |
可以将上述方程组变换为如下的矩阵形式.
| $AX = B$ | (3) |
其中
$X = {\left[{x,y,z} \right]^T}$
$A = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\sin {\beta _1}}&{ - \cos {\beta _1}}&0\\ {\sin {\varepsilon _1}}&{\sin {\varepsilon _1}}&{ - \left( {\sin {\beta _1} + \cos {\beta _1}} \right)\cos {\varepsilon _1}}\\ {\sin {\beta _2}}&{ - \cos {\beta _2}}&0\\ {\sin {\varepsilon _2}}&{\sin {\varepsilon _2}}&{ - \left( {\sin {\beta _2} + \cos {\beta _2}} \right)\cos {\varepsilon _2}}\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ {\sin {\beta _L}}&{ - \cos {\beta _L}}&0\\ {\sin {\varepsilon _L}}&{\sin {\varepsilon _L}}&{ - \left( {\sin {\beta _L} + \cos {\beta _L}} \right)\cos {\varepsilon _L}} \end{array}} \right]$
$B = \left[\begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{x_1}\sin {\beta _1} - {y_1}\cos {\beta _1}\\ {x_1}\sin {\varepsilon _1} + {y_1}\sin {\varepsilon _1} - {z_1}\left( {\sin {\beta _1} + \cos \sin {\beta _1}} \right)\cos {\varepsilon _1}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{x_2}\sin {\beta _2} - {y_2}\cos {\beta _2}\\ {x_2}\sin {\varepsilon _2} + {y_2}\sin {\varepsilon _2} - {z_2}\left( {\sin {\beta _2} + \cos \sin {\beta _2}} \right)\cos {\varepsilon _2}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{x_L}\sin {\beta _L} - {y_L}\cos {\beta _L}\\ {x_L}\sin {\varepsilon _L} + {y_L}\sin {\varepsilon _L} - {z_L}\left( {\sin {\beta _L} + \cos \sin {\beta _L}} \right)\cos {\varepsilon _L} \end{array} \right]$
矩阵A和向量B是角度的非线性函数，两者由测角误差所引起的噪声项不能简单近似为独立同分布的高斯噪声. 本节根据矩阵A和向量B的泰勒展开一阶项构造测角噪声与两者噪声项之间的线性映射，将其作为约束条件，基于RCTLS算法提出无源测角定位问题的约束优化目标函数，再给出等价的无约束优化目标函数. 在对无约束优化目标函数进行求解时，不采用Newton算法进行迭代求解，而是对目标函数求偏导，并忽略测量噪声的高阶项，给出可以快速计算得到定位结果的近似闭式解. 令
| $A* = A + \Delta A,B* = B + \Delta B$ | (4) |
其中A*和B*由角度真实值得到，A和B由角度测量值得到，ΔA和ΔB为测角误差引起的噪声项.
由于矩阵A和向量B中各噪声分量并不独立同分布，令任意观测站l(l=1,2,…,L)测量得到辐射源的方位角和俯仰角组成的向量为
Ml=[βl,εl]T，它的真实值为Ml*=[βl*,εl*]T，对应测角误差向量为Nl=[nβl,nεl]T. 系统所有观测站得到的角度测量值向量为M，真实值向量为M*，测量误差向量为N.
王永良等[7]指出大快拍情况下，多重信号分类、最大似然、加权子空间拟合和旋转不变子空间等角度估计相关算法的角度估计误差都满足零均值的高斯分布. 因此，可以使用零均值的高斯分布作为对实际角度误差分布的近似假设. 假定误差向量N的自相关矩阵为RN=E(NNT)，其中E(·)表示取数学期望. 将RN进行Cholesky分解有RN=PPT，其中P为对RN进行Cholesky分解后得到的下三角矩阵. 则白化后服从正态分布的白噪声向量E=P－1N，从而有N=PE. 将矩阵A和向量B的各元素中进行如下泰勒展开.
| $\begin{array}{l} a_{ij}^* = {a_{ij}} + g_{ij}^tN + O\left( N \right)\\ b_i^* = {b_i} + g_{i4}^TN + O\left( N \right) \end{array}$ | (5) |
其中i=1,2,…,2L,j=1,2,3. gij为矩阵A中第i行第j列对应的元素对向量N中各元素求偏导得到的梯度向量，gi4为向量B中第i个元素对向量N中各元素求偏导得到的梯度向量. 具体公式如下.
| ${g_{ij}} = {\nabla _N}{a_{ij}} = \left[\begin{array}{l} \frac{{\partial {a_{ij}}}}{{\partial {N_1}}}\\ \frac{{\partial {a_{ij}}}}{{\partial {N_2}}}\\ \;\;\; \vdots \\ \frac{{\partial {a_{ij}}}}{{\partial {N_L}}} \end{array} \right],{g_{i4}} = {\nabla _N}{b_{ij}} = \left[\begin{array}{l} \frac{{\partial {b_i}}}{{\partial {N_1}}}\\ \frac{{\partial {b_i}}}{{\partial {N_2}}}\\ \;\;\; \vdots \\ \frac{{\partial {b_i}}}{{\partial {N_L}}} \end{array} \right],$ | (6) |
其中：$\frac{{\partial {a_{ij}}}}{{\partial {N_l}}} = {\left[{\frac{{\partial {a_{ij}}}}{{\partial {n_{{\beta _l}}}}},\frac{{\partial {a_{ij}}}}{{\partial {n_{{\varepsilon _l}}}}}} \right]^T},\frac{{\partial {b_i}}}{{\partial {N_l}}} = {\left[{\frac{{\partial {b_i}}}{{\partial {n_{{\beta _l}}}}},\frac{{\partial {b_i}}}{{\partial {n_{{\varepsilon _l}}}}}} \right]^T},$.
忽略式(5)的高阶项，根据式(4)可得.
| $\begin{array}{l} \Delta A = \left[{{G_1}PE,{G_2}PE,{G_3}PE} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta B = {G_4}PE \end{array}$ | (7) |
结合矩阵A和向量B中第2l－1行和第2l行对应的元素中只包含有第l个观测站测量得到的角度这一特点，矩阵Gj可以表示为
| ${G_j} = diag\left[{{G_{1j}},{G_{2j}},\cdots {G_{Lj}}} \right]$ | (8) |
式中对于l=1,2,…,L有
$\begin{array}{l} {G_{l1}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} { - \cos {\beta _l}}&0\\ 0&{ - \cos {\varepsilon _l}} \end{array}} \right]\\ {G_{l2}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} { - \sin {\beta _l}}&0\\ 0&{ - \sin {\varepsilon _l}} \end{array}} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{G_{l3}} = \\ \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ {\cos {\varepsilon _l}\left( {\cos {\beta _l} - \sin {\beta _l}} \right)}&{ - \sin {\varepsilon _l}\left( {\cos {\beta _l} + \sin {\beta _l}} \right)} \end{array}} \right]\\ {G_{l4}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} { - \left( {{x_l}\cos {\beta _l} + {y_l}\sin {\beta _l}} \right)}&0\\ {{z_l}\cos {\varepsilon _l}\left( {\cos {\beta _l} - \sin {\beta _l}} \right)}&{ - \left( {{x_l} + {y_l}} \right)\cos {\varepsilon _l} - {z_l}\sin {\varepsilon _l}\left( {\cos \cos {\beta _l} + \sin {\beta _l}} \right)} \end{array}} \right] \end{array}$
由式(3)和式(7)可得.
| $AX - B + {H_X}PE = 0$ | (9) |
其中HX=xG1+yG2+zG3－G4. HXPE是AX－B噪声项的一阶泰勒近似. 可将系统误差项ΔAX－ΔB近似为测量噪声E的线性映射HXPE.
Wang[4]等采用CTLS算法，可将辐射源目标位置的求解等价于如下的约束问题.
| $\left. \begin{array}{l} \min \left\| E \right\|_2^2\\ s.t.\;\;\left( {AX - B + {H_X}PE} \right) = 0 \end{array} \right\}$ | (10) |
当角度测量信息较少且测量误差较高时，采用CTLS算法容易引起过拟合导致定位性能不佳. 在CTLS中引入正则项得到RCTLS算法，可改善定位性能. 因此，在式(10)的目标函数中加入正则项，可得RCTLS算法辐射源位置求解的等价约束问题.
| $\left. \begin{array}{l} \min \left( {\left\| E \right\|_2^2 + \lambda \left\| X \right\|_2^2} \right)\\ s.t.\;\;\left( {AX - B + {H_X}PE} \right) = 0 \end{array} \right\}$ | (11) |
其中λ是适当选取的正则化参数，该参数的选取方案在第2节通过分析给出. Wang[4]等证明式(10)的CTLS约束优化问题与如下的无约束优化问题等价.
| $\begin{array}{l} {X_{CTLS}} = \begin{array}{*{20}{c}} {\min }\\ X \end{array}{F_{CTLS}}\left( X \right) = \begin{array}{*{20}{c}} {\min }\\ X \end{array}\left\| E \right\|_2^2 = \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\min }\\ X \end{array}{\left( {AX - B} \right)^T}{\left( {{H_X}{R_N}H_X^T} \right)^{ - 1}}\left( {AX - B} \right) \end{array}$ | (12) |
同样可证，式(11)的RCTLS约束优化问题与如下的无约束优化问题等价.
| $\begin{array}{l} {X_{RCTLS}} = \begin{array}{*{20}{c}} {\min }\\ X \end{array}{F_{RCTLS}}\left( X \right) = \begin{array}{*{20}{c}} {\min }\\ X \end{array}\left( {\left\| E \right\|_2^2 + \lambda \left\| X \right\|_2^2} \right) = \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\min }\\ X \end{array}{\left( {AX - B} \right)^T}{\left( {{H_X}{R_N}H_X^T} \right)^{ - 1}}\left( {AX - B} \right) + \lambda {X^T}\left. X \right\} \end{array}$ | (13) |
CTLS和RCTLS算法的无约束优化目标函数是关于X的实非线性函数，无法直接求解. 相关的论文都是利用Newton法迭代求解，迭代公式为
| ${X_{n + 1}} = {X_n} - {p_n}h_n^{ - 1}{\nabla _n}$ | (14) |
其中：pn=pn(p<1)为步长因子，hn为Hess矩阵，▽n为梯度向量. Newton法计算复杂度高，求解时间长. 下面给出可快速计算定位结果的近似闭式解.
对RCTLS无约束优化目标函数式(13)求导. 忽略高斯白噪声E的高阶项可以得到如下近似方程.
| ${A^T}{\left( {{H_X}{R_N}H_X^T} \right)^{ - 1}}\left( {AX - B} \right) + \lambda X \approx 0$ | (15) |
解近似方程可得RCTLS的近似闭式解.
| ${X_{RCTLS}} \approx {\left[{{A^T}{{\left( {{H_X}{R_N}H_X^T} \right)}^{ - 1}}A + \lambda I} \right]^{ - 1}}{A^T}{\left( {{H_X}{R_N}H_X^T} \right)^{ - 1}}B$ | (16) |
同样可得CTLS的近似闭式解.
| ${X_{CTLS}} \approx {\left[{{A^T}{{\left( {{H_X}{R_N}H_X^T} \right)}^{ - 1}}A} \right]^{ - 1}}{A^T}{\left( {{H_X}{R_N}H_X^T} \right)^{ - 1}}B$ | (17) |
由讨论可知，HXPE是AX－B误差项ΔAX－ΔB的一阶近似，则HXRNHXT是ΔAX－ΔB协方差的一阶近似表达式. 当矩阵A不受噪声影响，向量B噪声为高斯白噪声时，HX中G1,G2,G3为零矩阵，G4为单位阵，此时(HXRNHXT)－1=I，CTLS和RCTLS法近似闭式解退化为最小二乘法(LS，least squares)和吉洪诺夫正则化法(Tikhonov regularization)闭式解.
2 正则化参数的确定下面分析RCTLS的偏差和均方差，根据分析确定正则化参数λ. 为了简便，在分析中令S=HXPE，T=HXRNHXT.
1) 偏差分析
令XRCTLS=X*+ΔXRCTLS，其中X*是真实值，ΔXRCTLS为RCTLS算法解与真实值之间的误差项. 将其代入式(15)，并结合式(9)可得
| $\Delta {X_{RCTLS}} = - {\left[{{A^T}{T^{ - 1}}A + \lambda I} \right]^{ - 1}}\left[{{A^T}{T^{ - 1}}A + \lambda I} \right]$ | (18) |
RCTLS解的偏差为
| ${\beta _{RCTLS}} = E\left( {\Delta {X_{RCTLS}}} \right) = - \lambda {\left[{{A^T}{T^{ - 1}}A + \lambda I} \right]^{ - 1}}X*$ | (19) |
由文献[5]的证明可知偏差的l2范数满足
| ${\left\| {{\beta _{RCTLS}}} \right\|_2} \le \frac{{\left| \lambda \right|{{\left\| {{{\left[{{A^T}{T^{ - 1}}A} \right]}^{ - 1}}} \right\|}_2}}}{{1 - \left| \lambda \right|{{\left\| {{{\left[{{A^T}{T^{ - 1}}A} \right]}^{ - 1}}} \right\|}_2}}}{\left\| {X*} \right\|_2}$ | (20) |
由式(20)可知，在测量误差相同的情况下，RCTLS算法解与真实值之间的偏差βRCTLS随着正则化参数λ模值的增大而增大. 因此从使得偏差尽可能小的角度，正则化参数λ的模值应当尽可能小.
2) 均方差分析
由RCTLS算法解均方差式(21)可知，λ取值影响RCTLS解偏差的均方差(MSE，mean squared error). 因为[ATT－1A]－1和[ATT－1A+λI]－1s是对称正定的，故式(22)成立.
| $\begin{array}{l} \sigma _{RCTLS}^2 = E\left( {\Delta X_{RCTLS}^T\Delta {X_{RCTLS}}} \right) = E{\left\{ {\left[{{A^T}{T^{ - 1}}S} \right]} \right.^T}\\ \left\{ {\left[{{A^T}{T^{ - 1}}A + \lambda I} \right]} \right.{\left. {{{\left[{{A^T}{T^{ - 1}}A + \lambda I} \right]}^T}} \right\}^{ - 1}}{A^T}{T^{ - 1}}\left. S \right\} + \\ {\lambda ^2}{X^{*T}}{\left\{ {\left[{{A^T}{T^{ - 1}}A + \lambda I} \right]{{\left[{{A^T}{T^{ - 1}}A + \lambda I} \right]}^T}} \right\}^{ - 1}}X* \end{array}$ | (21) |
| ${\left\{ {\left[{{A^T}{T^{ - 1}}A + \lambda I} \right]{{\left[{{A^T}{T^{ - 1}}A + \lambda I} \right]}^T}} \right\}^{ - 1}} = {V^T}DV$ | (22) |
其中V是3×3的标准正交矩阵.
| $D = diag\left[{{{\left( {{\mu _1} + \lambda } \right)}^{ - 2}},{{\left( {{\mu _2} + \lambda } \right)}^{ - 2}},{{\left( {{\mu _3} + \lambda } \right)}^{ - 2}}} \right]$ | (23) |
μi是ATT－1A的第i个特征值.
假定C1=VATT－1S=[c11,c12,c13]T，C2=VX*=[c21,c22,c23]T. 则
| $\begin{array}{l} \sigma _{RCTLS}^2 = E\left\{ {C_1^TD\left. {{C_1}} \right\}} \right. + {\lambda ^T}\lambda C_2^TD{C_2} = \\ \sum\limits_{i = 1}^3 {\frac{{E\left\{ {c_{1i}^2} \right\}}}{{{{\left( {{\mu _i} + \lambda } \right)}^2}}}} + \sum\limits_{i = 1}^3 {\frac{{E\left\{ {c_{2i}^2} \right\}}}{{{{\left( {{\mu _i} + \lambda } \right)}^2}}}} \end{array}$ | (24) |
式(24)对λ求偏导，可得使σRCTLS2尽可能小的λ.
| $\frac{{\partial {\mu _{RCTLS}}}}{{\partial \lambda }} = 2\sum\limits_{i = 1}^3 {\frac{{\lambda {\mu _i}c_{2i}^2 - E\left\{ {c_{1i}^2} \right\}}}{{{{\left( {{\mu _i} + \lambda } \right)}^3}}}} = 0$ | (25) |
式(25)不易求解. 但当$0 < \lambda < \min \left\{ {\frac{{E\left\{ {c_{1i}^2} \right\}}}{{{\mu _i}c_{2i}^2}},\forall i} \right\}$时$\frac{{\sigma _{RCTLS}^2}}{{\partial \lambda }} < 0$，当$\max \left\{ {\frac{{E\left\{ {c_{1i}^2} \right\}}}{{{\mu _i}c_{2i}^2}},\forall i} \right\} < \lambda < \infty $时$\frac{{\sigma _{RCTLS}^2}}{{\partial \lambda }}{\rm{ > }}0$. 因此，可以确定是σRCTLS2最小值时，λ在如下范围内.
| $\left[{\min \left\{ {\frac{{E\left\{ {c_{1i}^2} \right\}}}{{{\mu _i}c_{2i}^2}}} \right\},\left\{ {\frac{{E\left\{ {c_{1i}^2} \right\}}}{{{\mu _i}c_{2i}^2}}} \right\}} \right],\forall i$ | (26) |
结合有偏性分析得出的结论，在RCTLS中正则化参数λ的选取需要在算法解的偏差和均方差之间进行取舍. 给出的正则化参数λ选取方案如下.
| $\hat \lambda = diag\left( {\frac{{E\left\{ {c_{11}^2} \right\}}}{{{\mu _1}c_{21}^2}},\frac{{E\left\{ {c_{12}^2} \right\}}}{{{\mu _2}c_{22}^2}},\frac{{E\left\{ {c_{13}^2} \right\}}}{{{\mu _3}c_{23}^2}}} \right)$ | (27) |
综上所述，根据RCTLS的定位算法步骤如下：
步骤1 计算出LS解XLS；
步骤2 将LS解XLS代入式(22)并令λ=0，进行奇异值分解以计算出C1和C2；
步骤3 根据式(27)计算出正则化参数；
步骤4 根据式(16)计算出近似闭式解XRCTLS.
3 仿真结果为了验证RCTLS测角定位算法性能，仿真比较RCTLS和其他算法在不同数量测角信息下的定位均方根误差(RMSE，root mean squared error)曲线随着测角误差变化的情况.
为了体现不同数量的测角信息，分别仿真2个和3个观测站的场景. 每个观测站得到辐射源的方位角和俯仰角测量值，观测站数目越多，得到的测角信息越多. 各场景对应的观测站数目和位置如下：两个观测站坐标分别为(20,0,0.1) km和(-20,0,0.2) km；3个观测站坐标分别为(0,20,0.1) km、(-17.32,-10,0.2) km和(17.32,-10,0.3) km. 辐射源真实位置为(10,10,5) km. 根据观测站和辐射源的位置，利用式(1)产生不同观测站得到的辐射源方位角和俯仰角的真实值.
为了比较不同测角误差情况下的定位性能，在仿真中各观测站的角度测量值误差分别采用与前面理论分析相同的假定，即采用零均值的高斯分布近似角度测量值误差分布. 为了便于体现测角误差对定位性能的影响，各观测站的方位和俯仰测量值的误差相互独立，且标准差相同，即σβ=σε=σ. 所有角度测量值的误差协方差矩阵为Q=σ2I2L，其中，L为观测站数目. 在每个场景下的角度测量误差标准差σ依次取0、0.02、0.04、0.06、0.08和0.1 rad. 在不同观测站数目L的场景下，分别将方位角和俯仰角的真实值加上不同标准差的高斯白噪声产生对应的角度测量值以进行Monte Carlo仿真实验，给出不同定位算法RMSE和克拉美罗下界(CRLB，Cramér-Rao low bound)随着角度测量误差标准差σ变化的曲线.
定位结果的RMSE的定义为
| $\begin{array}{l} {\sigma _{RMSE}} = \\ \sqrt {\frac{1}{K}\sum\limits_{k = 1}^K {\left[{{{\left( {{x_k} - x*} \right)}^2} + {{\left( {{y_k} - y*} \right)}^2} + {{\left( {{z_k} - z*} \right)}^2}} \right]} } \end{array}$ | (28) |
其中：K=1 000为Monte Carlo仿真次数，(xk,yk,zk)为第k次的定位结果，(x*,y*,z*)为目标真实位置.
仿真中RCTLS算法按第2节最后给出的算法步骤实现. 与RCTLS进行仿真比较的算法分别有LS、Tikonov和CTLS. 不同数目观测站下RCTLS算法与其他算法的定位均方根误差以及CRLB随着角度测量误差标准差σ的变化曲线分别如图 1(a)和(b)所示.
|
图1 不同数目观测站 RMSE 随着测角误差变化的曲线 |
从图 1中可以看出，RCTLS算法与其他算法(特别是CTLS算法)相比在观测站数目较少和测角误差较大时定位性能有较明显的提高.
4 结束语提出了基于RCTLS算法的无源测角定位，并给出了近似闭式解，根据对RCTLS算法的偏差和均方差分析给出了正则化参数的确定方案. 该算法与基于CTLS的定位算法相比，观测站数目较少和测角误差标准差较大时具有较高的定位精度. 但该算法是有偏估计，偏差随着正则化参数的增大而增大，正则化参数的确定需要在偏差和均方差之间进行取舍，可以考虑进行偏差消减. 另外，该算法前提条件是需要确切知道角度测量信息的误差协方差矩阵，而在实际中往往不可知，因此需要研究克服这一限制条件，增大算法的工程可实现性.
| [1] | 赵国庆. 雷达对抗原理 [M]. 2版. 西安: 西安电子科技大学出版社, 2012: 9-11, 79-84.[引用本文:1] |
| [2] | Richard A P. Electronic warfare target location methods [M]. London: Artech House, 2005: 18-26.[引用本文:1] |
| [3] | Dogancay K. Bearings-only target localization using total least squares [J]. Signal Process, 2005, 85(9): 1695-1710.[引用本文:1] |
| [4] | Wang Ding, Zhang Li, Wu Ying. Constrained total least squares algorithm for passive location based on bearing-only measurements [J]. Sci China Ser F-Inf Sci, 2007, 50(4): 576-586.[引用本文:3] |
| [5] | Fan X. The constrained total least squares with regularization and its use in ill-conditional signal restoration[D]. Starkville: Mississippi State University, 1992.[引用本文:2] |
| [6] | Li Wanchun, Wei Ping, Xia Xianci. A robust TDOA-based location method and its performance analysis[J]. Sci China Ser F-Inf Sci, 2009, 52(5): 876-882.[引用本文:1] |
| [7] | 王永良, 陈辉, 彭应宁, 等. 空间谱估计理论与算法[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004: 88-89, 149-152, 154-156, 204-206.[引用本文:1] |
| [8] | 谭志, 张卉. 无线传感器网络RSSI定位算法的研究与改进[J]. 北京邮电大学学报, 2013, 36(3): 88-91, 107. Tan Zhi, Zhang hui. A modified mobile location algorithm based on RSSI[J]. Journal of Beijing University of Posts and Telecommunications, 2013, 36(3): 88-91, 107. |