随机游动是随机过程中的一个经典模型。早在概率论发展初期,就有人曾经考虑过直线上的简单随机游动和有偏随机游动等问题[1]。如今这方面的研究对象已经从直线上的随机游动扩展到随机图和网络上的随机游动, 以及随机环境中的随机游动和各种代数结构上的随机游动[2-4]。
随机游动研究中的一个基本问题是状态分类问题。历史上Kolmogorov, Polya, Kakutani等都曾经讨论过这一问题, Polya还给出了
2006年Collevecchio[9]利用另一种方法, 在Lyons工作的基础上得到经典分枝树上的λ-有偏随机游动的状态分类结果。我们则考虑变化环境中的分枝树上的广义有偏随机游动, 得到其状态分类的结果,文献[9]中的结果恰为我们的结论的特例。
1 背景知识设(Ω,
$ {c_1}g\left( x \right) \le f\left( x \right) \le {c_2}g\left( x \right), $ |
则记f(x)≈g(x), x→∞。
定义1.1 (树)设U为由如下形式的有限正整数序列所构成的集合: < i1, i2, …, in > , 其中ik∈
(a)空序列ϕ∈T;
(b)若对某个j∈N*, < i1, i2, …, ik, j > ∈T,则必有 < i1, …, ik > ∈T;
(c)若u= < i1, i2, …, ik > ∈T, νu(T)是依赖于u和T的某正整数(也称νu(T)为T上节点u的分枝数),则对于所有的1≤j≤νu(T),总有 < i1, i2, …, ik,j > ∈T;
则称T为一棵树,空序列称为树的根, 以o记之。称T中全体序列长度的上确界为树T的高度。若v= < i > ∈T,则称
$ {T^v}:{\rm{ = }}\{ < i, {i_1}, {i_2}, \cdots, {i_n} > < i, {i_1}, {i_2}, \cdots, {i_n} > \in T{\rm{\} }} $ |
为T中根为v的子树。任取n≥1,记树T在高度n处的截断为
$ T{|_n}{\rm{: = \{ }} < {i_1}, {i_2}, \cdots, {i_k} > \in T;k \le n\} . $ |
对任意的n,称 < i1, i2, …, in > ∈T为T的顶点,以v记之。设u, v为T上的2个顶点,若存在i1, i2, …, in和j使v= < i1, i2, …, in > , u= < i1, i2, …, in, j > ,则称v为u的父亲,记为
记
定义1.2(G-W过程和分枝树)令Z0=1且对于任意的n≥0,
$ {z_{n + 1}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j = 1}^{{Z_n}} {{X_{n, j}}, } }&{{Z_n} \ne 0, }\\ {0, \;\;\;\;\;\;\;\;}&{{Z_n} = 0, } \end{array}} \right. $ |
其中{Xn, j, n≥0, j≥1}为独立同分布的随机变量序列,其共同分布为{p(j), j≥0}, {Zn:n≥0}称为经典的Galton-Watson分枝过程,简称为GW过程,记
定义1.3 (G-W测度)设{p(k), k≥0}为某Galton-Watson过程的分布律,
$ \begin{array}{c} GW\left\{ {T \in F:{v_j} \in T, 1 \le j \le n, \mathop \cap \limits_{j = 1}^n \left\{ {{d_{{v_j}}} = {k_j}} \right\}} \right\}\\ = \prod\limits_{j = 1}^n p \left( {{k_j}} \right). \end{array} $ |
本文中由测度GW决定的期望记为EGW。
类似地,可以定义变化环境中的分枝过程,以及变化环境中的分枝树。
定义1.4 令Y0=1且对于任意的n≥0,
$ {Y_{n + 1}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{j = 1}^{{Y_n}} {{U_{n + 1, j}}, \left( x \right)} }&{{y_n} \ne 0;}\\ {0, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}&{{Y_n} = 0, } \end{array}} \right. $ |
其中{Un, j:n≥1, j≥1}是相互独立的随机变量序列,对任意给定的n≥1, {Un, j:j≥1}有相同的概率分布{p(n)(j), j∈
$ {p^{(n)}}(0) = 0, 0 < {p^{(n)}}(1) < 1, n \ge 1. $ |
定义1.5 设{p(l)(j), l≥1, j≥0}为某一个变化环境中的分枝过程的分布律,
$ \begin{array}{c} VGW\left\{ {T \in F:{v_j} \in T, 1 \le j \le n, \;\mathop \cap \limits_{j = 1}^n \left\{ {{d_{{v_j}}} = {k_j}} \right\}} \right\}\\ = \prod\limits_{j = 1}^n {{p^{\left( {\left| {{v_j}} \right|} \right)}}\left( {{k_j}} \right).} \end{array} $ |
可以证明VGW可唯一扩张为
定义1.6 给定一棵由上临界的G-W树T,其分布律为{p(k), k≥0}, 设{Xn:n≥0}为定义在
$ {P_T}\left( {{X_{n + 1}} = w|{X_n} = v} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{\lambda }{{\lambda + {d_v}}}, v = \overrightarrow w, \\ \frac{1}{{\lambda + {d_v}}}, w = \overrightarrow v, v \ne o, \\ \frac{1}{d}, v = o, w = \overrightarrow o . \end{array} \right. $ |
其中w, v∈T, λ为正常数, 我们称{Xn:n≥0}为GW树T上的λ-有偏随机游动。
类似地,可以定义变化环境中分枝树上的{λn, n≥1}-有偏随机游动如下。
定义1.7 给定一棵上临界的变化环境中的分枝树T,其后代分布律为{p(n)(j), n≥1, j≥0},又给定一列正实数{λl, l≥1},若{Vn:n≥0}为定义在
$ {P_T}\left( {{V_{n + 1}} = w|{V_n} = v} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\lambda _{\left| v \right|}}}}{{{\lambda _{\left| v \right|}} + {d_v}}}, v = \overrightarrow w, \\ \frac{1}{{{\lambda _{\left| v \right|}} + {d_v}}}, w = \overrightarrow v, v \ne o, \\ \frac{1}{{{d_o}}}, v = o, w = \overrightarrow {o.} \end{array} \right. $ |
其中w, v∈T,对任意的u∈T, |u|=l, du的分布律为{p(l+1)(k), k≥0},我们称{Vn:n≥0}为变化环境中分枝树T上的{λn, n≥1}-有偏随机游动。
根据Lyons[7]关于树上有偏随机游动状态分类的结论可得
对于一个个体平均生殖个数为m>1的G-W树上的λ-有偏随机游动{Xn:n≥0}而言:当λ>m时,对几乎所有的GW-树T,λ-有偏随机游动{Xn:n≥0}是正常返的;当λ=m时,对几乎所有的GW-树T, λ-有偏随机游动{Xn:n≥0}是零常返的;当λ < m时,对几乎所有的GW-树T, λ-有偏随机游动{Xn:n≥0}是暂留的。
关于变化环境中分枝树上的{λn, n≥1}-有偏随机游动,我们的主要结果如下:
定理1.1 设{Yn, n≥0}是一个上临界的变化环境中的分枝过程,设{mn, n≥1}如前所定义。给定一列实数λn>0(n≥1)及一棵由{Yn, n≥0}决定的分枝树T,{Xn, n≥0}是取值于T的{λn, n≥1}-有偏随机游动,则有如下结论:
1)若{λn, n≥1}与{mn, n≥1}满足:存在正整数n>1,使得
$ \frac{{{m_2} \cdots {m_n}}}{{1 + {\lambda _1} + {\lambda _1}{\lambda _2} + \cdots + {\lambda _1} \cdots {\lambda _{n-1}}}} > 1 $ |
且
$ \frac{{{m}_{(k-1)n+1}}-{{m}_{kn}}}{1+\sum\limits_{l=1}^{n}{\prod\limits_{j=1}^{l}{{{\lambda }_{\left( k-1 \right)n+j-1}}}}}>1,k\ge 2, $ | (1) |
则存在
2)若{λn, n≥1}与{mn, n≥1}满足
$ \sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{{{m}_{1}}\cdots {{m}_{n}}}{1\text{+}\sum\limits_{l=1}^{n-1}{\prod\limits_{j=1}^{l}{{{\lambda }_{j}}}}} < \infty ,} $ | (2) |
则对VGW-a.s.T,随机游动{Xn, n≥0}是正常返的(关于PT);
3)若对VGW-a.s.T,随机游动{Xn, n≥0}关于PT是常返的,而且
$ \sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{\left| {{D}_{n}}(T) \right|}{1+\sum\nolimits_{l=1}^{n-1}{(\prod\nolimits_{j=1}^{l}{{{\lambda }_{j}}})}}=\infty ,} $ | (3) |
则对VGW-a.s.T,随机游动{Xn, n≥0}是零常返的(关于PT)。
2 主要定理的证明命题2.1 VGW可唯一扩张为
证明 考虑乘积空间
$ \times _{i = 1}^n{q^{\left( {{u_i}} \right)}}(\{ < {i_1}, {i_2}, \cdots, {i_n} > \} ) = \prod\limits_{j = 1}^n {{p^{\left( {{k_i} + 1} \right)}}\left( j \right)} . $ |
容易验证这些形如×i=1nq(ui)的测度满足Kolmogrov相容性条件。
给定u∈U,设
$ {j_{k + 1}} \le v_{ < {j_1}, \cdots, {j_k} > }^*({w^*}), 0 \le k \le p. $ |
由文献[10]中的结论知ψ可测。根据Kolmogrov相容性定理,前面满足相容性条件的测度族唯一确定
通篇假定对于任意的n≥1,
$ {m_n} = {\sum\limits_{k \ge 1} {kp} ^{(n)}}\left( k \right) > 1, $ |
则变化环境中的分枝树关于上述测度VGW几乎必然不是有限树。本文中将概率测度VGW决定的数学期望记为EVGW。
受文献[9]中方法的启发,我们用变化环境中的分枝树的生殖规律与有偏随机游动的有偏参数的性质讨论状态分类。沿用文献[11]中使用的测度定义体系, 严格给出了状态分类定理的证明。
为证明定理1.1,首先需要下面一个引理。因为我们没有在文献中找到这一结果的证明,所以将详细的证明陈述如下。
引理2.1 设{St:t≥0}是取值于
$ P\left( {{S_{t + 1}} = 1|{S_t} = 0} \right) = 1 = {p_0}, $ |
$ P\left( {{S_{t + 1}} = n + 1|{S_t} = n} \right) = {p_n}, $ |
$ P\left( {{S_{t + 1}} = n + 1|{S_t} = n} \right) = 1-{p_n}: = {q_n}. $ |
设B为
$ {\tau _B} = {\rm{inf}}\left\{ {k \ge 0:{S_k} \in B} \right\}, $ |
特别地, 记
$ {\tau _j} = {\tau _{\left\{ j \right\}}}, j \in \mathbb{N}, $ |
又记
$ {\delta _j} = \frac{{{q_j}}}{{{p_j}}}, j \ge 1, $ |
则有
$ P\left( {{\tau _0}.{\tau _{n + 1}}|{S_0} = 1} \right) = 1/[\sum\limits_{k = 1}^n {(\prod\limits_{j = 1}^k {{\delta _j}} ) + 1}], n \ge 1, $ |
特别地, 当pn=qn=1/2(其中n≥1)时, p(τ0>τn+1|S0=1)=1/(n+1),pn≡p, qn≡q=1-p, p≠q时,这就是一个经典的赌徒输光问题,
证明
记
记ak=P(τ0>τn+1|S0=k), k≥0。
首先有
$ {a_0} = P({\tau _0} > {\tau _{n + 1}}|{S_0} = 0) = 0, $ |
$ {a_0} = P({\tau _0} > {\tau _{n + 1}}|{S_0} = 0) = 0, \;\;{a_{n + 1}} = P\left( {{\tau _0} > {\tau _{n + 1}}|{S_0} = n + 1} \right) = 1, n \ge 1. $ |
对于任意的0 < k≤n,有
$ P({\tau _0} > {\tau _{n + 1}}|{S_0} = k) = P\left( {\tau _0^{(1)} > \tau _{n + 1}^{(1)}|{S_1} = k} \right), $ |
进而用马氏性进行递推得
$ \begin{array}{l} {a_k} = P({\tau _0} > {\tau _{n + 1}}|{S_1} = k + 1)P\left( {{S_1} = k + 1|{S_0}{\rm{ = }}k} \right) + \\ P({\tau _0} > {\tau _{n + 1}}|{S_1} = k-1)P({S_1} = k-1|{S_0} = k) = \\ {P_k}{a_{k + 1}} + {q_k}{a_{k-1}}, \end{array} $ |
由上式得
$ \begin{array}{c} {a_{k + 1}}-{a_k} = \frac{{{q_k}}}{{{p_k}}}\left( {{a_k}-{a_{k-1}}} \right) = {\delta _k}({a_k} - {a_{k - 1}}), \\ 0 < k < n + 1. \end{array} $ |
进而
$ {a_{k + 1}}-{a_k} = (\prod\limits_{j = 1}^k {{\delta _j}} ){a_1}, 0 < k < n + 1, $ |
于是
$ 1 = {a_{n + 1}}-{a_0} = \sum\limits_{k = 0}^n {({a_{k + 1}}-{a_k}) = \sum\limits_{k = 1}^n {(\prod\limits_{j = 1}^k {{\delta _j}} ){a_1} + {a_1}, } } $ |
最后
$ [\sum\limits_{k = 1}^n {(\prod\limits_{j = 1}^k {{\delta _j}} ) + 1}]{a_1} = 1 $ |
引理得证。
定理1.1的证明:
先证明1)。设:
$ {\overline X _n}(T, \omega ):(\mathscr{T} \times \Omega, \mathscr{B}(\mathscr{T}) \times \mathscr{T}) \to (U, \mathscr{G}), n \ge 1, $ |
$ \tau (T, \omega ) = inf\{ j \ge 1:{\overline X _j}(T, \omega ) = o\} ; $ |
其中o是T的根,对于v≠o定义
$ {{T}_{v}}(T,\omega )=\left\{ \begin{matrix} \inf \{k\ge 0:{{\overline{X}}_{k}}=v\}, & v\in T, \\ \infty ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & v\notin T; \\ \end{matrix} \right. $ |
$ {{H}_{v}}(T,\omega )=\left\{ \begin{matrix} \inf \{k\ge {{T}_{v}}:{{\overline{X}}_{k}}=\overleftarrow{v}\}, & v\in T, \\ \infty ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & v\notin T. \\ \end{matrix} \right. $ |
在
$ \bar P(A) = \int\limits_\mathscr{F} {{P_T}(A(T))dVGW(T)}, $ |
其中A∈
为证结论1), 只需证明:对于VGW-a.s.T, {Xn, n≥0}是暂留的(关于PT),亦即,对VGW-a.s.T, {Xn, n≥0}在时间τ(T)之前以正概率访问了无穷多个T上的节点。
谬设P(τ < ∞)=1,此即对VGW-a.s.T, PT(τ(T) < ∞)=1。
设n是满足(1)的正整数,n>1。给定树T,满足PT(τ(T) < ∞)=1。对于树T上第n层的任一节点v,若过程{ Xn(T), n≥0}于时刻τ(T)之前访问它, 则将之涂成白色,以Γ1记第n层全体白点的个数。对于k≥2,若T上(k-1)n层的白点依次标记为v1, v2, …, vj,以Vk, i记vi,位于第kn层的白色后代的个数(vi位于第kn层的某后代被涂为白色当且仅当{ Xn(T), n≥0}于时刻Hvi之前访问它)。我们还假定T上其他层的节点绝不涂成白色。
由上述规则知道, kn层的白色节点的位于(k-1)n层的祖先一定是白色的(k≥2)。以Γk记第kn层全体白点的个数。于是
$ {\mathit{\Gamma }_{k + 1}} = \sum\limits_{j-1}^{_{{\mathit{\Gamma }_k}}} {{V_{k + 1, j}}, k \ge 0, } $ |
Γ0=1, Γ1是T上第n层的白点个数。
上式定义的{Γk, k≥0}是
$ {P_T}({H_v}(T) < \infty |{T_v}(T) < \infty ) = 1. $ |
设u是v的位于树T上第n层的后代,且于Hv之前被{Xn(T), n≥0}访问过。记{Xn(T), n≥0}从v至u的最短路径为u1u2…un,其中ui+1是ui的孩子,u1=v, un=u。我们称{Xn(T), n≥0}从ui有效下行至ui+1当且仅当在Hv之前{Xn(T), n≥0}从ui一步移至ui+1或从ui一步移至与ui+1同层的其他某节点w,然后沿w的后代逐步下移并于Hv之前再回到ui, 然后从ui一步移至ui+1, 类似地可以定义{Xn(T), n≥0}从ui有效上行至ui-1。将T上与ui+1同层的其他节点编号为: u1, …, udui-1。以p(ui, uj)记{Xn(T), n≥0}从ui出发沿uj之后代节点先向下移然后上移于Hv之前回到ui的概率。根据有偏随机游动的定义p(ui, uj)与uj无关, 而且{Xn(T), n≥0}位于ui时或者上行或者下行, 总之若记下行概率为pi,上行概率为qi,则
$ {p_i} + {q_i} = 1, $ |
且
$ {p_i} = \frac{1}{{\lambda + {d_{{u_i}}}}}(1 + ({d_{{u_i}}}-1)p({u_i}, {{\bar u}_j})), $ |
$ {q_i} = \frac{\lambda }{{\lambda + {d_{{u_i}}}}}(1 + ({d_{{u_i}}}-1)p({u_i}, {{\bar u}_j})), $ |
于是
以u0记根节点o, {Xn(T), n≥0}沿u0u1…un移动可以看成一个广义的赌徒输光问题, 此时引理2.1所定义的{Sn, n≥0}从i移至i+1可看成{Xn(T), n≥0}从ui有效下行至ui+1, {Sn, n≥0}从i移至i-1可看成{Xn(T), n≥0}从ui有效上行至ui-1,而输光概率P(τ0>τn|S0=1)即是{Xn(T), n≥0}于Hv之前击中u的概率, 故由引理2.1知
PT[{Xn(T)}于Hv前击中u|Tv < ∞]=
以|Dn(T, v)|记v的位于T上第n层的全体后代个数, 则
EP(v在第n层的后代个数|Tv < ∞)=
$ \begin{array}{l} {E_{VGW}}(\left| {{D_n}(T, v) \cdot {\eta _n}} \right|) = \\ \frac{{{m_2} \cdots {m_n}}}{{1 + {\lambda _1} + {\lambda _1}{\lambda _2} + \cdots + {\lambda _1} \cdots {\lambda _{n-1}}}}. \end{array} $ |
而根的后代至少有一个(以概率1), 且于τ之前被{Xn(T), n≥0}击中的至少有一个(以概率1), 故
$ {{E}_{{\bar{P}}}}\left( {{\mathit{\Gamma }}_{1}} \right)\ge \frac{{{m}_{2}}\cdots {{m}_{n}}}{1+{{\lambda }_{1}}+{{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}}+\cdots +{{\lambda }_{1}}\cdots {{\lambda }_{n-1}}}. $ | (4) |
现在任取T上第(k-1)n层的一个节点v′(k≥2), 设P(Tv < ∞)>0。又任取v在T上位于第kn层的一个后代u′。从v′到u′的最短路径为v1v2…vn+1,其中vi+1是vi的孩子,v1=v′, vn+1=u′。类似于前面的讨论, 我们得到: { Xn, n≥0}在Hv′之前击中u′的概率即是输光概率P(τ0 > τn+1|S0=1), 亦即
$ \frac{{{m}_{(k-1)n+1}}\cdots {{m}_{kn}}}{1+\sum\limits_{l=1}^{n}{\prod\limits_{j=1}^{l}{{{\lambda }_{\left( k-1 \right)n+j-1}}}}}, $ | (5) |
事实上, 这正是EP(Vk, j)。
现在根据1)可知,EP(Γ1)>1, EP(Vk, j)>1, ∀ k, ∀j.这说明过程{Γk, k≥0}是一个上临界的依赖于代的分枝过程, 因此
$ \bar P\left( {\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {\mathit{\Gamma }_k} = \infty } \right) > 0, $ | (6) |
给定T,设B={{Xn(T), n≥0}在τ(T)之前访问了树T上的无穷多个节点}。根据式(6),存在
$ {{P}_{T}}(B)>0, $ |
此即P(τ=∞)>0,矛盾,1)得证。
其次证明2)。给定k≥2,对于第k层的任一节点v,事件{Tv < τ}发生,必然使得X1为v之祖先且{Xn(T), n≥0}于τ之前击中v,根据前面的计算有
$ {P_T}({T_v} < \tau ) \le \frac{1}{{1 + {\lambda _1} + {\lambda _1}{\lambda _2} + \cdots + {\lambda _1} \cdots {\lambda _{k-1}}}}, $ |
因此第k层于时刻τ之前被击中的节点数的期望(关于P)至多为
$ \frac{{{m_1} \cdots {m_2}}}{{1 + {\lambda _1} + {\lambda _1}{\lambda _2} + \cdots + {\lambda _1} \cdots {\lambda _{k - 1}}}}. $ |
给定T,设L={Xn, n≥0}在τ(T)之前所抵达的最大层数,注意
$ {E_T}(L|\tau (T)) = \frac{1}{2}\tau (T), $ |
由于对VGW-a.s.T, |Dn(T)|≥1,故
$ {E_T}(L|\tau (T)) \le {E_T}(\{ {X_n}, n \ge 0\} 在\tau (T)前击中的节点数|\tau (T)), $ |
总之
$ \begin{array}{l} {E_{\bar p}}\left( \tau \right) \le 2{E_{\bar p}}(\{ {{\bar X}_n}, n \ge 0\} 在\tau 前击中的节点数)\\ \le 2{m_1} + 2\sum\limits_{k = 2}^\infty {\frac{1}{{1 + {\lambda _1} + {\lambda _1}{\lambda _2} + \cdots + {\lambda _1} \cdots {\lambda _{k-1}}}}, } \end{array} $ |
由2)知EP(τ) < ∞,因此对VGW-a.s.T, ET(τ) < ∞,此即对VGW-a.s.T, {Xn, n≥0}在T上关于PT是正常返的。
最后证明3)。事实上要证3), 只需要证明对VGW-a.s.T, ET[τ(T)]=∞。根据第一部分的证明知:对于VGW-a.s.T,在τ之前第k层(k≥2)被{Xn, n≥0}击中的节点个数的期望(关于PT)是
$ \frac{{\left| {{D_k}(T)} \right|}}{{1 + \sum\nolimits_{l = 1}^{k-1} {(\prod\nolimits_{j = 1}^l {{\lambda _j}} )} }}, $ |
给定T,对每个ω,τ(T, ω)大于或等于{Xn, n≥0}在τ(T, ω)之前于树T上击中的节点数,故
$ {E_T}(\tau (T)) \ge \sum\limits_{k = 2}^\infty {\frac{{\left| {{D_k}(T)} \right|}}{{1 + \sum\nolimits_{l = 1}^{k-1} {(\prod\nolimits_{j = 1}^l {{\lambda _j}} )} }}, } $ |
由3)知, 对VGW-a.s.T, ET(τ(T))=∞。因此随机游动{Xn, n≥0}在T上关于PT是零常返的。
注2.1 当
$ \begin{align} & VGW(\left| {{D}_{k}}\left( T \right) \right|)\le \frac{{{m}_{1}}\cdots {{m}_{k}}}{{{k}^{\frac{1}{2}\left( 1+\epsilon \right)}}}\le \\ & \frac{1}{{{k}^{1+\epsilon}}}{{E}_{VGW}}{{\left[\frac{{{m}_{1}}\cdots {{m}_{k}}}{\left| {{D}_{k}}(T) \right|} \right]}^{2}}, \le \frac{C}{{{k}^{1+\epsilon}}}, \\ \end{align} $ |
由Borel-Cantelli引理可知, 对于VGW-a.s.T,当k≥k0=k0(T)时,
$ \begin{align} & \sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{\left| {{D}_{n}}(T) \right|}{1+\sum\nolimits_{l=1}^{n-1}{(\prod\nolimits_{j=1}^{l}{{{\lambda }_{j}}})}}}\ge \\ & K\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\left( \frac{{{m}_{1}}\cdots {{m}_{n}}}{1+{{m}_{1}}+\cdots +{{m}_{1}}\cdots {{m}_{n-1}}}\cdot \frac{1}{{{n}^{\frac{1}{2}\left( 1+\epsilon \right)}}} \right),} \\ \end{align} $ | (7) |
其中K是依赖于T的正数。现在取
$ \begin{align} & \sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{\left| {{D}_{n}}\left( T \right) \right|}{1+\sum\nolimits_{l=1}^{n-1}{\left( \prod\nolimits_{j=1}^{l}{{{\lambda }_{j}}} \right)}}}\ge \\ & \tilde{K}\sum\limits_{n=2}^{\infty }{{{n}^{\frac{1}{2}\left( 1+\epsilon \right)}}},=\infty , \\ \end{align} $ | (8) |
上式中
注2.2 考虑经典分枝树上的λn-有偏随机游动{Xn, n≥0},假设分枝树的平均生殖个数为m∈(1,
注2.3 根据注2.1和注2.2, 当λn=mn+1(n≥1)时或λn↓m时,可以考虑变化环境中分枝树上的中心极限定理。我们猜测有类似于文献[11]中的结论。
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