0 引 言

匹配决策是双边相互决策过程，即两边(甲方与乙方)匹配主体(有限个)同时对另一方匹配主体进行排序或择优，然后根据双方各个主体之间的评价信息给出匹配方案.其研究成果已经在管理决策中得到推广和应用，并产生了巨大的社会和经济效益.正是由于其具有重要的现实意义和应用前景，为匹配理论与实践做出伟大贡献的ROTH和SHAPLEY获得了2012年度诺贝尔经济学奖.

双边匹配思想最早由GALED等^[1]于1962年在论文《大学录取和婚姻的稳定性》中提出，随后学者们从不同角度对匹配决策问题进行了研究：①从应用情境角度，主要有男女婚姻匹配和学生升学与招生匹配等古典匹配问题^[1]、电子商务中的匹配问题^[2]、经济管理中的匹配问题^[3]和人力资源管理匹配问题^[4]等；②从匹配决策类型角度，主要有稳定匹配决策^[5]、权匹配决策^[6]和基数匹配决策^[7]等；③从匹配研究方法角度，主要有优化理论^[8]、博弈论^[9]、决策理论^[10]等；④从匹配心理行为角度，主要有心理感知^[11]、同群效应^[12]、前景理论^[13]等；⑤从匹配决策目标角度，主要有匹配满意度最高^[14]、匹配稳定性最好^[15]等.若按信息格式划分，除了常见的精确数匹配决策方法外，还有基于不确定偏好序^[16]、弱偏好序^[17]、不完全序关系^[18]、区间数^[19]、模糊数^[20]和混合型^[21]的匹配决策方法.

综上可知，匹配决策研究已有一套较完善的理论体系.然而，现有研究成果缺少考虑利益相关者偏好信息下的匹配决策问题.利益相关者(stakeholder)一词最早出现在斯坦福研究所1963年的备忘录中，表明企业管理除需要应对股东外，还需要考虑纳入企业范围的利益相关者^[22].由于存在潜在的社会网络关系，“利益相关者”的个人或群体，不仅会影响各种主体决策行动，还会影响组织目标的达成^[23]，因此它常应用在决策分析领域^[24].实际上，在双边匹配过程中，匹配主体的决策也常常受到利益相关者的行为和结果的影响，在这种情境下，决策者除了考虑匹配主体的个体偏好外，还需要考虑其他利益相关者的偏好.以经典婚姻匹配为例，当男士A对女士B偏好序为[2，3]，他父母亲对B偏好序为[5,6]，其他亲人对B偏好序为[3,4]，若本人、父母亲和其他亲人相对权重为0.5，0.3和0.2，那么男士A及其家人对女士B的评价是{([2,3],0.5);([5,6],0.3);([3,4],0.2)}.显然，在这种情境下，考虑其他利益相关者的评价更加符合现实.鉴于此，本文提出一种考虑利益相关者偏好的双边匹配决策方法.

1 问题描述

在考虑利益相关者偏好的匹配决策问题中，设一方匹配主体(甲方)集合A={A₁,A₂,…,A_M}，其中A_i(i=1,2,…,M)表示甲方集合中第i个匹配主体；另一方匹配主体(乙方)集合B={B₁,B₂,…,B_N}，其中B_j(j=1,2,…,N)表示乙方集合中第j个匹配主体.令甲方匹配主体A_i的利益相关者为A_i¹,A_i²,…,A_i^L_i，它们相对权重分别为w_i¹,w_i²,…,w_i^L_i，其中L_i表示A_i的利益相关者的个数；令乙方匹配主体B_j的利益相关者为B_j¹,B_j²,…,B_j^K_j，它们相对权重分别为w_j¹,w_j²,…,w_j^K_j，其中K_j表示B_j的利益相关者的个数.

若能确定评价甲方A_i的第l_i个利益相关者A_i^l_i(l_i=1,2,…,L_i)对乙方B_j评价偏好信息为x_ij^l_i，则甲方A_i对乙方B_j的评价情况可由

${X_{ij}} = X\left( {x_{ij}^{{l_i}},w_i^{{l_i}}} \right),{l_i} = 1,2,\cdots ,{L_i}$

来描述；若能确定评价乙方B_j的第k_j个利益相关者B_j^k_j(k_j=1,2,…,K_j)对甲方A_i评价偏好信息为y_ji^k_j，则甲方A_i对乙方B_j的评价情况可由

${Y_{ij}} = Y\left( {y_{ji}^{{k_j}},w_j^{{k_j}}} \right),{k_j} = 1,2,\cdots ,{M_j}$

来描述；根据双边相互评价值求解匹配方案，可由Match=Ma(X_ij,Y_ji),i=1,2,…,M; j=1,2,…,N来描述.当L_i=1,K_j=1(i=1,2,…,M;j=1,2,…,N)时，上式所描述的Ma(·,·)为不考虑利益相关者偏好的双边匹配决策问题；当L_i>1,K_j>1(i=1,2,…,M;j=1,2,…,N)时，上式所描述的Ma(·,·)为考虑利益相关者偏好的双边匹配决策问题.

鉴于主观判断的不确定性，一方匹配主体对另一方主体给出的评价往往是不确定偏好序信息，本文提出一种用于解决考虑利益相关偏好的不确定偏好序匹配决策问题的方法.

2 决策方法

求解考虑利益相关者偏好的匹配决策问题的关键在于确定双边(文中采用“甲方”与“乙方”)匹配满意度，包括(1)如何集结甲、乙方各个利益相关者的不确定偏好序评价信息，获得甲、乙方综合评价信息；(2)基于甲方和乙方综合评价信息，如何构建合理函数求解双边满意程度.证据推理是不确定推理的经典工具，能够把不确定的子问题集结成问题的解，其合理性已通过随机集理论得到数学证明.另外，文献^{[25, 26]}已证明，采用证据推理可以解决双边满意度问题.为此，本文以证据推理为主要工具，结合优化理论，提出了一种新的基于离散证据推理的匹配决策方法，并用于解决考虑利益相关者偏好的匹配问题.其基本思路是以双边匹配满意度为目标，甲、乙方各利益相关者评价信息为目标证据，构建离散证据融合模型，通过模型求出双边证据的融合度作为匹配满意程度.从而，不仅解决了甲、乙方各利益相关者的评价信息集结问题，而且成功避开了满意度函数的确定问题.

2.1 确定双边匹配的证据识别框架

以证据推理解决现实中不确定信息融合问题，首要任务是建立统一的证据识别框架.令Y₁,Y₂,…,Y_N分别对应评价等级H₁,H₂,…,H_N的标准值，(H_n,β_n)表示某评价值y_i在等级H_n的置信度β_n，即评价值y_i等于Y_n的置信度β_n.对于甲方A₁,A₂,…,A_L和乙方B₁,B₂,…,B_M来说，相同等级所代表的相对地位一样，但其等级标准值通常不一样.为了让双边相同等级代表相同的相对地位，令甲、乙方的等级代表值分别为

$\begin{array}{c} {Y_1} = 1,{Y_2} = 1 + \frac{{L - 1}}{{N - 1}},{Y_3} = 1 + 2\frac{{L - 1}}{{N - 1}},\cdots ,\\ {Y_N} = 1 + \left( {N - 1} \right)\frac{{L - 1}}{{N - 1}}, \end{array}$

(1)

$\begin{array}{c} {Y_1} = 1,{Y_2} = 1 + \frac{{M - 1}}{{N - 1}},{Y_3} = 1 + 2\frac{{M - 1}}{{N - 1}},\cdots ,\\ {Y_N} = 1 + \left( {N - 1} \right)\frac{{M - 1}}{{N - 1}}. \end{array}$

(2)

例如，对甲方A₁,A₂,…,A₉和乙方B₁,B₂,…,B₅来说，若采用5个等级H₁,H₂,…,H₅，则甲方5个等级代表值为1,3,5,7,9，乙方代表值为1,2,3,4,5.显然，对于甲方来说，相对地位最高值为第1名，最低值为第9名，中间值为第5名；对乙方来说，相对地位最高值为第1名，最低值为第5名，中间值为第3名.不难理解，9个人中排名第5与5个人中排名第3的相对地位相同.由此可知，根据相对地位来确定双边评价等级的标准值是合理的.令相对地位最高者的效用值为1，最低值为0，即U(H₁)=1,U(H₅)=0，那么相对地位为中间值U(H₃)=[U(H₁)+U(H₅)]/2=0.5，依此类推，U(H₂)=0.75,U(H₄)=0.25.

2.2 建立评价等级置信度

将双边各个利益相关者的不确定偏好序评价信息转换成H₁,H₂,…,H_N等级置信度，从而确定证据的置信度.

令某评价值y_i，Y_n≤y_i≤Y_n+1.由${y_i} = \frac{{{Y_{n + 1}} - {y_i}}}{{{Y_{n + 1}} - {Y_n}}} \times {Y_n} + \frac{{{y_i} - {Y_n}}}{{{Y_{n + 1}} - {Y_n}}}{Y_{n + 1}}$推出的双边匹配主体的精确值偏好序可转化成等级置信度^[27]，即${y_i} \Leftrightarrow \left\{ {\left( {{H_n},{\beta _n}} \right);\left( {{H_{n + 1}},{\beta _{n + 1}}} \right)} \right\}$，其中，

${\beta _n} = \frac{{{Y_{n + 1}} - {y_i}}}{{{Y_{n + 1}} - {Y_n}}},{\beta _{n + 1}} = \frac{{{y_i} - {Y_n}}}{{{Y_{n + 1}} - {Y_n}}}.$

由于客观事物的模糊性和人们认知的局限性，匹配主体给出的往往不是精确偏好序，而是不确定偏好序评价信息.令不确定偏好序y_i∈{y_i¹,y_i²,…,y_i^K}，即${y_i} = \sum\limits_{k = 1}^K {y_i^k \cdot I_i^k,\sum\limits_{k = 1}^K {I_i^k = 1,I_i^1,I_i^2,\cdots ,I_i^K = 0} } $或1.不确定偏好序与评价等级之间数据关系不同，转化相应的等级置信度方法也不同.

第1种关系是在2个相近评价等级之间，即Y_n≤y_i¹≤y_i^K≤Y_n+1，如图 1所示；第2种关系是中间跨一个评价等级，即Y_n-1≤y_i¹≤Y_n≤y_i^K≤Y_n+1，如图 2所示；第3种关系是中间跨若干个评价等级，比如2个等级，即Y_n-1≤y_i¹≤Y_n≤Y_n+1≤y_i^K≤Y_n+2，如图 3所示.

对于第1种关系，Y_n≤y_i¹≤y_i^K≤Y_n+1，则

$\begin{array}{c} {\beta _{n,i}} = \sum\limits_{k = 1}^K {\frac{{{Y_{n + 1,i}} - y_i^k}}{{{Y_{n + 1,i}} - {Y_{n,i}}}}I_i^k,{\beta _{n + 1,i}} = } \\ \sum\limits_{k = - 1}^K {\frac{{y_i^k - {Y_{n,i}}}}{{{Y_{n + 1,i}} - {Y_{n,i}}}}I_i^k.} \end{array}$

(3)

其中，$\sum\limits_{k = 1}^K {I_i^k} = 1$且I_i¹,I_i²,…,I_i^K=0或1.

对于第2种关系，Y_n-1≤y_i¹≤Y_n≤y_i^K≤Y_n+1，令y_i∈{y_i¹,…,y_i^x₁,…,y_i^K}，则

$\begin{array}{c} {\beta _{n - 1,i}} = \sum\limits_{a = 1}^{{x_1}} {\frac{{{Y_{n,i}} - y_i^a}}{{{Y_{n,i}} - {Y_{n - 1,i}}}}I_i^a,{\beta _{n,i}} = } \\ \sum\limits_{a = 1}^{{x_1}} {\frac{{y_i^a - {Y_{n - 1,i}}}}{{{Y_{n,i}} - {Y_{n - 1,i}}}}I_i^a + } \sum\limits_{b = {x_1} + 1}^K {\frac{{{Y_{n + 1,i}} - y_i^b}}{{{Y_{n + 1,i}} - {Y_{n,i}}}}I_i^b,} \\ {\beta _{n + 1,i}} = \sum\limits_{b = {x_1} + 1}^K {\frac{{y_i^b - {Y_{n,i}}}}{{{Y_{n + 1,i}} - {Y_{n,i}}}}I_i^b.} \end{array}$

(4)

其中，$\sum\limits_{a = 1}^{{x_1}} {I_i^a + \sum\limits_{b = {x_1} + 1}^K {I_i^b = 1} } $，即$\sum\limits_{k = 1}^K {I_i^k = 1} $，且I_i¹,I_i²,…,I_i^K=0或1.

对于第3种关系，Y_n-1≤y_i¹≤y_i^x₁≤Y_n≤y_i≤^x₁+1y_i^x₂≤Y_n+1≤y_i^x₂≤y_i^K≤Y_n+2，则

$\begin{array}{l} {\beta _{n - 1,i}} = \sum\limits_{a = 1}^{{x_1}} {\frac{{{Y_{n,i}} - y_i^a}}{{{Y_{n,i}} - {Y_{n - 1,i}}}}I_i^a,{\beta _{n,i}} = } \\ \sum\limits_{a = 1}^{{x_1}} {\frac{{y_i^a - {Y_{n - 1,i}}}}{{{Y_{n,i}} - {Y_{n - 1,i}}}}I_i^a + \sum\limits_{b = {x_1} + 1}^{{x_2}} {\frac{{{Y_{n + 1,i}} - y_i^b}}{{{Y_{n + 1,i}} - {Y_{n,i}}}}I_i^b,{\beta _{n + 1,i}} = } } \\ \sum\limits_{b = {x_1} + 1}^{{x_2}} {\frac{{y_i^b - {Y_{n,i}}}}{{{Y_{n + 1,i}} - {Y_{n,i}}}}I_i^b} + \sum\limits_{c = {x_2} + 1}^K {\frac{{{Y_{n + 1,i}} - y_i^c}}{{{Y_{n + 1,i}} - {Y_{n,i}}}}I_i^c,} \\ {\beta _{n + 2,i}} = \sum\limits_{c = {x_2} + 1}^K {\frac{{y_i^c - {Y_{n + 1,i}}}}{{{Y_{n + 1,i}} - {Y_{n,i}}}}I_i^c.} \end{array}$

(5)

其中,$\sum\limits_{a = 1}^{{x_1}} {I_i^a} + \sum\limits_{b = {x_1} + 1}^{{x_2}} {I_i^b} + \sum\limits_{c = {x_2} + 1}^K {I_i^c} = 1$即$\sum\limits_{k = 1}^K {I_i^k} = 1$，且I_i¹,I_i²,…,I_i^K=0或1.

2.3 求解双边匹配的离散值融合度

将甲方与乙方各利益相关者的等级置信度作为匹配满意程度的证据，对证据推理进行扩展，提出离散证据推理的融合优化模型，从而确定双边匹配的离散值融合度.其求解优化模型如下：

$\max f\left( {{H_1},{H_2},\cdots ,{H_N}} \right) = \sum\limits_{n = 1}^N {\left[{{\beta _n} \cdot U\left( {{H_n}} \right)} \right] + {\beta _H} \cdot U\left( {{H_1}} \right),} $

(6)

$\left\{ \begin{array}{l} {m_i}\left( {{H_n}} \right) = {w_i}{\beta _{n,i}},i = 1,2,\cdots ,L;n = 1,2,\cdots ,N,\\ {{\tilde m}_i}\left( H \right) = {w_i}\left( {1 - \sum\limits_{n = 1}^N {{\beta _{n,i}}} } \right),i = 1,2,\cdots ,L,\\ {{\bar m}_i}\left( H \right) = 1 - {w_i},i = 1,2,\cdots ,L,\\ {m_i}\left( H \right) = {{\bar m}_i}\left( H \right) + {{\tilde m}_i}\left( H \right),i = 1,2,\cdots ,L, \end{array} \right.$

(7)

$\left\{ \begin{array}{l} {m_1} \oplus {m_2} \cdots \oplus {m_L}\left( {{H_n}} \right) = \frac{{\sum\limits_{{A_1} \cap {A_2} \cdots \cap {A_L} = {H_n},{A_1} \cap {A_2} \cdots \cap {A_L} = {H_n}} {{m_1}\left( {{A_1}} \right){m_2}\left( {{A_2}} \right) \cdots {m_L}\left( {{A_L}} \right)} }}{{\sum\limits_{{A_1} \cap {A_2} \cdots \cap {A_L} \ne \Phi ,{A_1} \cap {A_2} \cdots \cap {A_L} = {H_n}} {{m_1}\left( {{A_1}} \right){m_2}\left( {{A_2}} \right) \cdots {m_L}\left( {{A_L}} \right)} }},\\ {{\bar m}_1} \oplus {{\bar m}_2} \cdots \oplus {{\bar m}_L}\left( {{H_n}} \right) = \frac{{{{\bar m}_1}\left( H \right){{\bar m}_2}\left( H \right) \cdots {{\bar m}_L}\left( H \right)}}{{\sum\limits_{{A_1} \cap {A_2} \cdots \cap {A_L} \ne \Phi ,{A_1} \cap {A_2} \cdots \cap {A_L} = {H_n}} {{m_1}\left( {{A_1}} \right){m_2}\left( {{A_2}} \right) \cdots {m_L}\left( {{A_L}} \right)} }}, \end{array} \right.$

(8)

$\left\{ \begin{array}{l} {\beta _n} = \frac{{{m_1} \oplus {m_2} \cdots \oplus {m_L}\left( {{H_n}} \right)}}{{1 - \left( {{{\bar m}_1} \oplus {{\bar m}_2} \cdots \oplus {{\bar m}_L}\left( H \right)} \right)}},{H_n} \subset H,\\ {\beta _H} = \frac{{{{\tilde m}_1} \oplus {{\tilde m}_2} \cdots \oplus {{\tilde m}_L}\left( H \right)}}{{1 - \left( {{{\bar m}_1} \oplus {{\bar m}_2} \cdots \oplus {{\bar m}_L}\left( H \right)} \right)}}, \end{array} \right.$

(9)

$\left\{ \begin{array}{l} {\rm{fun}}\left( {{\beta _{n,i}}} \right) = 0,1,2,\cdots ,L,\\ \sum\limits_{k = 1}^K {I_i^k = 1} ,i = 1,2,\cdots ,L,\\ {I_{i,1}},{I_{i,2}} \cdots ,{I_{i,k}} = 0或1,i = 1,2,\cdots ,L. \end{array} \right.$

(10)

式(6)是求解融合度最大值f⁺的目标函数，表示等级置信度与等级标准值相乘之和，其中未知部分归入第1等级.融合度的最小值f^-可以采用公式minf(H₁,H₂,…,H_N)=$\sum\limits_{n = 1}^N {\left[{{\beta _n}U\left( {{H_n}} \right)} \right] + {\beta _H} \times U\left( {{H_n}} \right)} $求解，其中未知部分归入最后等级.

式(7)为约束条件，是证据推理的基本算法^[28]，表示通过加权修正置信度获得证据的BPA值，其中，ω_i表示利益相关者的相对权重，由决策者主观给定，若匹配双边地位相同，则甲方与乙方利益相关者权重之和各为0.5.β_n,i表示第i证据第H_n等级置信度，m_i(H_n)表示置信度β_n,i加权ω_i修正后的BPA值，${\tilde m_i}\left( H \right)$表示证据引起的未知部分，${\bar m_i}\left( H \right)$表示权重ω_i引起的未知部分，m_i(H)表示总的未知部分.式(8)表示通过证据融合获得综合证据的BPA值.式(9)表示通过综合证据BPA获得融合后证据的置信度.式(10)是约束条件，确定离散置信度β_n,i，其中fun(β_n,i)=0是置信度β_n,i的确定函数，由不确定偏好序与评价等级之间的数据关系来确定，见式(3)~(5).

上述模型仅仅求出融合后双边匹配融合度的最大值f^-与最小值f⁺，即f∈{f^-,f⁺}.如果决策者对决策数据精确度的要求更高，则从证据取值范围中去掉目标值等于最大值与最小值的证据取值,再通过模型求出最大值与最小值作为次最大值与次最小值,依此类推，直到各证据置信度的离散值遍历完成或决策者对数据精确度接受为止，从而获得1组离散融合度，令f∈{f₁,f₂,…,f_R}.

2.4 构建基于融合度的匹配模型

根据上述方法求出甲方A_i(i=1,2,…,m)与乙方B_j(j=1,2,…,n)的融合度为f_ij∈{f₁,f₂,…,f_Rij}，则其平均值f_ij=(f₁+f₂+…+f_Rij)/R_ij.为解决匹配问题，构建如下优化模型：

$\max Z = \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n {{f_{ij}}{x_{ij}},} } $

(11)

${\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\sum\limits_{j = 1}^n {{x_{ij}} = 1} ,i = 1,2,\cdots ,m,$

(12)

$\sum\limits_{i = 1}^m {{x_{ij}} \le 1} ,j = 1,2,\cdots ,n,$

(13)

${x_{ij}} = 0,1,i = 1,2,\cdots ,m;j = 1,2,\cdots ,n,$

(14)

式(11)是目标函数，尽可能使甲方{A₁,A₂,…,A_m}与乙方{B₁,B₂,…,B_n}的匹配总体融合度最大；式(12)是约束条件，表示每个甲方只能与1个乙方相匹配；式(13)是约束条件，表示乙方集合每个匹配主体至多与甲方集合1个匹配主体互相匹配；式(14)是约束条件，表示甲方A_i与乙方B_j匹配成功时x_ij=1，匹配失败时x_ij=0.本模型为标准的0-1指派问题模型，可采用Lingo、Cplex等软件进行求解.

3 应用算例

供应链管理中，为了使供应商与销售商形成有效的战略联盟，应首先解决双方企业的伙伴匹配问题.现有9家供应商企业(A₁,A₂,A₃,A₄,A₅,A₆,A₇,A₈,A₉)提供不同品种的产品，共收到5家销售企业(B₁,B₂,B₃,B₄,B₅)的合作意向.供应商的2个利益相关者{管理者，投资者}根据企业知名度、需求量、合作经历等指标对销售商进行综合考查，并给出评价偏好序，评价信息及评价者相对权重见表 1.同样，销售商的3个利益相关者{管理者，企业员工，顾客}根据产品质量、批发价格、服务等指标对供应商进行综合考查，并给出评价偏好序，评价信息及评价者相对权重见表 2.

下面采用本文方法求解让双方整体满意的匹配方案.

(1)设采用5个等级{H₁,H₂,H₃,H₄,H₅}，由式(1)可得，供应商的等级标准值为{Y₁,Y₂,Y₃,Y₄,Y₅}={1,3,5,7,9}，销售商的等级标准值{Y₁,Y₂,Y₃,Y₄,Y₅}={1,2,3,4,5}.

(2)判断偏好序数评价信息与等级标准值的数据关系，根据式(3)~(5)，把供应商利益相关者对销售商评价以及销售商利益相关者对供应商评价信息转化成等级置信度信息.

(3)由式(6)~(10)，获得双边融合度.这里仅需求出最小值和最大值，见表 3.

(4)由式(11)~(14)，基于融合度求出双边匹配方案为：A₂与B₁、A₃与B₂、A₄与B₃、A₆与B₄、A₇与B₅匹配，即A₂$\leftrightarrow $B₁,A₃$\leftrightarrow $B₂,A₄$\leftrightarrow $B₃,A₆$\leftrightarrow $B₄,A₇$\leftrightarrow $B₅.

4 结 语

考虑利益相关者偏好的双边匹配决策问题研究是对匹配决策理论体系的有益补充，有着很好的应用价值和研究意义.本文在证据推理的基础上，首次提出了基于离散证据推理解决具有群体偏好的双边匹配问题，路径简单、合理，可操作性强，并通过算例验证了其可行性.此方法适用于经济管理、人力资源等领域考虑利益相关者偏好的双边匹配问题.但存在比如离散融合度精确到几位数为宜等问题，有待进一步研究.