物联网和移动互联网的快速发展给第五代(5G)移动通信研究提出了诸多挑战，比如更低的系统时延、更高的吞吐量、超大规模的连接和更好的服务质量^[1]。稀疏码分多址(sparse code multiple access，SCMA)作为频率域的非正交多址技术^[2-3]，综合LDS技术的稀疏性和QAM调制的高效性，可以适应大规模连接、低时延和高吞吐量的通信场景，成为5G非正交多址技术中有竞争力的候选方案。

SCMA的核心思想是利用多维稀疏码本将信息流直接映射成复数域数据流，利用码本的非正交性，用户的信息将稀疏地分散在不同的子载波上。接收端使用基于因子图迭代的消息传递算法(message passing algorithm，MPA)^[4]解码作为次优解码方案，其本质是基于置信度传播(belief propagation，BP)算法^[5]的演进，相比最优性能的最大后验概率算法(maximum a posteriori probability，MAP)和极大似然算法(maximum likelihood algorithm，ML)，MPA算法计算复杂度更低。

原始MPA在因子图中沿着边缘传递所有节点的消息，直至达到最大迭代次数，但是当系统严重超载以及用户过多时复杂度会剧增。文献[6]提出将乘法与指数运算转化为加法与求极值运算的对数域max log-MPA算法方案，从运算角度简化复杂度，文献[7-8]研究FPGA上的MPA和log-MPA的定点和浮点实现，改进log-MPA算法方案，使其可以在性能和复杂性之间实现良好的权衡。基于部分边缘更新(partial marginalizition-based MPA，PM-based MPA)方案^[9]、用剪枝的思想暂停部分节点更新，从降低搜索路径长度角度降低计算复杂度。文献[10]根据信息论的定义，引入动态自适应边缘选择MPA(edge selected MPA，ES-MPA)方案，由每条边迭代更新产生的信息量决定是否进行下一轮FN节点到VN节点的更新，能够在BER和复杂度间取得良好平衡。SCMA接收端使用消息传递算法及优化译码方案，能有效降低译码复杂度，但在高SNR情境下，误比特率性能未成瀑布状分布。

为进一步提升高SNR场景下BER性能，降低高SNR的需求，本文在优化SCMA译码效率的前提下，在SCMA调制编码前级联部分响应信号模块，提出部分响应与稀疏多址联合调制模型。在不损失频带利用率的前提下，依然能够消除码间干扰(ISI)，提出MPA-Viterbi联合译码算法(MPA-VA)，能够有效降低SNR的需求，取得较低的误比特率。在部分响应系统译码算法方面，引入基于极大似然算法的Viterbi译码算法^[11]，利用相关编码特性在误比特率方面的优势，并且在Viterbi译码器之前加入白化匹配滤波器，有效提升Viterbi算法非线性递归运算的先验值。

1 联合编码模型

虽然SCMA模块具有高过载率，但在高SNR环境中，误比特率不能显著下降。同时，部分响应是一种卷积编码^[12]，具有卷积编码的特性，可以提高符号之间的容错性部分。部分响应和稀疏码分多址联合调制解码模型继承了SCMA的高过载率和部分响应的高容错性，在大规模连接的情况下可以保持低误比特率，特别是在高信噪比情况中，联合调制模型BER性能有明显优势。

本方案在编码侧使用部分响应与稀疏码分多址联合调制，J个用户使用K资源块的SCMA下行传输流程如图 1所示，第j个用户发送的信息序列u^j首先经过部分响应模型，人为引入可控制的码间串扰，经过SCMA编码、调制过程，进入高斯信道发送到接收机端，接收机端通过MPA-VA联合译码算法获得估计序列${\hat u^J}$。

1.1 部分响应模型

假设在理想信道的情况下，一个用户的输入比特流序列表示为u=[u₁, u₂, …, u_n]，经过部分响应模型，如图 2所示，在每个比特间引入的冗余码字^[12]为

$ {b_n} = \sum\limits_{l = 1}^L {{u_{n - (l - 1)}}} {g_l}, $

(1)

式中：u_n为二进制比特数据；这里的{g_l}，l∈[1, 2, …, L]，表示L个采样点的抽头系数。那么u经过部分响应实际上可看作一种编码效率为1/2的编码。

目前部分响应信号解码主要有两种概率译码方案：1)基于极大似然的检测方案(Viterbi)；2)基于最大欧氏距离的最大似然序列检测(MLSE)^[13]。

根据部分响应信道的码间串扰特性，可以看作单入单出的卷积码，因此可以使用成熟的BCJR或Viterbi译码算法来降低译码复杂度。本文使用Viterbi算法的考量在于，算法的最大似然译码特性，能够获得最小误比特率，且接近MLSE。

1.2 SCMA模型

在SCMA模型中，J个用户共用K个资源块来传输数据。所有的用户经过部分响应模型的比特流为B=[b¹, b², …, b^j]，其中b^j=[b₁^j, b₂^j, …, b_n^j]，j∈[1, J]，表示第j个用户经过部分响应的比特流。比特流B进入SCMA编码器，根据码本进行映射f^j:b^j→x^j，得到X=[x¹, x², …, x^j]，其中x^j=[x₁^j, x₂^j, …，x_K^j]^T，x_K^j表示第j个用户发送到第k个资源块上的符号。

本文取J=6，K=4，则6个用户共用4个资源块方式用矩阵表示为

$ \mathit{\boldsymbol{F}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0&1&1&0&1&0\\ 1&0&1&0&0&1\\ 0&1&0&1&0&1\\ 1&0&0&1&1&0 \end{array}} \right]. $

(2)

这里F_kj=1表示用户j占用资源块k；F_kj=0，表示用户j不占用资源块k，对应的因子图如图 3所示。

各个用户发送的数据在每个资源块上进行叠加，经过高斯信道，在接收机端，接收信号可表示为

$ \mathit{\boldsymbol{y}} = \sum\limits_{j = 1}^J {{\mathop{\rm diag}\nolimits} } \left( {{\mathit{\boldsymbol{h}}_j}} \right){\mathit{\boldsymbol{x}}^j} + \mathit{\boldsymbol{n,}} $

(3)

式中：y=(y₁, y₂, …, y_K)^T表示接收信号矢量，y_K表示第k个资源块上接收的符号；h_j=(h_{1, j}, h_{2, j}, …, h_{K, j})^T表示信道增益矢量，h_{K, j}表示第j个用户到第k个资源块上的信道增益因子；x^j=(x₁^j, x₂^j, …, x_K^j)^T表示用户j发送的码字，x_K^j表示第j个用户发送到第k个资源块上的符号，n=[n₁, n₂, …，n_K]^T，表示高斯白噪声矢量。

2 联合检测译码模型

通过AWGN的接收信号，接收数据序列使用基于MPA和Viterbi的联合迭代解调模块，判决并输出估计序列。其中，MPA解码的核心单元是VNs与FNs之间的迭代更新，而这个迭代过程可以分两个步骤进行，本文联合译码算法在迭代更新过程中加入Viterbi译码算法。具体联合译码流程如图 4所示。

第1步：信号初始化。通过使用期望值和接收值的欧氏距离，从计算接收到的每个资源所有组合的附加码字的概率开始。由于缺少码字的先验信息，所以假设资源节点FNs在每个用户节点VNs取得每个符号的概率是相等的，即初始化时，第j个用户节点向第k资源节点的转移概率为

$ \mathit{\boldsymbol{I}}_{j \to k}^{{\rm{init}}}(\mathit{\boldsymbol{x}}_m^j) = \frac{1}{M}, m = 1, \cdots , M, $

(4)

式中：M表示进制数，x_m^j表示x^j的第m个符号值。

接收机基于设定好的用户码本，计算每个资源节点FN上接收的不同比特信息的概率为

$ \begin{array}{l} {P_{k, j}}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_m^j} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{ \mathit{ π} }}} \sigma }}\exp \left( { - \frac{1}{{2{\sigma ^2}}}} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\parallel {y_k} - \sum\limits_{} {_{i \in {\xi _k}}{h_{k, i}}} {x_{k, i, m}}{\rm{ }}\left. {{\parallel ^2}} \right), \end{array} $

(5)

式中：P_{K, j}(x_m^j)是第j个用户节点VN到第k个资源节点FN的置信概率，y_K表示第k个资源节点FN上接收的符号信息，ξ_K表示第k个资源节点FN连接的用户节点VN的个数。

第2步：资源节点FN更新。将资源节点FN收到的先验概率信息式(5)与当前概率计算结果相结合，进行节点更新，

$ I_{k \to j}^t\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_m^j} \right) = \sum\limits_{} {_{\mathit{\boldsymbol{\tilde x}}_m^j}{P_{k, j}}} \left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_m^j} \right)\prod\limits_{} {_{j \in {\xi _{k/j}}}I_{j \to k}^{l - 1}} \left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_m^j} \right), $

(6)

式中：I_k→j^t(x_m^j)表示第t次迭代过程中，资源节点k到用户节点j的更新信息；j∈ξ_k/j，表示除去用户节点j的ξ_K。然后计算符号的外部信息为

$ {P_{k, j}}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_m^j} \right) = \prod\limits_{} {_{k \in {\xi _j}}I_{k \to j}^t} \left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_m^j} \right), $

(7)

式中：ξ_j表示第j个用户节点VN连接的资源节点FN的个数。

第3步：Viterbi译码更新符号信息。Viterbi译码器接收的信号为式(7)，按Viterbi算法流程进行译码，符号的外部信息更新为

$ P\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_m^j} \right) = {\rm{Viterbi(}}{P_k}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_m^j} \right){\rm{)}}{\rm{.}} $

(8)

第4步：用户节点VN更新。用户节点VN接收的信息结合第3步更新的符号信息，进行和积操作，并对VN节点进行归一化操作，

$ I_{j \to k}^t\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_m^j} \right) = {\rm{normalize(}}P\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_{jm}^{}} \right)\prod\limits_{} {_{\tilde k \in {\xi _j}/k}I_{k \to j}^{l - 1}} \left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_m^j} \right){\rm{)}}, $

(9)

第5步：估计与软输出。在式(6)~式(9)之间进行t_max次迭代后，最终第j个VN节点经过估计后的LLR软输出为

$ {{\hat X}_j}\left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_m^j} \right) = \prod\limits_{} {_{k \in {\xi _j}}I_{k \to j}^{{t_{\max }}}} \left( {\mathit{\boldsymbol{x}}_m^j} \right). $

(10)

为表述清晰，具体VA-MPA运算伪代码流程，如下所示：

3 算法仿真与分析

本文基于下行SCMA通信系统，采用文献[8]中给出的码本矩阵，仿真分析SCMA-PR联合调制译码设计方案在高斯信道中的BER性能。基于文献[4-10]中提出的标准MPA、PM-MPA和ES-MPA3种MPA算法，在前置部分响应模块后，使用联合译码模块进行解调。方案适当增加复杂度，提高在高信噪比下的BER性能。因此将在不同的信噪比下，分别对比MPA和VA-MPA、PM-MPA和VA-PM-MPA、ES-MPA和VA-ES-MPA的BER性能，从而验证本方案的性能。VA-PM-MPA表示级联Viterbi译码的PM-MPA译码算法，VA-ES-MPA同理。同时，将本文联合调制译码方案与文献[14-17]提出的Polar级联SCMA译码方案(BP-MPA)进行BER性能对比。仿真关键参数如表 1所示。

MPA与VA-MPA响应联合译码方案性能对比如图 5所示。从图中可看出：E_b/N₀在1~5 dB范围时，由于部分响应模块需要根据输入数据添加冗余比特，使得进入SCMA映射矩阵的比特数增加1倍，因此在低信噪比场景下VA-MPA的误比特率性能与MPA相比衰减约1 dB；在E_b/N₀>6 dB时，VA-MPA与MPA译码方案相比优势明显；当E_b/N₀在6~8 dB范围时，BER迅速从10^-2降到10^-6量级。当BER=10^-5时，本文方案较标准MPA方案的信噪比可改善10.4 dB。

PM-MPA与VA-PM-MPA联合译码方案BER性能对比如图 6(a)所示。根据PM-MPA算法的特点，取两组m、R_s值进行对比，分别为m=1、R_s=3和m=2、R_s=2。由图中可知，在高信噪比场景下，VA-PM-MPA译码方案在误比特率方面始终优于PM-MPA。以m=1、R_s=3对比曲线为例，在信噪比2~11 dB, PM-MPA的BER性能逼近VA-PM-MPA方案，VA-PM-MPA方案优势不突出。对于m=2, R_s=2，在E_b/N₀>6 dB时，VA-PM-MPA译码方案与PM-MPA方案相比优势明显，随后E_b/N₀在6~8 dB范围内，BER迅速从10^-2降到10^-5量级。当BER=10^-5时，VA-PM-MPA方案较PM-MPA方案的信噪比可改善将近11 dB。

ES-MPA与VA-ES-MPA联合译码方案BER性能对比如图 6(b)所示。此处ES-MPA与VA-ES-MPA的仿真参数采用两组阈值进行对比，分别为δ=2、δ=3。对比两组曲线，在高信噪情况下，VA-ES-MPA方案的BER性能优势明显。以δ=3对比曲线为例, 当E_b/N₀>7 dB时，VA-ES-MPA相较于ES-MPA方案的BER值骤减且呈瀑布状，表明部分响应在高信噪比场景下优势明显。当BER=10^-5时，VA-ES-MPA方案较ES-MPA方案信噪比提高9 dB。对比两条VA-ES-MPA方案曲线，当BER=10^-5时，两组参数曲线的信噪比仅相差1.2 dB。

VA-MPA联合译码方案与BP-MPA联合译码方案性能对比如图 7所示，此处分别对两种方案迭代2、3、4次。对比两组曲线，在高信噪比的情况下，VA-MPA方案的BER性能优势明显。以迭代次数t_max=4为例，当E_b/N₀>6 dB时，VA-MPA相比较于Polar级联联合译码方案的BER值骤减且呈瀑布状，表明部分响应在高信噪比场景下优势明显; 当BER=10^-4时，VA-MPA方案较BP-MPA方案的信噪比可改善大约2 dB。

4 结束语

本文综合部分响应的容错率和SCMA系统的稀疏性，提出部分响应与稀疏码分多址联合调制解码模型。在SCMA调制编码前级联部分响应模块，即使用部分响应的卷积特性将输入信号进行预编码。在接收侧，综合基于MLSE的Viterbi译码算法和MPA算法，给出新型MPA-VA联合译码方案。仿真结果表明，标准MPA、PM-MPA和ES-MPA3种SCMA译码方案，在联合VA译码后，BER性能曲线在高E_b/N₀情境下，呈瀑布状分布，并且优于Polar级联SCMA译码方案。表明，本文提出的联合编译码模型能够有效增加高E_b/N₀情况下的BER性能界。由于引入卷积编码，使系统整体计算复杂度有一定升高，因此在未来工作中，深入研究降低系统的计算复杂度是有必要的。