本文报道我们在利用核群D(ZG)研究K1(ZG)时得到的一些结果。
1 预备知识定义1.1 设R是一个有单位元1的环,有限生成投射R-模M的同构类记为[M],则在集合Proj(R)={[M]|M是有限生成投射R-模}上定义加法运算[M]+[N]=[M⊕N],使得Proj(R)成为一个有零元0的交换半群,K0(R)定义为Proj(R)的群完备化。
设f:R→S是一个环同态,则S可以看成S-R双模,故对左R-模M,有S⊗RM是左S-模,当M是有限生成投射R-模时,S⊗RM是有限生成投射S-模。
由此可建立群同态K0(f):K0(R)→K0(S), [M]→[S⊗RM]。
定义1.2 设R是一个诺特整环,商域为K,A是一个有限维K-代数。A的一个R-序(R-order)Λ是A的一个子环,同时是A的有限生成R-子模,并满足
设G为有限群,易见ZG为QG中的一个Z-序(Z-order)。
现考虑QG中的任意一个Z-序Λ,设p为任意的素数,则整数环Z有素理想(p),令Λ(p)表示Λ在素理想(p)处的局部化,则有:K0(Λ)→K0(Λ(p)), [M]→[Λ(p)⊗ΛM]。
局部自由类群CL(Λ)定义为K0(Λ)→
定义1.3 设Λ是半单代数QG的一个Z-序,Γ是QG中包含Λ的一个极大Z-序,则有同态η:CL(Λ)→CL(Γ),将[M]映射为[Γ⊗ΛM],其中M是一个有限生成投射Λ-模,核群D(Λ)定义为映射η的核。
注:QG中包含Λ的极大Z-序一般不唯一,但核群D(Λ)与极大Z-序Γ的选取无关(见文献[1])。
定义1.4 设R是一个有单位元1的环,记
由Whitehead引理可知,E(R)=[GL(R), GL(R)]=[E(R), E(R)],因此E(R)
对于任意群G,
设R是一个有单位元1的交换环, 用R×表示环R的单位群, 则行列式映射诱导出K1(R)到R×的满同态, 并且有分裂同态R×→K1(R), 因此有K1(R)=R×⊕SK1(R)。其中SK1(R)=SL(R)/E(R), SL(R)是GL(R)中行列式为1的矩阵构成的群。
注1:若F是代数数域,R是F的代数整数环,则由文献[3]可知SK1(R)=0。
注2:对于整群环ZG,文献[2]给出了SK1(ZG)=0的充分必要条件。
引理1.1 当G是有限交换群时,ZG是半单代数QG的一个Z-序,且QG只有一个极大Z-序Γ,Γ
证明 见文献[4]。
引理1.2 在引理1.1的假设下, (ZG)×的挠部分即为{±g:g∈G}, 且(ZG)×自由部分的秩等于Γ×自由部分的秩。特别地, [Γ×:(ZG)×]<+∞。
证明 见文献[5]。
定义1.5 在引理1.1的假设下,令ZGp=ZG⊗ZZp,Γp=Γ⊗ZZp,其中Zp为p-adic整数环。Z中的素理想(p)称为ZG-奇异,如果Γp≠ZGp。记S(ZG)为ZG-奇异素理想的集合。
引理1.3 在引理1.1的假设下,记号如前,则有正合列:
且有:
(i)
(ii)
其中Jp为Γp的Jacobson根。
证明 见文献[6]。
引理1.4 在引理1.1的假设下,记号如前,则Γp为QG⊗QQp中的极大Zp-序。且如果QG⊗QQp
证明 见文献[4]。
由文献[2]可知, 对于一些有限交换群G, SK1(ZG)=0, 此时K1(ZG)=(ZG)×。又由引理1.2, 此时G的Whitehead群Wh(G)即为有限生成交换群K1(ZG)的自由部分, 且其秩与有限生成交换群K1(Γ)=Γ×自由部分的秩相等。由于此时K1(Γ)与K1(ZG)的挠部分均显然, 根据有限生成交换群的结构定理,计算出[K1(Γ):K1(ZG)]就可以估计K1(Γ)自由部分的生成元与K1(ZG)自由部分的生成元之间的倍数关系, 本文的第2节和第3节主要对此进行计算。
2定理2.1 设
$ \begin{array}{l} {l_p} = {(p - 1)^{{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1}} \times \\ \;\;\;\;\;\;{\left( {{p^f} - 1} \right)^{g\left( {{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right)\left( {{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)}}, \\ {l_q} = {(q - 1)^{{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1}} \times \\ \;\;\;\;\;\;{\left( {{q^{{f^\prime }}} - 1} \right)^{{g^\prime }\left( {{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right)\left( {{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)}}, \\ {m_p} = {p^{{q^m} \cdot \frac{1}{2}\left( {p{l_{ - p}}l - 1 + p{l_{ - p}}l - {2_{ + \cdots + p}}{l_{ - p}}} \right)}}, \\ {m_q} = {q^{{p^l} \cdot \frac{1}{2}\left( {{q^m} - {q^{m - 1}} + {q^m} - {q^{m - 2}} + \cdots + {q^m} - q} \right)}}. \end{array} $ |
其中f是使pf≡1(mod q)成立的最小正整数,
证明
1) 由
又
归纳可得
$ \begin{array}{l} {\bf{Q}}G = {\bf{Q}} \times {\bf{Q}}{(\omega )^{{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1}} \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\bf{Q}}{(\mathit{\eta })^{{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1}} \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\bf{Q}}{(\lambda )^{\left( {{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right)\left( {{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)}}. \end{array} $ |
2) 由引理1.1,
$ \begin{array}{l} \Gamma = {\bf{Z}} \times {\bf{Z}}{[\omega ]^{{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1}} \times \\ \;\;\;\;\;{\bf{Z}}{[\mathit{\eta }]^{{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1}} \times \\ \;\;\;\;\;{\bf{Z}}{[\lambda ]^{\left( {{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right)\left( {{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)}}. \end{array} $ |
由pZ[ω]=(1-ω)p-1,N(1-ω)=p。
可得Q(ω)⊗QQp=Q(ω)(1-ω),即Q(ω)对Z[ω]中素理想(1-ω)的局部域。
记O(1-ω)为其赋值环,M(1-ω)为O(1-ω)唯一的极大理想。易见O(1-ω)为Zp在Q(ω)(1-ω)中的整闭包。
再记O′为Q(ω)的赋值环,M′为O′唯一的极大理想。
由局部域的性质可得O(1-ω)/M(1-ω)=O′/M′=Z[ω]/(1-ω)=Fp,即p阶有限域。
由
可得Q(η)⊗QQp=Q(η)P1×…×Q(η)Pg,记号同上,有OPj/MPj=Z[η]/Pj=Fpf。
由pZ[λ]=(P′1…P′g)p-1,可得Q(λ)⊗QQp=Q(λ)P′1×…×Q(λ)P′g,类似地,我们有OP′j/MP′j=Fpf。
因此
由引理1.4可知,
同理可得,
其中f′是使qf′≡1(mod p)成立的最小正整数,
3)
其中的φj(x)都是Fp[x]中的f次不可约多项式(见文献[7])。因此得到Fp[Cq]=Fp×
由于有限域的有限扩张为Galois扩张,设Fpf=Fp(θ),φ为θ在Fp上的极小多项式,则φ在Fpf上分裂。
所以
归纳可得
4) 记d(Γ)为Γ的判别式,因此
由文献[4]可知[Γ:ZG]2=d(ZG)/d(Γ),所以[Γ:ZG]=
5) 由引理1.3,
$ \begin{array}{l} {l_p} = {(p - 1)^{{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1}} \times \\ \;\;\;\;\;{\left( {{p^f} - 1} \right)^{g\left( {{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right)\left( {{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)}}, \\ {l_q} = {(q - 1)^{{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1}} \times \\ \;\;\;{\left( {{q^{{f^\prime }}} - 1} \right)^{{g^\prime }\left( {{p^{l - 1}} + {p^{l - 2}} + \cdots + p + 1} \right)\left( {{q^{m - 1}} + {q^{m - 2}} + \cdots + q + 1} \right)}}, \\ {m_p} = \frac{{{p^{{q^m} \cdot \frac{1}{2}\left( {{p^l} + {p^{l - 1}} + {p^l} + {p^{l - 2}} + \cdots + {p^l} + p + 2} \right)}} \times p \times {p^{\left( {{q^m} - 1} \right)}}}}{{p \times {p^{\left( {{p^{l - 1}} + \cdots + p + 1} \right)}} \times {p^{\left( {{q^{m - 1}}} \right)}} \times {p^{\left( {{q^m} - 1} \right)\left( {{p^{l - 1}} + \cdots + p + 1} \right)}}}}\\ \;\;\;\;\; = {p^{{q^m} \cdot \frac{1}{2}\left( {{p^l} - {p^{l - 1}} + {p^l} - {p^{l - 2}} + \cdots + {p^l} - p} \right)}}, \\ {m_q} = {q^{{p^l} \cdot \frac{1}{2}\left( {{q^m} - {q^{m - 1}} + {q^m} - {q^{m - 2}} + \cdots + {q^m} - q} \right)}}, 由此得证。\end{array} $ |
定理2.2
(i) 当G=Cp时, [K1(Γ):K1(ZG)]=p-1.
证明 由定理2.1可得
$ |D({\bf{Z}}G)| \cdot \left[ {{\Gamma ^ \times }:{{({\bf{Z}}G)}^ \times }} \right] = p - 1. $ |
又|D(ZG)|=1(见文献[8]),
因此[Γ×:(ZG)×]=p-1。
由文献[2]可知此时SK1(ZG)=0, 所以[Γ×:K1(ZG)]=p-1。
又Γ为有限个代数整数环的乘积, K1与取单位群均与有限乘积交换, 由文献[3]可知K1(Γ)=Γ×。
因此得到[K1(Γ):K1(ZG)]=p-1。
(ii) 当G=C2×Cp时, 其中p为奇素数。
则有(p-1)2[K1(Γ):K1(ZG)], [K1(Γ):K1(ZG)](2f″-1)g″·(p-1)2/N(2, p),
其中f″是使2f″≡1(mod p)成立的最小正整数,
$ N(2, p) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {{2^{\frac{{{f^{\prime \prime }}}}{2}}} + 1} \right)}^{{g^{\prime \prime }}}}/p, \;\;\;{f^{\prime \prime }}为偶数时}\\ {{{\left( {{2^{{f^{\prime \prime }}}} - 1} \right)}^{\frac{{{g^{\prime \prime }}}}{2}}}/p, \;\;\;{f^{\prime \prime }}为奇数时\;\;} \end{array}.} \right. $ |
特别地
当G=C2×C5时, [K1(Γ):K1(ZG)]=240。
当G=C2×C7时, [K1(Γ):K1(ZG)]=1764。
证明 由定理2.1可得
$ |D({\bf{Z}}G)| \cdot \left[ {{\Gamma ^ \times }:{{({\bf{Z}}G)}^ \times }} \right] = {\left( {{2^{{f^{\prime \prime }}}} - 1} \right)^{{g^{\prime \prime }}}} \cdot {(p - 1)^2}. $ |
由文献[9]可知D(ZG)为(Z[ω]/2Z[ω])×的商群,
又由文献[10]可知N(2, p)|D(ZG)|, 因此[K1(Γ):K1(ZG)](2f″-1)g″·(p-1)2/N(2, p)。
特别地, 当G=C2×C5时, 由文献[11]可知|D(ZG)|=1, 所以[K1(Γ):K1(ZG)]=16×15=240。
当G=C2×C7时,同样有|D(ZG)|=1, 所以[K1(Γ):K1(ZG)]=36×49=1764。
(iii) 当G=Cp×Cq时, 其中p与q为不同的奇素数。
则有
$ \frac{{\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {{K_1}(\Gamma ):{K_1}({\bf{Z}}G)} \right]|}\\ {4(p - 1) \cdot {{\left( {{p^f} - 1} \right)}^g} \cdot (q - 1) \cdot {{\left( {{q^{{f^\prime }}} - 1} \right)}^{{g^\prime }}}} \end{array}}}{{N(p, q) \cdot N(q, p)}}, $ |
其中f, g, f′, g′的定义与定理2.1一致,
$ N(p, q) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {{p^{\frac{f}{2}}} + 1} \right)}^g}/q, \;\;\;f为偶数时}\\ {{{\left( {{p^f} - 1} \right)}^{\frac{g}{2}}}/q, \;\;\;f为奇数时} \end{array}} \right., $ |
N(q, p)的定义类似。
证明 由定理2.1可得|D(ZG)|·[Γ×:(ZG)×]=(p-1)·(pf-1)g·(q-1)·(qf′-1)g′。
由文献[10]可知N(p, q)·N(q, p)|4·|D(ZG)|。
类似于(i), [Γ×:(ZG)×]即[K1(Γ):K1(ZG)]。所以有
定理3.1 G=Cpn+1(n≥0,p为正则奇素数, Cpn+1表示pn+1阶循环群)时, [K1(Γ):K1(ZG)]=(p-1)n+1·p1+p+p2+…+pn-(n+1)-h,
其中
证明 易见QG=Q×Q(ω1)×Q(ω2)×…×Q(ωn+1), 其中
可得Γ=Z×Z[ω1]×Z[ω2]×…×Z[ωn+1]。
类似定理2.1, QG⊗QQp=Qp×Q(ω1)(1-ω1)×…×Q(ωn+1)(1-ωn+1),
因此Γp/Jp=Fp×…×Fp=Fpn+2, 易见ZGp/Jp∩ZGp=Fp。
又
类似定理2.1, lp=(p-1)n+1, mp=p1+p+…+pn-(n+1), |D(ZG)|·[Γ×:(ZG)×]=|D(ZG)|·[K1(Γ):K1(ZG)]=(p-1)n+1·p1+p+p2+…+pn-(n+1)。又由文献[12]可知
$ \begin{array}{l} D({\bf{Z}}G) \cong {\left( {{\bf{Z}}/{p^n}{\bf{Z}}} \right)^{\frac{{n(p - 3)}}{2}}} \oplus {\left( {{\bf{Z}}/{p^{n - 1}}{\rm{Z}}} \right)^{\frac{{(n - 1)\left( {{p^2} - 3p + 2} \right)}}{2} + 1}} \oplus \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{i = 2}^{n - 1} {{{\left( {{\bf{Z}}/{p^{n - i}}{\bf{Z}}} \right)}^{\frac{{(n - i){p^{i - 2}}{{(p - 1)}^3}}}{2} + \frac{{{p^{i - 2}}(p - 1)}}{2} + 1}}} , \end{array} $ |
因此|D(ZG)|=ph,
$ \begin{array}{l} h = \frac{{{n^2}(p - 3)}}{2} + (n - 1)\left[ {\frac{{(n - 1)\left( {{p^2} - 3p + 2} \right)}}{2} + 1} \right] + \\ \sum\limits_{i = 2}^{n - 1} {(n - i)} \left[ {\frac{{(n - i){p^{i - 2}}{{(p - 1)}^3}}}{2} + \frac{{{p^{i - 2}}(p - 1)}}{2} + 1} \right]。\end{array} $ |
所以[K1(Γ):K1(ZG)]=(p-1)n+1·p1+p+p2+…+pn-(n+1)-h。
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