考虑如下带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程

$ \left\{ \begin{array}{l} - \left( {a + b\int_\Omega {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}{\rm{d}}x} } \right)\Delta u = \frac{{{u^{5 - 2s}}}}{{{{\left| x \right|}^s}}} + \lambda {u^q},\;\;\;\;x \in \Omega ,\\ u = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \partial \Omega , \end{array} \right. $

(1)

其中$\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$是一个有界开区域且边界∂Ω光滑, 0∈Ω, a, b≥0且a+b>0, λ>0, 0 < q < 1, 0≤s < 1。6-2s是Hardy-Sobolev临界指数。

2012年, Liu和Sun^[1]研究如下问题

$ \left\{ \begin{array}{l} - \left( {a + b\int_\Omega {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}{\rm{d}}x} } \right)\Delta u = {u^q} + \lambda \frac{{{u^{p - 1}}}}{{{{\left| x \right|}^s}}},\;\;\;\;x \in \Omega ,\\ u = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in \partial \Omega , \end{array} \right. $

(2)

其中:4 < p < 6-2s, 0 < q < 1, a, b, λ>0。当λ>0充分小时, 结合变分方法和Nehari方法, 他们获得问题(2)的2个正解的存在性。随后, 他们继续研究问题(2), 当-1 < q < 0时, 结合变分方法和Nehari方法也获得2个正解, 详见文献[2]。文献[3]研究一类奇异非线性Kirchhoff型问题, 结合Ekeland变分原理和一些分析技巧, 获得正解的存在唯一性结果。

一个自然的问题:问题(1)是否也存在正解?事实上, 当s=0时, Sun和Liu在文献[4]中获得问题(1)正解的存在性, 并提出一个公开问题:如何证明第2个正解的存在性?据查阅文献所知, 这个开问题至今尚未解决。本文利用变分方法获得问题(1)的一个正局部极小解。在一定程度上, 推广文献[1, 4]的结果。

问题(1)对应的能量泛函为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {I\left( u \right) = \frac{a}{2}{{\left\| u \right\|}^2} + \frac{b}{4}{{\left\| u \right\|}^4} - }\\ {\frac{1}{{6 - 2s}}\int_\Omega {\frac{{{{\left| u \right|}^{6 - 2s}}}}{{{{\left| x \right|}^s}}}{\rm{d}}x} - \frac{\lambda }{{q + 1}}\int_\Omega {{{\left| u \right|}^{q + 1}}{\rm{d}}x} ,}\\ {\forall u \in H_0^1\left( \Omega \right).} \end{array} $

根据文献[5], 能量泛函I在H₀¹(Ω)空间中是C¹泛函。因此, 问题(1)的解与能量泛函I在H₀¹(Ω)空间中的临界点是一一对应的。

记A_s为Hardy-Sobolev常数

$ {A_s}: = \mathop {\inf }\limits_{u \in H_0^1\left( \Omega \right)\backslash \left\{ 0 \right\}} \frac{{\int_\Omega {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}{\rm{d}}x} }}{{{{\left( {\int_\Omega {\frac{{{{\left| u \right|}^{6 - 2s}}}}{{{{\left| x \right|}^s}}}{\rm{d}}x} } \right)}^{\frac{1}{{3 - s}}}}}}. $

(3)

特别地, 当s=0,

$ {A_0}: = \mathop {\inf }\limits_{u \in H_0^1\left( \Omega \right)\backslash \left\{ 0 \right\}} \frac{{\int_\Omega {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}{\rm{d}}x} }}{{{{\left( {\int_\Omega {{{\left| u \right|}^6}{\rm{d}}x} } \right)}^{\frac{1}{3}}}}} $

是最佳Sobolev常数。记$\left\| u \right\|={{\left(\int_{\Omega }{{{\left| \nabla u \right|}^{2}}}\text{d}x \right)}^{\frac{1}{2}}}$为H₀¹(Ω)空间中的标准范数, ${{\left| u \right|}_{p}}={{\left(\int_{\Omega }{{{\left| u \right|}^{p}}}\text{d}x \right)}^{\frac{1}{p}}}$为空间L^p(Ω)(0 < p < ∞)中的标准范数。

1 主要定理

首先, 给出如下一个重要的引理。

引理1.1  假设a, b≥0且a+b>0, 0 < q < 1, 0≤s < 1, 则存在λ_*>0和R, ρ>0使得对任意的λ∈(0, λ_*)都有

$ I\left( u \right)\left| {_{u \in {S_R}}} \right. \ge \rho ,\;\;\;\;\mathop {\inf }\limits_{u \in {B_R}} I\left( u \right) < 0, $

(4)

其中：${{S}_{R}}=\{u\in {{H}_{0}}^{1}(\Omega):\left\| u \right\|=R\}$，${{B}_{R}}=\{u\in {{H}_{0}}^{1}(\Omega):\left\| u \right\|\le R\}$。

证明  由Hölder不等式和式(3), 有

$ \begin{array}{l} \int_\Omega {{{\left| u \right|}^{q + 1}}{\rm{d}}x} \le \left| u \right|_6^{q + 1}{\left| \Omega \right|^{\frac{{5 - q}}{6}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \le {\left| \Omega \right|^{\frac{{5 - q}}{6}}}A_0^{ - \frac{{1 + q}}{2}}{\left\| u \right\|^{1 + q}}, \end{array} $

(5)

$ \int_\Omega {\frac{{{{\left| u \right|}^{6 - 2s}}}}{{{{\left| x \right|}^s}}}{\rm{d}}x} \le A_s^{ - \frac{{6 - 2s}}{2}}{\left\| u \right\|^{6 - 2s}}. $

(6)

从而, 根据式(5)和式(6), 可得

$ \begin{array}{l} I\left( u \right) = \frac{a}{2}{\left\| u \right\|^2} + \frac{b}{4}{\left\| u \right\|^4} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{{6 - 2s}}\int_\Omega {\frac{{{{\left| u \right|}^{6 - 2s}}}}{{{{\left| x \right|}^s}}}{\rm{d}}x} - \frac{\lambda }{{q + 1}}\int_\Omega {{{\left| u \right|}^{q + 1}}{\rm{d}}x} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; \ge \frac{a}{2}{\left\| u \right\|^2} + \frac{b}{4}{\left\| u \right\|^4} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{{{\left\| u \right\|}^{6 - 2s}}}}{{\left( {6 - 2s} \right)A_s^{3 - s}}} - \frac{{\lambda {{\left\| u \right\|}^{1 + q}}}}{{\left( {1 + q} \right)A_0^{\frac{{1 + q}}{2}}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; \ge {\left\| u \right\|^{1 + q}}\left( {\frac{a}{2}{{\left\| u \right\|}^{1 - q}} + \frac{b}{4}{{\left\| u \right\|}^{3 - q}} - } \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. {\frac{{{{\left\| u \right\|}^{5 - q - 2s}}}}{{\left( {6 - 2s} \right)A_s^{3 - s}}} - \frac{\lambda }{{\left( {1 + q} \right)A_0^{\frac{{1 + q}}{2}}}}} \right). \end{array} $

(7)

当a>0时, 令

$ g\left( t \right) = \frac{a}{2}{t^{1 - q}} - \frac{{{t^{5 - q - 2s}}}}{{\left( {6 - 2s} \right)A_s^{3 - s}}}, $

则

$ g'\left( t \right) = {t^{ - q}}\left[ {\frac{{a\left( {1 - q} \right)}}{2} - \frac{{\left( {5 - q - 2s} \right){t^{4 - 2s}}}}{{\left( {6 - 2s} \right)A_s^{3 - s}}}} \right]. $

容易得到

$ {t_{\max }} = {\left[ {\frac{{a\left( {1 - q} \right)\left( {3 - s} \right)A_s^{3 - s}}}{{5 - q - 2s}}} \right]^{\frac{1}{{2\left( {2 - s} \right)}}}}, $

使得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\max }\limits_{t \ge 0} g\left( t \right) = g\left( {{t_{\max }}} \right) = }\\ {\frac{{a\left( {2 - s} \right)}}{{5 - q - 2s}}{{\left[ {\frac{{a\left( {1 - q} \right)\left( {3 - s} \right)A_s^{3 - s}}}{{5 - q - 2s}}} \right]}^{\frac{{1 - q}}{{2\left( {2 - s} \right)}}}}.} \end{array} $

因此, 取R₁=t_max以及$\lambda '=\left(1+q \right){{A}_{0}}^{\frac{1+q}{2}}g({{t}_{\text{max}}})$, 依据式(7), 则存在ρ>0使得对任意的0 < λ < λ′都有

$ I\left( u \right)\left| {_{u \in {S_{{R_1}}}}} \right. \ge \rho , $

(8)

其中S_R1={u∈H₀¹(Ω):‖u‖=R₁}。若b>0时, 令

$ h\left( t \right) = \frac{b}{4}{t^{3 - q}} - \frac{{{t^{5 - q - 2s}}}}{{\left( {6 - 2s} \right)A_s^{3 - s}}}, $

则

$ h'\left( t \right) = {t^{2 - q}}\left[ {\frac{{b\left( {3 - q} \right)}}{4} - \frac{{\left( {5 - q - 2s} \right){t^{2 - 2s}}}}{{\left( {6 - 2s} \right)A_s^{3 - s}}}} \right]. $

容易得到,

$ {{\tilde t}_{\max }} = {\left[ {\frac{{b\left( {3 - q} \right)\left( {3 - s} \right)A_s^{3 - s}}}{{2\left( {5 - q - 2s} \right)}}} \right]^{\frac{1}{{2\left( {1 - s} \right)}}}}, $

使得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\max }\limits_{t \ge 0} h\left( t \right) = h\left( {{{\tilde t}_{\max }}} \right) = }\\ {\frac{{b\left( {1 - s} \right)}}{{2\left( {5 - q - 2s} \right)}}{{\left[ {\frac{{b\left( {3 - q} \right)\left( {3 - s} \right)A_s^{3 - s}}}{{2\left( {5 - q - 2s} \right)}}} \right]}^{\frac{{2 - q}}{{2\left( {1 - s} \right)}}}}.} \end{array} $

因此, 取${{R}_{2}}={{{\tilde{t}}}_{\text{max}}}$以及$\lambda ''=\left(1+q \right){{A}_{0}}^{\frac{1+q}{2}}h({{\widetilde{t}}_{\text{max}}})$, 依据式(7), 则存在ρ>0使得对任意的0 < λ < λ″都有

$ I\left( u \right)\left| {_{u \in {S_{{R_2}}}}} \right. \ge \rho , $

(9)

其中S_R2={u∈H₀¹(Ω):‖u‖=R₂}。

因此, 对任意的a, b≥0且a+b>0, 综合式(8)和式(9), 则存在λ_*>0和R, ρ>0使得对任意的λ∈(0, λ_*)使得I(u)|_u∈SR≥ρ成立。进一步可得, 对任意的u∈H₀¹(Ω)且u≠0有

$ \mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} \frac{{I\left( {tu} \right)}}{{{t^{1 + q}}}} = - \frac{\lambda }{{q + 1}}\int_\Omega {{{\left| u \right|}^{q + 1}}{\rm{d}}x} < 0. $

故, 当$\left\| u \right\|$充分小时, 有

$ m = \mathop {\inf }\limits_{u \in {B_R}} I\left( u \right) < 0, $

从而式(7)成立。引理1.1证毕。

下面, 给出本文的主要结果及其证明。

定理1.1  假设a, b≥0且a+b>0, 0 < q < 1, 0≤s < 1, 则对一切的0 < λ < λ_*(λ_*为引理1.1中所定义)问题(1)都存在一个正解u_*∈H₀¹(Ω)使得I(u_*) < 0。

证明  根据引理1.1, 只需证明存在u_*∈B_R(B_R为引理1.1中所定义)使得I(u_*)=m < 0。由引理1.1的证明过程和式(1), 可推得∀u∈B_R有

$ \frac{a}{2}{\left\| u \right\|^2} + \frac{b}{4}{\left\| u \right\|^4} - \frac{1}{{6 - 2s}}\int_\Omega {\frac{{{{\left| u \right|}^{6 - 2s}}}}{{{{\left| x \right|}^s}}}{\rm{d}}x} \ge 0, $

(10)

和

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{a}{2}{{\left\| u \right\|}^2} + \frac{b}{4}{{\left\| u \right\|}^4} - }\\ {\frac{1}{{6 - 2s}}\int_\Omega {\frac{{{{\left| u \right|}^{6 - 2s}}}}{{{{\left| x \right|}^s}}}{\rm{d}}x} \ge \rho ,\forall u \in {S_R},} \end{array} $

其中ρ和S_R均为引理1.1中所定义。任取{u_n}⊂B_R为一个极小化序列使得$\underset{n\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\, I({{u}_{n}})=m < 0$。由于{u_n}有界且B_R是闭凸集, 故存在u_*∈B_R⊂H₀¹(Ω)和序列{u_n}的一个子序列(仍记为{u_n})使得

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} {u_n} \rightharpoonup {u_ * },\\ {u_n} \to {u_ * },\\ {u_n}\left( x \right) \to {u_ * }\left( x \right), \end{array}&\begin{array}{l} 在\;H_0^1\left( \Omega \right)\;中,\\ 在\;{L^s}\left( \Omega \right)\left( {1 \le p < 6} \right)\;中,\\ 在\;\Omega \;中几乎处处成立. \end{array} \end{array}} \right. $

(11)

不失一般性, 令w_n=u_n-u_*, 由式(11)可推得

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_\Omega {{{\left| {{u_n}} \right|}^{q + 1}}{\rm{d}}x} = \int_\Omega {{{\left| {{u_ * }} \right|}^{q + 1}}{\rm{d}}x} , $

(12)

$ {\left\| {{u_n}} \right\|^2} = {\left\| {{w_n}} \right\|^2} + {\left\| {{u_ * }} \right\|^2} + o\left( 1 \right), $

(13)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\| {{u_n}} \right\|}^4} = {{\left\| {{w_n}} \right\|}^4} + {{\left\| {{u_ * }} \right\|}^4} + }\\ {2{{\left\| {{w_n}} \right\|}^2}{{\left\| {{u_ * }} \right\|}^2} + o\left( 1 \right),} \end{array} $

(14)

其中o(1)表示n→∞的无穷小量。再根据文献[6], 可得

$ \begin{array}{l} \int_\Omega {\frac{{{{\left| {{u_n}} \right|}^{6 - 2s}}}}{{{{\left| x \right|}^s}}}{\rm{d}}x} = \int_\Omega {\frac{{{{\left| {{w_n}} \right|}^{6 - 2s}}}}{{{{\left| x \right|}^s}}}{\rm{d}}x} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int_\Omega {\frac{{{{\left| {{u_ * }} \right|}^{6 - 2s}}}}{{{{\left| x \right|}^s}}}{\rm{d}}x} + o\left( 1 \right). \end{array} $

(15)

若u_*=0, 可得w_n=u_n, 这就意味着w_n∈B_R。若u_*≠0, 由式(13), 当n充分大时有w_n∈B_R。从而, 由式(10), 可推得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{a}{2}{{\left\| {{w_n}} \right\|}^2} + \frac{b}{4}{{\left\| {{w_n}} \right\|}^4} - }\\ {\frac{1}{{6 - 2s}}\int_\Omega {\frac{{{{\left| {{w_n}} \right|}^{6 - 2s}}}}{{{{\left| x \right|}^s}}}{\rm{d}}x} \ge 0.} \end{array} $

(16)

故, 由式(12)~式(16), 有

$ \begin{array}{l} m = I\left( {{u_n}} \right) + o\left( 1 \right)\\ \;\;\; = I\left( {{u_ * }} \right) + \frac{a}{2}{\left\| {{w_n}} \right\|^2} + \frac{b}{4}{\left\| {{w_n}} \right\|^4} + \\ \;\;\;\;\;\;\frac{b}{2}{\left\| {{w_n}} \right\|^2}{\left\| {{u_ * }} \right\|^2} - \\ \;\;\;\;\;\;\frac{1}{{6 - 2s}}\int_\Omega {\frac{{{{\left| {{w_n}} \right|}^{6 - 2s}}}}{{{{\left| x \right|}^s}}}{\rm{d}}x} + o\left( 1 \right)\\ \;\;\;\; \ge I\left( {{u_ * }} \right) + \frac{b}{2}{\left\| {{w_n}} \right\|^2}{\left\| {{u_ * }} \right\|^2} + o\left( 1 \right)\\ \;\;\;\; \ge I\left( {{u_ * }} \right) + o\left( 1 \right)\\ \;\;\;\; \ge m + o\left( 1 \right). \end{array} $

这就意味着I(u_*)=m < 0且u_*≢0, 即u_*能量泛函I的一个局部极小值点。因此, u_*是问题(1)的非零解。由I(|u|)=I(u), 不失一般性, 可以假设u_*≥0。根据强极大值原理, 可得在Ω中u_*>0。故, u_*是问题(1)的正解且I(u_*) < 0。定理1.1证毕。

注记1.1  一方面, 将文献[1]中所研究的问题推广至带Hardy-Sobolev临界指数的情形, 并获得问题(1)的正解的存在性; 另一方面, 当s=0时, 定理1.1结果包含文献[4]的主要结果, 而且我们的方法比文献[4]的方法简单。此外, 定理1.1对于a=0, b>0或者a>0, b=0的情况同样成立。当a=0, b>0时, 问题(1)被称为退化的Kirchhoff型方程; 当a>0, b=0时, 问题(1)退化为经典的奇异半线性椭圆方程。

注记1.2  特别地, 当a=1, b=0时, 文献[7]研究问题(1)并获得2个正解的存在性。对于这类带Hardy-Sobolev临界指数的奇异椭圆方程的更多结果, 可参见文献[7]的参考文献及其引用文献。这里提出一个公开问题:如何获得问题(1)的第2个正解？