2. 西安邮电大学 通信与信息工程学院, 西安 710061
为了解决传统最小均方(LMS)自适应波束形成算法在低信噪比环境下收敛速度较慢的问题，提出了一种快速收敛的小波域自适应波束形成算法.该算法利用小波变换软阈值法消除信号中的加性高斯白噪声，并在此基础上将牛顿法应用于LMS算法中，提高了小波域LMS算法的收敛速度.仿真结果表明，相比传统LMS算法，在低信噪比环境下，该算法收敛速度加快，稳态误差减小，波束形成精确度有较大的提高；同时相对于已有的小波域LMS算法，该算法的收敛速度和精度也有所提高.
2. School of Telecommunications and Information Engineering, Xi'an University of Posts ann Telecommunications, Xi'an 710061, China
The conventional least mean square (LMS) based adaptive beamforming converges very slowly under low signal-to-noise ratio (SNR), thus an adaptive beamforming algorithm in wavelet domain with a fast convergence rate was put forward. The white Gaussian noise could be erased by means of wavelet transform soft-threshold method. Besides, Newton's method was further applied in LMS algorithm for beamforming in wavelet domain. Simulation shows that the proposed algorithm indeed improve the convergence accuracy and the convergence rate compared with either the conventional LMS algorithm or the existed LMS algorithm in wavelet domain. It also substantially improves the accuracy of beamforming compared with the conventional LMS algorithm.
自适应波束形成(ABF, adaptive beamforming)技术是智能天线系统的一种关键技术，它可以自适应地提取特定方向上的有用信号，抑制其他方向上的干扰信号和噪声[1]. LMS是一种经典的ABF算法.其优点是结构简单、复杂度低、易于实现；缺点是收敛速度较慢，收敛性能易受噪声影响[2].牛顿法是一种快速求解多项式根的方法，具有较快的收敛速度和较高的收敛精度[3].因此，本研究把牛顿法应用于LMS算法中，提出牛顿LMS ABF算法.该算法能加快传统的LMS算法的收敛速度.
但当信噪比较低时，牛顿LMS算法的收敛速度和精度都有所降低.因此，人们把小波去噪理论应用到了ABF领域[4].本研究在此基础上，提出小波域牛顿LMS波束形成算法.该算法利用牛顿LMS算法在小波域进行波束形成，解决了低信噪比下LMS算法收敛速度变慢的问题.
1 传统LMS波束形成算法分析在波束形成中，天线阵列k时刻的输出可表示为
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(1) |
其中：w=[w1, w2, …, wM]H为M个阵元天线阵列的权向量，x(k)为天线阵元的接收信号.
传统LMS算法的核心思想是利用梯度下降法来寻求最佳权向量.则第k+1时刻的权向量可表示为
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(2) |
其中：μ(0＜μ＜1) 为步长因子，控制着步长的收敛速度和稳定性；e(k)为误差函数.与其他ABF算法相比，LMS算法计算量小，结构简单，稳定性高.但该算法存在2个缺陷：① 收敛速度受步长μ限制，每一步迭代都取决于步长因子μ的选取；② 收敛性能受噪声影响比较大，在较低信噪比下，LMS算法的收敛速度和精度都有所降低.针对以上缺点，笔者提出了一些改进方案.
2 改进的波束形成算法2.1 牛顿LMS算法把牛顿法应用于LMS算法中，提出了一种改进的LMS ABF算法，该算法称为牛顿LMS算法，其算法示意图如图 1所示.
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图 1 牛顿LMS算法 |
牛顿LMS算法的代价函数为
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(3) |
本研究参考的是牛顿二阶导数法，因此对式(3) 进行泰勒分解并取其前3项可得
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(4) |
如图 1所示，这是一个凸二次函数问题，当
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(5) |
其中Δw称为牛顿步长，控制梯度下降的方向.则对于f函数，可继续在w+Δw处对其进行泰勒分解，如此重复下去，每次计算出分解后函数
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(6) |
其中
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(7) |
由式(4) 可知，f函数为二次函数，则最终得到的权向量w将无限接近于f函数的最小值点w*，因此w是w*的一个准确估计.
由于Δw为一个梯度向量，其每次迭代的步长为1，对于固定步长的牛顿LMS算法其收敛速度还不能达到最佳，可对式(6) 做以下更改.
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(8) |
其中步长μ(k)可由回溯线搜索算法来确定.它可以快速地搜索出第k次迭代的一个合适的步长μ(k).算法步骤可简单描述为以下3点.
1) 设置初始步长μk=1，μk为牛顿法第k次迭代的步长.
2) 判断下面不等式是否满足.
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(9) |
3) 如果式(9) 满足，则μk=βμk，继续判断条件2)，如此循环，直到不满足条件2)，最终得到的μk就是牛顿法第k次迭代的步长.
0＜α＜0.5, 0＜β＜1，α一般取0.01~0.3，表示切线f(μk)的线性外推在1%~30%；β一般在0.1~0.8，β越接近于0.8表示搜索越细致.
牛顿LMS算法的最终权值向量更新公式为
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(10) |
牛顿LMS算法虽加快了LMS算法的收敛速度，但其未能从本质上克服噪声对算法的影响.因此，提出了小波域牛顿LMS波束形成算法.该算法的结构框架如图 2所示.
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图 2 小波域波束形成算法结构 |
第1步 对信号进行小波变换，小波变换后的信号可表示为
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(11) |
其中：z(k)为小波变换后的信号，W2j为小波变换矩阵，j为小波变换的尺度.
第2步 采用小波域值去噪法，主要思路是对小波分解后的低频部分全部保留，高频部分设定一个域值，幅值低于该域值的小波系数置为零，高于该域值的小波系数完全保留，或者做相应的收缩处理.域值法一般可分为硬域值和软域值，其中硬域值是由Donoho和Johnstone提出的[5]，其对所有的尺度有一个统一的域值，该域值可定义为
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其中：N为采样数据的长度，σ为噪声标准差的估计.标准差σ的选取可以利用鲁棒中值估计法来估计，其表达式为
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其中：Median代表中值，cj为小波变换第j尺度下的小波系数.
软域值法不仅会把所有低于域值λ的小波系数置为零，而且会通过域值λ把高于λ的小波系数做相应的收缩处理.因此选取软域值法去噪，其算法可表示为
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(14) |
其中：d为小波变换系数，dλ为软域值处理后的系数.
第3步 根据软域值法处理后的小波系数，利用小波逆变换重构信号.
第4步 利用牛顿LMS算法在小波域进行波束形成.
3 算法性能分析3.1 收敛性分析由文献[6]可知，收敛速度取决于信号的自相关矩阵Rx的最大、最小特征值之比，该值越小收敛就越快，而小波变换可以减小该值，证明如下.
设输入信号为实信号x(k)，Rx为输入自相关矩阵，Rz为小波变换后的自相关矩阵，并均为实对称矩阵，则存在正交阵Qx和Qz满足
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(15) |
其中Λx和Λz分别为Rx和Rz的特征值对角阵，且由矩阵知识可知，特征值均为正.
由式(11) 可知
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(16) |
又由式(15) 可知
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(17) |
则可推出
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(18) |
其中C=Qz-1W2jQx.把式(18) 展开为多项式得
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(19) |
其中：λmz为Rz的第m个特征值，λmx为Rx的第m个特征值，cmi为矩阵C中第(m, i)个元素.又因为各个特征值均为正，则可以得出
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(20) |
由式(20) 可得
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(21) |
因此
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(22) |
由上述分析可知，牛顿LMS算法和小波变换都可通过不同的方式提高收敛速度，因此2种方法的组合可更好地提高LMS算法的收敛性能.
3.2 复杂度分析所提算法复杂度主要在于小波变换和牛顿LMS算法.经过K次迭代的LMS算法的复杂度为O(2MK)，一次小波变换的复杂度约为O(4JM)，相当LMS算法的几次迭代.由文献[3]可知，牛顿LMS算法虽然每次线性搜索的循环次数不定，但是选择合适的α、β便能减少循环次数，而且算法收敛速度较快，较少的迭代次数即可达到收敛，从而复杂度增加的也相对较少.因此，小波牛顿LMS算法虽然增加了少量的计算量，但其收敛性能却提高很多，整体性能优于传统的LMS算法.
4 仿真与分析仿真中采用16阵元的均匀线阵，阵元间距为λ/2，信号加入的噪声采用高斯白噪声，小波分解尺度为4，小波基采用Daubechies 4.
图 3给出了信噪比分别为5 dB和30 dB的情况下，牛顿法(NT-ABF, Newton ABF)和LMS算法(LMS-ABF)的学习曲线.
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图 3 不同信噪比下2种算法的收敛性能比较 |
由图 3可以看出，在高信噪比下，NT-ABF比LMS-ABF的收敛速度快；在低信噪比下，虽然NT-ABF的收敛性能依然比LMS-ABF好，但由于噪声过大，2种算法的整体收敛精度大幅度降低，可以看出噪声过大会降低传统ABF算法的收敛性能.
图 4给出了信噪比为5 dB的情况下，LMS-ABF、小波牛顿法(WDNT-ABF, wavelet domain Newton ABF)和小波LMS算法(WDLMS-ABF, wavelet domain least mean square ABF)的学习曲线. 图 5给出了信噪比为5 dB的情况下，WDNT-ABF和LMS-ABF的波束形成方向图，其中期望信号方向为10°，干扰信号方向为-20°和25°.
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图 4 3种算法的收敛性能比较 |
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图 5 2种算法的波束形成性能比较 |
由图 4可以看出，WDNT-ABF比LMS-ABF收敛速度快得多，而且收敛精度高、振荡小，而LMS-ABF由于受过大噪声影响，导致收敛性能较差.相对于已有的WDLMS-ABF，WDNT-ABF的收敛速度和收敛精度也有所提高.由图 5可以看出，WDNT-ABF有较好的波束形成能力，旁瓣较低且抑制干扰能力较强.
5 结束语本研究首先提出了牛顿LMS算法，该算法提高了LMS算法的收敛速度，但其在低信噪比下，性能有所下降.为了克服低信噪比下牛顿LMS算法和LMS算法收敛性能较差的问题，提出了小波域牛顿LMS算法，该算法解决了低信噪比下LMS算法收敛速度变慢的问题.分析表明小波牛顿LMS算法不仅可以提高收敛性能，而且可以通过消除噪声降低系统最终输出的信噪比，提高通信的可靠性.仿真结果表明，较高信噪比下，NT-ABF算法比LMS算法收敛速度快，但在低信噪比下，2种算法的收敛性能都比较差；而提出的WDNT-ABF算法受信噪比影响较小，其收敛速度和精度比传统的LMS算法提高很多，其性能相比已有的WDLMS-ABF算法也有较大的改善.
| [1] | Zhang Lei, Liu Wei. A class of constrained adaptive beamforming algorithms based on uniform linear arrays[J].IEEE Trans Signal Process, 2010, 58(7): 3916–3922. doi: 10.1109/TSP.2010.2046078 |
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