电容层析成像技术 (ECT) 由于其无辐射、非接触、非侵入、成像速度快且成本低等优点^[1]，目前已经广泛应用于不同领域的多相流动测量过程中^[2-9]，包括原油管道中的油/气两相流以及火焰、气力输送和循环流化床内的气固两相流等。

与单电极激励方式相比，多电极激励方式可增加独立测量数目，减小逆问题的不适定性。另外，还可提高测量信号的强度，增加测量电容值，有利于电容数据的采集。在传统的二维ECT (2D ECT) 测量过程中，多电极激励方式已经得到广泛关注，相关学者对其稳定性进行了研究。Ye等^[10]在一个矩形电容传感器中比较单电极激励、双电极激励和四电极激励3种测量模式。结果表明：在无噪声干扰的情况下，单电极激励方式成像效果最佳；在施加噪声的情况下，双电极激励方式成像效果更加稳定。本文构建了一个包含12个电极 (3层，每层布置4个电极) 的三维ECT (3D ECT) 传感器，并将多电极激励模式应用于3D ECT传感器，分别研究单电极激励模式、同层相邻双电极激励模式和不同层双电极激励模式。之后，对测量的电容数据施加噪声干扰，并进行相关分析，研究3种激励方式对噪声干扰的稳定性。

1 三维ECT模型及激励方式 1.1 3D ECT模型

如图 1(a)所示，构建一个包含12电极的3D ECT模型。电极分3层布置，每层含4个电极，且中间层相较于其他两层旋转45°。模型管道内径40 mm，壁厚2 mm，高50 mm，被重建的球体直径为10 mm。电极宽度设置为8 mm，使得被测球体能在传感器的有效成像区域。为保证成像质量，电极覆盖率设计约为80%，电极长度29.45 mm，径向距离5.9 mm。为了与电极的径向距离保持一致，电极的轴向距离设置为6 mm。

1.2 3D ECT激励方式

传统的单电极激励方式可以描述为：电极E1施加激励，测量E2~E12共11个电极上的电荷量；之后电极E2施加激励，测量E3~E12共10个电极的电荷量；然后依次对其余电极施加激励，直至电极E11施加激励，测量E12电极上的电荷量，共可得到66个电容值。

多电极激励方式可以增加测量数目，且可以提高激励信号的强度。因此，本文对同层相邻双电极激励方式进行研究，在测量过程中对同层相邻电极进行激励，采集其余极板电荷量，这样共可得到120个电容值。

为改善敏感场均匀性，本文设置不同层双电极激励模式，即对位于不同层上的2个电极施加激励，测量其余极板电荷量。以1、2层平面为例，对E1~E5，E2~E6，E3~E7，E4~E8电极依次施加激励，测量其余电极电荷量。这种方式共可得到120个电容值。

本文研究的3种激励测量方式如表 1所示。

2 ECT数学模型与算法 2.1 3D ECT模型

ECT的近似线性数学模型^[11]可以表示为

$ \mathit{\boldsymbol{\lambda }} = \mathit{\boldsymbol{Sg}}, $

(1)

其中：λ为归一化电容向量，S为归一化灵敏度矩阵，g为归一化介电常数向量。

在3D ECT中，灵敏度矩阵元素由下式计算

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{S_{ij}}\left( {x,y,z} \right) = - \iiint_p {\frac{{\nabla {\varphi _i}\left( {x,y,z} \right)}}{{{V_i}}}}.} \\ {\frac{{\nabla {\varphi _i}\left( {x,y,z} \right)}}{{{V_j}}}{\rm{d}}x{\rm{d}}y{\rm{d}}z,} \end{array} $

(2)

其中：S_ij(x, y, z) 为电极i和j在区域p上的灵敏度，φ_i(x, y, z) 为电极i施加电压V_i且其余电极接地时的电势分布。

归一化电容值^[12]可以表示为

$ \mathit{\boldsymbol{\lambda }} = \frac{{{\mathit{\boldsymbol{C}}^m} - {\mathit{\boldsymbol{C}}^l}}}{{{\mathit{\boldsymbol{C}}^h} - {\mathit{\boldsymbol{C}}^l}}}, $

(3)

其中，λ为归一化电容值，C^m为测量所得电容值，C^h和C^l分别为满场电容值和空场电容值。本文中，满场时内部相对介电常数为3，空场时内部相对介电常数为1。

2.2 图像重构算法

为解决ECT逆问题，计算测量区域的介电常数值，研究人员提出多种重构算法。在迭代算法中，Landweber迭代算法^[11]应用最为广泛，其计算公式为

$ {\mathit{\boldsymbol{g}}^n} = {\mathit{\boldsymbol{g}}^{n - 1}} + {\alpha ^n}{\mathit{\boldsymbol{S}}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\lambda }} - \mathit{\boldsymbol{S}}{\mathit{\boldsymbol{g}}^{n - 1}}} \right), $

(4)

其中，αⁿ为迭代步长^[13]

$ {\alpha ^n} = \frac{{{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{S}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{e}}^{\left( {n - 1} \right)}}} \right\|}^2}}}{{{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{S}}{\mathit{\boldsymbol{S}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{e}}^{\left( {n - 1} \right)}}} \right\|}^2}}}, $

(5)

e^(n－1)表示测量电容与计算电容之间的误差^[11]

$ {\mathit{\boldsymbol{e}}^{\left( {n - 1} \right)}} = \mathit{\boldsymbol{\lambda }} - \mathit{\boldsymbol{S}}{\mathit{\boldsymbol{g}}^{\left( {n - 1} \right)}}. $

(6)

本文应用上述算法重构，迭代步数统一为20。

3 模拟条件设置

本文中，测量区域划分为20×20×25，圆柱区域内共7 900个像素。如图 1(b)~1(e)所示，本文在测量区域中心处设置一个半径为10 mm的球体，为高介电常数分布。

相关系数作为本文图像质量评价标准^[11]

$ r = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^{{N_k}} {\left( {{g_i} - \bar g} \right)\left( {{{\hat g}_i} - \overline {\hat g} } \right)} }}{{\sqrt {\sum\limits_{i = 1}^{{N_k}} {{{\left( {{g_i} - \bar g} \right)}^2}} \sum\limits_{i = 1}^{{N_k}} {{{\left( {{{\hat g}_i} - \overline {\hat g} } \right)}^2}} } }}, $

(7)

其中：r为相关系数，g_i为真实分布中i点像素值，ĝ_i为重构图像中i点像素值，g为真实分布中像素平均值，ĝ为重构图像的像素平均值，N_k为测量区域内像素总数。

4 模拟结果及分析

为研究噪声干扰对3种激励方式的影响，本文分别设置了无噪声干扰，振幅为1 fF的噪声干扰和振幅为2 fF的噪声干扰3种情况。

4.1 无噪声干扰

图 2为无噪声干扰下3种测量方式所得结果。从图中可以看出：测量方式1所得图像更接近于真实分布，边界也更加明显；测量方式3重构效果次于测量方式1，但优于测量方式2。由表 2相关系数数据可以得到：测量方式1相关系数最大，测量方式2相关系数最小。由以上结果可知，无噪声干扰情况下，测量方式1即单电极激励方式成像效果最佳。

4.2 振幅为1fF的噪声干扰结果分析

为研究不同激励方式的测量稳定性，本文对原始电容数据施加了振幅为1 fF的噪声干扰，并得到500组含噪声数据。利用含噪声数据进行图像重建并计算所得图像的相关系数，如图 3所示。从图中可以明显看出：测量方式1所得相关系数波动幅度最大，测量方式3波动幅度最小。

根据图 3数据，表 3对3种测量方式下各500组数据的相关系数进行数据分析，分别得到最大值、最小值、平均值及标准差。由表 3可知，测量方式3所得相关系数的平均值最大且标准差最小，表明不同层双电极激励方式受噪声影响最小、稳定性最好。

图 4为取相关系数最大和最小情况所得图像。从图中可以看出，取相关系数最小的电容数据进行图像重构时，测量方式1和测量方式2所重构图像已经不能反映真实分布，而测量方式3所重构图像尽管质量下降，但仍能反映真实分布。

4.3 振幅为2fF的噪声干扰结果分析

对原始电容数据施加振幅为2fF的噪声干扰，得到500组含噪声数据。对上述数据继续做相关性分析，结果见图 5。与振幅为1fF的噪声干扰结果相同，测量方式1相关系数波动幅度最大，测量方式3相关系数波动幅度最小。

根据图 5数据，表 4对3种测量方式下各500组数据的相关系数进行数据分析，分别得到最大值、最小值、平均值及标准差。由表 4可知，测量方式3所得相关系数的平均值最大且标准差最小，表明不同层双电极激励方式受噪声影响最小、稳定性最好。

图 6为取相关系数最大和最小情况所得图像。从图中可以看出，取相关系数最小的电容数据进行图像重构时，测量方式1和测量方式2所重构图像已经不能反映真实分布，而测量方式3所重构图像仍能大致反映真实分布。

5 结论

本文研究3种激励测量模式，即单电极激励、同层相邻双电极激励和不同层双电极激励，在三维ECT测量中的性能。通过对原始测量数据施加不同程度的噪声干扰，对结果稳定性进行分析。针对本文中设置的流型，得到下述结论，

1) 无噪声干扰时，单电极激励方式成像效果最佳；

2) 存在噪声干扰时，不同层双电极激励方式成像效果最稳定，单电极激励方式波动幅度最大。

此外，本文只设置了中心区域为高介电常数的流型，对其他流型仍需要进一步研究。