Bonnet曲面是指三维欧氏空间E³中一张可定向曲面，并且上面存在一个保主曲率且保定向的非平凡(即不是E³中的刚体运动在曲面上的限制)单参数等距变换族。Bonnet曲面的概念最初由Bonnet^[1]提出，他证明E³中的常平均曲率曲面一定是Bonnet曲面。Bonnet之后，一直有数学家对Bonnet曲面进行研究，比如：Graustein，Hazzidakis，Cartan等。近二三十年，Bonnet曲面的研究取得了很大进展。Chern^[2]利用活动标架法，给出非常平均曲率Bonnet曲面满足的充要条件，并利用该条件得到非常平均曲率Bonnet曲面的一些重要性质，包括非常平均曲率Bonnet曲面一定是W-曲面，即满足dH∧dK=0的曲面。Colares和Kenmotsu^[3]系统地研究Gauss曲率为零的非常平均曲率Bonnet曲面，并且给出分类和等距族。Chen和Peng^[4]在文献[2]的基础上进一步得到非常平均曲率Bonnet曲面的一些重要性质，并最终得到非常平均曲率Bonnet曲面的分类，以及非常平均曲率Bonnet曲面的平均曲率满足的常微分方程，这个方程与Hazzidakis在文献[5]中的结果等价。Peng与Lu^[6]研究文献[4]中前两类Bonnet曲面的极限曲面。Bobenko和Eitner^[7]用可积系统的方法，得到非常平均曲率Bonnet曲面平均曲率与Painlevé方程解之间的关系，并利用Painlevé方程的解表示出非常平均曲率Bonnet曲面的平均曲率。在文献[8]中，Chen和Li得到在空间形式$\mathbb{R}$³(c)中的Bonnet曲面和在$\mathbb{R}_1^3$(c)中类空Bonnet曲面的分类定理。

为方便叙述，下文中讨论的Bonnet曲面都是指非常平均曲率Bonnet曲面并且曲面上没有脐点，又假设在该曲面上dH≠0，并且文中提到的等距皆为保定向的等距。

在文献[4]中，作者提出一个问题，是否存在Gauss曲率不恒为0的Bonnet曲面。在本文中，通过研究Bonnet曲面平均曲率满足的微分方程，得到上述问题的肯定回答，即

定理A  存在Gauss曲率不恒为0的Bonnet曲面。

此外，利用文献[2, 4, 6]中的结果，又得到

定理B  如果两张Bonnet曲面之间存在一个保主曲率且保定向的共形映射，若两Bonnet曲面的Gauss曲率零点孤立，则该共形映射为等距；若两Bonnet曲面的Gauss曲率恒为0，则该共形映射为相似变换。

1 预备知识

设S是E³中一张局部浸入曲面，并且没有脐点。于是S上存在一个主方向标架场{p, e₁, e₂, e₃}，其中p∈S为位置向量，e₁, e₂为曲面的单位主方向，e₃为单位法向量。记曲面的主曲率为a、c (a>c)，高斯曲率为K，即K=ac，平均曲率为H，即$H=\frac{a+c}{2}$，又令$G=\frac{a-c}{2}$，则G>0且$G=\sqrt{H^{2}-K}$。

对于S，首先有标架运动方程：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{d}}p = {\omega _1}{e_1} + {\omega _2}{e_2}}\\ {{\rm{d}}{e_1} = {\omega _{12}}{e_2} + {\omega _{13}}{e_3}}\\ {{\rm{d}}{e_2} = - {\omega _{12}}{e_1} + {\omega _{23}}{e_3}}\\ {{\rm{d}}{e_3} = - {\omega _{13}}{e_1} - {\omega _{23}}{e_2}} \end{array}} \right., $

式中：ω₁, ω₂为e₁, e₂的对偶1-形式，则ω₁₃=aω₁，ω₂₃=cω₂，ω₁₂为曲面的联络形式，设$\omega_{12}=\tilde{h} \omega_{1}+\widetilde{k} \omega_{2}$。这些1-形式满足结构方程：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{d}}{\omega _1} = {\omega _{12}} \wedge {\omega _2}}\\ {{\rm{d}}{\omega _2} = {\omega _1} \wedge {\omega _{12}}}\\ {{\rm{d}}{\omega _{12}} = - K{\omega _1} \wedge {\omega _2}\left( {{\rm{Gauss }}方程} \right)}\\ {{\rm{d}}{\omega _{13}} = {\omega _{12}} \wedge {\omega _{23}}\left( {{\rm{Codazzi }}方程} \right)}\\ {{\rm{d}}{\omega _{23}} = {\omega _{13}} \wedge {\omega _{12}}\left( {{\rm{Codazzi }}方程} \right)} \end{array}} \right.~~~. $

由Codazzi方程，

$ \left[ {{\rm{d}}a - \left( {a - c} \right)\tilde h{\omega _2}} \right] \wedge {\omega _1} = 0, $

$ \left[ {{\rm{d}}c - \left( {a - c} \right)\tilde k{\omega _1}} \right] \wedge {\omega _2} = 0. $

于是令

$ 2{\rm{d}}H = \left( {a - c} \right)\left( {A{\omega _1} + B{\omega _2}} \right), $

(1)

则$\frac{\mathrm{d} a}{a-c}=(A-\widetilde{k}) \omega_{1}+\widetilde{h} \omega_{2}$,

$ \frac{{{\rm{d}}c}}{{a - c}} = \tilde k{\omega _1} + \left( {B - \tilde h} \right){\omega _2}, $

因此，

$ {\rm dlog}\left( {a - c} \right) = \left( {A - 2\tilde k} \right){\omega _1} - \left( {B - 2\tilde h} \right){\omega _2}, $

(2)

并且|∇H|²=(H²-K)(A²+B²)。定义新的1-形式：

$ {\theta _1} = A{\omega _1} + B{\omega _2},{\theta _2} = - B{\omega _1} + A{\omega _2}, $

$ {\alpha _1} = A{\omega _1} - B{\omega _2},{\alpha _2} = B{\omega _1} + A{\omega _2}. $

再定义曲面上的*算子，

$ * {\omega _1} = {\omega _2}, * {\omega _2} = - {\omega _1}. $

于是有

$ * {\theta _1} = {\theta _2}, * {\theta _2} = - {\theta _1}, $

$ * {\alpha _1} = {\alpha _2}, * {\alpha _2} = - {\alpha _1}. $

(1) 和(2)可以写成

$ 2{\rm{d}}H = \left( {a - c} \right){\theta _1}, $

$ {\rm dlog}\left( {a - c} \right) = {\alpha _1} + 2 * {\omega _{12}}. $

如果dH≠0，可定义新的度量：

$ {\rm{d}}s_{ - 1}^2 = \theta _1^2 + \theta _2^2 = \alpha _1^2 + \alpha _2^2 = \frac{{{{\left| {\nabla H} \right|}^2}}}{{{H^2} - K}}{\rm{d}}{s^2}, $

(3)

其中ds²是S上的诱导度量。

Chern在文献[2]中证明曲面S为Bonnet曲面的充要条件为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{d}}{\alpha _1} = 0}\\ {{\rm{d}}{\alpha _2} = {\alpha _1} \wedge {\alpha _2}} \end{array}} \right.. $

(4)

由(4)可知如果S为Bonnet曲面则ds_-1²的Gauss曲率为-1。在文献[2]中，作者还得到Bonnet曲面必为W-曲面，即满足dH∧dK=0，或者等价地，K为H的函数。在文献[4]中，Chen和Peng证明Bonnet曲面不仅满足(4)还满足dθ₁=0，并进一步得到文献[4]中的定理。

定理1.1  设S为Bonnet曲面，定义度量

$ {\rm{d}}s_0^2 = \frac{{{{\left( {{H^2} - K} \right)}^2}}}{{{{\left| {\nabla H} \right|}^2}}}{\rm{d}}{s^2}, $

(5)

则1)ds₀²的Gauss曲率为0，

2) |∇H|和ΔH都是H的函数。

由定理1.1可得^[4]，存在Bonnet曲面S上的等温坐标(u, v)，使得ds₀²=du²+dv²，du∧dv与ω₁∧ω₂给定相同定向并且H只是u的函数。由dH≠0，可设H′(u)>0。结合(3)和(5)，可设

$ {\rm{d}}s_{ - 1}^2 = {F^2}{\rm{d}}s_0^2, $

则$F^{2}=\frac{|\nabla H|^{4}}{\left(H^{2}-K\right)^{3}}$。设F>0，则$F=\frac{|\nabla H|^{2}}{G^{3}}$，经过简单计算可知$H^{\prime}=\frac{|\nabla H|^{2}}{G^{2}}$，因此，$F=\frac{H^{\prime}}{G}$。并且在这个等温坐标下，曲面的第一基本型可写成

$ {\rm{d}}{s^2} = {{\rm{e}}^{2\rho }}\left( {{\rm{d}}{u^2} + {\rm{d}}{v^2}} \right), $

(6)

其中$\mathrm{e}^{2 \rho}=\frac{|\nabla H|^{2}}{\left(H^{2}-K\right)^{2}}=\frac{F^{2}}{H^{\prime}}$。令$\widetilde{\omega}_{1}=\mathrm{e}^{\rho} \mathrm{d} u, \widetilde{\omega}_{2}=e^{\rho} {\rm d} v$，设$\widetilde{\omega}_{12}$为关于$\left\{\tilde{\omega}_{1}, \tilde{\omega}_{2}\right\}$的联络1-形式，则$\widetilde{\omega}_{12}=\rho^{\prime}(u) \mathrm{d} v$。设

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\tilde \omega }_1} = \cos \theta {\omega _1} - \sin \theta {\omega _2}}\\ {{{\tilde \omega }_2} = \sin \theta {\omega _1} + \cos \theta {\omega _2}} \end{array}} \right., $

这里{ω₁, ω₂}为主方向标架。又设$\left\{\tilde{e}_{1}, \tilde{e}_{2}\right\}$为$\left\{\tilde{\omega}_{1}, \tilde{\omega}_{2}\right\}$的对偶标架，则$\left\{p, \tilde{e}_{1}, \tilde{e}_{2}, e_{3}\right\}$为S上新的标架。令

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\tilde \omega }_{13}} = < {\rm{d}}{{\tilde e}_1},{e_3} > }\\ {{{\tilde \omega }_{23}} = < {\rm{d}}{{\tilde e}_2},{e_3} > } \end{array}} \right., $

设

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\tilde \omega }_{13}} = {h_{11}}{{\tilde \omega }_1} + {h_{12}}{{\tilde \omega }_2}}\\ {{{\tilde \omega }_{23}} = {h_{21}}{{\tilde \omega }_1} + {h_{22}}{{\tilde \omega }_2}} \end{array}} \right., $

(7)

则

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{h_{11}} = H + G\cos 2\theta }\\ {{h_{12}} = {h_{21}} = G\sin 2\theta }\\ {{h_{22}} = H - G\cos 2\theta } \end{array}} \right.. $

(8)

将(7)和(8)代入到关于$\left\{\tilde{\omega}_{1}, \tilde{\omega}_{2}, \tilde{\omega}_{12}, \tilde{\omega}_{13}, \tilde{\omega}_{23}\}\right.$的Codazzi方程中，可得

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{\theta _u} = - F\sin 2\theta }\\ {2{\theta _v} = F\cos 2\theta - {{\left( {\ln F} \right)}^\prime }} \end{array}} \right.. $

(9)

(9) 的可积性条件为F满足

$ {\left( {\ln F} \right)^{\prime \prime }} = {F^2}. $

(10)

解(10)，得到

$ F = \pm \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{u + t}}\\ \frac{\lambda }{{\sin \left( {\lambda \left( {u + t} \right)} \right)}}\\ \frac{\lambda }{{\sinh \left( {\lambda \left( {u + t} \right)} \right)}} \end{array} \right., $

(11)

这里的t, λ(λ>0)是常数。将(11)代入(9)中，解出θ有

$ \tan \theta = \pm \left\{ \begin{array}{l} {\left( {\frac{{v + s}}{{u + t}}} \right)^{ \pm 1}},当\;F = \pm \frac{1}{{u + t}},\\ \tanh \frac{{\lambda v + s}}{2}{\left( {\cot \frac{{\lambda \left( {u + t} \right)}}{2}} \right)^{ \pm 1}}\\ 或\;{\rm coth}\frac{{\lambda v + s}}{2}{\left( {\cot \frac{{\lambda \left( {u + t} \right)}}{2}} \right)^{ \pm 1}},\\ \begin{array}{*{20}{c}} {当\;F = \pm \frac{\lambda }{{\sinh \left( {\lambda \left( {u + t} \right)} \right)}},}\\ { \pm \tan \frac{{\lambda v + s}}{2}{{\left( {\coth \frac{{\lambda \left( {u + t} \right)}}{2}} \right)}^{ \pm 1}},}\\ {当\;F = \pm \frac{\lambda }{{\sinh \left( {\lambda \left( {u + t} \right)} \right)}},} \end{array} \end{array} \right. $

(12)

这里的s是常数；或者

$ \tan \theta = \left\{ \begin{array}{l} 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;当\;F = - \frac{1}{{u + t}},\\ \pm \cot \frac{{\lambda \left( {u + t} \right)}}{2},\;\;\;\;当\;F = \frac{\lambda }{{\sinh \left( {\lambda \left( {u + t} \right)} \right)}},\\ \mp \tan \frac{{\lambda \left( {u + t} \right)}}{2},\;\;\;\;当\;F = \frac{\lambda }{{\sinh \left( {\lambda \left( {u + t} \right)} \right)}}, \end{array} \right. $

(13)

或者

$ \theta = \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2},当\;F = \frac{1}{{u + t}}. $

(14)

注意，(13)和(14)是在(12)中令s→±∞的结果。再由(6)，K=-ρ″e^-2ρ得到

$ {\left( {\ln \frac{{H'}}{{{F^2}}}} \right)^{\prime \prime }}\frac{{H'}}{{{F^2}}} = 2\left( {{H^2} - \frac{{{{H'}^2}}}{{{F^2}}}} \right), $

(15)

这就是Bonnet曲面的平均曲率所满足的微分方程。反之，我们也可以利用(15)的解和(9)的解构造Bonnet曲面。设H为(15)的解，令$\tilde{\omega}_{1}=\mathrm{e}^{\rho} \mathrm{d} u=\frac{F}{\sqrt{H^{\prime}}} \mathrm{d} u, \tilde{\omega}_{2}=\mathrm{e}^{\rho} \mathrm{d} v=\frac{F}{\sqrt{H^{\prime}}} \mathrm{d} v$，则存在唯一一个1-形式$\tilde{\omega}_{12}$满足$\mathrm{d} \widetilde{\omega}_{1}=\widetilde{\omega}_{12} \wedge \widetilde{\omega}_{2}, \mathrm{d} \widetilde{\omega}_{2}=\widetilde{\omega}_{1} ∧\widetilde{\omega}_{12}$，不难得到$\widetilde{\omega}_{12}=\rho^{\prime} \mathrm{d} v$。定义$G=\frac{H^{\prime}}{F}$，令

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{h_{11}} = H + G\cos 2\theta }\\ {{h_{12}} = {h_{21}} = G\sin 2\theta }\\ {{h_{22}} = H - G\cos 2\theta } \end{array}} \right., $

这里θ为(9)的解，再令$\widetilde{\omega}_{13}=h_{11} \widetilde{\omega}_{1}+h_{12} \widetilde{\omega}_{2}, \widetilde{\omega}_{23}=h_{21} \widetilde{\omega}_{1}+h_{22} \widetilde{\omega}_{2}$。由于H为(15)的解，可得

$ {\rm{d}}{{\tilde \omega }_{12}} = - {{\tilde \omega }_{13}} \wedge {{\tilde \omega }_{23}}. $

再由θ为(9)的解，可得

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{d}}{{\tilde \omega }_{13}} = {{\tilde \omega }_{12}} \wedge {{\tilde \omega }_{23}}}\\ {{\rm{d}}{{\tilde \omega }_{23}} = {{\tilde \omega }_{13}} \wedge {{\tilde \omega }_{12}}} \end{array}} \right.. $

即$\left\{\tilde{\omega}_{12}, \tilde{\omega}_{13}, \tilde{\omega}_{23}\right\}$满足Gauss方程和Codazzi方程。从而由曲面论基本定理，存在E³中的曲面S，以Ⅰ=$\left(\widetilde{\omega}_{1}\right)^{2}+\left(\widetilde{\omega}_{2}\right)^{2}$和Ⅱ=$\widetilde{\omega}_{1} \widetilde{\omega}_{13}+\widetilde{\omega}_{2} \widetilde{\omega}_{23}$为其第一和第二基本型，并且S的Gauss曲率K=H²-G²，平均曲率为H。进一步，由于H²-K=G²>0，S上无脐点，并且S上两主曲率分别为H+G和H-G。然后对$\widetilde{\omega}_{1}, \widetilde{\omega}_{2}$旋转θ角，得到新标架

$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _1}}\\ {{\omega _2}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{\sin \theta }\\ { - \sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde \omega }_1}}\\ {{{\tilde \omega }_2}} \end{array}} \right), $

经计算ω₁₃=(H+G)ω₁，ω₂₃=(H-G)ω₂，即{ω₁, ω₂}为主方向标架。再设$\frac{\mathrm{d} H}{G}=A \omega_{1}+B \omega_{2}$，令α₁=Aω₁-Bω₂，α₂=Bω₁+Aω₂。则$A=\sqrt{H^{\prime}} \cos \theta, B=-\sqrt{H^{\prime}} \sin \theta$，于是$\alpha_{1}=\sqrt{H^{\prime}} \cos 2 \theta \widetilde{\omega}_{1}+$$\sqrt{H^{\prime}} \sin 2 \theta \widetilde{\omega}_{2}, \alpha_{2}=-\sqrt{H^{\prime}} \sin 2 \theta \widetilde{\omega}_{1}+\sqrt{H^{\prime}} \cos 2 \theta \widetilde{\omega}_{2}$。直接计算得α₁、α₂满足(4)。因此，S为Bonnet曲面。综上，文献[4]中定理可改写为：

定理1.2  设S是一个Bonnet曲面，则S上存在一个等温坐标(u, v)，使得S的平均曲率H只是u的函数，H′>0并且满足方程(15)；此时，S的第一基本型$I=\frac{F^{2}}{H^{\prime}}\left(\mathrm{d} u^{2}+\mathrm{d} v^{2}\right)$。进一步，令$\tilde{\omega}_{1}=\frac{F}{\sqrt{H^{\prime}}} \mathrm{d} u, \tilde{\omega}_{2}=\frac{F}{\sqrt{H^{\prime}}} \mathrm{d} v$，设$\left\{\tilde{\omega}_{1}, \tilde{\omega}_{2}\right\}$与主方向标架夹角为θ，则θ满足(9)，具体地，θ满足(12)或(13)或(14)。

反之，设H为(15)的解，θ为(9)的解，则存在Bonnet曲面S，使得平均曲率为H，第一基本型$I=\frac{F^{2}}{H^{\prime}}\left(\mathrm{d} u^{2}+\mathrm{d} v^{2}\right)$，令$\tilde{\omega}_{1}=\frac{F}{\sqrt{H^{\prime}}} \mathrm{d} u, \tilde{\omega}_{2}=\frac{F}{\sqrt{H^{\prime}}} \mathrm{d} v$，则θ为$\left\{\tilde{\omega}_{1}, \tilde{\omega}_{2}\right\}$与主方向标架的夹角。

2 定理A的证明

在这一节中，首先研究Gauss曲率恒为0的Bonnet曲面，得到命题2.1，再对(15)降阶，得到命题2.2，最后对降阶后的方程用常微分方程解的存在性定理证明定理A。

首先，得到

命题2.1  设S为Bonnet曲面，若S的Gauss曲率K恒为0，则在定理1.2中，$F=\pm \frac{1}{u+t}$，此时$H=-\frac{\beta}{u+t}$，这里β为常数且β>0。

证明  若Gauss曲率K恒为0，由定理1.2，H满足

$ {\left( {\ln \frac{{H'}}{{{F^2}}}} \right)^{\prime \prime }} = 0, $

(16)

且

$ {H^2} = {\left( {\frac{{H'}}{F}} \right)^2}. $

(17)

由(17)，$H=\frac{H^{\prime}}{F}$或者$H=-\frac{H^{\prime}}{F}$。由(16)，$\frac{H^{\prime}}{F^{2}}=\beta \mathrm{e}^{\alpha u}$，这里β, α为常数且β>0。于是H=βe^αuF或者H=-βe^αuF。

当H=βe^αuF时，H′=β(αe^αuF+e^αuF′)，此时，F满足αF+F′=F²，即α+(lnF)′=F，因此，(lnF)″=F′，由(10)，

$ {F^2} = F', $

(18)

于是α=0。将$F=\pm \frac{1}{u+t}, F=\pm \frac{\lambda}{\sin (\lambda(u+t))}$和$F=\pm \frac{\lambda}{\sinh (\lambda(u+t))}$代入到(18)中，得只有当$F=-\frac{1}{u+t}$时，(18)成立，并且此时$H=-\frac{\beta}{u+t}$。

当H=-βe^αuF时，H′=-β(αe^αuF+e^αuF′)，此时，F满足αF+F′=-F²，得

$ {F^2} = - F', $

(19)

于是α=0。类似地，将$F=\pm \frac{1}{u+t}, F=\pm\frac{\lambda}{\sin (\lambda(u+t))}$和$F=\pm \frac{\lambda}{\sinh (\lambda(u+t))}$代入到(19)中，得只有当$F=\frac{1}{u+t}$时，(19)成立，并且此时$H=-\frac{\beta}{u+t}$。

然后，对(15)降阶得到

命题2.2  若H是(15)的解则存在常数C使得H满足

$ {\left( {\ln \frac{{H'}}{{{F^2}}}} \right)^\prime }^2 = - 4\left[ {\frac{{{H^2}{F^2}}}{{H'}} + H' - 2H{{\left( {\ln F} \right)}^\prime }} \right] + C. $

(20)

反之，如果存在常数C使得H满足(20)且$\left(\frac{H^{\prime}}{F^{2}}\right)^{\prime}$不在某区间上恒为0则H满足(15)。

证明  令$\ln \frac{H^{\prime}}{F^{2}}=h, 2\left(H^{2}-\frac{H^{\prime 2}}{F^{2}}\right)=f$则由(15)有h″e^h=f,

即

$ h'' = f{{\rm{e}}^{ - h}}. $

(21)

在(21)两边同乘2h′，得2h′h″=2fe^-hh′,

即

$ {\left( {{{h'}^2}} \right)^\prime } = - 2f{\left( {{{\rm{e}}^{ - h}}} \right)^\prime }. $

(22)

对(22)两边积分一次得

$ {\left( {h'} \right)^2} = - 2\int f {\left( {{{\rm{e}}^{ - h}}} \right)^\prime }{\rm{d}}u + C, $

(23)

其中C为常数。下面利用分部积分法计算积分∫f(e^-h)′du。

$ \begin{array}{l} \int f {\left( {{{\rm{e}}^{ - h}}} \right)^\prime }{\rm{d}}u = f{{\rm{e}}^{ - h}} - \int {f'{{\rm{e}}^{ - h}}{\rm{d}}u} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f{{\rm{e}}^{ - h}} - 2\int {\frac{{{F^2}}}{{{H^\prime }}}} {\left( {{H^2} - \frac{{{H^{\prime 2}}}}{{{F^2}}}} \right)^\prime }{\rm{d}}u\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f{{\rm{e}}^{ - h}} - 2\int {\frac{{{F^2}}}{{{H^\prime }}}} \left( {2H{H^\prime } - 2\frac{{{H^\prime }}}{F}{{\left( {\frac{{{H^\prime }}}{F}} \right)}^\prime }} \right){\rm{d}}u\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f{{\rm{e}}^{ - h}} - 4\int H {F^2}{\rm{d}}u + 4\int F {\left( {\frac{{{H^\prime }}}{F}} \right)^\prime }{\rm{d}}u\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f{{\rm{e}}^{ - h}} - 4\int H {F^2}{\rm{d}}u + 4F\frac{{{H^\prime }}}{F} - 4\int {{F^\prime }} \frac{{{H^\prime }}}{F}{\rm{d}}u\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f{{\rm{e}}^{ - h}} - 4\int H {F^2}{\rm{d}}u + 4{H^\prime } - 4\int {{H^\prime }} {(\ln F)^\prime }{\rm{d}}u\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f{{\rm{e}}^{ - h}} - 4\int H {F^2}{\rm{d}}u + 4{H^\prime } - 4H{(\ln F)^\prime } + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\int H {(\ln F)^{\prime \prime }}{\rm{d}}u\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f{{\rm{e}}^{ - h}} - 4\int H {F^2}{\rm{d}}u + 4{H^\prime } - 4H{(\ln F)^\prime } + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\int H {F^2}{\rm{d}}u\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = f{{\rm{e}}^{ - h}} + 4{H^\prime } - 4H{(\ln F)^\prime }, \end{array} $

即

$ \begin{array}{l} \int f {\left( {{{\rm{e}}^{ - h}}} \right)^\prime }{\rm{d}}u = 2\left( {{H^2} - \frac{{{H^{\prime 2}}}}{{{F^2}}}} \right)\frac{{{F^2}}}{{{H^\prime }}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4{H^\prime } - 4H{(\ln F)^\prime }. \end{array} $

(24)

将(24)代入(23)得(20)成立。

反之，如果存在常数C使得H满足(20)，令$\ln \frac{H^{\prime}}{F^{2}}=h, 2\left(H^{2}-\frac{H^{\prime 2}}{F^{2}}\right)=f$，则(21)成立。又由于$\left(\frac{H^{\prime}}{F^{2}}\right)^{\prime}$不在某区间上恒为0，即h′不在某区间上恒为0，则(21)成立，即H满足(15)。

注：Hazzidakis在文献[5]中得到一个与(15)等价的方程，因此，在文献[7]中，作者称文献[5]中的方程为Hazzidakis方程。在文献[5]中，Hazzidakis也将得到的方程进行了降阶，但与(20)在形式上有较大差别。

下面，通过研究(20)的解证明定理A。

定理A的证明  设0在F的定义域内，在$\mathbb{R}$²上取一点(x₀, y₀)(y₀>0)以及取C∈$\mathbb{R}$充分大使得

$ Cy_0^2 - 4\left[ {{F^2}\left( 0 \right)x_0^2{y_0} + y_0^3 - 2{x_0}y_0^2\frac{{{F^\prime }\left( 0 \right)}}{{F\left( 0 \right)}}} \right] > 0. $

于是存在ε>0以及(x₀, y₀)的开邻域U，使得∀(x, y)∈U，y>0且∀(u, x, y)∈(-ε, ε)×U，

$ C{y^2} - 4\left[ {{F^2}\left( u \right){x^2}y + {y^3} - 2x{y^2}\frac{{{F^\prime }\left( u \right)}}{{F\left( u \right)}}} \right] > 0. $

(25)

在(-ε, ε)×U上考虑方程组

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}u}} = y\\ \frac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}u}} = 2{(\ln F)^\prime }y + \\ \;\;\;\;\;\;\;\sqrt {C{y^2} - 4\left[ {{F^2}{x^2}y + {y^3} - 2x{y^2}{{(\ln F)}^\prime }} \right]} \\ x\left( 0 \right) = {x_0}\\ y\left( 0 \right) = {y_0} \end{array} \right.. $

(26)

由(25)，

$ 2{(\ln F)^\prime }y + \sqrt {C{y^2} - 4\left[ {{F^2}{x^2}y + {y^3} - 2x{y^2}{{(\ln F)}^\prime }} \right]} $

为(-ε, ε)×U上光滑函数。于是由常微分方程组解的存在唯一性，存在0 < δ≤ε满足在(-δ, δ)上(26)存在唯一一组光滑解(x(u), y(u))。下面证明x(u)满足(15)。

首先，由(x(u), y(u))为(26)的解，∀u∈(-δ, δ)，(x(u), y(u))∈U，x′=y>0，且

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{x^{\prime \prime }} = 2{{(\ln F)}^\prime }{x^\prime } + }\\ {\sqrt {C{x^{\prime 2}} - 4\left[ {{F^2}{x^2}{x^\prime } + {x^{\prime 3}} - 2x{x^{\prime 2}}{{(\ln F)}^\prime }} \right]} .} \end{array} $

于是x(u)满足

$ {\left( {\ln \frac{{{x^\prime }}}{{{F^2}}}} \right)^\prime } = \sqrt {C - 4\left[ {{F^2}\frac{{{x^2}}}{{{x^\prime }}} + {x^\prime } - 2x{{(\ln F)}^\prime }} \right]} . $

(27)

因此，x(u)满足(20)。另外，由(x(u), y(u))为(26)的解，∀u∈(-δ, δ)，(x(u), y(u))∈U，从而

$ C{x^{\prime 2}} - 4\left[ {{F^2}{x^2}{x^\prime } + {x^{\prime 3}} - 2x{x^{\prime 2}}{{(\ln F)}^\prime }} \right] > 0, $

即$C-4\left[F^{2} \frac{x^{2}}{x^{\prime}}+x^{\prime}-2 x(\ln F)^{\prime}\right]>0$.

于是由(27)，$\left(\ln \frac{x^{\prime}}{F^{2}}\right)^{\prime}$恒不为0，从而由命题2.2，x(u)满足(15)。

由定理1.2，存在Bonnet曲面S，使得平均曲率为x(u)，第一基本型为$I=\frac{F^{2}}{x^{\prime}}\left(\mathrm{d} u^{2}+\mathrm{d} v^{2}\right)$。此时，S的Gauss曲率为

$ \frac{1}{2}{\left( {\ln \frac{{{x^\prime }}}{{{F^2}}}} \right)^{\prime \prime }}\frac{{{x^\prime }}}{{{F^2}}} = {x^2} - {\left( {\frac{{{x^\prime }}}{F}} \right)^2}. $

如果S的Gauss曲率恒为0，由命题2.1，$F^2=\frac{1}{(u+t)^{2}}$，设$x=-\frac{\beta}{u+t}$，于是$\frac{x^{\prime}}{F^{2}}=\beta$。这与x(u)满足

$ {\left( {\ln \frac{{{x^\prime }}}{{{F^2}}}} \right)^\prime } = \sqrt {C - 4\left[ {{F^2}\frac{{{x^2}}}{{{x^\prime }}} + {x^\prime } - 2x{{(\ln F)}^\prime }} \right]} > 0 $

矛盾。因此，S的Gauss曲率不恒为0。这就证明了定理A。

3 定理B的证明

设$S, \hat{S}$为两Bonnet曲面，且$S, \hat{S}$之间存在一个保主曲率保定向的共形变换$\sigma: S \rightarrow \hat{S}$，这里的定向是指由主曲率标架确定的定向。设S与$\hat{S}$的第一基本型分别为ds²与$\mathrm{d} \hat{s}^{2}$，由于σ是共形变换，$\sigma^{*} \mathrm{d} \hat{s}^{2}=M^{2} \mathrm{d} s^{2}$，这里M为S上正的光滑函数。设S上的主曲率为a, c(a>c)，平均曲率为H，Gauss曲率为K；$\hat{S}$上的主曲率为$\hat{a}, \hat{c}(\hat{a}>\hat{c})$，平均曲率为$\hat{H}$，Gauss曲率为$\hat{K}$。则$\sigma^{*}(\hat{a})=a$，$\boldsymbol{\sigma}^{*}(\hat{c})=c, \sigma^{*}(\hat{H})=H, \sigma^{*}(\hat{K})=K$。再分别取S与$\hat{S}$上主曲率标架{ω₁, ω₂}与$\left\{\hat{\omega}_{1}, \hat{\omega}_{2}\right\}$，由σ保持定向，设

$ \frac{1}{M}\left( {\begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma ^*}{{\hat \omega }_1}}\\ {{\sigma ^*}{{\hat \omega }_2}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi }&{\sin \varphi }\\ { - \sin \varphi }&{\cos \varphi } \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _1}}\\ {{\omega _2}} \end{array}} \right). $

(28)

下面将要证明，若K的零点孤立则M=1，即σ为等距；若K恒为0，则M为常数。

首先，可定义S上*算子，

$ * {\omega _1} = {\omega _2}, * {\omega _2} = - {\omega _1}, $

也可定义$\hat{S}$上的★算子，

$ \star {{\hat \omega }_1} = {{\hat \omega }_2}, \star {{\hat \omega }_2} = - {{\hat \omega }_1}. $

由(28)，

$ * \left( {{\sigma ^ * }{{\hat \omega }_1}} \right) = {\sigma ^ * }{{\hat \omega }_2}, * \left( {{\sigma ^ * }{{\hat \omega }_2}} \right) = - {\sigma ^ * }{{\hat \omega }_1}, $

因此，有

$ * \circ {\sigma ^ * } = {\sigma ^ * } \circ \star . $

(29)

设

$ 2{\rm{d}}H = (a - c)\left( {A{\omega _1} + B{\omega _2}} \right), $

$ {\theta _1} = A{\omega _1} + B{\omega _2},{\theta _2} = - B{\omega _1} + A{\omega _2}, $

$ {\alpha _1} = A{\omega _1} - B{\omega _2},{\alpha _2} = B{\omega _1} + A{\omega _2}, $

$ 2{\rm{d}}\hat H = \left( {\hat a - \hat c} \right)\left( {\hat A{{\hat \omega }_1} + \hat B{{\hat \omega }_2}} \right), $

$ {{\hat \theta }_1} = \hat A{{\hat \omega }_1} + \hat B{{\hat \omega }_2},{{\hat \theta }_2} = - \hat B{{\hat \omega }_1} + \hat A{{\hat \omega }_2}, $

$ {{\hat \alpha }_1} = \hat A{{\hat \omega }_1} - \hat B{{\hat \omega }_2},{{\hat \alpha }_2} = \hat B{{\hat \omega }_1} + \hat A{{\hat \omega }_2}. $

再设ω₁₂为S上关于{ω₁, ω₂}的联络1-形式，$\hat{\omega}_{12}$为$\hat{S}$上关于$\left\{\hat{\omega}_{1}, \hat{\omega}_{2}\right\}$的联络1-形式。则有

$ 2{\rm{d}}H = (a - c){\theta _1}, $

$ 2{\rm{d}}\hat H = (\hat a - \hat c){{\hat \theta }_1}, $

(30)

$ {\rm dlog}(a - c) = {\alpha _1} + 2 * {\omega _{12}}, $

(31)

$ {\rm dlog}(\hat a - \hat c) = {{\hat \alpha }_1} + 2 \star {{\hat \omega }_{12}}. $

(32)

用σ将(30)两边拉回有

$ 2{\rm{d}}H = (a - c){\sigma ^ * }{{\hat \theta }_1}, $

因此，

$ {\theta _1} = {\sigma ^ * }{{\hat \theta }_1}. $

(33)

在(33)两边作用*，并用(29)得

$ {\theta _2} = {\sigma ^ * }{{\hat \theta }_2}. $

因此，$\theta_{1} \wedge \theta_{2}=\sigma^{*}\left(\hat{\theta}_{1} \wedge \hat{\theta}_{2}\right)$.

注意到

$ {\theta _1} \wedge {\theta _2} = {\alpha _1} \wedge {\alpha _2} = d{\alpha _2},{{\hat \theta }_1} \wedge {{\hat \theta }_2} = {{\hat \alpha }_1} \wedge {{\hat \alpha }_2} = {\rm{d}}{{\hat \alpha }_2}, $

于是，

$ {\rm{d}}{\alpha _2} = {\rm{d}}{\sigma ^ * }{{\hat \alpha }_2}. $

(34)

在(31)两边作用*，得

$ * {\rm dlog}(a - c) = {\alpha _2} - 2{\omega _{12}}. $

在(32)两边作用★，得

$ \star {\rm dlog}(\hat a - \hat c) = {{\hat \alpha }_2} - 2{{\hat \omega }_{12}}. $

(35)

再用σ将(35)两边拉回得

$ * {\sigma ^ * }{\rm dlog}(\hat a - \hat c) = {\sigma ^ * }{{\hat \alpha }_2} - 2{\sigma ^ * }{{\hat \omega }_{12}}. $

(36)

这里用到(29)。(36)左边为*dlog(a-c)，因此，有$\alpha_{2}-2 \omega_{12}=\sigma^{*} \hat{\alpha}_{2}-2 \sigma^{*} \hat{\omega}_{12}$.

由(34)，

$ {\rm{d}}{\omega _{12}} = {\rm{d}}{\sigma ^ * }{{\hat \omega }_{12}} = {\sigma ^ * }{\rm{d}}{{\hat \omega }_{12}}. $

(37)

S与$\hat{S}$上的Gauss方程分别为

$ {\rm{d}}{\omega _{12}} = - K{\omega _1} \wedge {\omega _2}, $

(38)

$ {\rm{d}}{{\hat \omega }_{12}} = - \hat K{{\hat \omega }_1} \wedge {{\hat \omega }_2}. $

(39)

用σ将(39)两边拉回得

$ {\sigma ^ * }{\rm{d}}{{\hat \omega }_{12}} = - K{\sigma ^ * }{{\hat \omega }_1} \wedge {\sigma ^ * }{{\hat \omega }_2}. $

由(28)，(37)和(38)，

$ K\left( {{M^2} - 1} \right) = 0. $

因此，如果K的零点孤立，M=1。

设K恒为0。首先，由定理2，在S上存在与定向相容的等温坐标(u, v)使得H只是u的函数，H′(u)>0并且满足(15)，此时，S的第一基本型$\mathrm{d} s^{2}=\frac{F^{2}}{H^{\prime}}\left(\mathrm{d} u^{2}+\mathrm{d} v^{2}\right)$。因为K恒为0，由命题2.1，$F^{2}=\frac{1}{(u+t)^{2}}, H=-\frac{\beta}{u+t}$，这里t, β为常数且β>0。因此，$\mathrm{d} s^{2}=\frac{1}{\beta}\left(\mathrm{d} u^{2}+\mathrm{d} v^{2}\right)$。由于K恒为0，$\sigma^{*} \hat{K}=K \hat{K}$恒为0。类似地，在$\hat{S}$上存在与定向相容的等温坐标$(\hat{u}, \hat{v})$使得$\hat{H}=-\frac{\hat{\beta}}{\hat{u}+\hat{t}}, \mathrm{d} \hat{s}^{2}=\frac{1}{\hat{\beta}}\left(\mathrm{d} \hat{u}^{2}+\mathrm{d} \hat{v}^{2}\right)$，这里的$\hat{t}, \hat{\beta}$为常数且$\hat{\beta}>0$。注意到σ为保定向的共形映射，因此，有Cauchy-Riemann方程

$ \frac{{\partial \hat u}}{{\partial u}} = \frac{{\partial \hat v}}{{\partial v}},\frac{{\partial \hat u}}{{\partial v}} = - \frac{{\partial \hat v}}{{\partial u}}. $

(40)

而由$\sigma^{*} \hat{H}=H, \hat{u}=\frac{\hat{\beta}}{\beta} u+\frac{\hat{\beta}}{\beta} t+\hat{t}$，因此，利用(40)，

$ \frac{{\partial \hat v}}{{\partial v}} = \frac{{\hat \beta }}{\beta },\frac{{\partial \hat u}}{{\partial v}} = \frac{{\partial \hat v}}{{\partial u}} = 0 $

于是

$ {\sigma ^ * }{\rm{d}}{{\hat s}^2} = \frac{1}{{\hat \beta }}\frac{{{{\hat \beta }^2}}}{{{\beta ^2}}}\left( {{\rm{d}}{u^2} + {\rm{d}}{v^2}} \right) = \frac{{\hat \beta }}{\beta }{\rm{d}}{s^2}. $

因此，M为常数，不必为1。即完成定理B的证明。

作者非常感谢彭家贵教授，彭教授为作者提供了很多资料并与作者进行了非常有益的讨论。