气泡在化工、生物、医药、动力设备、核反应堆、航天和热能等多个领域有着广泛的应用，譬如：大型船舶的气泡减阻、油气输运、血管中气泡的运动。船舶发动机水下排气会造成螺旋桨的气蚀, 利用气泡可以加速反应装置中的物质混合、热量交换及化学反应过程；在水处理方面，曝气、气浮等工艺的处理能耗和处理效率与气泡运动特性密切相关。在沸腾传热中，气泡脱离是沸腾传热的重要过程，气泡从基板上脱离受多个因素的影响，包括气泡的形状、大小、加热模式、基板表面的润湿性等。

Fritz和Ende^[1]通过气泡脱离时的受力分析，得到著名的Fritz公式，在常压情况下，该公式的计算结果与实验结果较为吻合，但当压力过高或过低时有误差。Cole^[2]在低压条件下进行一系列的气泡生长和脱离的实验，并得到新的拟合关系式，该式中引入一个Jakob数，后来得到广泛引用。Rohsenow^[3]发现气泡生长需要的一定过热度，其大小由气液界面的表面张力决定。Lee和Nydahl^[4]对气泡的生长和脱离进行数值模拟，假设气泡具有球缺形状并且在整个气泡生长期间存在微层, 他们发现，微层蒸发的热量占整个核态沸腾换热量的87%。Zeng等^[5]提出，气泡在上升与分离时主要由气泡受到的浮力以及表面张力决定，据此获得气泡生长和气泡分离直径的表达式。Son等^[6]使用Level Set方法对水沸腾期间气泡的生长和离开进行数值模拟。Fuchs等^[7]利用数值模拟的方法，分析壁面导热效应和蒸发弯月面对气泡生长和脱离的影响。本文利用数值模拟的方法，对于气泡脱离基板的机理进行深入全面的研究。

1 模型和公式

本文利用Level Set方法建立二维轴对称非稳态数学模型，用有限差分法对控制方程进行离散处理，在给定的边界条件下，追踪气液界面的演化规律，获得气泡在浮力、黏性力、惯性力与表面张力共同作用下的运动规律，分析不同接触角、Re数和Bo数对气泡脱离基板的影响，并获得气泡从基板脱离时的临界参数。

本文中，以单个气泡为研究对象，气泡初始形状为球缺形。由于气泡沿y轴方向是轴对称的，我们仅对气泡x轴正方向的部分进行模拟，计算区域底部为无滑移边界条件，其余边界为自由边界条件，如图 1所示。数值模拟结果表明，当气液的密度比和黏性比小于0.05时，该比值对于气泡的运动规律几乎没有影响，因此选取气液的密度比和黏性比为0.05。气泡无初始速度，在脱离基板的过程中满足质量守恒。经过校验后，网格数101×301，时间步长为1.0×10^-4，计算域为3×9。

由于气泡是在浮升力的驱动下脱离的，因此以浮升力来定义特征速度

$U=\sqrt{g R}, $

(1)

引入无量纲参数：

$R e=\rho_{1} U R / \mu_{1}, $

(2)

$B o=\rho_{1} g R^{2} / \sigma. $

(3)

分析得到气泡脱离壁面的无量纲控制方程如下：

连续性方程：

$\nabla \cdot \boldsymbol{u}=0, $

(4)

动量方程：

$\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}+\boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u}=-\frac{1}{\rho} \nabla p+\frac{1}{\rho^{*} R e} \nabla \cdot\left[\mu^{*}\left(\nabla \boldsymbol{u}+\nabla \boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}\right)\right]+\\ \frac{1}{\rho^{*} B o} \kappa \boldsymbol{n} \delta(\phi)+\frac{1}{\rho^{*}}\left(1-r_{\mathrm{d}}\right) j. $

(5)

式中:ρ^*=ρ_g/ρ_l，μ^*=μ_g/μ_l分别为气泡内外的密度比和黏度比。

2 结果与讨论

气泡脱离基板的过程受众多因素的影响，将控制方程进行无量纲化以后，这些因素可以归结为Re数、Bo数和接触角的影响。

2.1 模型校核

为了验证模型的正确性，我们与Sussman和Smereka^[8]的结果进行比较，如图 2所示。结果表明，我们的模拟结果和他们的结果非常符合。气泡在浮力作用下，由静止开始上升，圆形气泡下部开始变形，进而导致气泡破裂。

2.2 Re数对气泡脱离基板的影响

首先通过改变气泡脱离基板时的Re数(其中Bo=1，θ=60°)，研究Re数的变化对气泡脱离基板的影响。由图 3可知，不同Re数下气泡脱离基板的垂直速度明显不同，当Re=1时，由于黏性的影响，气泡无法脱离，气泡的垂直速度很小，可忽略不计；当Re=10时，气泡脱离基板的垂直速度随时间增长而增加，t=2.4时开始脱离基板，；当Re=100时，气泡脱离明显提前，t=1.3时气泡就能够开始脱离，气泡脱离基板的垂直速度也随时间增长而增加，且相比Re=10时，气泡脱离基板的垂直速度较大。

图 4是不同Re数下气泡形状随时间的变化(Bo=1，θ=60°)。当Re=1时，气泡虽然不能脱离，但是由于浮力的作用，气泡形状略有变化，在竖直方向上被拉伸；当Re=10时，气泡能够沿竖直方向脱离，气泡先是在竖直方向上被拉伸，然后在t=2.4时刻气泡开始脱离，气泡在上升过程中基本为半球形，形状变化不剧烈；当Re=100时，气泡在t=1.3时刻就开始脱离基板，且气泡在上升过程中形状变化较为剧烈，脱离之后气泡变得更加扁平。总体来说，当Bo数和接触角不变时，Re数越大，气泡越容易脱离，气泡脱离基板的垂直速度越大，形状变化越剧烈。

2.3 Bo数对气泡脱离基板的影响

图 5为不同Bo数下气泡脱离基板的垂直速度的变化规律(Re=10，θ=60°)。可以看出，在气泡脱离基板前，气泡的垂直速度随着时间推移而增加，但是Bo=1时的垂直速度较小；在Bo=5或Bo=10时，垂直速度随着时间几乎是线性的增加。而在气泡脱离基板后，Bo=1时，气泡速度持续增加，而Bo=5或Bo=10时，气泡速度达到稳定值。总体来说，当Re数和接触角不变时，Bo数越大，气泡脱离基板的垂直速度越大，但是Bo数到达一定程度时，其对气泡的影响会很小。

图 6为不同Bo数下时气泡脱离基板过程中的形状变化(Re=10，θ=60°)。可以看出，在不同的Bo数下，气泡均能够从基板脱离，且脱离的时间都在t=2.4左右。在气泡脱离基板之前，气泡在浮力的作用下被逐渐拉伸，在Bo=1时，气泡能够完全脱离基板，而在Bo=5和Bo=10时，由于气泡表面张力比Bo=1时要低，在气泡周围液体惯性力的作用下，气泡的底部会断裂，从而使小部分气体附着在基板上，而其余部分脱离基板，这也是图 4中Bo=5和10的时候，气泡的垂直速度与Bo=1时不同的原因。

2.4 接触角大小对气泡脱离基板的影响

图 7为不同接触角下气泡脱离基板的垂直速度变化曲线(Re=10, Bo=1)。可以看出，接触角的大小对气泡脱离基板有很大的影响。当接触角θ=120°时，气泡无法成功脱离基板；当θ=90°时，气泡能够脱离基板，但是需要较长的时间，在t=9.7才能开始脱离，刚开始气泡脱离基板的垂直速度的增长较为缓慢；而当θ=60°时，气泡脱离基板的垂直速度随时间的增长迅速增大，在t=2.4时就开始脱离基板。

图 8为不同接触角下气泡形状的变化规律(Re=10，Bo=1)。可以看出，接触角θ=120°时，气泡无法成功脱离，气泡形状也基本没有变化，竖直方向并没有明显地被拉伸；接触角θ=90°时，气泡在脱离基板的过程中由于浮力的作用逐渐被拉伸，而后逐渐脱离基板；接触角θ=60°时，由于气泡与基板接触面积的减小，气泡更容易脱离。

3 总结与展望

本文利用Level Set方法，针对气泡脱离基板的运动建立瞬态二维轴对称模型，分别研究Re数、Bo数和接触角的大小对气泡脱离基板规律的影响，所得结论如下：

1) 随着Re数的增大，气泡所受的惯性力越大，气泡越容易脱离基板，即气泡脱离基板的垂直速度增长越快，开始脱离的时间越早。

2) 随着Bo数的增大，在气泡脱离之前，气泡的垂直速度增加得越快，但是对于气泡脱离的时间影响不大。Bo数增大时，气泡从完全脱离变成部分脱离。

3) 气泡与基板的接触角越大，与基板的接触面积越大，与基板底部和附近液体的作用力就越大，因而越难以脱离。这也进而说明基板的润湿性对于气泡脱离有很大的影响。