频谱感知^[1]作为一种频谱共享技术，可以缓解日益严峻的频谱资源紧张问题，而能量检测技术是实现频谱感知的主要方法.

通过研究发现，对于宽频带信号系统来说，当信噪比及信号占用率一定时，能量检测算法是否达到性能指标要求，主要取决于观测时长的长短以及判决门限的选取.目前针对有关宽频带信号能量检测中门限设定问题，提出了多种门限设定准则，工程中比较常用的有恒虚警概率准则(CFAR，constant false alarm rate)、恒检测概率准则(CDR，constant detection rate)以及最小错判概率准则^[2-3].经过分析，上述准则都无法达到指标要求的检测性能.

笔者首先从宽频带信号能量检测模型入手，通过数学推导得出最小代价门限的闭式解，并在检测性能约束的条件下分析了性能指标对能量检测最优判决门限的限制；依据上述分析结合时域观测时长的长短给出宽频带信号能量检测的最优判决门限选取准则；通过仿真结果验证了结论的正确性.

1 宽频带信号能量检测模型

宽频带信号能量检测的流程如图 1所示.

图 1中每一路采样信号的判决都是一个二元假设检验问题

(1)

其中：k=1, 2, …, N，为一次采样的点数，X(k)为信号，W(k)为噪声，Y(k)为频域信号的第k个频点样值，有

(2)

图 1中每一路采样信号的判决统计量为

(3)

假设高斯白噪声均值为零，方差为σ_w²，信号的平均功率为σ_s²，若观测时间N_t足够大，根据中心极限定理，每一路采样信号的判决统计量T近似服从高斯分布(Gaussian distribution)

(4)

根据以上分布，虚警概率P_f和检测概率P_d可用高斯Q(·)函数表示为

(5)

其中V_th为判决门限.

2 性能约束下最优判决门限的选取 2.1 最小代价门限

假设噪声误判为信号的代价损失系数为C_f，信号误判为噪声的代价损失系数为C_m，信号频点占用率为η，信噪比为，则总代价损失函数R为

(6)

为使R最小化，对R求导可得

(7)

令R′=0得

(8)

将式(8) 方程中的参数表示为

(9)

则原方程变为V_th²－AV_th－B=0，解得

(10)

经过分析可得最小代价门限，相关分析类似于文献[3]中求最小错判率门限的分析

(11)

值得注意的是，当C_f=C_m=1时，最小代价门限便退化成了文献[4]中描述的最小错判率门限.

2.2 性能指标对判决门限取值范围的限制

用P_{d, des}表示检测概率指标，P_{f, des}表示虚警概率指标.由虚警概率约束条件P_f≤P_{f, des}，可得门限的下限值V_{th, CFAR}

(12)

即，V_{th, CFAR}也就是由恒虚警概率准则得到的恒虚警率门限.同理，根据第2个约束条件P_d≥P_{d, des}可得门限的上限值

(13)

V_{th, CDR}即由恒检测概率准则得到的恒检测率门限.在一定的P_{d, des}和P_{f, des}性能约束下的能量检测，需要满足关系式V_{th, CFAR}≤V_th≤V_{th, CDR}.令V_{th, CFAR}=V_{th, CDR}，在一定信噪比条件下，检测性能约束下宽频带能量检测所需的最小观测时长为

(14)

若要满足关系式V_{th, CFAR}≤V_{th, CDR}，此时观测时长应满足关系式N_t≥N₀.

2.3 最优判决门限的选取准则

检测性能约束下的宽频带信号能量检测，最优判决门限的选取应该是在满足虚警概率和检测概率指标要求的前提下，尽量使总的代价损失最小.上述问题建模为

(15)

首先给出检测性能约束条件下宽频带能量检测最优判决门限的选取准则.

当时域观测时长N_t < N₀时，采用任何门限判决都不能同时满足P_{d, des}, P_{f, des}的指标要求，此时没有最优判决门限；当N_t≥max(N₁, N₂)时，最优判决门限为V_{th, mincost}；当N₁ < N_t < N₂时，最优判决门限为V_{th, CDR}；当N₂ < N_t < N₁时，最优判决门限为V_{th, CFAR}.最优判决门限由式(16) 给出.

(16)

其中，, , , .

为了使检测性能达到P_{d, des}和P_{f, des}的指标要求，时域观测时长应满足关系式(8).当N_t < N₀时，检测性能约束下的宽频带能量检测可选门限的上限值已经比下限值小，所以不存在某个判决门限V_th可以同时满足P_{d, des}和P_{f, des}的指标要求，即当N_t < N₀时，没有最优判决门限可选.

下面对N_t≥N₀的情况进行讨论.通过对代价函数R的导数分析可知，判决门限在区间(-∞, V_{th, 1})内变化时代价函数R单调递增，判决门限在区间(V_{th, 1}, V_{th, 2})变化时代价函数R单调递减，判决门限在区间(V_{th, 2}, ∞)变化时代价函数R单调递增.因此可以根据可选门限的下限值V_{th, CFAR}和上限值V_{th, CDR}与V_{th, 1}和V_{th, 2}之间的相对大小关系分情况进行讨论.首先通过反证法证明不等式

(17)

证明 假设V_{th, CFAR}≤V_{th, 1}，即

(18)

将A和V_{th, CFAR}的表达式代入式(18) 可得

(19)

式(19) 左边为小于0的项，右边为大于0的项，而左边却大于等于右边，由此得出矛盾，不等式V_{th, CFAR}>V_{th, 1}得证.

因为V_{th, CFAR}>V_{th, 1}，所以根据V_{th, CFAR}、V_{th, CDR}与V_{th, 2}之间的相对大小关系可分成3种情况进行讨论.

情况1 V_{th, CFAR}≤V_{th, 2}≤V_{th, CDR}

在V_{th, CFAR}≤V_{th, 2}≤V_{th, CDR}的情况下，判决门限V_th=V_{th, mincost}可以同时满足P_{d, des}和P_{f, des}的指标要求.由2.1节代价函数R的导数分析可知，判决门限V_th在区间(V_{th, CFAR}, V_{th, 2})内变化时，代价函数R单调递减，V_th在区间(V_{th, 2}, V_{th, CDR})内变化时代价函数R单调递增，所以V_{th, 2}是代价函数R在区间(V_{th, CFAR}, V_{th, CDR})内的全局最小值点，此时应该选V_{th, 2}作为最优判决门限，即V_{th, opt}=V_{th, 2}=V_{th, mincost}.

根据不等式V_{th, CFAR}≤V_{th, 2}可得

(20)

令N_t=t², t>0，并且将参数表示为

(21)

将以上参数代入式(20) 并令其等于0可得

(22)

解得：.

将G、D的表达式代入t₁可证得，所以t₁舍去，得.若要满足V_{th, CFAR}≤V_{th, 2}，应满足关系式.

同样根据不等式V_{th, CFAR}≤V_{th, CDR}可得

(23)

令N_t=t², t>0，并且将参数表示成

(24)

将参数代入式(23) 中可得t²+Et+F=0, t>0.解出，同样可证得，所以t₁舍去，得t=，因此若满足V_{th, 2}≤V_{th, CDR}，N_t应满足.

经过以上分析可知，当N_t≥max(N₁, N₂)时，关系式V_{th, CFAR}≤V_{th, 2}≤V_{th, CDR}成立，此时应选最小代价门限作为最优判决门限，即V_{th, opt}=V_{th, mincost}.

情况2 V_{th, 2}<V_{th, CFAR}

在V_{th, 2}<V_{th, CFAR}≤V_{th, CDR}情况下，判决门限V_th=V_{th, mincost}已经不能同时满足P_{d, des}, P_{f, des}的指标要求.根据R的导数分析可知，V_th在区间(V_{th, CFAR}, V_{th, CDR})内变化时代价函数R单调递增，所以V_{th, CFAR}是代价函数R在区间(V_{th, CFAR}, V_{th, CDR})内的全局最小值点，此时的最优判决门限应该选择V_{th, CFAR}.

因为V_{th, 2}<V_{th, CFAR}≤V_{th, CDR}，由情况1的分析可知N_t<N₁且N_t>N₂，即N₂<N_t<N₁.此时的最优判决门限应为可选门限的下限值V_{th, CFAR}，即V_{th, opt}=V_{th, CFAR}.

情况3 V_{th, 2}>V_{th, CDR}

由上述分析可知，V_{th, 2}>V_{th, CDR}>V_{th, CFAR}>V_{th, 1}，V_th在区间(V_{th, CFAR}, V_{th, CDR})内变化时代价函数R单调递减，所以V_{th, CDR}是代价函数R在区间(V_{th, CFAR}, V_{th, CDR})内的全局最小值点，此时的最优判决门限应为V_{th, CDR}，即V_{th, opt}=V_{th, CDR}.

由V_{th, 2}>V_{th, CDR}可得N_t<N₂，由V_{th, 2}>V_{th, CFAR}可得N_t>N₁，即当N₁<N_t<N₂时不等式V_{th, 2}>V_{th, CDR}成立，此时最优判决门限为V_{th, CDR}，即V_{th, opt}=V_{th, CDR}.

综上所述，检测性能约束条件下宽频带信号能量检测最优判决门限的选取准则得证.

3 仿真分析

使用Matlab软件进行仿真验证，仿真中代价损失系数设置为C_f=C_m=1.

图 2所示为几种时域约束时长与频点占用率的关系.仿真参数设置为S_snr=－1 dB，P_{f, des}=0.01，P_{d, des}=0.98.

如图 2所示，仿真中3条曲线几乎相交于一点，假设交点横坐标为η₀.当η<η₀时，若时域观测时长低于曲线1，检测性能将无法同时满足P_{d, des}和P_{f, des}的指标要求，此时没有门限可以作为最优判决门限选取；若时域观测时长处于曲线1和曲线3之间，根据最优判决门限选取准则可知，此时应选V_{th, CDR}作为最优判决门限；若时域观测时长高于曲线3，那么应选最小代价门限V_{th, mincost}作为最优判决门限.对于η>η₀情况分析类似，若时域观测时长低于曲线1，没有最优判决门限；若时域观测时长处于曲线1和曲线2之间，此时应选V_{th, CFAR}作为最优判决门限；若时域观测时长高于曲线2，最优判决门限应为最小代价门限V_{th, mincost}.

图 3所示为在不同频点占用率情况下代价函数随判决门限V_th的变化曲线.仿真参数设置为σ²w=1，S_snr=－1 dB，N_t=70，P_{f, des}=0.01，P_{d, des}=0.98.将仿真参数代入V_{th, CFAR}和V_{th, CDR}表达式中可得满足P_{d, des}、P_{f, des}指标要求门限的下限值和上限值(V_{th, CFAR}=89.463 6，V_{th, CDR}=94.771 2)，即图 3所示判决门限的变化范围.

当频点占用率η=0.1时，将相关参数代入式(11) 可得最小代价门限V_{th, mincost}=95.795 7，此时V_{th, mincost}>V_{th, CDR}，属于N₁<N_t<N₂情况.由图 3可以看出，η=0.1的曲线随判决门限的增加而单调递减，所以此时最优判决门限应为可选门限的上限值，即V_{th, opt}=V_{th, CDR}；当频点占用率η=0.5时V_{th, mincost}=91.200 3，所以V_{th, CFAR}≤V_{th, mincost}≤V_{th, CDR}，属于N_t≥max(N₁, N₂)情况.由图 3可以看出，η=0.5的曲线随判决门限的增加先是单调递减，然后单调递增，当V_th=V_{th, mincost}=93.769 3时为全局最小值点，所以此时的最优判决门限应为最小代价门限，即V_{th, opt}=V_{th, mincost}；当频点占用率η=0.8时V_{th, mincost}=88.049 6，此时V_{th, mincost}<V_{th, CFAR}，属于N₂<N_t<N₁情况.由图 3可以看出，η=0.8的曲线随判决门限的增加而单调递增，所以此时最优判决门限应为可选门限的下限值V_{th, opt}=V_{th, CFAR}.

图 4为分别采用3种判决门限进行判决所产生的代价损失图；图 5和图 6分别为与其相对应的虚警概率图和检测概率图.仿真参数设置为S_snr=0 dB，N_t=35，P_{f, des}=0.01，P_{d, des}=0.95.可以验证，在3张图中所示频点占用率范围内始终满足关系式N₂ < N_t < N₁.根据2.3节理论可知，此时最优判决门限为V_{th, CFAR}.

对图 4中的3条曲线对比可知，采用最小代价门限进行判决所引起的代价损失最小.通过图 5的虚警概率曲线可知，此时采用最小代价门限进行判决的虚警概率P_f始终高于P_{f, des}，即P_f>P_{f, des}.在此种情况下采用最小代价门限进行判决，虽然所造成的代价损失最小，但却不能满足虚警概率指标要求，因此不能选为最优判决门限.

由图 5和图 6可知，采用恒检测率门限和恒虚警率门限进行判决时，虚警概率和检测概率都可以满足指标要求，即P_f≤P_{f, des}且P_d≥P_{d, des}.由图 4的代价损失曲线对比可以看出，采用恒虚警率门限进行判决所引起的代价损失要比采用恒检测率门限判决造成的代价损失小.所以此时最优判决门限应为既可以满足性能指标要求又可使代价损失相对较小的恒虚警率门限.仿真结果与2.3节中的最优判决门限选取准则一致.

对于N₁<N_t<N₂和N_t≥max(N₁, N₂)的情况，有关最优判决门限选取的仿真实验类似于N₂<N_t<N₁情况，并且同样可以得到与2.3节最优判决门限选取准则相一致的仿真结果.

图 7给出了不同信噪比条件下最优判决门限与时域观测时长的关系.可以看出，左侧没有线条表示门限在该时域观测时长的条件下不存在最优判决门限，随着观测时长的增加最优判决门限值也呈递增趋势.

4 结束语

对宽频带信号能量检测进行了研究，得出感知频段的信噪比、信号占用率等一定时，能量检测的性能是否达到指标的要求，取决于观测时长的长短及判决门限的选取.因此，从宽频带信号能量检测模型入手，通过数学推理得到了最小代价门限的闭式解，在检测性能约束的条件下分析了其性能指标对能量检测最优判决门限的限制，并依据上述分析给出了宽频带信号能量检测的最优判决门限选取准则.仿真结果验证了所得结论的正确性.