0 引言

现实背景下，决策者所面临的决策情景中含有大量的不确定性信息。为了更精确地描述这种不确定性，Zadeh^[1]提出模糊集的概念并得到广泛应用。为了描述更加复杂的不确定性信息，直觉模糊集^[2]、犹豫模糊集^[3]等概念被相继提出。其中，Ramot等^[4]引入了复模糊集的概念，通过添加反映周期性信息的相位项，将隶属度函数的定义域拓展至复平面。复模糊集由多个复模糊数构成，复模糊数有振幅项r(x): X→[0, 1]和相位项ω(x): X→[0, 1]两个变量构成。复模糊集凭借其出色的灵活性与多维特性，有着较其他模糊集更强的数据表达能力，能够精确描述某段时间内数据的周期性波动，从而有效避免数据信息损失对决策的不利影响，保证了决策结果的精确性和可靠性。

多属性群决策在现代决策科学中占据核心地位，被应用于管理科学各个领域。张嘉辉等^[5]利用三支决策方法和后悔理论在复模糊环境下进行决策。Akram等^[6]构建了基于复模糊集的多准则妥协解模型。Garg等^[7]定义了复模糊集之间的相关系数。Jia等^[8]从相位项的角度解释了Z数中的参数，进而将不确定Z数转换为区间复模糊数。在多属性群决策问题中，如何更好地进行信息融合是一个核心问题，而构建优良的运算法则和信息集成算子是信息融合的关键。Gong等^[9]定义了复模糊数运算法则并应用于距离测度。Janani等^[10]将复模糊信息聚合算子应用于TOPSIS中进行综合评价。Ashraf等^[11]在运用复模糊信息聚合算子进行灾害应急决策中考虑了决策者的心理因素，对复模糊信息的运算法则展开进一步讨论。

应用copula函数可以刻画随机变量间复杂的关联性。韦艳华等^[12]对copula函数进行了具体介绍，并提出了构建copula模型的方法。近年来，有学者通过copula函数构建聚合算子。Han等^[13]用copula函数构建不平衡概率直觉模糊信息聚合算子并应用于多属性群决策问题。Ali^[14]提出了语言球形模糊copula扩展幂聚合算子。刘兮等^[15]提出了基于阿基米德copula的概率对偶犹豫模糊集成算子。Anusha等^[16]将阿基米德copula和广义MSM算子混合并应用于概率对偶犹豫模糊信息的聚合。但目前将copula函数与复模糊信息运算相结合的研究还有待完善，因此，本文将阿基米德copula函数应用于复模糊信息的融合，提出阿基米德copula复模糊加权算术平均算子和几何平均算子。通过不同参数和生成元对评价结果的影响以及与现有方法的对比来说明本文方法的灵活性和可靠性。

1 预备知识 1.1 复模糊集

定义1^[3]  定义在非空有限论域X上的复模糊集(complex fuzzy set, CFS)为

$ S_{p}=\{x, \mu(x) \mid x \in X\} 。$

函数μ(x)=r(x)e^i2πω(x)的取值落在以复平面原点为圆心的单位圆上，其中r(x): X→[0, 1]表示μ(x)的振幅项；ω(x): X→[0, 1]表示μ(x)的相位项；虚数单位$i=\sqrt{-1} $。称β=r_βe^i2πω_β为一个复模糊数(complex fuzzy number, CFN)，记Ω为复模糊数的全体。

定义2^[10]  对于给定的复模糊数β=r_βe^i2πω_β，β的补为

$ c(\beta)=\left(1-r_{\beta}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left(1-\omega_{\beta}\right)} \text { 。} $

定义3  对于一个给定的复模糊数β=r_βe^i2πω_β, β的得分函数S(β)^[10]和熵函数σ(β)^[17]分别为

$ S(\beta)=\left(r_{\beta}+\omega_{\beta}\right) / 2, $

(1)

$ \sigma(\beta)=2\left[r_{\beta}\left(1-r_{\beta}\right)+\omega_{\beta}\left(1-\omega_{\beta}\right)\right], $

(2)

其中：S(β)和σ(β)的取值范围均为[0, 1]。

定义4^[10]  设β=r_βe^i2πω_β，γ=r_γe^i2πω_γ为两个复模糊数，有

1) 若S(β)＜S(γ)，则β＜γ。

2) 若S(β)=S(γ)，则有

① 若σ(β)>σ(γ)，则β＜γ，

② 若σ(β)=σ(γ)，则β=γ。

1.2 阿基米德copula函数

阿基米德copula函数在风险评估问题中被广泛应用，能够灵活描述数据中的相关结构。

定义5^[12]  称$\mathbb{C} $为阿基米德copula函数，若对于任意(m, n)∈[0, 1]²，有

$ \mathbb{C}(m, n)=\phi[\varphi(m)+\varphi(n)], $

其中：φ: [0, 1]→[0, +∞]为函数$\mathbb{C} $的生成元，是连续、严格单调递减的凸函数，且φ(1)=0，ϕ: [0, +∞]→[0, 1]为其伪拟函数，有

$ \phi(t)= \begin{cases}\varphi^{-1}(t), & t \in[0, \varphi(0)] ,\\ 0, & t \in(\varphi(0),+\infty] 。\end{cases} $

若函数$\mathbb{C} $在[0, 1]²上递增，且φ(0)=+∞，则在[0, +∞]上有ϕ(t)=φ^-1(t)，因此

$ \mathbb{C}(m, n)=\varphi^{-1}[\varphi(m)+\varphi(n)], $

此时称$\mathbb{C} $为具有严格生成元φ的阿基米德copula函数。

定义6^[12]  对于阿基米德copula函数$\mathbb{C} $ : [0, 1]²→[0, 1]，其伴随copula函数为

$ \mathbb{C}^{*}(m, n)=1-\mathbb{C}(1-m, 1-n) \text { 。} $

2 基于阿基米德copula的复模糊数运算法则

本节将阿基米德copula函数应用于复模糊数，得到一系列复模糊信息的运算。

定义7  在论域X上的两个复模糊数β=r_βe^i2πω_β，γ=r_γe^i2πω_γ，有运算法则1)~4)。

1) 加法运算

$ \begin{aligned} & \beta \oplus_{C} \gamma=\mathbb{C}^{*}\left(r_{\beta}, r_{\gamma}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi C^{*}\left(\omega_{\beta}, \omega_{\gamma}\right)}= \\ & {\left[1-\varphi^{-1}\left(\varphi\left(1-r_{\beta}\right)+\varphi\left(1-r_{\gamma}\right)\right)\right] \cdot} \\ & \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left[1-\varphi^{-1}\left(\varphi\left(1-\omega_{\beta}\right)+\varphi\left(1-\omega_{\gamma}\right)\right)\right]} 。\end{aligned} $

2) 乘法运算

$ \begin{aligned} & \beta \otimes_{C} \gamma=\mathbb{C}\left(r_{\beta}, r_{\gamma}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi \mathcal{C}\left(\omega_{\beta}, \omega_{\gamma}\right)}= \\ & {\left[\varphi^{-1}\left(\varphi\left(r_{\beta}\right)+\varphi\left(r_{\gamma}\right)\right)\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left[\varphi^{-1}\left(\varphi\left(\omega_{\beta}\right)+\varphi\left(\omega_{\gamma}\right)\right)\right]}}。\end{aligned} $

3) 数乘运算

$ \lambda \beta=\left[1-\varphi^{-1}\left(\lambda \varphi\left(1-r_{\beta}\right)\right)\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left[1-\varphi^{-1}\left(\lambda \varphi\left(1-\omega_{\beta}\right)\right)\right]}。$

4) 幂运算

$ \beta^{\lambda}=\left[\varphi^{-1}\left(\lambda \varphi\left(r_{\beta}\right)\right)\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left[\varphi^{-1}\left(\lambda \varphi\left(\omega_{\beta}\right)\right)\right]} 。$

根据定义7，对任意β, γ∈Ω，λ≥0，有β⊕_{$\mathbb{C} $}γ∈ Ω，β⊗_{$\mathbb{C} $}γ∈Ω，λβ∈Ω，β^λ∈Ω。

定理1  设两个复模糊数为β=r_βe^i2πω_β，γ=r_γe^i2πω_γ，

1) β⊕_{$\mathbb{C} $}γ的振幅项和相位项的范围分别为

$\mathbb{C}^*\left(r_\beta, r_\gamma\right) \in\left[\max \left(r_\beta, r_\gamma\right), \min \left(r_\beta+r_\gamma, 1\right)\right] $与$\mathbb{C}^*\left(\omega_\beta, \omega_\gamma\right) \in\left[\max \left(\omega_\beta, \omega_\gamma\right), \min \left(\omega_\beta+\omega_\gamma, 1\right)\right] $。

2) β⊗_{$\mathbb{C} $}γ的振幅项和相位项的范围分别为

$\mathbb{C}\left(r_\beta, r_\gamma\right) \in\left[\max \left(r_\beta+r_\gamma-1,0\right), \min \left(r_\beta, r_\gamma\right)\right] $与$\mathbb{C}\left(\omega_\beta, \omega_\gamma\right)=\left[\max \left(\omega_\beta+\omega_\gamma-1,0\right), \min \left(\omega_\beta,\right.\right.\left.\left.\omega_\gamma\right)\right] $。

阿基米德copula函数族由生成元确定，而不同的生成元能够派生出不同的copula函数，进而构建出处理复模糊信息的运算法则。表 1给出了5种常见的阿基米德copula函数的生成元。

3 阿基米德copula复模糊信息聚合算子

本节将阿基米德copula复模糊数运算应用于复模糊信息的聚合中，提出阿基米德copula复模糊加权算术平均算子和加权几何平均算子。

定义8  设β_t=r_te^i2πω_t∈Ω(t=1, 2, …, n)为一组CFNs，其对应的权重向量为 w =(w₁, w₂, …, w_n)^T，满足w_t∈[0, 1] 且$\sum\limits_{t=1}^n w_t=1 $，阿基米德copula复模糊加权算数平均算子(Archimedean copula complex fuzzy weighted arithmetic average operator, AC-CFWAA)f_AC-CFWAA: Ωⁿ→Ω为

$ \begin{aligned} & A C-C F W A A_{w}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)= \\ & f_{\mathrm{AC}-\mathrm{CFWAA}}\left\{\left(\beta_{t}, w_{t}\right) \mid t=1,2, \cdots, n\right\}=\oplus_{t=1}^{n} w_{t} \beta_{t \circ} \end{aligned} $

定理2  对一组CFNs，β_t=r_te^i2πω_t∈Ω(t=1, 2, …, n)，其对应的权重向量为 w =(w₁, w₂, …, w_n)^T，则

$ \begin{align*} & A C-C F W A A_{w}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)=\bigoplus_{t=1}^{n} w_{t} \beta_{t}= \\ & {\left[1-\varphi^{-1}\left(\sum\limits_{t=1}^{n} w_{t} \varphi\left(1-r_{t}\right)\right)\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left[1-\varphi^{-1}\left(\sum\limits_{t=1}^{n} w_{t} \varphi\left(1-w_{t}\right)\right)\right]}} 。\end{align*} $

(3)

证明  (数学归纳法)对于n=2，利用上述运算法则，有

$ \begin{aligned} & w_{1} \beta_{1} \oplus w_{2} \beta_{2}=\left[1-\varphi^{-1}\left(w_{1} \varphi\left(1-r_{1}\right)\right)\right] \cdot \\ & \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left[1-\varphi^{-1}\left(w_{1} \varphi\left(1-\omega_{1}\right)\right)\right]} \oplus\left[1-\varphi^{-1}\left(w_{2} \varphi\left(1-r_{2}\right)\right)\right] \cdot \\ & \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left[1-\varphi^{-1}\left(w_{2} \varphi\left(1-\omega_{2}\right)\right)\right]}。\end{aligned} $

对于振幅项，有

$ \begin{aligned} & {\left[1-\varphi^{-1}\left(w_{1} \varphi\left(1-r_{1}\right)\right)\right] \oplus\left[1-\varphi^{-1}\left(w_{2} \varphi\left(1-r_{2}\right)\right)\right]=} \\ & 1-\varphi^{-1}\left[\varphi\left(1-\left(1-\varphi^{-1}\left(w_{1} \varphi\left(1-r_{1}\right)\right)\right)\right)+\right. \\ & \left.\varphi\left(1-\left(1-\varphi^{-1}\left(w_{2} \varphi\left(1-r_{2}\right)\right)\right)\right)\right]= \\ & 1-\varphi^{-1}\left(w_{1} \varphi\left(1-r_{1}\right)+w_{2} \varphi\left(1-r_{2}\right)\right) 。\end{aligned} $

对于相位项，有

$ \begin{aligned} & {\left[1-\varphi^{-1}\left(w_{1} \varphi\left(1-\omega_{1}\right)\right)\right] \oplus\left[1-\varphi^{-1}\left(w_{2} \varphi\left(1-\omega_{2}\right)\right)\right]=} \\ & 1-\varphi^{-1}\left(w_{1} \varphi\left(1-\omega_{1}\right)+w_{2} \varphi\left(1-\omega_{2}\right)\right)。\end{aligned} $

因此，n=2时，式(3)成立。假设当n=m时，式(3)成立，则当n=m+1时，有

$ \begin{aligned} & \bigoplus_{t=1}^m w_t \beta_t \oplus w_{m+1} \beta_{m+1}= \\ & {\left[1-\varphi^{-1}\left(\sum\limits_{t=1}^m w_t \varphi\left(1-r_t\right)\right)\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left[1-\varphi^{-1}\left(\sum\limits_{t=1}^m w_t \varphi\left(1-\omega_t\right)\right)\right]} \oplus} \\ & {\left[1-\varphi^{-1}\left(w_{m+1} \varphi\left(1-r_{m+1}\right)\right)\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left[1-\varphi^{-1}\left(w_{m+1} \varphi\left(1-\omega_{m+1}\right)\right)\right]}=} \\ & {\left[1-\varphi^{-1}\left[\sum\limits_{t=1}^m w_t \varphi\left(1-r_t\right)+w_{m+1} \varphi\left(1-r_{m+1}\right)\right]\right]}\cdot\\ & \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left[1-\varphi^{-1}\left[\sum\limits_{t=1}^m w_t \varphi\left(1-\omega_t\right)+w_{m+1} \varphi\left(1-\omega_{m+1}\right)\right]\right]}= \\ & {\left[1-\varphi^{-1}\left(\sum\limits_{t=1}^{m+1} w_t \varphi\left(1-r_t\right)\right)\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left[1-\varphi^{-1}\left(\sum\limits_{t=1}^{m+1} w_t \varphi\left(1-\omega_t\right)\right)\right]}}。\end{aligned} $

因此，对n=m+1，式(3)仍然成立。故对于任意n，式(3)总成立。

定义9  令β_t=r_te^i2πω_t∈Ω(t=1, 2, …, n)为一组CFNs，w =(w₁, w₂, …, w_n)^T为其权重向量，满足w_t∈[0, 1]且$\sum\limits_{t=1}^n w_t=1 $，阿基米德copula复模糊加权几何平均算子(Archimedean copula complex fuzzy weighted geometric average operator, AC-CFWGA)f_AC-CFWGA: Ωⁿ→Ω为

$ \begin{aligned} & A C-C F W G A_{w}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)= \\ & f_{\mathrm{AC}-\mathrm{CFWGA}}\left\{\left(\beta_{t}, w_{t}\right) \mid t=1,2, \cdots, n\right\}=\bigotimes_{t=1}^{n} c\left(\beta_{t}\right)^{w_{t}} 。\end{aligned} $

定理3  对一组CFNs，β_t=r_te^i2πω_t∈Ω(t=1, 2, …, n)，w =(w₁, w₂, …, w_n)^T为其权重向量，则

$ \begin{aligned} & A C-C F W G A_{w}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)=\bigotimes_{t=1}^{n} c\left(\beta_{t}\right)^{w_{t}}= \\ & {\left[\varphi^{-1}\left(\sum\limits_{t=1}^{n} w_{t} \varphi\left(r_{t}\right)\right)\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left[\varphi^{-1}\left(\sum\limits_{t=1}^{n} w_{t} \varphi\left(\omega_{t}\right)\right)\right]}}。\end{aligned} $

通过AC-CFWAA算子或AC-CFWGA算子，对复模糊数聚合后得到的结果依然为复模糊数，即这两种算子保持运算的封闭性，且满足性质1)~3)。

1) 幂等性：若β_t=β(t=1, 2, …, n)，则

$ \begin{aligned} & A C-C F W A A_{w}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)=\beta, \\ & A C-C F W G A_{w}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right)=\beta 。\end{aligned} $

证明   若β_t=β=r_βe^i2πω_β(t=1, 2, …, n)，则

$ \begin{aligned} & {\left[1-\varphi^{-1}\left(\sum\limits_{t=1}^n w_t \varphi\left(1-r_\beta\right)\right)\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left[1-\varphi^{-1}\left(\sum\limits_{t=1}^n w_t \varphi\left(1-\omega_\beta\right)\right)\right]}=} \\ & {\left[1-\varphi^{-1}\left(\varphi\left(1-r_\beta\right)\right)\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left[1-\varphi^{-1}\left(\varphi\left(1-\omega_\beta\right)\right)\right]}=r_\beta \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi \omega_\beta}=\beta 。} \end{aligned} $

2) 单调性：若$\beta_t \leqslant \hat{\beta}_t(t=1,2, \cdots, n) $，则

$ \begin{aligned} & A C-C F W A A_{w}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right) \leqslant \\ & A C-C F W A A_{w}\left(\hat{\beta}_{1}, \hat{\beta}_{2}, \cdots, \hat{\beta}_{n}\right), \\ & A C-C F W G A_{w}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right) \leqslant \\ & A C-C F W G A_{w}\left(\hat{\beta}_{1}, \hat{\beta}_{2}, \cdots, \hat{\beta}_{n}\right) \text { 。} \end{aligned} $

证明  由假设$\beta_t \leqslant \hat{\beta}_t(t=1,2, \cdots, n) $，不妨设$r_t \leqslant \hat{r}_t, \omega_t \leqslant \hat{\omega}$，由定义5可知，φ为递减函数，则φ^-1为递增函数，对于振幅项，有

$\varphi\left(1-r_t\right) \leqslant \varphi\left(1-\hat{r}_t\right) $，则

$ \begin{aligned} & -1\left(\sum\limits_{t=1}^{n} w_{t} \varphi\left(1-r_{t}\right)\right) \geqslant \varphi^{-1}\left(\sum\limits_{t=1}^{n} w_{t} \varphi\left(1-\hat{r}_{t}\right)\right), \\ & -\varphi^{-1}\left(\sum\limits_{t=1}^{n} w_{t} \varphi\left(1-r_{t}\right)\right) \leqslant \\ & -\varphi^{-1}\left(\sum\limits_{t=1}^{n} w_{t} \varphi\left(1-\hat{r}_{t}\right)\right) 。\end{aligned} $

同理，对于相位项，有

$ 1-\varphi^{-1}\left(\sum\limits_{t=1}^{n} w_{t} \varphi\left(1-\omega_{t}\right)\right) \leqslant 1-\varphi^{-1}\left(\sum\limits_{t=1}^{n} w_{t} \varphi\left(1-\hat{\omega}_{t}\right)\right) 。$

因此，

$ \begin{aligned} & A C-C F W A A_{w}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right) \leqslant \\ & A C-C F W A A_{w}\left(\hat{\beta}_{1}, \hat{\beta}_{2}, \cdots, \hat{\beta}_{n}\right) 。\end{aligned} $

3) 有界性：

$ \begin{aligned} & \min \left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right\} \leqslant A C-C F W A A_{w}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right) \leqslant \\ & \max \left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right\}, \\ & \min \left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right\} \leqslant A C-C F W G A_{w}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right) \leqslant \\ & \max \left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right\} \text { 。} \end{aligned} $

证明  令min{β₁, β₂, …, β_n}=β_l，max{β₁, β₂, …, β_n}=β_u，由单调性可知

$ \mathop \oplus \limits_{t=1}^n c w_t \beta_l \leqslant \mathop \oplus \limits_{t=1}^n c w_t \beta_t \leqslant \mathop \oplus \limits_{t=1}^n c w_t \beta_u \text { 。} $

又由幂等性可知

$ \mathop \oplus \limits_{t=1}^n{ }_c w_t \beta_l=\beta_l, \mathop \oplus \limits{t=1}^n{ }_c w_t \beta_u=\beta_u, $

故

$ \beta_l \leqslant \mathop \oplus \limits_{t=1}^n c w_t \beta_t \leqslant \beta_u, $

即

$ \begin{aligned} & \min \left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right\} \leqslant A C-C F W A A_{w}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right) \leqslant \\ & \max \left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right\} \text { 。} \end{aligned} $

显然，AC-CFWAA算子和AC-CFWGA算子会随copula函数生成元的变化而发生变化，两算子均可写成f{(r_t, w_t) t=1, 2, …, n }e^{i2πf{(ω_t, w_t) t=1, 2, …, n }}的形式。常用阿基米德copula函数对应的f{(x_t, w_t) t=1, 2, …, n }见表 2。

4 基于阿基米德copula复模糊信息集成算子的决策方法

在多属性群决策中，有专家集E={e₁, e₂, …, e_u}，方案集X={X₁, X₂, …, X_m}和属性集C={C₁, C₂, …, C_n}。专家e_k利用复模糊集表示对每个属性C_q(q=1, 2, …, n)下方案X_p(p=1, 2, …, m)的评价信息，表示为v_pq^k=r_pq^ke^i2πω_pqk，得到专家e_k的评价矩阵V^k=(v_pq^k)_m×n, k=1, 2, …, u。决策的具体流程如下。

步骤1  规范化评价矩阵，属性集C中的属性可分为效益型属性G₁和成本型属性G₂。针对成本型属性下的评价值，需要通过补运算规范化处理。通过式(4)对评价信息进行处理，得到规范化评价矩阵$\hat{\boldsymbol{V}}^k=\left(\hat{v}_{p q}^k\right)_{m \times n}, k=1,2, \cdots, u $，其中

$ \hat{v}_{p q}^{k}= \begin{cases}r_{p q}^{k} \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi \omega_{p q}^{k}}, & C_{q} \in G_{1}, \\ \left(1-r_{\beta}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi\left(1-\omega_{\beta}\right)}, & C_{q} \in G_{2} 。\end{cases} $

(4)

步骤2   已知专家权重 w =(w₁, w₂, …, w_n)^T，运用AC-CFWAA算子(或AC-CFWGA算子)对规范化评价矩阵$\hat{\boldsymbol{V}}^k $进行聚合，得到综合评价矩阵$\bar{\boldsymbol{V}}= \left(\bar{v}_{p q}\right)_{m \times n}=\left(\bar{r}_{p q} \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi \bar{\omega}_{p q}}\right)_{m \times n}$。

步骤3  利用熵权法计算属性$ C_{q} $权重。首先利用式（2）计算$ \bar{v}_{p q} $的熵$ \sigma\left(\bar{v}_{p q}\right) $，再计算属性$ C_{q} $的熵$ E_{q}=-\frac{1}{\ln m} \sum\limits_{p=1}^{m} e_{p q} \ln e_{p q} $，其中$ : \; e_{p q}=\frac{\sigma\left(\bar{v}_{p q}\right)}{\sum\limits_{p=1}^{m} \sigma\left(\bar{v}_{p q}\right)} $，最后计算属性$ C_{q} $的权重$ w_{q}^{\prime}=\left(1-E_{q}\right) /\left(n-\sum\limits_{s=1}^{n} E_{s}\right) $。

步骤4  根据属性权重$ \boldsymbol{w}^{\prime}=\left(w_{1}^{\prime}, w_{2}^{\prime}, \cdots, w_{n}^{\prime}\right)^{\mathrm{T}} $，利用AC－CFWAA算子（或AC－CFWGA算子）对$ \overline{\boldsymbol{V}}= \left(\bar{v}_{p q}\right)_{m \times n} $进行聚合，得到方案$ X_{i} $的综合评价值$ \tilde{v}_{p}= \tilde{r}_{p} \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi \tilde{\omega}_{p}}(p=1,2, \cdots, m) $。

步骤5  利用式(1)和式(2)计算各方案的综合评价值$\tilde{v}_p $的得分和熵，并根据定义4对各方案进行排序，选择最优备选方案。

5 案例分析 5.1 复模糊决策过程

随着全球对可再生能源需求的日益增长，太阳能作为一种清洁、可持续的能源形式，受到了广泛的关注。建设太阳能发电厂不仅可以满足能源需求，还能促进经济发展，减少碳排放。但如何选址是一个关键问题，因为它直接影响发电厂的效率、成本以及对当地环境的影响。选址专家在为太阳能发电厂选择合适地点时，主要关注以下四个属性。

基本定价结构(C₁): 定价应根据各种因素计算，如建造工厂的土地成本、运输原材料所需的运输费用等。工厂所在地必须有充足且价格低廉的材料供应。

太阳辐射强度(C₂): 太阳辐射强度是光伏发电的首要因素，对光伏发电有着重要影响。

基础设施建设(C₃): 良好的基础设施(如电网连接、道路、供水等)能够有效保障太阳能发电厂的顺利运行。

激励方案与公共政策(C₄): 政府的补贴、税收优惠等政策支持可以降低项目的投资成本，提高项目的可行性。

设$ E=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} $为专家集，$ \boldsymbol{w}=(0.3,0.4 $，$ 0.3)^{\mathrm{T}} $为专家权重向量，依据以上四个属性对方案$ X=\left\{X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}\right\} $进行选址决策，表 3~5分别为3个专家的评价结果。根据本文所述方法对四种方案进行评估，确定最佳选址。

步骤1   在属性集C中，属性C₁为成本型属性，其他均为效益型属性，利用式(4)对 V^k进行转换，得到规范化评价矩阵。

步骤2  已知专家权重$ \boldsymbol{w}=(0.3,0.4,0.3)^{\mathrm{T}} $，利用表 2中Gumbel copula对应的AC－CFWAA算子（$ \theta $取1）对规范化评价矩阵$ \hat{\boldsymbol{V}}^{k} $进行聚合，得到综合评价矩阵$ \overline{\boldsymbol{V}} $，具体见表 6。

步骤3  利用熵权法计算各属性的权重分别为：$ w_{1}^{\prime}=0.108, w_{2}^{\prime}=0.721, \; w_{3}^{\prime}=0.076, w_{4}^{\prime}=0.095 $。

步骤4  通过步骤3计算出的各属性权重并利用Gumbel copula对应的AC－CFWGA算子（$ \theta $取1）对$ \overline{\boldsymbol{V}}=\left(\bar{v}_{p q}\right)_{4 \times 4} $进行聚合，得到方案$ X_{p} $的综合评价值$ \tilde{v}_{p} $为：$ \tilde{v}_{1}=0.748 \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi(0.585)}, \tilde{v}_{2}=0.761 \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi(0.604)} $，$ \tilde{v}_{3}=0.636 \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi(0.596)}, \tilde{v}_{4}=0.709 \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi(0.575)} $。

步骤5  通过式（1）计算出各方案的得分结果分别为：$ S\left(\tilde{v}_{1}\right)=0.666, S\left(\tilde{v}_{2}\right)=0.682, S\left(\tilde{v}_{3}\right)= 0.616, S\left(\tilde{v}_{4}\right)=0.642 $，方案排序为$ X_{2}>X_{1}>X_{4}> X_{3} $，说明在$ X_{2} $处建太阳能发电厂最优。

5.2 灵敏性分析与对比分析

决策专家能够依据自身风险偏好对阿基米德copula函数中生成元φ和参数θ进行调整，通过观察各方案得分值随生成元φ和参数θ的变化情况，分析它们对决策结果的影响。分别使用常用的阿基米德copula函数，并让参数θ在给定的范围内变化，具体计算过程与上述步骤相同，得到各方案的综合得分，结果如图 1所示。

从图 1可以看出，聚合结果受信息聚合算子和所设置参数的影响。在第一次使用AC-CFWAA算子，第二次使用AC-CFWGA算子的场景下，主要实验结果如下。

1) 使用基于Gumbel copula和GS copula函数的聚合算子，聚合结果相似，各方案得分均在[0.57, 0.69]内单调变化。当参数θ取值大于0.4时，各方案得分保持相对稳定。若决策者倾向于保守求稳，宜选择较大的θ值；若决策者偏好冒险激进，则可考虑选取较小的θ值。

2) 使用基于Frank copula函数的聚合算子时，各方案得分在[0.59, 0.69]内单调变化。当参数θ取值为负时，各方案得分保持相对稳定；当参数θ取值为正时，各方案得分受参数θ取值的影响较大。此时，若决策者偏好保守求稳，则参数θ宜取负值；若决策者偏好冒险激进，参数θ可取正值。

3) 使用基于AMH copula函数的聚合算子时，各方案得分分别近似为0.67、0.68、0.645、0.615且保持相对稳定，区分度较大，容易对各方案进行择优排序。

4) 使用基于Clayton copula函数的聚合算子时，各方案得分在[0.6, 1]内“协同”变化，且受参数θ取值的影响显著，难以实现精准择优排序。

接下来，将本文提出的基于阿基米德copula函数的方法分别与文献[9-11]中提出的复模糊聚合算子进行对比，结果见表 7。

从表 7可以看出，使用文献[9]中的聚合算子进行评估时，各方案得分会随运算次数的增加而不断接近0或1，造成信息失真。使用本文聚合算子或文献[10-11]中聚合算子进行评估时，X₂均为最佳方案，具有较强的参考价值。从信息融合的灵活性看，本文提出的算子可以借助生成元φ与参数θ的调整，有效反映专家的风险偏好，优化专家评价信息的融合效果，相较于文献[10-11]中的聚合算子，具有更好的灵活性。

6 结语

基于阿基米德copula及其伴随copula函数，构造复模糊数的新型运算，并提出阿基米德copula复模糊加权算术平均和几何平均算子。在属性权重未知的多属性群决策情景下，使用熵权法计算属性权重，并利用上述平均算子进行复模糊信息聚合与方案择优，通过实验说明方法的有效性与灵活性。该研究进一步丰富复模糊信息融合的方法与技术。

进一步，可以将阿基米德copula复模糊信息的运算应用于其他综合评价方法^[18-19]，也可将阿基米德copula应用于更加复杂的复模糊情景中^[20-21]。