Benedek和Panzone在文献[1]中，对于n元数组P=(p₁, p₂, …, p_n)，其中对任意的i=1, 2, …, n，1≤p_i≤∞，引入具有混合范数空间L^P(X)。一个在乘积空间$ \left( {X, S, \mu } \right) = (\prod\limits_{i = 1}^n {{X_i}}, \prod\limits_{i = 1}^n {{S_i}}, \prod\limits_{i = 1}^n {{\mu _i}} ) $里可测的函数f(x₁, x₂, …, x_n) 满足，依次对变量x₁取p₁阶范数，对x₂取p₂阶范数, …, 对x_n取p_n阶范数所得的数值是有限时，我们称该函数属于空间L^P(X)。

具有混合范数的Lebesgue空间是一般L^p(ℝ) 函数空间的很自然的延伸空间。当考虑函数对不同的变量 (比如空间变量和时间变量) 有不同的性质时，自然需要具有混合范数的函数空间。这些空间在研究依赖时间的偏微分方程里占有重要的角色。许多文献已经研究了不同算子在该类函数空间上的性质^[2-7]。

Benedek和Panzone^[1]研究具有混合范数Lebesgue函数空间的一般性质和一些插值定理；还研究势算子在高维具有混合范数函数空间上的有界性问题，并对于1≤p_i≤2, i=1, 2的情况，给出在混合范数空间上的Hausdorff-Young定理。基于Benedek和Panzone提出的混合范数空间，Fernandez^[6]研究具有乘积核的向量值奇异积分算子在具有混合范数空间L^P(ℝ²), P=(p₁, p₂), 1 < p₁, p₂ < ∞上的有界性，并指出双Hilbert变换是该奇异积分算子的一种特殊情况。但是，对于双Hilbert变换在具有混合范数空间的端点情况的有界性，到目前为止还没有相应的结果。

本文主要致力于研究双Hilbert变换作用在一类具有混合范数空间端点情况的有界性，该类空间我们限制在p₁=1且1 < p₂ < ∞。进一步，我们给出分数阶双Hilbert变换在具有混合范数空间的一般情况时的有界性，并给出在一类端点情况时的有界性。

1 双Hilbert变换

这一部分，我们研究如下定义的双Hilbert变换, 对任意的 (x, y)∈ℝ²,

$ Tf\left( {x,y} \right) = {\text{p}}.{\text{v}}\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{f\left( {s,t} \right)}}{{\left( {x - s} \right)\left( {y - t} \right)}}{\text{d}}s{\text{d}}t} . $

(1)

首先，定义具有混合范数的Bededek-Panzone函数空间L_x^pL_y^q, 1≤p, q < ∞^{[1, 4, 8-9]}。一个函数f∈L_x^pL_y^q，当且仅当它满足

$ {\left\| f \right\|_{L_x^pL_y^q}}: = {\left( {\int_\mathbb{R} {{{\left( {\int_\mathbb{R} {{{\left| {f\left( {x,y} \right)} \right|}^p}{\text{d}}x} } \right)}^{q/p}}{\text{d}}y} } \right)^{1/q}} < \infty . $

以下在不引起混淆的情况下，简洁地记L_x^pL_y^q为L^pL^q。

Fernandez^[6]研究具有乘积核的向量值奇异积分算子的性质。特殊地，证得双Hilbert变换是从空间L^p₁L^p₂(1 < p₁, p₂ < ∞) 到自身的有界性。在本部分，我们对于具有混合范数的端点情况，给出双Hilbert变换是从L^qL¹到L^qL^{1, ∞}, 1 < q < ∞有界的。其中L^qL^{1, ∞}为L^qL¹关于第2个变量的弱空间，它的构成元素f是可测函数，且满足

$ {\left\| f \right\|_{{L^q}{L^{1,\infty }}}} = \mathop {\sup }\limits_{\lambda > 0} \lambda m\left( {\left\{ {x \in \mathbb{R}:{{\left\| {f\left( { \cdot ,x} \right)} \right\|}_{L_ \cdot ^q}} > \lambda } \right\}} \right) < \infty , $

其中m(E) 为集合E上的Lebesgue测度。为证得双Hilbert变换在混合范数的边界情况上的有界性结果，我们需要一个向量值奇异积分算子的引理，摘述该引理如下^{[5, 8-10]}。

引理1.1 设K=K(x, y) 是一个核，它定义在x≠y上，取值在L(B) 上，其中L(B) 为Banach空间B上的有界线性算子的集合。并对某一个q，1 < q < ∞，设$ {\vec T} $是与核K相关的在L^q(ℝ, B) 上有界的一个算子

$ \overrightarrow T f\left( x \right) = \int_\mathbb{R} {K\left( {x,y} \right)f\left( y \right){\text{d}}y} ,x \notin {\text{supp}}\left( f \right). $

而且核K满足以下2个条件

$ {\left\| {K\left( {x,y} \right)} \right\|_{L\left( B \right)}} \le C{\left| {x - y} \right|^{ - 1}}, $

(2)

和

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\| {K\left( {x + h,y} \right) - K\left( {x,y} \right)} \right\|}_{L\left( B \right)}} + \left\| {K\left( {x ,y +h} \right) - } \right.}\\ {{{\left. {K\left( {x,y} \right)} \right\|}_{L\left( B \right)}} \le C\frac{{{{\left| h \right|}^\delta }}}{{{{\left| {x - y} \right|}^{1 + \delta }}}},} \end{array} $

(3)

其中δ∈(0, 1]，|x-y|≥2|h|。则有算子$ {\vec T} $是从L^p(B)(1 < p < ∞) 到自身是有界的, 而且算子$ {\vec T} $也是弱 (1, 1) 的, 也即是说

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left| {\left\{ {x \in {\mathbb{R}^n}:{{\left\| {\overrightarrow T f\left( x \right)} \right\|}_B} > \lambda } \right\}} \right| \leqslant } \\ {\frac{C}{\lambda }\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{\left\| {f\left( x \right)} \right\|}_B}{\text{d}}x} = \frac{C}{\lambda }{{\left\| f \right\|}_{{L^1}\left( B \right)}},} \end{array} $

其中

$ {\left\| f \right\|_{{L^p}\left( B \right)}} = {\left( {\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left\| {f\left( x \right)} \right\|_B^p{\text{d}}x} } \right)^{\frac{1}{p}}},1 \leqslant p < \infty . $

当p=∞时，只需对上式做关于L^∞定义上的调整即可。

文献[6]已经给出双Hilbert变换的L^p(ℝ²) 有界性。下面考虑该算子在边界情况的混合范数下的有界性。

定理1.1 由式 (1) 定义的双Hilbert变换是从函数空间L^qL¹到函数空间L^qL^{1, ∞}, 1 < q < ∞有界的。也即是说，存在一个常数C, 有下式成立

$ {\left\| {Tf} \right\|_{{L^q}{L^{1,\infty }}}} \le C{\left\| f \right\|_{{L^q}{L^1}}}. $

(4)

证明 算子T为双Hilbert变换时，其核为$ K\left( {x, y, s, t} \right) = \frac{1}{{\left( {x-s} \right)\left( {y-t} \right)}} $。当x≠s时，我们定义核k为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left( {k\left( {x,s} \right)h} \right)\left( y \right) = \int_\mathbb{R} {K\left( {x,y,s,t} \right)h\left( t \right){\text{d}}t} = } \\ {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{\left( {x - s} \right)\left( {y - t} \right)}}h\left( t \right){\text{d}}t} = \frac{1}{{x - s}}\int_\mathbb{R} {\frac{{h\left( t \right)}}{{y - t}}{\text{d}}t} .} \end{array} $

另外，记F(x)(y)=f(x, y)，且

$ TF\left( x \right)\left( \cdot \right) = Tf\left( {x, \cdot } \right). $

这样，双Hilbert变换可以改写为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {TF\left( x \right)\left( \cdot \right) = \int_{{\mathbb{R}^2}} {K\left( {x, \cdot ,s,t} \right)f\left( {s,t} \right){\text{d}}s{\text{d}}t} = } \\ {\int_\mathbb{R} {\left( {k\left( {x,s} \right)F\left( s \right)} \right)\left( \cdot \right){\text{d}}s} .} \end{array} $

选取引理1.1中的Banach空间B为L^q(ℝ), 1 < q < ∞。对于x≠s, 估计算子k(x, s) 从空间L^q(ℝ) 到空间L^q(ℝ) 的范数如下

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\| {k\left( {x,s} \right)} \right\|}_{{L^q} \to {L^q}}} = \mathop {\sup }\limits_{{{\left\| {g\left( y \right)} \right\|}_{{L^q}\left( \mathbb{R} \right)}} \ne 0} \frac{{{{\left\| {\left( {k\left( {x,s} \right)g} \right)\left( y \right)} \right\|}_{{L^q}\left( \mathbb{R} \right)}}}}{{{{\left\| {g\left( y \right)} \right\|}_{{L^q}\left( \mathbb{R} \right)}}}}} \\ { \leqslant C{{\left| {x - s} \right|}^{ - 1}},} \end{array} $

其中的常数C依赖于Hilbert变换从空间L^q(ℝ) 到空间L^q(ℝ) 有界的最佳常数。这样我们证得算子k(x, s) 满足条件 (2)。

考虑到|x-s|≥2|h|，有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left( {k\left( {x + h,s} \right) - k\left( {x,s} \right)} \right)g\left( y \right) = } \\ {\int_\mathbb{R} {\left[ {\frac{1}{{\left( {x - s} \right)\left( {y - t} \right)}} - \frac{1}{{\left( {x + h - s} \right)\left( {y - t} \right)}}} \right]g\left( t \right){\text{d}}t} = } \\ {\frac{h}{{\left( {x - s} \right)\left( {x + h - s} \right)}}\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{y - t}}g\left( t \right){\text{d}}t} .} \end{array} $

对上述算子求范数，得到

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\| {k\left( {x + h,s} \right) - k\left( {x,s} \right)} \right\|}_{{L^q}\left( \mathbb{R} \right) \to {L^q}\left( \mathbb{R} \right)}} \leqslant } \\ {C\frac{{\left| h \right|}}{{\left| {\left( {x - s} \right)\left( {x + h - s} \right)} \right|}}.} \end{array} $

(5)

结合式子|x-s|≥2|h|即$ \left| h \right| \le \frac{{\left| {x-s} \right|}}{2} $，推得

$ \left| {x - s + h} \right| \ge \left| {\left| {x - s} \right| - \left| h \right|} \right| \ge \frac{{\left| {x - s} \right|}}{2}. $

(6)

将式 (6) 代入式 (5), 有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\| {k\left( {x+h,s} \right) - k\left( {x,s} \right)} \right\|}_{{L^q}\left( \mathbb{R} \right) \to {L^q}\left( \mathbb{R} \right)}} \leqslant } \\ {2C\frac{{\left| h \right|}}{{{{\left| {x - s} \right|}^2}}}.} \end{array} $

(7)

成立。同样地，也有如下式子成立

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\| {k\left( {x,s + h} \right) - k\left( {x,s} \right)} \right\|}_{{L^q}\left( \mathbb{R} \right) \to {L^q}\left( \mathbb{R} \right)}} \leqslant } \\ {2C\frac{{\left| h \right|}}{{{{\left| {x - s} \right|}^2}}}.} \end{array} $

(8)

综合考虑式 (7) 和式 (8), 推得核函数k(x, s) 也满足式 (3)，并取其中的δ=1。这样我们验证了核函数k(x, s) 满足引理1.1中的2个条件，从而有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left| {\left\{ {x \in \mathbb{R}:{{\left\| {Tf\left( x \right)} \right\|}_{L_y^q}} > \lambda } \right\}} \right| \leqslant } \\ {\frac{C}{\lambda }\int_{{\mathbb{R}^d}} {{{\left\| {f\left( x \right)} \right\|}_{L_y^q}}{\text{d}}x} = \frac{C}{\lambda }{{\left\| f \right\|}_{{L^q}{L^1}}}} \end{array} $

成立，这就意味着式 (4) 成立。

2 分数阶双Hilbert变换

在这一部分，我们研究分数阶双Hilbert变换在具有混合范数Lebesgue空间下的有界性。对于任意的 (x, y)∈ℝ², 先给出分数阶双Hilbert变换的定义如下：

$ H_1^{{\alpha _1}}H_1^{{\alpha _2}}f\left( {x,y} \right) = {\text{p}}.{\text{v}}.\int_\mathbb{R} {\int_\mathbb{R} {\frac{{f\left( {s,t} \right)}}{{{{\left| {x - s} \right|}^{{\alpha _1}}}{{\left| {y - t} \right|}^{{\alpha _2}}}}}{\text{d}}s{\text{d}}t} } , $

(9)

其中0 < α_i < 1, i=1, 2。

为研究分数阶双Hilbert变换在具有混合范数函数空间上的有界性，下面先给出Riesz位势算子的定义和关于该算子有界性的著名的Sobolev定理。

定义2.1 对任意的x∈ℝⁿ, Riesz位势算子^[11]由以下定义给出

$ {I_\alpha } \left( f \right)\left( x \right) = \frac{1}{{\gamma \left( \alpha \right)}}\int_{{\mathbb{R}^n}} {\frac{{f\left( y \right)}}{{{{\left| {x - y} \right|}^{n - \alpha }}}}{\text{d}}y} , $

其中参数0 < α < n，常数

$ \gamma \left( \alpha \right) = {\pi ^{\frac{n}{2}}}{2^\alpha }\Gamma \left( {\frac{\alpha }{2}} \right)/\Gamma \left( {\frac{{n - 2}}{2}} \right). $

该算子的Sobolev定理^[1]如下：

若f∈L^p(ℝⁿ), g∈L^q′(ℝⁿ), 0 < α < n, $ \frac{1}{p}-\frac{1}{q} = \frac{\alpha }{n}$, $\frac{\alpha }{n} < \frac{1}{q} < 1 $, 则双线性泛函L有如下结果成立:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {L\left( {f,g} \right) = \gamma \left( \alpha \right)\int_{{\mathbb{R}^n}} {g\left( x \right){I_\alpha }\left( f \right)\left( x \right){\text{d}}x} = } \\ {\gamma \left( \alpha \right)\int_{{\mathbb{R}^n}} {\int_{{\mathbb{R}^n}} {f\left( x \right)g\left( y \right){{\left| {x - y} \right|}^{\alpha - n}}{\text{d}}x{\text{d}}y} } \leqslant } \\ {C\left( {n,\alpha ,p} \right){{\left\| f \right\|}_p}{{\left\| g \right\|}_{q'}}.} \end{array} $

(10)

基于Sobolev定理，我们给出分数阶双Hilbert变换 (9) 在具有混合范数Lebesgue空间上的有界性定理。

定理2.1 设函数f∈L^p₁L^p₂，1 < p_i < ∞，满足$ \frac{1}{{{p_i}}}-\frac{1}{{{q_i}}} = 1-{\alpha _i} $，i=1, 2。则有

$ {\left\| {H_1^{{\alpha _1}}H_1^{{\alpha _2}}f} \right\|_{{L^{{q_1}}}{L^{{q_2}}}}} \leqslant C{\left\| f \right\|_{{L^{{p_1}}}{L^{{p_2}}}}}, $

其中常数C只依赖于p_i, q_i, i=1, 2。

证明 对任意的$g \in {L^{q_1^{'}}}{L^{q_2^{'}}}$，运用上述Sobolev定理 (10) 式，有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left| {\int_{{\mathbb{R}^2}} {H_1^{{\alpha _1}}H_2^{{\alpha _2}}f\left( {x,y} \right)g\left( {x,y} \right){\text{d}}x{\text{d}}y} } \right| = } \\ {\left| {\int_{{\mathbb{R}^2}} {\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{f\left( {s,t} \right)}}{{{{\left| {x - s} \right|}^{{\alpha _1}}}{{\left| {y - t} \right|}^{{\alpha _2}}}}}g\left( {x,y} \right){\text{d}}s{\text{d}}t{\text{d}}x{\text{d}}y} } } \right| \leqslant } \\ {\int_{{\mathbb{R}^2}} {\left( {\int_{{\mathbb{R}^2}} {{{\left| {f\left( {s,t} \right)\left\| {g\left( {s,t} \right)} \right\|x - s} \right|}^{ - {\alpha _1}}}{\text{d}}s{\text{d}}x} } \right){{\left| {y - t} \right|}^{ - {\alpha _2}}}{\text{d}}t{\text{d}}y \leqslant } } \\ {C\left( {{\alpha _1},{p_1},{q_1}} \right)\int_{{\mathbb{R}^2}} {{{\left\| {f\left( { \cdot ,t} \right)} \right\|}_{{L^{{p_1}}}}}{{\left\| {g\left( { \cdot ,y} \right)} \right\|}_{{L^{{{q'}_1}}}}}{{\left| {y - t} \right|}^{ - {\alpha _2}}}{\text{d}}t{\text{d}}y} } \\ { \leqslant C\left( {{\alpha _1},{p_1},{q_1}} \right)C\left( {{\alpha _2},{p_2},{q_2}} \right){{\left\| f \right\|}_{{L^{{p_1}}}{L^{{p_2}}}}}{{\left\| g \right\|}_{{L^{{{q'}_1}}}{L^{{{q'}_2}}}}}.} \end{array} $

这样就证得该定理的结论。

下面给出分数阶双Hilbert变换在一类边界混合范数函数空间上的有界性。

定理2.2 设f∈L^p₁L¹, 1 < p₁ < ∞, $ \frac{1}{{{p_1}}}-\frac{1}{{{q_1}}} = 1-{\alpha _1}$, 且$ {q_2} = \frac{1}{{{\alpha _2}}} $。则存在一个常数C使得

$ {\left\| {H_2^{{\alpha _2}}H_1^{{\alpha _1}}f} \right\|_{{L^{{q_1}}}{L^{{q_2},\infty }}}} \leqslant C{\left\| f \right\|_{{L^p}1{L^1}}} $

成立。

证明 根据Minkowski不等式, 对任意的 (x, y)∈ℝ², 有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\| {H_2^{{\alpha _2}}H_1^{{\alpha _1}}f\left( {x,y} \right)} \right\|}_{L_x^q1}} \leqslant } \\ {{{\left( {\int_\mathbb{R} {\left| {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{{{\left| {y - t} \right|}^{{\alpha _2}}}}}} } \right|} \int_\mathbb{R} {\frac{{f\left( {s,t} \right)}}{{{{\left| {x - s} \right|}^{{\alpha _1}}}}}{\text{d}}s} {{\left| {{\text{d}}t} \right|}^{{q_1}}}{\text{d}}x} \right)}^{\frac{1}{{{q_1}}}}} \leqslant } \\ {\int_\mathbb{R} {{{\left( {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{{{\left| {y - t} \right|}^{{\alpha _2}{q_1}}}}}} {{\left| {\int_\mathbb{R} {\frac{{f\left( {s,t} \right)}}{{{{\left| {x - s} \right|}^{{\alpha _1}}}}}{\text{d}}s} } \right|}^{{q_1}}}{\text{d}}x} \right)}^{\frac{1}{{{q_1}}}}}{\text{d}}t} = } \\ {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{{{\left| {y - t} \right|}^{{\alpha _2}}}}}{{\left\| {H_1^{{\alpha _1}}f\left( {x,t} \right)} \right\|}_{L_x^q1}}{\text{d}}t} \leqslant } \\ {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{{{\left| {y - t} \right|}^{{\alpha _2}}}}}{{\left\| {f\left( {x,t} \right)} \right\|}_{L_x^p1}}{\text{d}}t} .} \end{array} $

由Riesz位势的定义, 对任意的y∈ℝ, 上式可以改写为

$ {\left\| {H_2^{{\alpha _2}}H_1^{{\alpha _1}}f\left( {x,y} \right)} \right\|_{L_x^q1}} = {I_{1 - {\alpha _2}}}\tilde f\left( y \right), $

(11)

其中$ \tilde f(y) = {\left\| {f( \bullet, y)} \right\|_{{L^{{p_1}}}}}$。

令

$ {E_\lambda } = \left\{ {y:{I_{1 - {\alpha _2}}}\tilde f\left( y \right) > \lambda } \right\}. $

我们估计集合E_λ的测度, 由自变量代换, 得到

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{E_\lambda }} \right| \leqslant \frac{1}{\lambda }\int_{{E_\lambda }} {{I_{1 - {\alpha _2}}}\tilde f\left( y \right){\text{d}}y} = } \\ {\frac{1}{\lambda }\int_{{E_\lambda }} {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{{{\left| {y - t} \right|}^{{\alpha _2}}}}}{{\left\| {f\left( {x,t} \right)} \right\|}_{L_x^p1}}{\text{d}}t{\text{d}}y} } = } \\ {\frac{1}{\lambda }\int_{{E_\lambda }} {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{{{\left| t \right|}^{{\alpha _2}}}}}{{\left\| {f\left( {x,y - t} \right)} \right\|}_{L_x^p1}}{\text{d}}t{\text{d}}y} } .} \end{array} $

(12)

分解式 (12) 式的内部积分，有

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\int_\mathbb{R} {\frac{1}{{{{\left| t \right|}^{{\alpha _2}}}}}{{\left\| {f\left( {x,y - t} \right)} \right\|}_{L_x^p1}}{\text{d}}t} = } \\ {\sum\limits_{j \in \mathbb{Z}} {\int_{{2^{j - 1}} \leqslant \left| t \right| \leqslant {2^j}} {\frac{1}{{{{\left| t \right|}^{{\alpha _2}}}}}{{\left\| {f\left( {x,y - t} \right)} \right\|}_{L_x^p1}}{\text{d}}t} } \leqslant } \\ {\sum\limits_{j \in \mathbb{Z}} {\frac{1}{{{2^{\left( {j - 1} \right){\alpha _2}}}}}\int_{\left| t \right| \leqslant {2^j}} {{{\left\| {f\left( {x,y - t} \right)} \right\|}_{L_x^p1}}{\text{d}}t} } .} \end{array} $

进而，我们估计|E_λ|的测度为

$ \begin{gathered} \left| {{E_\lambda }} \right| \leqslant \frac{1}{\lambda }\int_{{E_\lambda }} {\sum\limits_{j \in \mathbb{Z}} {\frac{1}{{{2^{\left( {j - 1} \right){\alpha _2}}}}}\int_{\left| t \right| \leqslant {2^j}} {{{\left\| {f\left( {x,y - t} \right)} \right\|}_{L_x^p1}}{\text{d}}t} {\text{d}}y} } \leqslant \hfill \\ \frac{1}{\lambda }\sum\limits_{j \in \mathbb{Z}} {\frac{1}{{{2^{\left( {j - 1} \right){\alpha _2}}}}}\min \left( {\left| {{E_\lambda }} \right|{{\left\| f \right\|}_{{L^{{p_1}}}{L^1}}},{2^j}{{\left\| f \right\|}_{{L^{{p_1}}}{L^1}}}} \right)} \leqslant \hfill \\ \frac{1}{\lambda }\sum\limits_{{2^j} > \left| {{E_\lambda }} \right|} {\frac{1}{{{2^{\left( {j - 1} \right){\alpha _2}}}}}\left| {{E_\lambda }} \right|{{\left\| f \right\|}_{{L^{{p_1}}}{L^1}}}} + \hfill \\ \frac{1}{\lambda }\sum\limits_{{2^j} \leqslant \left| {{E_\lambda }} \right|} {\frac{{{2^j}}}{{{2^{\left( {j - 1} \right){\alpha _2}}}}}{{\left\| f \right\|}_{{L^{{p_1}}}{L^1}}}} = \frac{{2G}}{\lambda }{\left| {{E_\lambda }} \right|^{1 - {\alpha _2}}}{\left\| f \right\|_{{L^{{p_1}}}{L^1}}}, \hfill \\ \end{gathered} $

从而，计算得

$ {\left| {{E_\lambda }} \right|^{{\alpha _2}}} \leqslant \frac{G}{\lambda }{\left\| f \right\|_{{L^{{p_1}}}{L^1}}}. $

也就是说, $ |{E_\lambda }{|^{{\alpha _2}}} \le \frac{{2C}}{\lambda } $成立。这就意味着

$ \mathop {\sup }\limits_{\lambda > 0} \lambda {\left| {{E_\lambda }} \right|^{{\alpha _2}}} \leqslant C $

成立。

根据弱空间L^{p, ∞}的定义, 得到

$ {I_{1 - {\alpha _2}}}\tilde f\left( y \right) \in L_y^{\frac{1}{{{\alpha _2}}},\infty }. $

再根据估计式 (11), 推得

$ {\left\| {H_2^{{\alpha _2}}H_1^{{\alpha _1}}f\left( {x,y} \right)} \right\|_{L_x^q1}} \in L_y^{\frac{1}{{{\alpha _2}}},\infty }. $

这样，就证得所需要的结论。