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  浙江大学学报(理学版)  2016, Vol. 43 Issue (5): 550-553  DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.05.010
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高冉 , 顾聪 , 李胜宏 . 2016. 基于分数阶偏微分方程的图像放大模型[J]. 浙江大学学报(理学版), 43(5): 550-553. DOI: 10.3785/j.issn.1008-9497.2016.05.010.
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GAO Ran , GU Cong , LI Shenghong . 2016. Image zooming model based on fractional-order partial differential equation[J]. Journal of Zhejiang University(Science Edition) , 43(5): 550-553. DOI: 10.3785/j.issn.1008-9497.2016.05.010.
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基金项目

国家自然科学基金资助项目(11401604);河南省科技厅基础与前沿研究项目(142300410354,142300410355,152300410226,152300410227);河南省教育厅科学技术研究重点项目(15A110045);河南省高等学校重点科研项目(17A110036)

作者简介

高冉(1982-),ORCID:http://orcid.org/0000-0002-3151-7040,女,硕士,讲师,主要从事图像处理与模式识别研究,E-mail:nygr@163.com.

文章历史

收稿日期:2015-07-24
基于分数阶偏微分方程的图像放大模型
高冉1 , 顾聪1 , 李胜宏2     
1. 中原工学院 理学院, 河南 郑州 450007
2. 浙江大学 数学系, 浙江 杭州 310027
摘要: 将分数阶微分理论引入图像放大模型中,利用全变分思想,提出了基于分数阶偏微分方程的图像放大模型.仿真实验结果表明:新模型能较好地保持图像边缘特征,以及更多的图像纹理信息,优于整数阶微分方程放大算法,是一种有效、可行的图像放大模型.
关键词: 分数阶    偏微分方程    变分    图像放大    
Image zooming model based on fractional-order partial differential equation
GAO Ran1 , GU Cong1 , LI Shenghong2     
Abstract: A new image zooming model based on the fractional-order partial differential equation is proposed, which adopts the idea of total variation. Simulation results show that the new model is capable of preserving the characteristics of image edge, and it can retain more texture details than the integer order partial differential equation model. The model is therefore effective and practical for image zooming.
Key words: fractional-order    partial differential equation(PDE)    variation    image zooming    

近年来,国内外专家都热衷于研究图像处理中的偏微分方程模型,并将其广泛应用于图像的增强、重建、分割和放大[1-4].图像分辨率是衡量图像视觉效果的重要因素.一些特殊的领域(如医学、通讯、航天等)以及某些图像处理软件应用时,常常需要对获得的图像进行再处理(如对图像进行缩放或旋转),旨在增加图像分辨率的同时保持高质量的图像视觉效果.

对一幅图像进行放大是由低分辨率获得高分辨率图像的一种图像处理技术.通常理解为灰度级插值,仅针对图像的像素点进行处理,导致放大后的图像出现锯齿状条纹和块状效应,对带噪图像的放大效果更差;而基于偏微分方程(PDE)的图像放大方法可以有效抑制块状效应和噪声的影响[5-6].目前基于PDE的图像放大算法分为两类:直接法和间接法[7].本文采用的是间接法,即以传统的插值结果作为放大图像的初始值,应用PDE对其进行后处理,在Rudin,Osher,Fatemi(ROF)[8]和Lysaker,Lundervold,Tai(LLT)[9]模型的基础上,提出了整数阶的图像放大模型[10]

$\begin{align} & E\left( u \right)={{\int }_{\Omega }}{{(u_{xx}^{2}+u_{xy}^{2}+u_{yx}^{2}+u_{yy}^{2})}^{12}}dxdy+ \\ & \frac{\lambda }{2}{{\int }_{\Omega }}{{(u-{{u}_{0}})}^{2}}\cdot {{\chi }_{{{\Omega }_{1}}}}(u-{{u}_{0}})dxdy, \\ \end{align}$ (1)

其中,χΩ1Ω1上的特征函数,即对任意的(x,y)∈Ω1都属于原始图像的像素点.仿真实验表明,该算法可有效消除图像边缘和纹理区域因放大产生的锯齿和块状效应,但存在放大后图像边缘模糊、清晰度欠佳等视觉缺陷.

为了解决图像模糊和细节特征丢失的问题,本文提出了一种基于分数阶PDE[11-13]的图像放大算法.分数阶微分具有大幅提升图像高频成分、增强图像中频成分、非线性保留图像低频成分的特性,更多地保留了图像平滑区域中灰度变化不大的纹理细节信息,使得放大后的图像清晰,能够较好地保持原图像的边缘特征.

1 相关理论 1.1 分数阶导数

分数阶导数是整数阶导数的推广和延伸,虽然分数阶导数已广泛应用于物理、化学、生物、流体等领域,且在图像处理领域也取得了初步研究成果,但其定义并不统一.主要有3种经典的定义,包括Riemann-Liouville(R-L)、Capotu和Grumwald-Letnikov(G-L).

本模型基于G-L分数阶导数定义[14]

${{D}^{p}}f\left( x \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sum\limits_{k\ge 0}^{n}{{}}{{\left( -1 \right)}^{k}}\left( \begin{matrix} p \\ k \\ \end{matrix} \right)f\left( x-kh \right)}{{{h}^{p}}},$ (2)

其中,p为分数阶导数的阶数,

$\left( \begin{matrix} p \\ k \\ \end{matrix} \right)=\frac{\Gamma \left( p+1 \right)}{\Gamma \left( k+1 \right)\Gamma \left( p-k+1 \right)}.$

这里Γ(k)=0+∞xk-1e-xdx为Gamma函数,满足Γ(k)=k-1Γ(k+1),若k为正整数,则Γ(k+1)=k!.显然当p=1时,上式就是通常意义下的一阶导数.

固定p,则$\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \begin{matrix} p \\ k \\ \end{matrix} \right)$=0,因此,取h=1时,G-L型分数阶导数可以用有限项(取前K项)的分数阶差分近似表示:

${{D}^{p}}f\left( x \right)\approx \sum\limits_{k=0}^{K-1}{{}}{{\left( -1 \right)}^{k}}\left( \begin{matrix} p \\ k \\ \end{matrix} \right)f\left( x-k \right).$ (3)
1.2 分数阶导数的差分格式

将上述定义推广到二维情形,可得u(x,y)的分数阶偏导数定义:

$\frac{{{\partial }^{p}}u}{\partial {{x}^{p}}}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sum\limits_{k\ge 0}^{n}{{}}{{\left( -1 \right)}^{k}}\left( \begin{matrix} p \\ k \\ \end{matrix} \right)u\left( x-kh,y \right)}{{{h}^{p}}},$ (4)
$\frac{{{\partial }^{p}}u}{\partial {{y}^{p}}}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sum\limits_{k\ge 0}^{n}{{}}{{\left( -1 \right)}^{k}}\left( \begin{matrix} p \\ k \\ \end{matrix} \right)u\left( x,y-kh \right)}{{{h}^{p}}},$ (5)
$\begin{align} & \frac{{{\partial }^{p}}u\left( x,y \right)}{\partial {{x}^{p}}}\approx u\left( x,y \right)+\left( -p \right)u\left( x-1,y \right)+ \\ & \frac{-p\left( -p+1 \right)}{2}u\left( x-2,y \right)+\cdots + \\ & \frac{\Gamma \left( -p+1 \right)}{n!\Gamma \left( -p+n+1 \right)}u\left( x-n,y \right), \\ \end{align}$ (6)
$\begin{align} & \frac{{{\partial }^{p}}u\left( x,y \right)}{\partial {{y}^{p}}}\approx u\left( x,y \right)+\left( -p \right)u\left( x,y-1 \right)+ \\ & \frac{-p\left( -p+1 \right)}{2}u\left( x,y-2 \right)+\cdots + \\ & \frac{\Gamma \left( -p+1 \right)}{n!\Gamma \left( -p+n+1 \right)}u\left( x,y-n \right). \\ \end{align}$ (7)
2 基于分数阶的图像放大算法 2.1 模型的建立

先利用线性插值处理图像,将图像放大到所需倍数,然后应用分数阶PDE技术对插值放大后的图像进行后处理,实现图像放大的目的.

首先给出本模型的能量泛函式:

$\begin{align} & E\left( u \right)-{{\int }_{\Omega }}\left| {{D}^{p}}u \right|dxdy+\frac{\lambda }{2}{{\int }_{\Omega }}{{\left( u-{{u}_{0}} \right)}^{2}}\times \\ & {{\chi }_{{{\Omega }_{1}}}}\left( u-{{u}_{0}} \right)dxdy, \\ \end{align}$ (8)

其中,泛函中第1项是平滑项;第2项中的χΩ1Ω1上的特征函数,即对任意的(x,y)∈Ω1都属于原始图像的像素点.λ(>0)为常数,是通过反复实验、人为选定的参数,其作用是对第1和第2项进行平衡.

利用变分法推得的该泛函欧拉-拉格朗日方程如下:

$-{{D}^{p}}\left( \frac{{{D}^{p}}u}{|{{D}^{p}}u|} \right)+\lambda (u-{{u}_{0}}){{\chi }_{{{\Omega }_{1}}}}(u-{{u}_{0}})=0,$ (9)

其中Dp=$\left( \frac{{{\partial }^{p}}}{\partial {{x}^{p}}}\frac{{{\partial }^{p}}}{\partial {{y}^{p}}} \right)$.

利用梯度下降法得到相应的扩散方程:

$\left\{ \begin{align} & \frac{\partial u}{\partial t}={{D}^{p}}\left( \frac{{{D}^{p}}u}{|{{D}^{p}}u|} \right)\lambda (u-{{u}_{0}}){{\chi }_{{{\Omega }_{1}}}}(u-{{u}_{0}}), \\ & u\left( 0,x,y \right)={{u}_{0}}\left( x,y \right) \\ & {{\left. \frac{\partial u}{\partial n} \right|}_{\partial \Omega }}=0, \\ \end{align} \right.$ (10)

最终,利用式(10)对线性插值得到的u0进行修正,实现对图像的放大.

2.2 模型的算法

第1步  假设初始图像矩阵为m×n的T0,首先将T0通过采样缩小k(k为正整数)倍得到T′,将T′赋给T,然后对T进行线性插值(本文采用3次立方插值),得到放大k倍后的矩阵u0

第2步  利用式(10)对u0进行修正,找到一个u,既保持图像原有的特性,又保持了图像灰度级之间的连续性.

3 数值离散及实验结果分析

对式(10)进行离散,时间步长为Δt,得到

$\begin{align} & {{u}^{n+1}}={{u}^{n}}+\Delta t\left[ D_{x}^{p}\left( \frac{D_{x}^{p}{{u}^{n}}}{|D_{x}^{p}{{u}^{n}}|} \right)+D_{y}^{p}\frac{D_{y}^{p}{{u}^{n}}}{|{{D}^{p}}_{y}{{u}^{n}}|} \right]+ \\ & \Delta t\lambda ({{u}^{n}}-{{u}_{0}}){{\chi }_{{{\Omega }_{1}}}}({{u}^{n}}-{{u}_{0}}), \\ \end{align}$ (11)

其中Dxy±Dyx±是前/后差分.

$\begin{align} & D_{x}^{p}u_{ij}^{n}=u_{ij}^{n}+\left( -p \right)u_{i-1,j}^{n}+\frac{-p\left( -p+1 \right)}{2}u_{i-2,j}^{n}, \\ & D_{x}^{p}u_{ij}^{n}=u_{ij}^{n}+\left( -p \right)u_{i,j-1}^{n}+\frac{-p\left( -p+1 \right)}{2}u_{i,j-2}^{n}, \\ & |{{D}^{p}}(u_{ij}^{n})|=\sqrt{{{(D_{x}^{p}(u_{ij}^{n}))}^{2}}+{{({{D}^{p}}_{y}(u_{ij}^{n}))}^{2}}+\varepsilon }. \\ \end{align}$

离散化求解中用到的参数,在实验中按如下方式选取:式(11)中λ=0.5,h=1,Δt=0.05,p=1.7,迭代40次.为了测试本文算法的有效性,把256×256的Lena图像先采样缩小2倍,然后再放大.

由效果图图 1可见,基于分数阶偏微分方程的图像放大算法,对图像进行放大时都有较好的效果,保留了图像的原有特征.

图 1 图像放大效果 Fig. 1 Results of image zooming

为了进一步说明基于分数阶偏微分程和基于4阶整数阶偏微分方程的图像放大算法的区别,分别对描绘原始图像、分数阶放大后图像及4阶方程放大后图像的150行所有列的灰度曲线分布进行比较,如图 2所示.

图 2 图像放大前后灰度值曲线比较 Fig. 2 Comparison of different zooming methods

图 2(b)(c)可看出分别基于整数阶和分数阶的图像放大算法的差异:使用整数阶模型放大时,虽然获得了较好的整体效果,但由于过度平滑,使得边缘模糊,细节部分不够清晰;而分数阶偏微分方程插值模型较忠实地反映了图像的原始面貌,保留了边缘的锐度和纹理特性.

4 结 论

数值实验表明,本文提出的基于分数阶偏微分方程的图像放大算法,较好地保留了图像的边缘特征和细节信息,获得清晰的放大图像,并且运算时间短于整数阶偏微方程,是一种有效、可行的图像放大算法.但本文仅尝试使用了最简单的分数阶微分,如何确定更佳的微分阶数以便得到更好的放大效果有待进一步研究.

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