与常规跳频序列集的设计不同, 无碰撞区跳频序列集要求汉明相关函数在相关区内等于零^[1-2].其意义在于, 即使在传送的跳频序列间存在相对时延, 但只要相对时延不超过一定的范围(碰撞区), 那么不同序列之间的碰撞数仍然为零, 从而可以消除相互干扰.使用无碰撞区跳频序列, 可以设计准同步跳时/频(time-hopping/frequency-hopping)码分多址(CDMA, code division multiple access)系统, 它在超宽带无线电系统多用户雷达和声纳系统等领域具有潜在的应用价值^[3].

近年来, 国内外学者致力于具有良好性能的跳频序列的设计研究, 构造出了大量参数达到或接近理论界的、最优的低碰撞跳频序列, 但其中关于无碰撞区跳频序列集的构造研究成果还比较有限^{[2, 4-7]}.

基于矩阵置换, 文献[8]给出了一种最优无碰撞区跳频序列集的构造.在此基础上, 本研究将进一步给出一种最大汉明相关值可灵活设定的无碰撞区跳频序列集的一般构造方法.基于此方法可得到最大汉明相关值较低而无碰撞区长度较长的跳频序列集.与已有的构造方法相比, 笔者提出的方法的优点是最大汉明相关值可预先设定、单条序列或序列集为最优, 而且参数可灵活选取、构造方法多样.其次, 作为一般构造法的特例, 介绍移位构造法, 证明了它具有比一般构造法更特殊的性质, 并给出实例.

令「x 表示不小于x的最小整数, (i)_M表示i模M的非负剩余.

定义1  设F={f₀, f₁, …, f_q-1}表示q个可用频点的字符集, X=(X_t), Y=(Y_t)表示F上的2个长度为N的序列, 0≤t < N.则序列X与Y之间的汉明互相关函数和序列X的汉明自相关函数分别定义如下:

其中

定义2  设为F上所有长度为N的跳频序列的集合, X, Y∈ , 则关于X的最大汉明自相关函数和关于X, Y的最大汉明互相关函数分别定义如下:

定义3  设S⊆ , 则关于S的最大汉明自相关函数、最大汉明互相关函数和最大汉明相关函数分别定义如下:

关于跳频序列及跳频序列集合，分别有如下的理论.

引理1^[9]  设F为一字符集, 且|F|=q，对字符集F上任意长度为N的序列X, 有

其中ε=(N)_q.若等号成立，称序列为最优跳频序列.将上式的右边记为λ₁，若H(X)=λ₁+1，则称序列为几乎最优跳频序列.

引理2^[10]  设S为F上含M条长度为N的序列的集合，|F|=q，则

若等号成立，称序列集为最优跳频序列集.将上式的右边记为λ₂，若H(S)=λ₂+1，则称序列集为几乎最优跳频序列集.

定义4  设S为F上的M条长度为N的跳频序列组成的集合, 则序列集S的自相关无碰撞区Z_ANH、互相关无碰撞区Z_CNH和无碰撞区Z_NH分别定义如下:

当Z_NH > 0，则称S为无碰撞区跳频序列集，记为(q, N, M, Z_NH; λ)，其中q为频点个数，N为序列长度，M为序列条数，Z_NH为无碰撞区长度，λ为S的最大汉明相关值.

对无碰撞区跳频序列集(q, N, M, Z_NH; λ)，其参数也受理论界的限制，满足^[2]

若等号成立，则序列集称为最优无碰撞区跳频序列集.若

则称为几乎最优无碰撞区跳频序列集.

定义5^[7]  设X=(X_t)是一个长度为N的跳频序列，0≤t≤N-1，若对任意的0≤s≠t≤N-1，有X_s≠X_t，则称X为无重复跳频序列.

首先给出最大汉明相关值为n的无碰撞区跳频序列集的一般构造法，并分析其最优性质；其次作为此构造法的一个特例，介绍移位构造法.

构造1  设F={f₀, f₁, …, f_q-1}为q个可用频点的字符集, q=M(N+N′), N≤M, M > 1, N≥1, N′≥1.构造包含如下步骤：

1) 将F中的频点排成M×N矩阵和M×N′矩阵，分别记为P₀、P₁.记P₀的第i列为X_i，0≤i≤N-1；

2) 在P₀中任取n列，1≤n≤N，记为X_l0, X_l1, …, X_ln-1，0≤l₀ < l₁ < … < l_n-1≤N-1；剩余的N-n列记为X_l′0, X_l′1, …, X_l′N-n-1, 0≤l′₀ < l′₁ < … < l′_N-n-1≤N-1；

3) 对0≤i≤n-1, 令σ为{0, 1, …, M-1}上的置换, 定义X_li上的置换π_li为

对0≤i≤N-n-1，设σ_i为{0, 1, …, M-1}上的置换, 定义X_l′i上的置换π_l′i为

且σ₀(j), σ₁(j), …, σ_N-n-1(j)两两不相等, σ(j)≠σ_i(j), 0≤i≤N-n-1；

4) 现分别对P₀中的X_l0, X_l1, …, X_ln-1进行置换π_li，0≤i≤n-1，分别对X_l′0, X_l′1, …, X_l′N-n-1进行置换π_l′i，0≤i≤N-n-1，置换后得到的新矩阵记为P₂；

5) 最后，以矩阵P₀P₁P₂的每一个行向量为一条序列，构造序列集S，表示如下

定理1  上述构造的序列集S为(M(N+N′), 2N+N′, M, N-1;n)序列集.

证明  由于P₀→P₂为仅进行列置换的矩阵置换，故当且仅当移位τ=N和τ=N+N′时序列集S中才会发生碰撞，所以S的无碰撞区大小为N-1，并且当τ=N时碰撞发生在P₂中，当τ=N+N′时，碰撞发生在P₀中.下面仅探讨τ=N+N′时的情况，当τ=N时的情况可类似讨论.

当τ=N+N′时，对0≤a₁, a₂≤M-1，

类似可得

因此，S为(M(N+N′), 2N+N′, M, N-1;n)序列集.证毕.

注意，上述构造中的n可根据要求自由选取，即由构造1可构造出最大汉明相关值可灵活设定的无碰撞区跳频序列集.由于在应用中希望最大汉明相关值较小，下面讨论几种最佳情形.

性质1  当N=M, N′=1时，构造1给出的序列集为几乎最优无碰撞区跳频序列集.

证明

由定义可知，构造1给出的序列集为几乎最优无碰撞区跳频序列集.

性质2  若H(S)=1，即n=1, 则构造1得到的序列集S为最优跳频序列集；若H(S)=2，则S为几乎最优跳频序列集.

证明  由引理2，有

因为N≥1, N′≥1, M≥2，所以

又因为，有

若H(S)=1，则

即S为最优跳频序列集；

若H(S)=2，则

即S为几乎最优跳频序列集.证毕.

注：当H(S)=1时，显然有H(S; L)=1，此时还可以验证S是严格最优跳频序列集.关于严格最优的定义及性质，可以参考文献[11].

对S中单条序列，当π_li, 0≤i≤n-1为非单位置换的情况比较无规律，难以定性研究，下面仅考虑π_li为单位置换的情形.这里约定N, N′不同时为1.由于π_li为单位置换，故S中每条序列的频点个数为q′=2N+N′-n，则S中每条序列Sⁱ的最大汉明自相关值H(Sⁱ)=n，0≤i≤M-1，所以Sⁱ要最优必须满足

其中ε=(2N+N′)_q′.

因为2N+N′=2N+N′-n+n=q′+n，故

所以

即，得

所以当n=1或2时，Sⁱ为最优跳频序列.于是，有以下性质.

性质3  在构造1中，设π_li，0≤i≤n-1，为单位置换，且N, N′不同时为1，当n=1或2时，S中每条序列都是最优的.

注：特别地，当n=1时，可以验证S中每条序列还是严格最优的.

作为上述一般构造法的一个特例，下面介绍移位构造法，并分析由此得到的序列集的一些最优性质，最后给出一个实例.

构造2  对构造1中的P₀的X_l′0, X_l′1, …, X_l′N-n-1进行循环移位：L^τ_l′i(X_l′i), 0≤i≤N-n-1.对X_l0, X_l1, …, X_ln-1进行循环移位：L^τ_li(X_li)，0≤i≤n-1.这里，0≤τ_l′0, τ_l′1, …, τ_l′N-n-1≤M-1两两不同，0≤τ_l0=τ_l1=…=τ_ln-1≤M-1，且τ_li≠τ_l′j，0≤j≤N-n-1，得到新矩阵记为P′₂，以矩阵P₀P₁P′₂的每个行向量为序列，构造序列集R，表示如下

定理2  构造2得到序列集R的参数为(M(N+N′), 2N+N′, M, N-1;n).

事实上，由于移位构造法是一般构造法的一个具体特例，因此得到的序列集R当然是(M(N+N′), 2N+N′, M, N-1;n)序列集.但注意到，移位构造法除了满足上述性质1~3外，本身还具有如下一些特有的性质.

性质4  在构造2中，当τ_li≠0时，若存在j^*, 0≤j^*≤N-n-1，使得τ_l′j^*=0，则R中每条序列都是最优的，且为1碰撞序列，即H(Rⁱ)=1；若对任意的j, 0≤j≤N-n-1，有τ_l′j≠0，则R中每条序列也是最优的，且为无碰撞(重复)序列，即H(Rⁱ)=0.

证明  相关性质的证明类似于定理1，这里从略.关于当条序列的最优性，注意到，若存在j^*，0≤j^*≤N-n-1，使得τ_l′j^*=0，则R中每条序列的频点个数q″=2N+N′-1.若对任意的j，0≤j≤N-n-1，有τ_l′j≠0，则R中每条序列的频点个数q″=2N+N′.由引理1易证.

例  令F={f₀, f₁, …, f₂₄}，M=5，N=4，N′=1，将F按顺序排成一个5×5矩阵，记为Q′₀，分别记此矩阵中的第1, 2, 3, 4列为X₁, X₂, X₃, X₄，对X₁, X₂, X₃, X₄分别进行如下循环移位：L¹(X₁), L²(X₂), L³(X₃), L⁴(X₄)，得到一个新的5×4矩阵，记为Q′₁.以矩阵Q′₀Q′₁的每个行向量为序列，构造序列集R如下

则易验证序列集R为每条序列都为无碰撞(重复)序列的无碰撞区大小为3的几乎最优无碰撞区跳频序列集，且每条序列都是最优的.

本研究给出一种无碰撞区跳频序列集的一般构造方法，其优点是最大汉明相关值可预先设定，使得单条序列或序列集为最优，其中的一些性质是已有的构造法不具有的(见表 1).并且基于此构造法得到的序列集参数可灵活选取、构造方法多样.由此得到的序列集汉明相关值较低而无碰撞区长度较长，是一类相关性能较好的序列集.

表 1

表 1

表 1 已有的无碰撞区跳频序列集与本研究结果比较

表 1 已有的无碰撞区跳频序列集与本研究结果比较