0 引言

武器目标分配(weapon target assignment，WTA)问题是作战指挥与控制决策领域的研究热点^[1], 其核心目标在于如何合理地分配有限的武器资源，旨在以最小化弹药成本消耗实现对敌方目标的最大杀伤，是一种典型的组合优化问题^[2]。

目前，关于组合优化问题的求解主要包括基本数学算法和智能优化算法^[3]。基本数学算法有隐枚举法、分支定界法、动态规划法等，其可以求得问题的精确解，但应对大规模优化问题时计算复杂度较高；智能优化算法有遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等，其具有较好的全局优化能力和并行处理优势，可以有效解决复杂的组合优化问题。因此，使用智能优化算法是一种有效解决WTA问题的主流方法。例如，文献[4]提出一种基于粒子群遗传禁忌的WTA优化算法，通过自适应调控种群多样性和改进遗传算法的交叉、变异算子及禁忌搜索的邻域动作对WTA问题进行求解。文献[5]提出一种双目标WTA问题的蚁群优化方法，并通过改进的蚁群算法获得Pareto最优解集对WTA问题进行求解。

鲸鱼优化算法作为一种智能优化算法，被广泛应用于WTA问题的求解^[6]。文献[7]采用改进多目标鲸鱼优化算法，通过加入交叉和变异机制增加种群多样性以提升算法性能。文献[8]提出一种非支配排序的鲸鱼优化算法，通过拥挤度计算策略和狩猎行为来更新非支配解集，并利用优化算法对WTA问题进行求解。文献[9]则引入反向精英保留和种群引导策略加快收敛速度，通过Levy变异策略提升算法全局搜索能力。

然而，这些改进的鲸鱼优化算法在实际求解WTA问题时存在以下不足：①求解过程中需要依赖专家经验提前设置网格划分和外部存档大小，而设置不同参数会显著影响解的质量和计算时间。②在选择Pareto最优解时过于随机，存在解集分布不均匀、种群多样性差以及容易陷入局部最优的问题。③在迭代更新中经常出现相同解被多次搜寻的情况，存在搜索效率低、空间探索能力较弱的问题。

针对上述问题，本文提出一种自适应禁忌搜索多目标鲸鱼优化算法(adaptive tabu search multi-objective whale optimization algorithm，A-TSMOWOA)用于求解多目标武器分配问题。该算法在以下三个方面进行了改进：

1) 通过自适应调整网格划分和外部存档大小，避免固定参数导致的人为影响。

2) 通过设计动态轮盘赌选择方法，提升种群的多样性和均匀性。

3) 通过引入禁忌列表和邻域搜索策略，增强算法的探索能力和避免陷入局部最优。

1 鲸鱼优化算法的改进 1.1 基本鲸鱼优化算法

鲸鱼优化算法是一种元启发式算法，其主要由搜索猎物、包围猎物和气泡网攻击三个阶段构成。

1) 搜索猎物

算法初期，鲸鱼个体根据自身的位置和周围环境的适应度来搜寻猎物的潜在位置。具体表示为

$ \begin{aligned} & \boldsymbol{X}(t+1)=\boldsymbol{X}_r(t)-\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{D}, \\ & \boldsymbol{D}=\left|\boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{X}_r(t)-\boldsymbol{X}(t)\right|, \end{aligned} $

(1)

其中：t为当前迭代次数；X_r(t)为种群随机选择的鲸鱼位置；X(t)为当前鲸鱼位置；X(t+1)为更新后的鲸鱼位置；A和C为系数向量；D为鲸鱼个体与最优解之间的距离。

2) 包围猎物

算法中期，鲸鱼个体会向猎物位置(较优解)包围游去。在这个过程中，鲸鱼会在水下形成一个气泡网，然后快速游到水面将猎物捕获。具体表示为

$ \begin{aligned} & \boldsymbol{X}(t+1)=\boldsymbol{X}_b(t)-\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{D}, \\ & \boldsymbol{D}=\left|\boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{X}_b(t)-\boldsymbol{X}(t)\right|, \end{aligned} $

(2)

其中：X_b(t)为目前得到的最优鲸鱼位置。

3) 气泡网攻击

算法后期，鲸鱼会采取一种特定的觅食行为将猎物捕获，称为气泡网攻击。具体表示为

$ \begin{aligned} \boldsymbol{X}(t+1) & =\boldsymbol{X}_b(t)+\boldsymbol{D} \cdot \mathrm{e}^{b l} \cos (2 \mathit{Π} l), \\ \boldsymbol{D} & =\left|\boldsymbol{X}_b(t)-\boldsymbol{X}(t)\right|, \end{aligned} $

(3)

其中：b是定义螺旋形状的常数；l为区间(-1, 1)上的随机浮点数。

1.2 改进鲸鱼优化算法

为解决多目标鲸鱼优化算法在求解WTA问题时遇到的参数设置经验化、种群多样性不足和空间搜索能力弱的问题，提出了三种算法改进策略。

1.2.1 自适应网格划分与外部存档调整策略

传统网格划分方法通常采用固定数值对目标维度进行划分，存在种群分布不均和多样性不足的问题^[10]。因此，设计了一种自适应网格划分策略，依据种群在目标空间的分布情况动态调整网格划分大小，以确保种群的多样性和分布均匀度。假设对有r个目标的优化问题进行网格划分，网格的切分方式满足以下公式：

$ {dist}_i=\frac{F_{\max }^{(i)}-F_{\min }^{(i)}}{G_i}, $

(4)

其中：dist_i为第i个目标空间的网格划分距离；F_max⁽ⁱ⁾和F_min⁽ⁱ⁾分别为第i个目标空间的适应度函数的最大值和最小值；G_i为网格划分数量。

为了解决固定网格划分的不足，结合经济学中的基尼系数^[11]，根据基尼系数(Gini)的值将dist_i的取值划分为

$ \begin{aligned} & {dist}_i= \\ & \left\{\begin{array}{l} {mean}([{dist}]), {Gini} \leqslant 0.4 \\ \frac{{mean}([{dist}])+{media}([{dist}])}{2}, 0.4<G i n i <0.8, \\ {mean}\left(\left[{dist}^*\right]\right), 0.8 \leqslant G i n i, \end{array}\right. \end{aligned} $

(5)

其中：[dist]表示第i个目标空间上相邻两个个体距离组成的数组；mean表示数组均值；media表示数组中位数；[dist^*]为对[dist]截取前θ∈(0, 1)取整后的距离数组。拟合数组[dist]的洛伦兹曲线，求取曲线中切线值最接近1的切点，切点所在位置的x即为θ的取值。

此外，针对算法求解过程中外部存档规模需要依赖专家经验设置的问题，提出了一种自适应外部存档调整策略^[12]。在传统策略的基础上改进了存档的最优解保留机制，根据存档空间中解的质量和多样性动态调整存档大小，具体包括以下步骤。

1) 去重操作。对于外部存档中存在相同决策变量的解决方案进行去重，只保留一个解决方案。

2) 保留冗余方案。为了增加种群个体的探索能力，保留一定比例决策变量不同但目标函数值相同的解决方案。

3) 网格密度删减。根据外部存档中网格密度分布情况，对网格密度较高处的冗余解方案进行删减操作，以保持存档的多样性和均匀性。

4) 外部存档阈值的设置与更新。根据外部存档中解决方案的数量以及冗余方案的数量，调整更新外部存档阈值大小。

1.2.2 动态轮盘赌选择方法

轮盘赌选择法^[13]是算法求解过程中的一种个体随机选择方法。传统轮盘赌选择法容易受到种群分布密度的影响，导致最优解集均匀性较差。因此，设计了一种动态轮盘赌选择方法，通过动态调整个体被选中的概率，以确保解集的多样性和均匀性。在算法迭代初期，根据外部档案划分计算网格密度分布，采用动态轮盘赌从外部档案中选择鲸鱼个体的最优解。在后期阶段，由于种群个体已具备一定的多样性，将全局网格密度的动态轮盘赌策略改为在个体邻域内进行筛选，这一过程可表示为

$ {Pgd}(i)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{G r i d_i} / \sum\limits_j^{N_{\text {Grid }}} \frac{1}{G r i d_j}, t=0, \\ P g d_{t-1}(i)+\frac{P g d_{t-1}(k)}{2 \cdot N_{\text {Grid }}^t}, t>0, i \neq k, \\ \frac{1}{2} P g d_{t-1}(i)+\frac{P g d_{t-1}(k)}{2 \cdot N_{\text {Grid }}}, t>0, i=k, \end{array}\right. $

(6)

$ p(i)=\frac{{Pgd}(i)}{{Grid}_i}, $

(7)

其中：Pgd(i)表示网格i选中最优个体的概率；Grid_i表示网格i中个体数量；N_Grid表示网格数目；k表示第t-1次选中最优个体的网格编号；p(i)表示网格i中个体被均匀选中的概率。

1.2.3 禁忌搜索算法

禁忌搜索是一种启发式算法^[14]，其通过维护禁忌列表避免重复搜索已经存在的解，可以防止算法陷入局部最优。因此，为增强算法的全局搜索能力，引入禁忌搜索算法中的禁忌列表和邻域搜索策略。禁忌列表用来记录已经搜索到的解，避免重复探索到相似解；邻域搜索则帮助算法在求解空间中寻找新解，避免算法陷入局部最优。在迭代过程中，算法会根据当前种群状态和目标函数值选择最优解，依据禁忌列表的记录决定是否接受新解，若接受则更新种群状态，反之会继续通过邻域搜索方法搜索新解。

2 A-TSMOWOA算法求解多目标武器分配问题 2.1 多目标武器分配数学模型

假设某次军事作战行动中，我方现有m种可用弹药资源，其库存数量为Num_i(i=1, 2, …, m)，成本为v_i(i=1, 2, …, m)。对敌方n个地面工事目标进行火力打击，每个目标的威胁度系数为ω_j(j=1, 2, …, n)，第i种弹药对第j个地面工事目标的毁伤概率为p_ij(i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n)，其中p_ij∈(0, 1)，则多目标武器分配的决策方案为

$ \boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_m \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1 n} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{m 1} & x_{m 2} & \cdots & x_{m n} \end{array}\right], $

(8)

其中：x_ij表示第i种弹药对第j个地面工事目标的弹药发射量；c_i表示为第i种弹药的总耗弹量。在实际场景中，弹药消耗总数不超过该弹药库存数量，因此x_ij同c_i的关系及限制条件可表示为

$ c_i=\sum\limits_{j=1}^n x_{i j}, x_{i j} \in \mathbf{N}, $

(9)

$ 0 \leqslant x_{i j} \leqslant c_i \leqslant N u m_i, \forall i \in\{1, 2, \cdots, m\} 。$

(10)

根据上述武器分配决策方案X，以最小化弹药成本消耗实现对敌方工事造成最大杀伤为目标^[15]，优化目标函数设计为

$ \left\{\begin{array}{l} \min F_1(\boldsymbol{X})=\sum\limits_{j=1}^n \omega_j \cdot \prod\limits_{i=1}^m\left(1-p_{i j}\right)^{x_{i j}}, \\ \min F_2(\boldsymbol{X})=\sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^n x_{i j} * v_i 。\end{array}\right. $

(11)

2.2 编码

为了直观反映武器目标火力分配方案，采用十进制编码规则^[16]。多目标武器分配的决策方案集合是一个由式(8)表示的矩阵，假设弹药种类为3种，敌方地面工事目标为4个，则某种群个体编码为

$ \boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right] 。$

具体来说，其火力决策方案为：对于第1种弹药，分配1枚给第2个地面工事，分配2枚给第3个地面工事；对于第2种弹药，分配1枚给第1个地面工事，分配1枚给第3个地面工事；其他弹药分配以此类推。

2.3 种群初始化

算法初始阶段会随机选择每种弹药的消耗量，并根据这些消耗量生成相应的目标分配方案，然后将各种弹药的分配方案组合成鲸鱼个体的编码方案X。其中，鲸鱼个体初始化的编码方案X必须同时满足式(9)和式(10)中规定的约束条件。任何不符合约束条件的编码方案都将被视为不合理，需要重新生成，直至满足所有约束条件为止。这一过程确保了算法在初始化阶段即具备有效性和合理性。

2.4 改进算法求解多目标武器分配问题

A-TSMOWOA算法处理多目标武器分配问题的基本步骤如下。

Step 1   设置鲸鱼种群大小N_p，鲸鱼种群初始位置Init_P，迭代次数t和最大迭代次数t_max，设置禁忌表存储容量Tabu_size和禁忌表粒子生存代数RL。

Step 2   计算种群P_t中鲸鱼个体的各个目标函数值(F₁，F₂)，并进行非支配排序，计算拥挤度距离。

Step 3   根据Step 2中的非支配排序等级，挑选出种群P_t中的Pareto前沿个体PF_t，将其保存到外部存档空间Archive中，使PF_t同Archive_t-1组合生成新的Archive_t。如果外部存档超出存储阈值，采用自适应网格划分策略删除密度大的个体，重新计算网格密度直至满足存储阈值。

Step 4   根据外部存档空间Archive中的鲸鱼种群网格密度分布，使用动态轮盘赌选择策略为每个鲸鱼个体筛选一个最优位置。

Step 5   将种群P_t存储到禁忌表Tabu_list中，设置新种群中鲸鱼个体在Tabu_list的生命周期cy为RL。对Tabu_list中所有个体生命周期减1，并移除cy≤0的个体。检查禁忌表Tabu_list是否超出存储容量Tabu_size，必要时进行删除以满足容量要求。

Step 6   依据鲸鱼优化算法的基本思想，控制每个鲸鱼个体向最优位置更新，并生成新种群P_t(0 < t≤t_max)。若新产生的个体在禁忌表中，则在其邻域内搜索并选取最优方案替换。

Step 7   判断是否达到最大迭代次数，是则跳出循环并输出最优解值和最优鲸鱼个体的位置信息，否则返回Step 2继续执行。

3 实验及分析 3.1 实验环境

实验环境描述如下：CPU为AMD Ryzen 7 5800H，GPU为NVIDIA GeForce RTX 3060 Laptop，内存为8 GB，操作系统选用Windows 10，编译语言为Python3.7。

3.2 实验设置

为了验证本文算法(A-TSMOWOA)在求解WTA问题中的优化性能，根据武器和目标的数量设置了不同规模的战斗场景，包括4W-4T、4W-5T、6W-5T、6W-6T、7W-7T和8W-8T，并针对每种情况生成毁伤概率矩阵、目标威胁系数、弹药成本和弹药库存，其中矩阵元素为随机生成。此外，将每种组合方案进行了20次独立重复实验。不同WTA场景下的实验数值见表 1。

3.3 评价指标

多目标优化问题涉及多个决策变量和目标函数，目的是找到一组解，使其在各个目标函数方面达到最优或接近最优。通过以下三项评价指标对模型进行综合性评估。

1) 解集覆盖率

解集覆盖率(C-metric)用于衡量近似Pareto前沿与真实Pareto前沿之间的覆盖程度。其值越大，表示最优解数量越多。具体表达式为

$ C {-metric }\left(P, P^*\right)=\frac{\left|\left\{x \in P^* \mid \exists y \in P: y <x\right\}\right|}{\left|P^*\right|}, $

(12)

其中：P^*表示真实Pareto前沿的解集；P表示近似Pareto前沿的解集；|·|表示其解集满足条件的数目；y < x表示y在求解目标维度上支配x。

2) 反世代距离评价指标

反世代距离评价指标(IGD)是计算真实Pareto前沿上的每个点到算法解集的最小距离和。其值越小，表示算法的收敛性能和分布性能越好。具体表达式为

$ {IGD}\left(X, P^*\right)=\frac{\sum\limits_{i=1}^{X \_ {number }} \min d\left(x_i, X\right)}{X \_ {number }}, $

(13)

其中：P^*为真实Pareto前沿分布解集；X为求解得到的Pareto前沿分布解集；x_i表示X上的一个解；min d(x_i, X)是x_i到P^*上所有点的最小欧氏距离；X_number为X的解集数量。

3) 间距指标

间距指标(Spacing)用于计算最优解集的分布均匀性，度量解集中每个解到其他解的最小距离的标准差。其值越小，表示解分布越均匀。具体表达式为

$ {Spacing}(P)=\sqrt{\frac{1}{|P|-1} \sum\limits_{i=1}^{|P|}\left(\bar{d}-d_i\right)^2} \text {, } $

(14)

其中：|P|表示种群数目；d_i表示种群中第i个解到其他解的最小距离；$\bar{d}$表示所有d_i的均值。

3.4 实验结果对比分析

1) 不同网格划分数结果分析

为验证基本鲸鱼优化算法在解决多目标优化问题时网格划分数对求解WTA问题的影响，针对不同武器目标规模和外部存档规模下的网格划分数进行独立实验。设置种群大小为100，网格划分数为10，20，30，…，290，300。不同网格划分数的真实前沿覆盖率对比如图 1所示。

图 1显示，网格划分数确实对多目标鲸鱼优化算法求解WTA问题的性能存在影响，求解精度会随着网格划分数的变化而发生改变。其中，较小的网格划分数可能导致解空间细粒度不足，使得算法难以在局部空间中深入搜索，从而影响全局最优解的发现。相反，较大的网格划分数可能会增加搜索空间的维度，使得算法的搜索范围过于广泛，从而导致搜索效率下降，甚至陷入局部最优解。

2) 不同存档规模结果分析

为验证基本鲸鱼优化算法在解决多目标优化问题时存档规模对求解WTA问题的影响，针对不同武器目标规模下的外部存档规模大小进行独立实验，设置种群大小为100，外部存档规模为50，100，150，200。在实验中对不同外部存档规模所求解到的最优方案采用MOWOA_T表示，其中T表示外部存档规模大小(T=50，100，150，200)。不同存档规模的实验结果对比见表 2。

表 2显示，存档空间的大小对求解结果具有显著影响。对于较大规模的WTA问题，如果存档空间较小，则会由于存档空间限制无法保存更多优质解，算法难以获取覆盖真实前沿的解集。相反，对于小规模的WTA问题，如果设置的存档空间较大(如150和200)时，算法的求解能力并未明显提升，反而会因为非支配算法的特性而增加求解时间。因此，人为设置外部存档空间的大小对鲸鱼优化算法的求解质量具有较大影响。

3) 消融实验及与其他优化算法对比分析

为验证各部分策略的有效性，对所提出的改进策略采用逐步累加的方式进行对比实验。在不同策略组合方案中，使用MOWOA表示基本鲸鱼优化算法，使用MOWOA_A表示采用自适应网格划分策略和自适应外部存档调整策略的多目标鲸鱼算法，使用MOWOA_A+B表示采用自适应网格划分策略、自适应外部存档调整策略和动态轮盘赌选择策略的多目标鲸鱼算法。

首先，为验证自适应网格划分策略和自适应外部存档调整策略的有效性，对MOWOA设置存档规模为100，采用不同的网格划分数，并从中选取最优情况与MOWOA_A进行实验结果对比。其次，为验证动态轮盘赌选择策略的有效性，将MOWOA_A和MOWOA_A+B进行实验结果对比。另外，为验证引入禁忌列表和邻域搜索策略的有效性，将MOWOA_A+B和本文算法(A-TSMOWOA)进行实验结果对比。最后，为验证所提算法的优越性，与NSGA-Ⅱ算法^[17]和MOPSO算法^[18]进行对比实验。消融实验及与其他优化算法的实验结果对比见表 3。

表 3给出了不同武器目标规模下MOWOA、MOWOA_A、MOWOA_A+B、NSGA-Ⅱ和MOPSO算法与A-TSMOWOA的实验结果对比。结果表明，MOWOA_A与MOWOA相比，其在C-metric、IGD和Spacing指标上基本相当，但在求解时间上有显著提升。MOWOA_A+B与MOWOA_A相比，其在IGD和Spacing指标上具有更好的种群分布多样性和均匀性。而A-TSMOWOA与MOWOA_A+B相比，其在C-metric指标和运行时间上均有明显提升，展现出了更高的求解质量和效率。具体而言，在相同的迭代次数下，在4W-4T问题中，A-TSMOWOA的C-metric和IGD指标分别提升了103.69%和43.49%；在4W-5T问题中，C-metric和IGD指标分别提升了49.15%和18.61%；在6W-5T问题中，C-metric和IGD指标分别提升了48.65%和27.57%；在6W-6T问题中，C-metric和IGD指标分别提升了51.62%和36.78%；在7W-7T问题中，C-metric和IGD指标分别提升了31.81%和38.79%；在8W-8T问题中，C-metric和IGD指标分别提升了17.69%和32.08%。

此外，相较于NSGA-Ⅱ和MOPSO算法，A-TSMOWOA在求解小规模WTA问题时，在C-metric和Spacing方面略有差异，但在IGD评价指标上表现优越；对于较大规模WTA问题，其在C-metric、IGD和Spacing指标上均取得了更优结果，具有明显优势。

综合表 3的实验结果，A-TSMOWOA算法在解决不同规模WTA问题时，在收敛性、多样性和均匀性方面均表现出较高的质量，能够更有效地应对火力分配问题。

4 结语

本文提出的自适应禁忌搜索多目标鲸鱼优化算法有效解决了传统多目标鲸鱼优化算法在WTA中的一些关键问题，包括参数设置经验化、种群多样性不足和空间搜索能力有限等。通过引入自适应网格划分和外部存档调整策略，将动态轮盘赌选择方法与禁忌搜索算法相结合，所提算法在种群分布、解集多样性和求解效率方面表现出了显著优势，为多目标武器分配优化提供了更为合理的解决方案。然而，当前研究仍局限于静态WTA问题，未充分考虑时间因素对分配方案和毁伤打击效果的影响。因此，未来的研究方向将集中在动态WTA问题上，以进一步完善多目标武器分配优化算法，从而为实际应用提供更精确有效的解决方案。