2. 常州大学;
3. 中国石油大学（北京）油气资源与探测国家重点实验室
2. Changzhou University;
3. State Key Laboratory of Petroleum Resources and Prospecting, China University of Petroleum (Beijing)
试井能够确定压裂井高导流能力的裂缝延伸范围，为改善压裂效果提供技术支撑。1938年，Muskat[1]首次研究了垂直压裂井的压力分布规律。1973年，Gringarten等[2]给出了格林源函数和纽曼乘积方法来处理垂直压裂井的非稳态流动，运用点源法推导了一系列垂直压裂井试井模型，含无限导流能力的垂直裂缝、均匀流垂直裂缝模型，这些模型奠定了压裂井试井资料解释的基础。1974年，Gringarten等[3]给出了均匀流和无限导流能力压裂井的压力求解方法。随后，Cinco-Ley等[4]通过Fredholm积分和边界元法提出了有限导流能力压裂井的压力瞬时解，基于边界元法的半解析解求解方法提高了理论压力的计算效率。Cinco-Ley等提出的垂直裂缝模型至今仍被应用于解释有限导流裂缝参数，是目前应用最广泛的压裂井模型。我国对于压裂井的研究起步较晚，但在20世纪90年代由刘慈群、刘曰武提出的压裂井椭圆流是当时风靡一时的压裂井试井分支[5]。21世纪，随着压裂改造工艺和技术的发展，能较好表征压裂储层流动特征的有限导流裂缝渗流模型在我国试井分析领域得到了大力发展。2014年，程时清等[6]首先建立了水平井筒多段非均匀流量试井分析模型。同年，李双等[7]在考虑远离井筒段裂缝的变质量线性流动及裂缝长度不等情况下，建立了考虑裂缝变质量线性流动的压裂水平井计算模型及求解方法。随后，众多学者扩展了多条压裂缝的水平井、鱼骨状多分支水平井模型[8-9]。何佑伟等[10]给出了多级压裂水平井试井分析模型，以捕捉油气沿压裂缝非均匀流入井筒的压力特性。虽然这些模型考虑了多条压裂缝之间裂缝导流能力或者流量之间的差异性，但未曾考虑裂缝导流能力沿裂缝延伸方向的变化。
对于裂缝导流能力不均匀的表征问题，具有四段、双段导流系数的压裂缝渗流模型被相继建立起来[11-13]，但该类模型假设地层为双线性流动，只在早期测试数据解释方面具有合理的精度。牟珍宝等[14]推导了圆形封闭油藏的变导流垂直裂缝井渗流数学模型。近年，Huang和严谨等[15-16]针对大牛地气田压裂缝试井解释中裂缝长度普遍小于压裂施工设计裂缝长度的现象[16]，提出了压裂缝部分闭合的分段产液压裂试井模型，用裂缝导流能力不均匀分布来描述压裂缝不均匀闭合特征。Luo等[17]建立了压裂铺砂部分支撑裂缝的压裂井试井分析模型，用于研究非均匀铺砂压裂缝的转向问题，该模型进一步扩展了非均匀导流能力裂缝解释方法在多分支压裂井中的应用。叶义平等[18]考虑裂缝的变导流能力，推导了页岩油压裂水平井试井模型。王慧萍等[19]将存在部分闭合裂缝的垂直压裂井解释方法扩展应用到邻井生产干扰试井测试中。Li等[20]将非均匀导流能力裂缝模型应用在新疆准噶尔盆地玛湖油田压裂井的压裂效果及压裂参数评价中。在数值试井方面，嵌入式离散裂缝[21]方法可以通过结构化网格对裂缝和储层进行离散化，后来被扩展到非结构化网格以考虑复杂的裂缝几何形状[22-23]。因此，具有复杂压裂缝网的压裂井数值试井模型被相应地建立起来[24]。这些数值模型虽然可以较好地模拟压裂缝的非均匀特征，但压裂缝分布及形态的刻画以及非结构化网格生成较为复杂，压裂缝模型建立的工作量较大，限制了该方法在矿场大规模推广和应用。
对于致密油气藏，多级压裂直井和多级压裂水平井是以往研究的主要井型。如苏里格致密气田，直井一般钻遇2~4个产气层，最多能钻遇6~7个气层，目前分层压裂工艺一次最多可以压裂6个产层。再如大牛地致密气田，多层压裂合采直井测试显示历年产气剖面变化十分明显，气井各层储量动用程度的落实工作比较困难。因此，致密气藏多层合采和分层压裂改造对气井各产层贡献程度的影响逐渐引起了研究人员的关注。目前为止，鲜有考虑多层致密储层分层压裂试井模型。即使近些年层出不穷的致密油气藏多级压裂合采生产井试井模型也多数采用均匀导流能力的平板压裂缝模型，但均没有考虑压裂过程中支撑剂未能完全填充引起的裂缝导流能力不均匀现象。为了填补这项空白，本文考虑压裂缝导流能力不均匀现象，建立了多层致密油气藏分层压裂合采试井分析模型，研究了非均匀导流能力压裂缝对压裂井的流动特征影响。通过双对数坐标下压力和压力导数的试井典型图版，判别了具有非均匀导流能力的多层致密油气藏分层压裂井的流动特征，分析了井底压力对井筒储集系数和裂缝表皮系数、地层系数比和储容系数比、裂缝长度和导流能力分布的敏感性。研究结果及认识可为多层致密油气藏分层压裂效果评价和增产措施提供理论支撑。
1 多层致密油气藏分层压裂合采试井模型的建立如图 1a所示，在多层致密油气藏储层中心有一口井，采用分层压裂工艺，分层压裂数为n，气井生产时多层合采，井筒半径为rw。每层水平等厚状，但各层厚度（h）、储层物性参数（如储层渗透率K、孔隙度ϕ、综合压缩系数ct）不同，每层流体黏度（μ）相同。任一层压裂缝均为两翼对称垂直缝，各层裂缝半长（xf）和裂缝渗透率（Kf）均不相等，且各层压裂缝高度之和与储层厚度ht相同。如图 1b所示，任一层压裂缝宽度（wf）和裂缝导流系数（FC）从井眼到压裂缝末端均是变化的。压裂缝末端裂缝较窄，具有较低的导流系数（FCb），其长度为xpf。井筒附近裂缝较宽，具有较高的导流系数（FCa），其长度为xf-xpf。
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图 1 多层致密油气藏分层压裂合采井物理模型 Fig. 1 Physical model of multi-layer tight oil/gas reservoir in multi-layer fracturing well (a) 储层模型；(b) 非均匀导流能力压裂缝模型 |
在裂缝区域，裂缝压力分布可由Cinco-Ley裂缝模型进一步推导得到。在储层区域，储层压力分布可以通过无限大储层中垂直生产井的源函数解表示。主要通过裂缝压力与储层压力在裂缝—储层接触面相等的数学关系，建立储层—压裂缝—井筒之间的压力计算模型。无量纲参数定义如表 1所示。
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表 1 数学模型无量纲参数定义表 Table 1 Definition of dimensionless parameters in mathematical model |
当储层流体为气体时，采用规整化拟时间ta和规整化拟压力m(p)完成无量纲油气渗流方程的统一[25-26]。下文不再区分油、气，无量纲渗流方程中统一用压力p和时间t表示。
1.1 分层储层压力计算根据Gringarten的研究结果，对于任一层而言，其压力分布可由无限大储层中一口定产井压力点源解表示：
| $ \begin{aligned} p_j= & p_{\mathrm{i} j}-\frac{1}{4 \pi \phi_j c_{\mathrm{t}} \chi_j h_j} \int_0^t \frac{q_j(\tau)}{t-\tau} \\ & \exp \left[-\frac{\left(x-x^{\prime}\right)^2+\left(y-y^{\prime}\right)^2}{4 \chi_j(t-\tau)}\right] \mathrm{d} \tau \end{aligned} $ | (1) |
其中
| $ \chi=\frac{K}{\phi \mu c_{\mathrm{t}}} $ |
式中 τ——生产时间，h；
x′——点源的x坐标位置，m；
y′——点源的y坐标位置，m；
χ——储层压力传导系数，m2/s。
将压裂缝视为线源，通过沿压裂缝方向对公式（1）积分获得具有垂直压裂缝的储层压力解：
| $ \begin{aligned} p_j= & p_{\mathrm{i} j}-\frac{1}{4 \pi \phi_j c_{\mathrm{t}} \chi_j h_j} \int_0^t \int_{-x_{\mathrm{f} j}}^{x_{\mathrm{f} j}} \frac{q_{\mathrm{f} j}(\tau)}{t-\tau} \\ & \exp \left[-\frac{\left(x-x^{\prime}\right)^2+\left(y-y^{\prime}\right)^2}{4 \chi_j(t-\tau)}\right] \mathrm{d} x^{\prime} \mathrm{d} \tau \end{aligned} $ | (2) |
式中 qfj——第j层裂缝流量密度，m2/s。
在Laplace空间，由表 1定义的无量纲参数，公式（2）中具有压裂缝的储层压力无量纲形式可以表示为
| $ \bar{p}_{\mathrm{D}_j}=\frac{1}{2 \alpha_{\mathrm{f} j} \kappa_j} \int_{-\alpha_{\hat{j}}}^{\alpha_{\mathrm{y}}} \bar{q}_{\mathrm{fD} j} K_0\left[\left(x_{\mathrm{D}}-x^{\prime}\right) \sqrt{\frac{\omega_j}{\kappa_j}} u\right] \mathrm{d} x^{\prime} $ | (3) |
其中
| $ \bar{q}_{\mathrm{fD} j}=\frac{2 q_{\mathrm{f} j} x_{\mathrm{f} j}}{q_j} $ |
式中 K0——零阶修正的贝塞尔函数；
u——Laplace空间变量；
qfDj——在Laplace空间下第j层压裂缝区域无
量纲裂缝流量密度。
1.2 单层裂缝压力计算考虑到裂缝形态的一维性，裂缝区域内部流体流动为线性流动。由于裂缝空间体积相对较小，内部流体的压缩性可以忽略，因此，对于具有相同导流能力的一维压裂缝，其控制方程的无量纲形式为
| $ \frac{\partial}{\partial x_{\mathrm{D}}}\left[F_{\mathrm{CD} j\left(x_{\mathrm{D}}\right)} \frac{\partial p_{\mathrm{fD} j}}{\partial x_{\mathrm{D}}}\right]-\frac{\pi q_{\mathrm{fD} j}}{\kappa_j \alpha_{\mathrm{f} j}^2}=0 $ | (4) |
式中 pfDj——第j层压裂缝区域无量纲压力。
裂缝区域压力的初始条件为
| $ p_{\mathrm{fD} j}\left(t_{\mathrm{D}}=0\right)=0 $ | (5) |
压裂缝末端的流量条件为
| $ \left.\frac{\partial p_{\mathrm{fD} j}}{\partial x_{\mathrm{D}}}\right|_{x_{\mathrm{D}}=\alpha_{\mathrm{f} j}}=0 $ | (6) |
压裂缝在井筒壁面的流量条件为
| $ \left.\frac{\partial p_{\mathrm{fD} j}}{\partial x_{\mathrm{D}}}\right|_{x_{\mathrm{D}}=0}=-\frac{\pi}{F_{\mathrm{CD} j\left(x_{\mathrm{D}}=0\right)} \alpha_{\mathrm{f} j} \kappa_j} $ | (7) |
对方程（7）沿着裂缝从0到xD积分得到
| $ F_{\mathrm{CD} j\left(x_{\mathrm{D}}\right)} \frac{\partial p_{\mathrm{fD} j}}{\partial x_{\mathrm{D}}}+\frac{\pi}{\alpha_{\mathrm{f} j} \kappa_j}-\int_0^{x_{\mathrm{D}}} \frac{\pi q_{\mathrm{fD} j}}{\kappa_j \alpha_{\mathrm{f} j}^2} \mathrm{~d} x_{\mathrm{D}}=0 $ | (8) |
对方程（8）沿着裂缝从0到xD积分得到
| $ \int_0^{x_{\mathrm{D}}} F_{\mathrm{CD} j\left(x_{\mathrm{D}}\right)} \partial p_{\mathrm{fD} j}+\frac{\pi}{\alpha_{\mathrm{f} j} \kappa_j} x_{\mathrm{D}}-\int_0^{x_{\mathrm{D}}} \int_0^{x_{\mathrm{D}}} \frac{\pi q_{\mathrm{fD} j}}{\kappa_j \alpha_{\mathrm{f} j}^2} \mathrm{~d} x_{\mathrm{D}} \mathrm{d} x_{\mathrm{D}}=0 $ | (9) |
方程（9）在Laplace空间可以进一步写成
| $ \int_0^{x_{\mathrm{D}}} F_{\mathrm{CD} j\left(x_{\mathrm{D}}\right)} \partial \bar{p}_{\mathrm{fD} j}+\frac{\pi}{u \alpha_{\mathrm{f} j} \kappa_j} x_{\mathrm{D}}=\int_0^{x_{\mathrm{D}}} \int_0^{x_{\mathrm{D}}} \frac{\pi \bar{q}_{\mathrm{fD} j}}{\kappa_j \alpha_{\mathrm{f} j}^2} \mathrm{~d} x_{\mathrm{D}} \mathrm{d} x_{\mathrm{D}} $ | (10) |
式中 pfDj——在Laplace空间下第j层压裂缝区域无量纲压力。
如图 2所示的裂缝半长区域，将裂缝离散为具有均匀流量密度的N个等长裂缝单元，方程（10）可以写成
| $ \begin{aligned} & \sum\limits_{i=1}^N\left(F_{\mathrm{CD} j i} \int_{x_{\mathrm{D} i-1 / 2}}^{x_{\mathrm{D} i+1 / 2}} \partial \bar{p}_{\mathrm{fD} j}\right)+\frac{\pi}{u \alpha_{\mathrm{f} j} \kappa_j} x_{\mathrm{D} j} \\ & =\frac{\pi}{\kappa_j \alpha_{\mathrm{f} j}^2}\left(x_{\mathrm{D} j} \sum\limits_{i=1}^N \bar{q}_{\mathrm{fD} j i} \int_{x_{\mathrm{D} i-1 / 2}}^{x_{\mathrm{D} i+1 / 2}} \partial x_{\mathrm{D}}-\sum\limits_{i=1}^N \bar{q}_{\mathrm{fD} j i} \int_{x_{\mathrm{D} i-1 / 2}}^{x_{\mathrm{D} i+1 / 2}} x_{\mathrm{D}} \partial x_{\mathrm{D}}\right) \end{aligned} $ | (11) |
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图 2 裂缝离散示意图 Fig. 2 Schematic diagram of fracture discretization |
公式（11）可以进一步用离散裂缝单元的压力表示为
| $ \begin{aligned} & \sum\limits_{i=1}^N\left[F_{\mathrm{CD} j i}\left(\bar{p}_{\mathrm{fD} j i+1 / 2}-\bar{p}_{\mathrm{fD} j i-1 / 2}\right)\right]+\frac{\pi}{u \alpha_{\mathrm{f} j} \kappa_j} x_{\mathrm{D} j} \\ & =\frac{\pi}{\kappa_j \alpha_{\mathrm{f} j}^2}\left(\Delta x_{\mathrm{D}} x_{\mathrm{D} j} \sum\limits_{i=1}^N \bar{q}_{\mathrm{fD} j i}-\Delta x_{\mathrm{D}} \sum\limits_{i=1}^N \bar{q}_{\mathrm{fD} j i} x_{\mathrm{D} i}\right) \end{aligned} $ | (12) |
式中 ∆xD——离散裂缝单元的无量纲长度。
在公式（12）中，相关离散裂缝的具体尺寸参数为
| $ \left\{\begin{array}{l} \alpha_{\mathrm{f} j}=N \Delta x_{\mathrm{D}} \\ x_{\mathrm{D} i-1 / 2}=(i-1) \Delta x_{\mathrm{D}} \\ x_{\mathrm{D} i}=(i-0.5) \Delta x_{\mathrm{D}} \\ x_{\mathrm{D} i+1 / 2}=i \Delta x_{\mathrm{D}} \end{array}\right. $ | (13) |
根据压裂缝末端储层压力与压裂缝压力相等的条件，由公式（3）联立得到裂缝单元压力pfDji+1/2为
| $ \begin{aligned} \bar{p}_{\mathrm{fD} j i+1 / 2}= & \frac{1}{2 \alpha_{\mathrm{f} j} \kappa_j} \int_{-\alpha_{\mathrm{fij}}}^{\alpha_{\mathrm{fij}}} \bar{q}_{\mathrm{f} j i} K_0\left[\left(x_{\mathrm{D} i+1 / 2}-x^{\prime}\right) \sqrt{\frac{\omega_j}{\kappa_j}} u\right] \mathrm{d} x^{\prime} \\ = & \frac{1}{2 \alpha_{\mathrm{f} j} \kappa_j} \sum\limits_{i=1}^N \int_{x_{\mathrm{D} i-1 / 2}}^{x_{\mathrm{D} i+12}} \bar{q}_{\mathrm{fD} j i}\left\{K_0\left[\left(x_{\mathrm{D} i+1 / 2}+x^{\prime}\right) \sqrt{\frac{\omega_j}{\kappa_j} u}\right]\right. \\ & \left.+K_0\left[\left(x_{\mathrm{D} i+1 / 2}-x^{\prime}\right) \sqrt{\frac{\omega_j}{\kappa_j}} u\right]\right\} \mathrm{d} x^{\prime} \end{aligned} $ | (14) |
联合方程式（12）和方程式（14），可以获得具有N个裂缝压力未知数的方程。任意第j层的裂缝压力方程都有N+1个未知数，即裂缝流量密度分布qfDji(i=1, …, N)和井筒处的裂缝压力pfDj0。为了求解方程，需要引入另一个流量方程，即裂缝流量等于储层流量：
| $ \sum\limits_{i=1}^N \bar{q}_{\mathrm{fD} j}=\frac{N}{u} $ | (15) |
对于任一裂缝压力方程中的N+1个未知系数，可通过求解所有裂缝压力方程组成的线性方程组得到。
| $ \begin{gathered} {\left[\begin{array}{cccc} A_{j 1} & A_{j i} & A_{j N} & F_{\mathrm{CD} j\left(x_{\mathrm{D}}=0\right)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{n 1} & A_{n i} & A_{n N} & F_{\mathrm{CD} n\left(x_{\mathrm{D}}=0\right)} \\ 1 & \cdots & 1 & 0 \end{array}\right] \times\left[\begin{array}{c} \bar{q}_{\mathrm{fD} j i}(u) \\ \cdots \\ \bar{q}_{\mathrm{fD} j i}(u) \\ \bar{p}_{\mathrm{fD} j 0}(u) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} B_{j i} \\ \cdots \\ B_{j N} \\ B_j \end{array}\right]} \\ (j=1, \cdots, n ; i=1, \cdots, N) \end{gathered} $ | (16) |
式中 qfDji——在Laplace空间下第j层压裂缝中第i个离散单元的无量纲流量密度；
pfDj0——在Laplace空间下第j层裂缝在井筒处的无量纲压力。
其中
| $ \left\{\begin{array}{l} A_{j i}=\sqrt{\frac{1}{\alpha_{\mathrm{f} j i}} \sqrt{\frac{\omega_j u}{\kappa_j}}+\frac{\omega_j}{\kappa_j}} u \\ B_{j i}=\sqrt{\frac{2 A_{j i}}{\alpha_{\mathrm{f} j} F_{\mathrm{CD} j i}}} \end{array}\right. $ | (17) |
第j层裂缝在井筒位置压力pfDj0可以通过公式（16）得到，生产井的井底压力pwD可由各层裂缝在井筒处压力相互耦合得到。再根据Duhamel叠加原理[27]，考虑井筒储集系数和裂缝表皮系数的Laplace空间生产井的无量纲井底压力响应为
| $ \bar{p}_{\mathrm{wD}}=\frac{1}{u}\left(\sum\limits_{j=1}^n \frac{1+u^2 \frac{h_j}{h_{\mathrm{t}}} C_{\mathrm{D}} \bar{p}_{\mathrm{fD} j 0}+u \frac{h_j}{h_{\mathrm{t}}} C_{\mathrm{D}} \frac{h_j S}{h_{\mathrm{t}} \kappa_j}}{u \bar{p}_{\mathrm{fD} j 0}+\frac{h_j S}{h_{\mathrm{t}} \kappa_j}}\right)^{-1} $ | (18) |
式中 pwD——Laplace空间生产井的无量纲井底压力；
S——裂缝表皮系数；
ht——储层总厚度，m。
若井筒存在积液或者相态变化，需要考虑井筒的变井筒储集效应[28]。Fair模型[29]可将定井筒储集的井底压力解pwD转化为存在变井筒储集效应的井底压力解pϕwD，即考虑变井筒储集效应的井底压力响应为
| $ \bar{p}_{\phi \mathrm{WD}}=\bar{p}_{\mathrm{wD}}\left[1+C_{\mathrm{D}}\left(u C_{\phi \mathrm{D}}-u^2 \frac{C_{\phi \mathrm{D}}}{u+\frac{1}{\alpha_{\mathrm{D}}}}\right)\right] $ | (19) |
式中 CϕD——无量纲相分布压力参数；
αD——无量纲相分布时间参数。
根据Stehfest反演算法[30]可以将Laplace空间参数数值反演到实数空间。在双对数坐标系中，压力导数可以有效放大压力曲线特征，揭示储层流体流动阶段的不同流动形态。在双对数坐标系统中，无量纲压力导数为
| $ p_{\mathrm{wD}}^{\prime}\left(t_{\mathrm{D}}\right)=t_{\mathrm{D}} \frac{\mathrm{d} p_{\mathrm{wD}}\left(t_{\mathrm{D}}\right)}{\mathrm{d} t_{\mathrm{D}}} $ | (20) |
利用Cinco-Ley压裂井模型解析解对本文的分层压裂合采模型进行验证。考虑到Cinco-Ley模型无法模拟分层压裂的情况，因此令本文模型的各层储层物性相同（κ=ω=1/n），以及各层裂缝长度比和裂缝导流系数相同（αf=1/n，FCDa=FCDb），且模型裂缝半长被离散成10个等长的单元。则本文建立的分层压裂合采模型可退化为Cinco-Ley提出的均匀有限导流压裂井模型。如图 3所示，本文模型与Cinco-Ley的模型匹配程度高，表明单一垂直裂缝是本文分层压裂合采模型一个特殊情况的解。
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图 3 本文模型与Cinco-Ley模型对比结果图 Fig. 3 Comparison of model in this study with Cinco-Ley Model 实心点代表pwD；空心点代表pwD′；实线代表pwD；虚线代表pwD′ |
采用数值反演算法，计算井底压力响应，绘制多层致密油气藏分层压裂合采试井典型曲线图版。以两层压裂为例：第一层地层系数比κ1为0.75，储容系数比ω1为0.5，裂缝长度比αf1为0.3，裂缝扩展比Rp1为0.5，近井段无量纲裂缝导流系数FCD1a为100，远井段无量纲裂缝导流系数FCD1b为50；第二层地层系数比κ2为0.25，储容系数比ω2为0.5，裂缝长度比αf2为0.7，裂缝扩展比Rp2为0.5，近井段无量纲裂缝导流系数FCD2a为100，远井段无量纲裂缝导流系数FCD2b为50；无量纲井筒储集系数CD为0.01，裂缝表皮系数S为0.01。如图 4所示，该图版分为5个阶段，反映了储层流体的5种流动形态：（1）井筒储集阶段，压力及压力导数为斜率为1的重合直线，反映了井筒续流特征；（2）过渡阶段，压力和压力导数逐渐偏离单位斜率，呈现平缓驼峰形状，是一种过渡的流动形态；（3）裂缝线性流动阶段，压力和压力导数为斜率为0.25的平行直线，平行线垂向距离为log104，反映了裂缝内流体沿着裂缝方向的线性流动特征；（4）储层线性流动阶段，压力和压力导数为斜率为0.5的平行直线，平行线垂向距离为log102，反映了裂缝两侧储层流体沿着垂向裂缝方向流入压裂缝的特征；（5）储层拟径向流动阶段，压力导数曲线为斜率为0.5的水平线，反映了较远储层流体近似径向流入压裂缝的特征。
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图 4 多层致密油气藏分层压裂合采试井典型曲线图版 Fig. 4 Well testing type curve of multi-layer tight oil and gas reservoirs in multi-layer fracturing and commingling production well ①井筒储集阶段；②过渡阶段；③裂缝线性流动阶段；④储层线性流动阶段；⑤储层拟径向流动阶段；实线代表pwD；虚线代表pwD′ |
下面以两层压裂及典型曲线中参数取值为例，讨论不同参数对试井典型曲线图版的影响。
2.3.1 裂缝长度比设置压裂缝的裂缝扩展比为0.5，第一层近井段无量纲裂缝导流系数为100、远井段无量纲裂缝导流系数为10，第二层近井段无量纲裂缝导流系数为500、远井段无量纲裂缝导流系数为50。第一层裂缝半长为xf1，第二层裂缝半长为xf2。第一层裂缝长度比（αf1）是第一层裂缝长度（2xf1）和所有裂缝总长（2xf1+2xf2）的比值，即αf1=xf1/（xf1+xf2）。如图 5所示，裂缝长度比（αf1）影响了整个储层流动形态和对应的压力响应行为，特别是裂缝线性流动阶段。当裂缝长度比αf1=0.5时，表示两层裂缝的裂缝长度和裂缝扩展程度相同。由于第一层裂缝导流能力整体小于第二层裂缝导流能力，因此随着第一层裂缝长度比（αf1）的减少，压力及压力导数曲线整体向下移动。这表明：在相同生产压差下，提高整个压裂缝中高导流裂缝长度占比可以有效增加生产井产量。
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图 5 裂缝长度比对井底压力响应的影响图 Fig. 5 Influence of fracture length ratio on BHP response 实线代表pwD；虚线代表pwD′ |
由裂缝扩展比（Rp）、裂缝导流系数比（FCDa: FCDb），计算得到第一层裂缝等效导流系数为55，第二层裂缝等效导流系数为275。若根据裂缝长度比（αf1），将非等长且非均匀导流压裂缝等效为等长且均匀导流能力的单裂缝模型，则等效单裂缝的导流系数（FCD）如表 2所示。由于第一层裂缝导流系数整体小于第二层裂缝导流系数，因此随着第一层裂缝长度比的增加，对应的等效单裂缝导流系数越小。这种现象表明：若不考虑分层压裂井各层裂缝长度的差异，将会高估压裂缝的导流能力。
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表 2 不同裂缝长度比下的等效单裂缝模型导流系数表 Table 2 Conductivity of equivalent single-fracture model with different fracture length ratios |
对于任意压裂缝而言，近井段为高导流能力裂缝，远井段为低导流能力裂缝。在图 6中远井段无量纲裂缝导流系数（FCDb）为50，裂缝导流能力主要影响裂缝线性流动阶段的压力响应，具体表现为：裂缝导流系数越大，裂缝线性流动越早出现，裂缝线性流动特征越明显。另一方面，当近井段无量纲裂缝导流系数与远井段无量纲裂缝导流系数相同时（图 6中FCDa=FCDb），这种情况表示导流能力均匀的单压裂缝。相比于均匀导流能力压裂缝而言，随着近井段无量纲裂缝导流系数（FCDa）的增加，压力及压力导数曲线在裂缝线性流动阶段下移。这种现象表明：在相同流量下，高导流能力裂缝需要的压差较小，即增加裂缝整体导流能力有利于提高气井早期产量。
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图 6 裂缝导流系数对井底压力响应的影响图 Fig. 6 Influence of fracture conductivity on BHP response 实线代表pwD；虚线代表pwD′ |
根据裂缝扩展比（Rp）和裂缝长度比（αf1），计算不同裂缝导流系数分布下等效单裂缝的导流系数（FCD）。如表 3所示，随着近井段与远井段裂缝导流系数比值（FCDa∶FCDb）的减小，等效单裂缝的导流系数也逐渐降低。这种现象表明：若忽略压裂缝导流能力的非均匀性，将会高估压裂缝的导流能力。
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表 3 不同裂缝导流系数比下的等效单裂缝模型导流系数表 Table 3 Conductivity of equivalent single-fracture model with different fracture conductivity ratios |
各层的裂缝半长为xf，远井段裂缝为低导流能力裂缝，其半长为xpf。裂缝扩展比（Rp）是低导流裂缝长度（2xpf）与整个裂缝长度（2xf）的比值，即Rp=xpf/xf。如图 7所示，裂缝扩展比影响裂缝线性流动阶段的压力响应行为，压力及压力导数曲线随着裂缝扩展比增加而下移。与裂缝导流系数的敏感性相似，早期油井产量对裂缝扩展比较敏感。当裂缝扩展比接近零时，本文模型弱化为均匀导流能力的单裂缝模型（图 7中Rp=0.01）。相比于均匀导流能力的压裂缝，压裂缝中低导流裂缝扩展越明显，压力及压力导数曲线在裂缝线性流动阶段下移。结合裂缝长度和裂缝导流能力对压力响应的影响特征，提高远井段裂缝的导流能力是提高油井产量的有效方向。
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图 7 裂缝扩展比对井底压力响应的影响图 Fig. 7 Influence of fracture propagation ratio on BHP response 实线代表pwD；虚线代表pwD′ |
由裂缝导流系数比（FCDa: FCDb）和裂缝长度比（αf1），计算不同裂缝扩展比（Rp）下等效单裂缝的导流系数（FCD）。如表 4所示，随着裂缝扩展比的增大，等效单裂缝的导流系数逐渐降低。这种现象表明：若忽略压裂改造后压裂缝扩展的非均匀性，将会高估压裂缝的导流能力。
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表 4 不同裂缝扩展比下的等效单裂缝模型导流系数表 Table 4 Conductivity of equivalent single-fracture model with different fracture propagation ratios |
地层系数由储层的渗透率（K）和厚度（h）决定。地层系数比（κ）是指某一储层的地层系数与所有储层的地层系数总和的比值。如图 8所示，地层系数比对整个测试阶段的压力响应行为和储层流动形态均有明显影响。随着第一层地层系数比（κ1）增大，压力及压力导数曲线下移，说明满足相同产量的条件下需要的压降数值越小。这种现象表明：在相同生产压差下，提高储层渗透率有利于增加生产井产量。
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图 8 地层系数比对井底压力响应的影响图 Fig. 8 Influence of formation capacity ratio on BHP response 实线代表pwD；虚线代表pwD′ |
储容系数由储层的孔隙度（ϕ）和综合压缩系数（ct）决定。储容系数比（ω）是指某一储层的储容系数与所有储层的储容系数总和的比值。如图 9所示，储容系数比主要对裂缝线性流动阶段的压力响应行为有明显影响。随着第一层储容系数比（ω1）增大，压力及压力导数曲线上移，说明满足相同产量的条件下需要的压降数值越小。这种现象表明：提高储层孔隙度或综合压缩系数均有利于增加生产井产量，但这种增产幅度没有提高储层地层系数效果明显。
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图 9 储容系数比对井底压力响应的影响图 Fig. 9 Influence of reservoir storability ratio on BHP response 实线代表pwD；虚线代表pwD′ |
井筒储集系数（CD）主要影响早期流动行为和井储阶段的压力响应特征（图 10）。随着井筒储集系数的增加，早期阶段压力及压力导数曲线下移。这表明井筒储集效应越强，出现裂缝线性流动的时间越晚，且裂缝线性流动特征容易被井筒储集阶段掩盖。
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图 10 井筒储集系数对井底压力响应的影响图 Fig. 10 Influence of wellbore storage capacity on BHP response 实线代表pwD；虚线代表pwD′ |
裂缝表皮系数（S）主要影响过渡阶段的压力响应特征（图 11）。随着裂缝表皮系数的增加，过渡阶段压力及压力导数曲线上移。这表明裂缝表皮的存在引起附加压降，会造成生产井早期产量降低。因此，通过储层解堵手段降低裂缝表皮可以有效减少近井裂缝内压力损耗，进而提高生产井早期产量。
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图 11 裂缝表皮系数对井底压力响应的影响图 Fig. 11 Influence of fracture skin factor on BHP response 实线代表pwD；虚线代表pwD′ |
双X井为某致密气藏一口生产井，钻遇主要产层为山21层、太2层，其中山21层射孔井段为2715~ 2717m，太2层射孔井段为2801~2804m。由于储层渗透率低，气井无法依靠自身能量自然建产，气井投产前进行了分层水力压裂。储层基本物性及气体基本物性参数如表 5所示。
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表 5 双X井储层及气体基本物性参数表 Table 5 Basic physical properties parameters of reservoir and gas in Well Shuang X |
试采阶段，以3.0×104m3/d产气量开井生产45天。试采结束后，井筒下入电子压力计至2600m测取关井恢复段压力数据，压力恢复测试时间为45天。采用两层压裂缝非均匀导流能力试井模型解释测压数据，同时也采用了常规压裂井试井模型解释，两种方法解释拟合曲线如图 12所示。
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图 12 双X井实测压力及理论曲线图 Fig. 12 Measured pressure and theoretical model curve in Well Shuang X (a)本文压裂井模型；(b)常规压裂井模型 |
本文模型（图 12a）解释结果表明，双X井早期流动阶段存在变井筒储集效应，变井筒储集效应持续时间为0.18h，初期井筒储集系数为162.61m3/MPa，后期井筒储集系数为17.57m3/MPa。根据模型压力及压力导数曲线出现的线性流特征、解释的表皮系数负值可以看出压裂改造效果较好，解释参数结果（表 6）显示：近井段压裂缝导流能力约是远井段压裂缝导流能力的2.2倍，高导流裂缝长度约是低导流裂缝的3.1倍，且山21层的压裂改造效果略好于太2层。虽然常规压裂井模型（图 12b）拟合效果与本文模型差异不大，但从生产压力历史对比结果（图 13）来看，常规压裂井模型理论压力偏低，生产阶段压力误差较大。
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表 6 双X井试井解释参数表 Table 6 Well testing interpretation parameters in Well Shuang X |
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图 13 双X井压力历史拟合结果图 Fig. 13 The fitting result of pressure history for Well Shuang X |
（1）多层致密油气藏分层压裂井裂缝非均匀导流能力试井典型曲线可以揭示储层流体的5种流动形态。斜率为0.25的压力及压力导数平行直线段反映了裂缝线性流动阶段，斜率为0.5的压力及压力导数平行直线段反映了储层线性流动阶段，斜率为0.5的压力导数水平线反映了储层径向流动阶段。尽管分层压裂试井曲线形态与单层压裂曲线形态有些类似，但线性流阶段压力和压力导数数值差异较大。
（2）井筒储集系数和裂缝表皮系数主要影响早期流动行为，井筒储集系数越大裂缝线性流动越容易被掩盖。裂缝长度比、裂缝导流系数及裂缝扩展比主要影响中期流动行为，裂缝整体导流能力越大、高导流裂缝长度占比越大、裂缝扩展比越大，试井图版中压力及压力导数曲线整体下移。储层地层系数比和储容系数比影响整个测试期间的压力响应及流动行为，储层地层系数比越大、储容系数比越小，试井图版中压力及压力导数曲线整体下移。
（3）与具有相同导流能力的等宽压裂缝相比，裂缝导流能力非均匀以及扩展非均匀现象会引起压裂缝内较多压力损耗。因此，在相同生产压差下，若不考虑分层压裂井的裂缝长度差异，将会高估压裂缝的导流能力。同样地，如果忽略压裂缝导流能力和压裂缝扩展的非均匀现象，也将会高估压裂缝的导流能力，进而高估生产井早期产能。
（4）在相同生产压差下，通过储层解堵手段降低裂缝表皮、增加裂缝导流能力有利于提高油气井早期产量，提高压裂缝导流能力、压裂缝扩展长度及高导流能力裂缝长度占比是提高油气井生产中期产量的有效方向。在致密油气藏储层增产改造过程中，提高储层地层系数比和储层储容系数比将更有利于增加生产井的产量。
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