文章信息
- 聂莉莎, 蒋滨, 张许, 刘买利
- NIE Li-sha, JIANG Bin, ZHANG Xu, LIU Mai-li
- 基于压缩感知/重采样的NMR噪声抑制新方法
- A Compressed Sensing and Resampling Based Noise Suppression Method for NMR
- 波谱学杂志, 2016, 33(2): 244-256
- Chinese Journal of Magnetic Resonance, 2016, 33(2): 244-256
- http://dx.doi.org/10.11938/cjmr20160207
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文章历史
收稿日期: 2015-05-04
修订日期: 2016-04-12
DOI:10.11938/cjmr20160207
2. 中国科学院大学, 北京 100049
2. University of Chinese Academic of Sciences, Beijing 100049, China
核磁共振(NMR)波谱分析是分析化学的重要组成部分[1],广泛应用于生物大分子结构,相互作用以及动力学的研究,它已经发展成为结构生物学、代谢组学等热点学科中不可或缺的分析手段[2, 3].然而,与其它谱学分析方法(如质谱)相比,NMR波谱的灵敏度较低,这使得NMR分析需要更多的样品量或者更长的采样时间,才能获得信噪比(SNR)足够的谱图.因此,当样品量很少或者样品不够稳定时,NMR检测就遇到困难.尤其是在蛋白质NMR研究中,由于某些蛋白质的表达量很少或溶解度很低、或浓度高时容易聚集和变性等原因,经常难以获得高SNR的NMR谱图.而且,有些原子核的同位素天然丰度低,导致NMR检测灵敏度低.为了提高观测灵敏度,常用的方法就是将信号进行相干累加,这无疑增加了采样时间.由此可见,发展高灵敏检测方法,力图在较短检测时间内获得SNR足够高的NMR谱图,是NMR波谱学研究的重要领域.
NMR谱图的SNR由信号强度与噪声水平两个因素共同决定,因此,对于NMR波谱分析,提高SNR的途径包括信号增强与噪声抑制两种方式:
(1) NMR信号增强.在其它实验条件相同时,NMR波谱的灵敏度主要取决于核自旋的极化度,即核自旋在不同能级上数目(布居数)之差,通过提高核自旋的极化度可以实现信号增强.此类方法包括:
(a) 采用更高场强的NMR谱仪,通过提高磁场强度(B0)来提高样品中核自旋极化度(ħγB0/2kBT)[4],进而获得更强的NMR信号.
(b) 采用超极化方法提高极化度.通过自旋交换光抽运(SEOP)[5]、动态核极化(DNP)[6]、或者仲氢诱导核极化(PHIP)[7]等超极化手段,将极化度由高极化粒子(如电子)转移至被检测核自旋上,最高可将NMR信号强度提高4个数量级.
(c) 利用NMR脉冲实验提高信号强度.通过设计各种NMR脉冲序列,同样可以提高NMR信号强度,这类方法包括极化转移(如INEPT、DEPT等)[8]、弛豫优化(TROSY)[9]、NOE增强[10]等.该类方法已经得到广泛应用,成为各种异核多维实验(如HSQC、HNCO等)中不可或缺的组成部分[11].
(2) 噪声抑制.与提高信号强度相比,降低噪声水平同样能增强灵敏度,是另外一个提高SNR的有效途径.该类方法包括:
(a) 通过硬件手段降低热噪声水平、提高检测灵敏度.这主要体现在高灵敏NMR探头技术的不断改进和完善,其中最为显著的是使用超低温探头[12],即把接收线圈与前置放大器深度冷却(分别冷却至20 K和80 K左右),以此显著抑制信号检测通路中的热噪声.与相同条件下的常规探头相比,超低温探头可将NMR谱图的SNR提高 3~4倍.
(b) 通过数据后处理方法抑制噪声.窗函数技术[13]就是该类方法中的应用最广泛的典型代表:由于真实信号在NMR采样过程中逐渐衰减,自由感应衰减信号(FID)后段部分以噪声为主,因此将FID与一些函数(如递减指数函数)相乘,就可以有效的放大信号、降低噪声水平、提高SNR.然而,该方法在提高SNR的同时,也增大了谱峰线宽,降低了谱图分辨率.除窗函数之外,最大熵重建(MaxEnt)和去卷积(deconvolution)[14]值法也具备一定的降噪效果,但其实际应用较少,其重要原因之一是计算量大、处理时间较长.然而,随着计算机技术的快速发展,特别是多核心中央处理器(CPU)、图形处理器(GPU)和并行算法的快速发展,逐步突破了大计算量对某些算法的限制瓶颈.
以上各类方法各有其优缺点:配备超低温探头的高场NMR谱仪,目前正装备在越来越多的实验室中,是效果好、普适性高的灵敏度增强方法,但是其购买及维护费用高昂;各类超极化技术虽可将SNR提高几个数量级,但对样品制备有特殊要求,目前尚难广泛应用;各种灵敏度增强的脉冲序列模块,已经成为许多NMR实验中不可缺少的组成部分,但其发展已经高度成熟,获得进一步改善的难度很大.相较而言,数据后处理技术可应用于任何NMR脉冲实验和样品体系中,是一种普适的抑制噪声、提高SNR的方法,并且对谱仪硬件无额外要求,性价比极高.因此,发展噪声抑制的数据处理新方法,是对其它提高SNR方法的有力补充.
前期工作中,我们提出了一种利用统计重采样原理(resampling)进行伪峰、噪声识别与抑制的数据处理方法--NASR[15].发展NASR方法的初衷,是为了抑制多维非均匀采样实验中出现的伪峰.非均匀采样能缩短多维NMR实验时间,但是也会在谱图中引入伪峰,且这些伪峰与采样点分布密切相关[16].重采样是一类统计学习方法,它从原始样本中随机抽取若干子集,通过对这些数据子集的统计分析,得到关于原始样本某些性质的估值[ 17].
NASR引入重采样方法,从原始时域采样数据中随机选取若干数据子集.在这些随机欠采样(undersampled)数据子集重建所得的NMR谱图中,信号峰变化甚小,但伪峰的位置和强度变化剧烈,因此通过统计分析可对伪峰进行有效地识别与抑制.另一方面,由于噪声的随机特性,在随机选取的数据子集中,噪声与非均匀采样伪峰具有相同的性质,因此NASR也可用于噪声抑制,提高SNR.NASR利用重采样方法进行噪声识别与抑制为提高NMR实验信噪比提供了新思路,但是该技术仍然存在如下问题,(1)处理高动态范围谱图时,即谱图中谱峰强度相差悬殊时,容易将弱信号误判为噪声;(2)在利用统计参数识别噪声与信号时,需要进行某些参数调节,处理过程较为复杂,容易引入主观性因素.
因此,要提高NASR重采样噪声抑制的鲁棒性,就需要引入可靠性更高的数据重建算法.研究表明,在低SNR环境下,用压缩感知(CS)实现欠采样数据的谱图重建可靠性高,对高动态范围谱图有很好的重建效果[18].CS是由2006年斯坦福大学Donoho教授、Candès教授和加州大学洛杉矶分校的华裔数学家陶哲轩教授于2006年提出的一种新的信号处理理论[19, 20].CS理论指出,若原始信号是可压缩的(即在某一变换域内是稀疏的),则对原始信号进行随机欠采样后,可通过非线性重建算法以极高概率重建出原始信号.该理论提出后,迅速在信号处理、医疗成像以及无线通讯等领域获得高度关注和广泛应用.2007,Lustig[21]率先将CS理论用于磁共振成像(MRI)中欠采样数据的图像重建.2011年,CS理论开始被用于真实的多维NMR欠采样数据的谱图重建[22, 23].
本文在前期工作的基础上,将NASR与CS技术相结合,发展了NMR数据处理新方法CS_NASR,在实现噪声抑制、提高NMR谱图SNR的同时,排除了主观因素影响,提高了处理结果的鲁棒性.
1 原理 1.1 CS 理论传统的信号采集过程必须满足奈奎斯特(Nyquist)采样定理,即采样频率不能低于信号频谱中最高频率的两倍,但是在信号传输之前,通常会对信号进行压缩处理.传统的压缩技术都是从信号本身的角度出发,通过寻找并剔除数据中隐含的冗余度,实现压缩过程,如图像压缩(JPEG)、视频压缩(MPEG)和音频压缩(MP3)等.但是这种方法是在数据采集之后进行压缩,舍弃了大部分已采集的数据,造成了采样数据的浪费,且计算过程相当复杂.针对这一问题,Donoho教授、Candès教授和陶哲轩教授等人[19, 20]进行了大量研究,从尽可能由少量采集的数据恢复信息的角度,提出了CS理论.CS的核心在于将采样与压缩编码合并进行,采集的是稀疏信号的非自适应线性投影值,可以从远小于Nyquist采样定理所要求的数据量,实现信号的准确或近似重建,缩短采样时间.
CS要实现从少量采集信息重建出大量原始信息需要满足两个条件:首先需要确保这些少量的数据含有原始信号的全局信息;再者通过相应重建算法能够准确的还原原始信息.满足上述条件需要关注以下三个方面:信号的稀疏表示、传感矩阵(获取信号)和重构算法(重建信号).
稀疏表示:信号的稀疏性是CS实现的基础.若一个信号只有少数非零值,那么该信号可称之为自稀疏信号.自然信号几乎都是非自稀疏的,但大多是可压缩信号,可通过相应的稀疏表示转换成稀疏信号.稀疏表示是原始信号的简洁表达,即将信号投影到某种正交变换基,绝大多数变换系数接近零,则原始信号变成了稀疏信号.例如,自然图像的像素值几乎都是非零的,经过小波变换后,绝大多数系数都接近零,即少量的非零值可以表示出原始图像的绝大部分信息.若某些信号不能用正交基进行稀疏表示,还可以采用冗余字典来实现.对于离散时间信号χ∈RN和一组基函数ψ∈RK*N,稀疏性可以表示为:
其中ψ表示稀疏变换矩阵,如离散余弦变换矩阵、快速傅里叶变换(FFT)矩阵、离散小波变换矩阵、Curvelet矩阵等.如果ψ是一个单位矩阵,这意味着信号x没有进行稀疏变换,这种信号称之为自稀疏信号.
传感矩阵:进行稀疏变换之后,将围绕观测矩阵φ进行压缩采样系统观测部分的设计.观测矩阵的意义在于确定压缩采样得到的M个观测值,保留了原始信号x的全局信息,即保证信号损失最小,确保原始信号能够准确重建.如果信号不是自稀疏信号,则应该结合稀疏变换矩阵,结合后的矩阵称之为传感矩阵
由于观测值的维度M远小于信号的维度N,l0范数最优化问题是一个NP-hard(non-deterministic polynomial-time hard)问题[24],方程(2)式有无穷多个解.理论证明,当信号x是稀疏的或可压缩的,可以用l1范数的最优化来获得l0范数最优化问题的近似解[25].为从M个观测值中精确恢复信号提供了理论保证,观测矩阵必须满足约束等距(RIP)[26, 27]性质.转换成l1范数的方程如下:
Baraniuk已经证明约束等距条件的等价条件是观测矩阵φ和稀疏表示的基ψ不相关[28].所以,CS总是要求相对于观测矩阵进行非相干欠采样.有一些常见的传感矩阵能够满足RIP条件,如加高斯矩阵、一致球测量矩阵、二值随机矩阵、局部傅里叶矩阵和局部哈达玛测量矩阵等[29].
当测量值y包含噪声或考虑重构误差在内的时候,需在方程中加入ε约束条件(ε表示噪声水平).那么,上述问题可以用下式表示(ε>0)[30]:
将上述有条件约束的凸优化问题,转换为无条件约束的凸优化问题,以拉格朗日增广形式书写如下(λ为拉格朗日乘子):
因此,重建间接维稀疏采样的NMR谱图,就可以转换成解决如下最优化问题[31]:
其中x是需要被重建的图像;y是观测值(欠采样FID数据);FU表示部分傅里叶变换;W是正交小波变换.由于化学基团的离散性,NMR谱图中大多数信号为自稀疏信号,故本文不需要进行小波变换等稀疏变换.
重构算法:目前已有多种重构算法来求解(6)式,在本文中,我们采用迭代软阈值算法(IST)[18, 32]来求解该最优化问题,因为该算法流程较为简单,易于编程实现.当谱峰高于所设置阈值时,将该谱峰存储到重建谱图之中;然后,对重建谱图进行逆变换得到对应的时域数据,从原始的观测值中减去该时域数据;将余下部分进行小波变换和傅里叶变换后,运用到下一次迭代中去.该重复迭代的过程可以描述为如下形式:
其中,AT由部分傅立叶变换矩阵和小波变换矩阵组成;A表示AT的共轭;y表示观测值;xk表示第k次迭代得到的近似解(第k次迭代得到的重构谱图);是幅值为t的软阈值函数,其中tk随着迭代次数k的增加而递减.在本文中,t设定为每次迭代中最大峰值的90%.
1.2 CS_NASR原理重采样是一类统计学习方法,它从原始样本中随机抽取若干子集,通过对这些数据子集进行统计分析,得到原始数据的统计性质.CS是一类欠采样数据的谱图重建方法,能够从欠采样数据很好地重建谱图.这两点正是CS_NASR能够成功的关键之处.下面将分别进行阐述.
(1) 由NMR原始采样数据随机选取若干数据子集,这些数据的噪声特征是不同的.对于处于频域的NMR谱图来说,每一个信号峰都有其固定频率,即该信号是以固定频率在时域中振荡.而采样数据中的噪声,则产生于NMR谱仪电子线路中各个部件(探头线圈、前置放大器、控制台等)的电子热运动,由于电子热运动的随机性,噪声在采样数据中随机涨落,无固定频率和幅度.因为噪声的随机性,所以在每次扫描所得数据中,噪声特征是不同的.将不同扫描数据累加,由于噪声的随机涨落,叠加起来强度就低于信号叠加起来的强度,从而可以实现SNR增强,这正是常规累加扫描数据获得SNR增强的原理.
同以上类似,将扫描叠加后的时域数据,随机选取为若干子集,那么由于噪声的随机性,在每个数据子集中的噪声特征也是不同的.
(2) CS理论指出,若信号在某一变换域中是稀疏的,则可由对信号的随机欠采样数据中,准确重建出原始信号.对于绝大部分NMR谱图而言,信号是稀疏的,而且,即使在频域中信号不是稀疏的,也能够利用小波变换将其变换到某一稀疏域中处理.因此,毫无疑问,可以利用CS技术由NMR欠采样数据准确重建出谱图,CS的这一特征已经被多次成功应用于NMR和MRI数据处理中.
因此,CS_NASR利用真实信号与噪声的性质差异,实现弱信号与噪声的辨识,从而选择性抑制噪声.即利用重采样方法,随机从原始时域采样数据中选取若干数据子集.由于噪声的随机涨落性质,这些数据子集表现出各自不同的噪声性质.这些欠采样的数据子集可利用CS方法准确重建出噪声不同的NNR谱图.最后,对这些重建所得的多个NMR谱图进行叠加.由于各个谱图信号稳定不变、噪声随机涨落,所得的叠加谱即可实现SNR增强.具体处理步骤分解如下:
(a) 从低SNR的NMR谱图的原始采样数据中,随机选取出若干数据子集.
(b) 这些采样数据子集,实质上就是一系列采样点不同的欠采样数据,利用CS技术将这些欠采样数据重建为若干NMR谱图(欠采样数据子集重建谱).
(c) 将这些欠采样子集重建谱叠加在一起,即获得SNR增强的谱图.
图 1为CS_NASR处理流程示意图.值得注意的是,在本文中,我们是对NMR时域数据采用间接维变密度随机欠采样.众所周知,NMR的能量都集中在时域数据起始的部分,因为信号随着时间的推移呈指数衰减.因此,我们生成一个概率密度函数(PDF),以强调信号起始部分,对后面信号弱噪声强的部分采样更少.然后根据蒙特卡洛算法,我们从已知的PDF,得到采样模式,实现在信号起源部分采样率大,随着时间延长采样率变小.目前的变密度采样模式有多种,我们采用在信号的起始部分均匀采样(即全采样,占所有采样数据的10%),并利用一个指数衰减的加权函数来调制其余部分的随机欠取样.
2 实验部分13C NMR谱图具有化学位移范围宽、谱峰线形较窄等特点,因而比1H NMR谱图具有更好的分辨率,但是由于13C核的天然丰度仅为1.1%,且旋磁比(γ)也仅约为1H核的25%,因此13C NMR的灵敏度远低于1H NMR.为获得足够SNR的13C NMR谱图,往往需多次累加,长时间采样.我们选择一维(1D)13C NMR谱图作为CS_NASR的处理对象.本文以5种不同氨基酸混合溶液(Ala和Ser:5 g/L;Phe,Val和Thr:10 g/L)的1D 13C NMR谱图为例,通过设置不同的扫描次数,获得了该样品具有不同SNR的13C NMR谱图:当累加次数足够多时(扫描次数NS= 64),得到高SNR的谱图可明确分辨信号和噪音,在后续对比中作为参照;低SNR谱图(NS= 2)作为CS_NASR方法的处理对象.1D 13C NMR实验在配备了BBO探头的Bruker Avance III 600型NMR谱仪上采集.采用为反门控去偶方式,弛豫等待时间(d1)为5 s,用waltz16对质子去偶,采集点数为16 k.
CS_NASR原理也适用于二维(2D)和更高维的NMR实验.在这里,我们使用了13C和15N同位素双标的泛素蛋白(1 mmol/L,V水∶V重水= 9∶1)的1H-15N HSQC[33]实验为例.HSQC实验广泛应用于分子生物学的研究,如蛋白质动力学与折叠[34]、蛋白质-配体相互作用[35]等.泛素的2D 1H-15N HSQC实验同样在配备了BBO探头的Bruker Avance III 600型NMR谱仪上采集.实验所选择的序列为hsqcgpph,采样期间用garp对13C核去偶.采集点数为t2×t1 = 1 024×64,累加次数NS = 8.通过设置不同的脉冲翻转角以获取具有不同SNR的谱图,即分别采集了翻转角为90°(高SNR)与翻转角为30°(低SNR)的HSQC谱.
1D 13C NMR的CS_NASR处理的过程如下:从低SNR谱图的时域数据中随机抽取了100组数据子集,每组子集仅包含了全部采样点的30%,其中全采样部分占其中的1/3,利用CS对这些数据子集进行谱图重建,得到100个欠采样数据重建谱图.将重建过后的谱图进行叠加,则可得到CS_NASR处理谱.
2D NMR谱的CS_NASR处理过程为:从低SNR谱图的时域数据中随机抽取60组数据子集,每组子集包含全部采样点的30%,利用CS技术对这些数据子集进行谱图重建,得到60个欠采样数据重建谱图,将重建过后的谱图进行叠加,则可得到CS_NASR处理谱.
CS_NASR处理过程用C++语言编程实现,能够与NMR谱图处理软件NMRPipe[36]相结合.在本实验中,相应1D和2D NMR谱图的CS_NASR处理过程分别用时5 min和20 min.
3 结果与讨论图 2随机选取了三个欠采样数据子集CS重建后获得的谱图,这三个谱图中,信号峰大致稳定,而各处的噪声有较大差异,表明CS处理欠采样数据具有较好的鲁棒性,不会带来明显的伪信号.另外,需要指出的是,在这些数据子集重建的谱图中,信号峰的强度略有不同,如图中方框的的信号所示.这是因为噪声也会出现在信号峰所在的位置,这也是每个峰的SNR增加倍数不一样最主要的原因.
图 3显示了不同方法处理所得氨基酸样品的1D 13C NMR谱.作为参照谱,常规FFT处理的64次扫描获得的谱图,SNR明显较高,采样时间约为70 min;而2次扫描所需采样时间仅约为2.5 min,常规FFT处理该低扫描次数数据所获谱图SNR较低;与常规处理结果相比,同样是2次扫描,采用CS_NASR进行噪声抑制处理后的谱图噪声得到很好的抑制,SNR得到了明显提高.我们计算常规FFT处理谱和CS_NASR处理谱中各个信号的SNR,结果表明,CS_NASR能够使相应谱的SNR提高4.11~41.94倍,平均提高约12.21倍.由于我们采用的是变密度随机采样,具有类似窗函数的功能,所以在CS_NASR的处理过程中,不需要加窗函数.
2D NMR谱图处理结果如图 4所示.同样,具有较高SNR的常规FFT处理的谱图被用作参考谱[图 4(a)],采用低激发角所获取的实验数据作为CS_NASR处理分析对象,采用不同处理方法所获取的谱图分别为图 4(b)(常规FFT处理)和图 4(c)(CS_NASR处理)所示.结果表明,CS_NASR处理过后的谱图[图 4(c)]明显比常规处理所得的谱图[图 4(b)]具有更高的SNR,且信号没有任何明显畸变,更无伪信号出现,证明该方法处理2D NMR谱图时与处理1D NMR谱图一样有效.
4 总结由于采样模式和随机噪声不相同,提取的非均匀采样子谱叠加后,噪声可能会彼此部分抵消,而信号总是累加的,因此CS_NASR数据后处理是一种有效的抑制噪声方法,可以用于一维和多维NMR谱图的处理.使用CS对欠采样数据进行重建,每一个测试谱仍然可能产生一些伪影.如前面所述,不同的采样模式引入不同的非均匀采样伪峰,因此叠加后,非均匀采样带来的伪影也能部分抵消;即使不能抵消,也不影响CS_NASR处理的结果,因为不同位置的伪峰不能进行累加,所以叠加后伪峰的强度远低于信号的强度.这确保了CS_NASR处理结果的准确性.另外,因为在CS_NASR处理过程中,我们直接叠加的测试谱图,以获得SNR更高的NMR谱图.该过程并不需要调整处理参数,因此相比NASR,排除了主观因素对处理结果的影响,提高了处理结果的鲁棒性.
应当注意的是,CS_NASR可以抑制噪声,但处理后的谱图不能反映其信号的真实强度,且信号峰的线型会发生变化,所以CS_NASR处理过后的谱图不能进行定量分析.此外,由于化学基团的离散性,在NMR谱图部分区域没有信号产生,因此大多数化学物质的NMR谱图都具有自稀疏性,故不需要进行稀疏变换.
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