0 引言

近年来，为缓解环境污染和能源安全问题，电动汽车得到了快速发展。到2022年底，中国电动汽车保有量已达到1 045万辆^[1]。然而，鉴于电动汽车的续航里程有限，有必要在道路沿线设置充电站，以方便电动汽车的能源供应。电动汽车充电站的科学选址不仅能让运营商获得经济效益, 提升用户体验，还能促进电动汽车产业可持续发展。因此，开展电动汽车充电站选址研究具有重要意义。

在规划电动汽车充电站的位置时，首要任务是建立数学模型并推导代表性因素以突出模型变化。Yi等^[2]建立了用户满意度的充电站选址模型，其中用户满意度包括充电便利性、充电时间和充电成本。朱永胜等^[3]建立了考虑用户的动态充电需求的选址模型。Ren等^[4]建立了基于社会总成本的选址框架，其中包括运营费用、浪费成本和建设成本。Zhou等^[5]综合经济成本和环境成本构建了充电站社会总成本选址模型。Liu^[6]提出了一个双层规划框架来处理与电动汽车充电基础设施规划相关的问题。该框架纳入了充电站容量、配电网接纳能力和投资限制等约束。建立选址模型后，需要合理选择和应用求解算法，以帮助决策者得到最优的充电站选址方案。当前已有多种算法应用于充电站的选址，如鲸鱼优化算法^[7]、粒子群优化算法^[8]、布谷鸟搜索算法^[9]、遗传算法^{[5, 10]}以及结合多种算法的混合式算法^[11]等。

综上，电动汽车充电站选址存在多种影响因素，因此多目标选址模型成为当前研究热点之一。以往的研究模型中很少综合考虑运营商成本和用户满意度对充电站选址的影响，此外，在选址算法中，非支配排序遗传算法Ⅱ(NSGA-Ⅱ)在电动汽车充电站的位置规划领域越来越受欢迎。然而传统的NSGA-Ⅱ算法存在陷入局部最优的缺点^[12]。基于上述问题，本文提出了一种基于改进NSGA-Ⅱ算法的多目标充电站位置选择方法。首先，建立考虑运营商成本因素(土地成本、建设成本、运营成本和政府补贴)以及用户满意度因素(充电距离满意度、等待时间满意度)的多目标选址模型。然后，为提高多目标模型求解效果，在NSGA-Ⅱ算法选择个体时，将参考点策略引入其中，以弥补收敛性差和多样性的问题。最后，以重庆江北区为案例，对所提选址方法进行验证。

1 多目标选址模型构建 1.1 问题假设

为有效满足电动汽车充电需求，同时考虑用户满意度并最大限度地降低运营商成本，对充电站选址问题作出以下假设：

1) 不考虑一桩多充，充电桩只能同时为一辆电动汽车充电；

2) 假设耗电量仅取决于行驶距离，而不考虑温度等外部因素；

3) 所有充电桩都是快速充电桩，每个充电桩都有相同的规格，并提供相同的服务容量；

4) 用户只选择最近的充电站进行充电。

1.2 目标函数建立 1.2.1 目标函数Ⅰ：最小运营商成本

本文中运营商成本包括土地成本、建设成本、运营成本和政府补贴。

目前，运营商主要通过向地方政府租赁土地来建设电动汽车充电站。土地成本为

$ C_{j}^{1}=q_{j} c_{r}, $

其中：$C_{j}^{1}$表示土地成本；c_r表示单位停车位租金，为2万元/年；q_j表示第j个候选充电站的充电桩数量，由充电需求决定。

建设成本是指在建设期内建充电桩等设备产生的费用。建设成本为

$ C_{j}^{2}=c_{1}+q_{j} c_{2}, $

其中：$C_{j}^{2}$表示建设成本；c₁表示充电站固定成本，为120万元/年；c₂表示充电桩的单位成本，为7万元/年。为使建设成本计算结果更加合理，本文考虑了折旧率，折旧率为

$ g\left(i_{0}\right)=\left[i_{0}\left(1+i_{0}\right)^{k}\right] /\left[\left(1+i_{0}\right)^{k}-1\right], $

其中：$g\left(i_{0}\right)$ 表示折旧率函数；i₀表示贴现率，为0.08；k表示使用年限，为20年。

运营成本包括设备维护、员工工资等。运营成本与建设成本相关，一般为建设成本乘以一个费用折算率，运营成本为

$ C_{j}^{3}=\beta C_{j}^{2}, $

其中：$C_{j}^{3}$表示运营成本；β表示费用折算率，为0.1。

充电站是一种公共基础设施，政府通常会根据建设成本提供补贴。政府补助为

$ B_{j}=\theta C_{j}^{2}, $

其中：B_j表示政府补贴；θ为建设与补贴之间的关系系数，为0.1。

综上，最小运营商成本的目标函数为

$ \begin{aligned} & \min G_{1}=\left(\sum\limits_{j \in J} C_{j}^{1} X_{j}+\sum\limits_{j \in J} g\left(i_{0}\right) C_{j}^{2} X_{j}+\right. \\ & \left.\sum\limits_{j \in J} C_{j}^{3} X_{j}-\sum\limits_{j \in J} B_{j} X_{j}\right) / 365, \end{aligned} $

其中：G₁表示运营商成本；X_j表示0~1决策变量，如果在充电站候选点j处建站，取值为1，反之取为0；J表示候选站点集合。

1.2.2 目标函数Ⅱ：最大用户满意度

用户满意度由距离满意度和用户等待时间满意度组成。

用户对充电站的满意度受到距离的影响。充电站越近，用户满意度越高，相反则越低。为分析此关系，假设用户以恒定速度前往充电站，并将距离作为自变量，用户的距离满意度函数为^[13]

$ g_{i}\left(d i s_{i j}\right)=\left\{\begin{array}{l} 0, \quad d_{\max }<d i s_{i j}, \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos \left[\frac{\mathsf{π}}{2}+\frac{\mathsf{π}}{d_{\max }-d_{\min }}\left(d i s_{i j}-\frac{d_{\max }+d_{\min }}{2}\right)\right], \\ d_{\min } \leqslant d i s_{i j} \leqslant d_{\max }, \\ 1, 0<d i s_{i j}<d_{\min }, \end{array}\right. $

其中：g_i(dis_ij) 表示用户距离满意度；dis_ij表示需求点i与充电站候选点j之间的距离；d_max和d_min分别表示最大接受距离和可接受的最短距离，分别取值为3 km和1 km。

等待时间会影响用户对该充电站的体验。满意度随着等待时间的减少而提高。等待时间满意度为

$ g_{i}\left(t_{j}\right)=\left\{\begin{array}{lc} 0, & t_{\max }<t_{j}, \\ \frac{t_{\max }-t_{j}}{t_{\max }-t_{\min }}, & t_{\min } \leqslant t_{j} \leqslant t_{\max }, \\ 1, & t_{j}<t_{\min }, \end{array}\right. $

其中：g_i(t_j)表示用户等待时间满意度；t_j表示用户在充电站候选点j的等待时间；t_max和t_min分别表示用户可接受的最长等待时间和最短等待时间，分别取值为10 min和3 min。当充电站没有空余充电桩时，用户需要排队等待充电。本文采用排队论方法来计算等待时间，

$ \begin{gathered} t_{j}=\frac{\left(q_{j} \rho_{j}\right)^{q_{j}} \rho_{j}}{q_{j}!\left(1-\rho_{j}\right)^{2} \lambda} \times P_{0}, \\ P_{0}=\left[\sum\limits_{k=0}^{q_{j}-1} \frac{1}{k!}\left(\frac{\lambda}{\varepsilon}\right)^{k}+\frac{1}{q_{j}} \cdot \frac{1}{1-\rho_{j}}\left(\frac{\lambda}{\varepsilon}\right)^{q_{j}}\right]^{-1}, \\ \rho_{j}=\frac{\lambda}{q_{j} \varepsilon}, \end{gathered} $

其中：λ表示每小时进入充电站的电动汽车数量；ρ_j表示充电站候选点j的服务强度；P₀表示充电站的空闲率；ε表示每个充电桩每小时的充电车辆数量。

综上，用户满意度的目标函数为

$ \max G_{2}=\sum\limits_{i \in I} \sum\limits_{j \in J} g_{i}\left(\operatorname{dis}_{i j}\right) m_{i} Y_{i j}+\sum\limits_{i \in I} \sum\limits_{j \in J} g_{i}\left(t_{j}\right) m_{i} Y_{i j} $

其中：G₂表示用户满意度；m_i表示需求点i的充电需求数量；Y_ij表示0~1决策变量，如果需求点i前往候选点充电站j处充电，取值为1，反之取为0；I表示需求点集合。

1.2.3 约束条件

确定电动汽车充电站的选址涉及一系列约束，这在决策过程中至关重要。

约束条件$\operatorname{dis}_{i j} Y_{i j} \leqslant \operatorname{dis}_{\text {max }}, \forall i \in I, j \in J$ 表示剩余电量能行驶的最大距离应大于需求点与站点之间的距离。约束条件$q_{\text {min }} \leqslant q_{j} \leqslant q_{\text {max }}, \forall j \in J$表示充电站内充电桩的数量约束，$q_{\text {min }}$ 和$q_{\text {max }}$分别为3和20。约束条件$\sum\limits_{i} m_{i} Y_{i j} \leqslant T q_{j} / t, \forall i \in I, j \in J$ 表示充电站的服务强度。约束$X_{j} \in\{0, 1\}, \forall j \in J$ 和约束$Y_{i j} \in \{0, 1\}, \forall i \in I, j \in J$为0~1约束。

2 改进的NSGA-Ⅱ算法

改进的NSGA-Ⅱ算法与传统的NSGA-Ⅱ算法具有相同的过程，但在个体选择机制上存在差异。本文将参考点策略引入算法中用于选择个体，以解决传统NSGA-Ⅱ算法收敛性和多样性差的问题。改进NSGA-Ⅱ算法的参考点选择策略如下。

1) 函数标量化

对目标函数进行标量化，得到相应的参考点。先根据目标函数的个数，得到每个目标维度i的最小值z_i，最小值为理想点。在获得理想点后，对其进行标量化，

$ f_{i}^{\prime}(x)=f_{i}(x)-z_{i}^{\min } 。$

将ASF(achievement scalarizing function)函数作用于每一个维度的目标函数寻求极值点，

$ {ASF}(x, \boldsymbol{w})=\max\limits _{i=1: m} f_{i}^{\prime}(x) / \boldsymbol{w}_{i}, $

其中：w为权重向量。通过遍历每个函数，找到与ASF值对应的最小个体，这些个体被称为极值点。根据这些极值点，计算截距a_i。然后利用a_i与z_i进行归一化运算，即

$ f_{i}^{n}(x)=f_{i}^{\prime}(x) /\left(a_{i}-z_{i}^{\min }\right) 。$

2) 筛选子代

参考点与多个子代种群相关。经过非支配排序后，若第一个非支配层到第L层，种群数目之和大于种群规模N，则设定S_t+1包含所有个体。若S_t+1的规模超过了之前的种群数目，则进行筛选。在筛选过程中，先遍历每个参考点以确定参考点未被S_t+1记录的次数，找到次数最少的参考点，将其定义为p_j。根据不同情况对p_j进行取值。

ⅰ) 如果对应参考点的种群个数为0，则p_j为0。

ⅱ) 如果在L层级中有个体种群被关联到这个参考点，则从中寻找距离最近的点。然后从L中提取并添加到被选择的下一代种群中，更新为p_i=p_i+1。如果L层级中没有对应的参考点记录，则将其删除。

ⅲ) 如果p_i>0，选择最近的点直到种群规模结束。

3 实证研究

本文选取重庆江北区为研究对象。江北区从西向东呈长条状分布，总面积约220.8平方公里，具有商业繁荣、住宅密度高、产业多、交通枢纽网络密集的特点，为电动汽车的快速发展提供了充分条件。

3.1 充电需求点分析

兴趣点(point of interest, POI)在地理信息领域占有重要地位。包含如名称、坐标和类别等基本信息，在选址和城市规划中起着至关重要的作用。POI数据可以对城市交通进行评价和规划。本文利用POI数据对电动汽车用户的充电需求点进行分析。

通过高德地图开放平台获取重庆江北区的POI数据。根据数据类别进行分类，获得了江北区的工作区、住宅区、商业区、公共区和休闲区五大类型区域的POI数据。对每个功能区的原始数据进行处理。提取坐标，并使用K-means聚类和密度聚类混合算法对获得的数据进行聚类分析。每个功能区的聚类结果如图 1所示，共有82个聚类中心，表示82个充电需求点。

3.2 充电需求预测 3.2.1 电动汽车数据预处理

电动汽车出行数据由重庆新能源汽车企业提供。通过车辆的“智能驾驶盒子”收集了江北区200辆电动汽车的数据。数据获取后，提取本文所需的相关信息，包括车辆名称、时间点、电量以及车辆所处位置经、纬度等。最后使用平均值填充缺失值，并使用三倍标准差去除异常值。

3.2.2 出行特征分析

1) 开始出行时刻

由于开始出行时刻直接影响一天中不同时间的充电需求水平，因此确定电动汽车用户的开始出行时刻对于准确预测其充电需求至关重要。数据的拟合结果表明，电动汽车用户开始出行时刻特征服从正态分布，即

$ f\left(T_{\text {first }}, \mu_{s}, \sigma_{s}\right)=\frac{1}{\sigma_{s} \sqrt{2 \mathsf{π}}} \mathrm{e}^{\left[-\frac{\left(T_{\text {first }}-\mu_{s}\right)^{2}}{2 \sigma_{s}^{2}}\right]}, $

其中：T_first表示开始出行时刻，其取值范围为0~24；期望值μ_s=6.92；标准差σ_s=1.24。

2) 各功能区停车时间

停车时间的长短会影响电动汽车用户在充电时的决策^[14]。对每个功能区的停车时间进行数据拟合，发现除了住宅区的停留时间不能发现其规律外，其他功能区都符合广义极值分布函数，其拟合结果为

$ f\left(T_{p}, k, \sigma, \mu\right)=\frac{1}{\sigma} \mathrm{e}^{\left[\left(-1+\frac{T_{p}-\mu}{\sigma}\right)\left(-\frac{1}{k}\right)\right]\left(1+k \frac{\left(T_{p}-\mu\right)}{\sigma}\right)\left(-1-\frac{1}{k}\right)}, $

其中：T_p为停车时长；k，σ，μ为公式中的参数，工作区的参数值分别为-0.23，165.21，438.45，商业区、休闲区、公共区的参数值相同，分别取值为0.66，41.76，68.52。

3) 单次行驶距离

数据结果表明，单次行驶距离的概率密度分布函数遵循正态分布，其拟合结果为

$ f(L, \mu, \sigma)=\frac{1}{L \sigma \sqrt{2 \mathsf{π}}} \mathrm{e}^{\left[-\frac{(\ln L-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right]}, $

其中：μ为3.20；σ为0.88。

4) 空间转移概率

电动汽车的出行链可看作是一种特殊的马尔科夫链^[15]。本文使用马尔科夫状态转移矩阵来描述电动汽车空间转移概率，以平均值表示电动汽车一天的出行概率，得到的概率为

$ P_{i j}=\left[\begin{array}{lllll} 0.007 & 0.410 & 0.199 & 0.224 & 0.160 \\ 0.190 & 0.532 & 0.117 & 0.121 & 0.040 \\ 0.363 & 0.266 & 0.164 & 0.143 & 0.064 \\ 0.338 & 0.247 & 0.133 & 0.229 & 0.053 \\ 0.432 & 0.214 & 0.147 & 0.142 & 0.065 \end{array}\right], $

其中：P_ij为电动汽车转移概率。

5) 用户充电行为

用户充电行为仅考虑充电过程中的电量状态(SOC)。研究发现正态分布可以表示电动汽车电池SOC的随机特性^[16]。因此使用正态分布对数据进行拟合，发现用户充电过程中初始充电时的SOC符合正态分布，

$ f_{x \_M}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \mathsf{π}} \times 0.1007} \mathrm{e}^{-\frac{(x-0.4991)^{2}}{2 \times 0.1007^{2}}}, $

其中：x_M表示最低的SOC偏好的概念；x表示用户充电时的电量。

3.2.3 预测结果

本文利用蒙特卡罗方法模拟出行特征以估算充电需求点的充电需求。为有效满足用户的充电需求，将需求点在某时间段内充电的最高车辆数作为该点的充电需求量。充电需求点及对应充电需求量的部分数据如表 1所示。

3.3 选址结果

帕累托解集与目标值如表 2所示，共有12个帕累托解。从表 2中可以看出，运营商成本和用户满意度都随着充电站数量增加而增加。当建立14个充电站时，用户满意度达到了最高值2.00，运营商成本为49 134元。

目前，江北区对快速充电站的建设需求量较大。但当用户满意度最大时，运营商成本往往更高。因此，决策者应合理选择用户满意度，以降低成本。受限于总投资额，决策者选择在江北区建立10个充电站。通过算法对82个充电需求点进行分析，得到相应的充电站候选点位置和该点具体的充电需求分配，如表 3所示。

4 结语

本文研究了城市电动汽车公共充电站的选址问题。建立了综合考虑运营商成本和用户满意度的多目标选址模型，并以重庆江北区为研究对象进行实证研究。首先，通过对POI数据进行聚类分析得到82个充电需求点；然后，利用蒙特卡罗方法对电动汽车运行大数据进行分析，得到需求点的充电需求量；最后，采用改进NSGA-Ⅱ算法得到解集结果，并确定最终的选址方案。本文提出的定量选址决策方法对电动汽车充电站的选址具有一定的参考价值。然而，本文中仍存在一定的局限性。例如，本文中的建模过程只考虑了运营商和用户两方面，尚未考虑其他主体以及其他选址影响因素。因此，在未来的工作中，将继续完善电动汽车充电站的选址模型，纳入更多选址影响因素，如社会环境、配电系统、交通流量、政策背景等。