本文主要对Riemann面上带cusp奇点的共形度量进行研究.

1 背景和主要定理 1.1 背景

Calabi在1982年引入extremal Kähler度量^[1]，目的是在一个紧Kähler流形的固定Kähler类中找到“最佳”的度量.具体地，设M为一个紧Kähler流形，在一个固定的Kähler 类中，extremal Kähler度量是下述Calabi能量的临界点

$C\left( g \right)={{\int }_{M}}{{K}^{2}}dg,$

这里K是Kähler类中度量g的数量曲率.C(g)的Euler-Lagrange方程是

${{K}_{,\alpha \beta }}=0,1\le \alpha ,\beta \le di{{m}_{C}}M,$

(1)

这里K_,αβ是K的2阶(0,2)型协变导数.因此我们称在一个紧Kähler流形M上满足(1) 的度量为extremal Kähler度量.

Extremal Kähler度量具有较好的性质，比如紧extremal Kähler 流形比一般的Kähler流形具有更好的对称性，而且在光滑的紧Riemann面上，extremal Kähler 度量就是常曲率度量^[1].

经典的单值化定理认为，在紧致无边的Riemann面上，对任意的Riemann度量，都会有常曲率度量与之共形等价.单值化定理无疑是经典复分析中非常漂亮和重要的定理.

过去很多人尝试将经典的单值化定理推广到一般的帯边曲面.而过去主要集中在带有奇点的曲面上常曲率度量的存在性问题.

为了推广经典的单值化定理，Chen等^[2-3]继承Calabi的思想，研究Calabi能量泛函的变分问题.在这个问题框架内，他们主要研究以下2个方面的问题：

1) 任意由有限面积和有限Calabi能量所组成的度量子集的弱紧性问题，引进了cusp奇点，得到有趣的“bubbles on bubbles”现象，并且得到这类度量序列的弱极限如果不为零，则该度量一定有cusp奇点.进而给出cusp奇点的基本性质^[2-3].

2) Calabi能量泛函的变分问题.令M为紧Riemann面，g₀为M\{p₁,p₂…,p_n} 上的Hermitian度量，其中p₁,p₂…,p_n 为g₀的奇点.如果存在一个光滑函数e^2φ，使得在M\{p₁,p₂…,p_n}上满足g=e^2φg₀，此时称g与g₀共形等价.记P:={p₁,p₂…,p_n}，定义Calabi能量泛函E(g)与面积泛函A(g)分别为：

$E\left( g \right)={{\int }_{M\backslash P}}{{K}^{2}}dg,\text{ }A\left( g \right)={{\int }_{M\backslash P}}dg.$

(2)

其中K为g的Gauss曲率. 定义变分空间G(g₀)为

$\begin{align} & G({{g}_{0}})=\left\{ g|g={{e}^{2\varphi }}{{g}_{0}},\varphi \in {{H}^{2,2}}\left( M \right) \right., \\ & \left. {{\int }_{M\backslash P}}dg={{\int }_{M\backslash P}}d{{g}_{0}} \right\}. \\ \end{align}$

Calabi能量泛函的变分问题就是要研究在面积泛函固定的情况下，Calabi能量泛函最小，即对于任意g∈G(g₀)，使得Calabi能量泛函E(g)最小.

我们称Calabi 能量泛函的临界点为extremal Hermitian 度量，它的Euler-Lagrange方程为

${{\Delta }_{g}}K+{{K}^{2}}=C,$

(3)

其中K为g的Gauss曲率，C为实常数.式(3)在局部复坐标系(U,z)下等价于

$\frac{\partial {{K}_{,zz}}}{\partial \bar{z}}=0.$

(4)

见文献^[4].由(4)可知extremal Hermitian度量有2种特殊情况：

1) K=const，即度量g为常Gauss曲率度量.

2) 如果g在局部复坐标系(U,z)下满足

${{K}_{,zz}}=0,$

(5)

则称g为HCMU(the Hessian of the curvature of the metric is umbilical)度量. 在下文中，假设共形度量g有有限的面积和有限的Calabi能量，即

$A\left( g \right)={{\int }_{M\backslash P}}dg<+\infty ,E\left( g \right)={{\int }_{M\backslash P}}{{K}^{2}}dg<+\infty .$

(6)

Chen^[4]进一步研究带有cusp奇点的extremal Hermitian度量的相关性质，并给出Gauss曲率K在cusp奇点附近的相关估计.进而给出带有cusp奇点的extremal Hermitian度量的分类定理.

接着Wang和Zhu^[5]将Chen的关于cusp奇点的情况推广到锥奇点情况，他们证明了如果g=e^2φ(z)|dz|²为D\{0}上面积和Calabi能量都有限的extremal Hermitian度量，则z=0不是cusp奇点就是锥奇点. 进而得到关于锥奇点的分类定理.

Chen在文献^[4]中断言这样一个命题： 设M为紧Riemann面，g为M\{p₁,p₂…,p_n}上的共形度量，其中p₁,p₂…,p_n为g的cusp奇点，并且有有限的面积和Calabi 能量，则在cusp奇点附近共形参数一定可以表示为 -ln|z|-βln(-ln|z|)-lnρ(z)，其中12<β<32，ρ(z)为z=0附近正的光滑函数，但他并没有给出证明.

本文将就他所提出的问题进行研究，进一步给出当g为HCMU度量时，共形参数在cusp奇点的局部表示.

1.2 本文主要定理

定理1.1  如果g=e^2φ(z)|dz|²为D\{0}上的共形度量，z=0为g的cusp奇点，如果共形参数φ(z)在cusp点附近有形式： φ(z)=-ln|z|-βln(-ln|z|)+o(ln(-ln|z|))，且余项o(ln(-ln|z|))在z=0附近(包括0点)光滑.

(a) 则g在D\{0}上面积和Calabi能量有限的充要条件为$\frac{1}{2}$<β<$\frac{3}{2}$.

(b) 若g为extremal Hermitian度量，则g在D\{0}上面积和Calabi能量有限的充要条件为β=1.

定理1.2  S²上存在只带有一个cusp奇点的共形度量${\tilde{g}}$，其保持面积有限、Calabi能量有限而且共形度量${\tilde{g}}$在cusp 奇点附近表示为

$\tilde{g}=\frac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}{{\left( \ln \left| z \right| \right)}^{2\beta }}{{\left( \ln \left( \ln \left| z \right| \right) \right)}^{2\alpha }}}{{\left| dz \right|}^{2}},$

其中，α,β满足下列关系式：

$\left\{ \begin{align} & \beta =\frac{1}{2},\alpha >\frac{1}{2}; \\ & \frac{1}{2}<\beta <\frac{3}{2},\alpha 任意; \\ & \beta =\frac{3}{2},\alpha <-\frac{1}{2}. \\ \end{align} \right.$

定理1.3  如果g=e^2φ(z)|dz|²为D\{0}上的共形度量，z=0为g的cusp 奇点，并且在D\{0} 上面积和Calabi能量都有限，若g 为 HCMU度量，则在z=0 附近共形参数一定可以表示成

$\varphi \left( z \right)=-ln\left| z \right|-ln(-ln\left| z \right|)+lnh\left( z \right),$

其中，h(z)为在z=0点连续，在0点以外光滑的正函数.

2 预备知识 2.1 弱cusp奇点、cusp奇点、锥奇点

定义2.1  设M是Riemann面，p∈M.(U,z)为p附近的复坐标系且z(p)=0，g为U\{p}上的光滑度量.如果g=e^2φ|dz|²，满足$\underset{r\to 0}{\mathop{\lim }}\,~inf\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }{{}}r\cdot \frac{\partial \left( \varphi +ln~r \right)}{\partial r}d\theta =0$，其中r=|z|，则称p为g的弱cusp奇点.

定义2.2  设M是Riemann面，p∈M.(U,z)为p附近的复坐标系且z(p)=0，g为U\{p}上的光滑度量.如果g=e^2φ|dz|²，满足$\underset{z\to 0}{\mathop{\lim }}\,~\frac{\varphi \left( z \right)+ln~\left| z \right|}{ln~\left| z \right|}=0$，则称p为g的cusp奇点.

定义2.3  设M是Riemann面，p∈M.(U,z)为p附近的复坐标系且z(p)=0，g为U\{p}上的光滑度量.如果g=e^2φ|dz|²，并且φ-(α-1)ln|z|(α>0)在p处连续，则称p为g的锥奇点并且g在p处有锥角度2πα.

注记：如果在弱cusp奇点附近满足面积和Calabi能量有限，那么弱cusp奇点就是cusp奇点，见文献^[5].

2.2 cusp奇点，extremal Hermitian 度量及HCMU度量的基本性质

设M是一个紧Riemann面，p₁,…,p_n是M上的n个点，记P:={p₁,…,p_n}. 设g是M\P上的光滑保角度量.设(U,z)为M\P上的局部复坐标系，则g在U上可以写成

$g={{e}^{2\varphi }}|dz{{|}^{2}}.$

此时g称为共形度量.于是g在M\P上的高斯曲率为K=-e^-2φ·Δφ，这里$\Delta =4\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial z\partial \bar{z}}$.

在文献^[4]中，Chen研究了面积和Calabi能量都有限且只带有cusp奇点的extremal Hermitian度量.一方面，他证明如果该Riemann面为紧致无边的，则extremal Hermitian 度量就是HCMU 度量.另一方面，给出Gauss曲率K在cusp奇点的精确估计，证明了Gauss曲率K在cusp奇点的极限为负常数.

Chen和Wu^[6]继续Chen的工作，研究了带有锥奇点的非常曲率HCMU度量的存在性问题，主要方法是定义Gauss梯度场▽K=$\sqrt{-1}{{K}^{,z}}\frac{\partial }{\partial z}$的对偶亚纯1-形式，即特征1-形式，并对特征1-形式的基本性质进行研究.

Chen等^[7]将文献^[6]中的结果推广到既有cusp奇点又有锥奇点的非常曲率HCMU度量上.

3 主要定理与证明

现在返回到我们要研究的问题，在只带有cusp奇点的Riemann面上，共形度量g=e^2φ|dz|²满足面积和Calabi能量都有限，则共形参数φ在cusp 点附近有什么样的性质？进一步要问如果度量g为HCMU 度量，那么共形参数在cusp奇点附近又该如何表示？共形参数的余项是否一定光滑？

定理1.1的证明

证明(a)  因为o(ln(-ln|z|))光滑，不妨设：lnh(z)=o(ln(-ln|z|))，r=|z|，其中h(z)为z=0附近正的光滑函数.则h(z)在充分小闭圆盘$\overline{{{D}_{R}}\left( 0 \right)}$上一致有界，其中$0<R<\frac{1}{3}$.

于是φ(z)变为

$\varphi \left( z \right)=-lnr-\beta ln(-lnr)+lnh\left( z \right).$

(7)

因此g=e^2φ|dz|²在D_R(0)\{0}上保持面积和Calabi能量有限等价于

$\begin{align} & A\left( g \right)\left| _{_{{{D}_{R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}}} \right.=\int\limits_{{{D}_{R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}}{{}}dg= \\ & \int\limits_{{{D}_{R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}}{{}}{{e}^{2\varphi }}dxdy<+\infty , \\ \end{align}$

(8)

$\begin{align} & E\left( g \right)\left| _{{{D}_{R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}} \right.=\int\limits_{{{D}_{R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}}{{}}{{K}^{2}}dg \\ & =\int\limits_{{{D}_{R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}}{{}}\frac{{{(\Delta \varphi )}^{2}}}{{{e}^{2\varphi }}}dxdy<+\infty . \\ \end{align}$

(9)

其中,K=-e^-2φ·Δφ为g的Gauss曲率.

$\begin{align} & A\left( g \right)\left| _{{{D}_{R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}} \right.=\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{0}^{R}{{}}{{e}^{2\varphi }}rdrd\theta \\ & =\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{0}^{R}{{}}{{e}^{2(-lnr-\beta ln\left( -lnr \right)+lnh)}}rdrd\theta \\ & =\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{0}^{R}{{}}{{(-lnr)}^{-2\beta }}{{h}^{2}}\frac{1}{r}drd\theta . \\ \end{align}$

由于h(z)在z=0附近有正的上下界，所以

$A\left( g \right)\left| _{{{D}_{R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}} \right.<+\infty $

等价于

$\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{0}^{R}{{}}{{(-lnr)}^{-2\beta }}\frac{1}{r}drd\theta <+\infty .$

(10)

而(10)式有限的充要条件为β>$\frac{1}{2}$，所以面积A(g)_DR(0)\{0}有限的充要条件为β>$\frac{1}{2}$.

另一方面由(7)式得

$\begin{align} & \Delta \varphi =-\beta \Delta ln\left( -lnr \right)+\Delta lnh\left( z \right)= \\ & \beta \frac{1}{{{(ln~r)}^{2}}{{r}^{2}}}+\Delta lnh\left( z \right). \\ \end{align}$

(11)

所以由(9)式和(11)式得

$\begin{align} & E\left( g \right)\left| _{{{D}_{R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}} \right.=\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{0}^{R}{{}}\frac{{{(\Delta \varphi )}^{2}}}{{{e}^{2\varphi }}}rdrd\theta \\ & =\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{0}^{R}{{}}\left[ {{\beta }^{2}}{{(-lnr)}^{2\beta -4}}{{r}^{-1}}{{h}^{-2}}+ \right. \\ & 2\beta r{{(-lnr)}^{2\beta -2}}{{h}^{-2}}\Delta lnh+ \\ & \left. {{(\Delta lnh)}^{2}}{{r}^{3}}{{(-lnr)}^{2\beta }}{{h}^{-2}} \right]drd\theta \\ & =\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{0}^{R}{{}}{{\beta }^{2}}{{(-lnr)}^{2\beta -4}}{{r}^{-1}}{{h}^{-2}}drd\theta + \\ & 2\beta \int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{0}^{R}{{}}r{{(-lnr)}^{2\beta -2}}{{h}^{-2}}\Delta lnhdrd\theta + \\ & \int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{0}^{R}{{}}{{(\Delta lnh)}^{2}}{{r}^{3}}{{(-lnr)}^{2\beta }}{{h}^{-2}}drd\theta , \\ \end{align}$

由于h(z)在z=0附近光滑，Δlnh(z)在z=0附近有界，因此后两项绝对可积.于是

$E\left( g \right)\left| _{{{D}_{R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}} \right.<+\infty $

等价于

$\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{0}^{R}{{}}{{\beta }^{2}}{{(-lnr)}^{2\beta -4}}{{r}^{-1}}{{h}^{-2}}drd\theta <+\infty .$

(12)

而(12)式有限的充要条件为β<$\frac{3}{2}$，所以Calabi能量E(g)_DR(0)\{0}有限的充要条件为β<$\frac{3}{2}$.

综上得到，若余项o(ln(-ln|z|))光滑则面积和Calabi能量有限的充要条件为$\frac{1}{2}$<β<$\frac{3}{2}$.

证明(b)  由(7)式和(11)式可知共形度量g的Gauss曲率K为

$\begin{align} & K=-\frac{\Delta \varphi }{{{e}^{2\varphi }}}=-\beta {{(-lnr)}^{2\beta -2}}{{h}^{-2}} \\ & -\Delta lnh\cdot {{h}^{-2}}{{r}^{2}}{{(-lnr)}^{2\beta }}, \\ \end{align}$

(13)

其中，$\frac{1}{2}<\beta <\frac{3}{2}$.

若共形度量g为extremal Hermitian度量，则由文献^[4](定理B(3))可知，存在负常数-c₃,满足$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,K\left( x \right)$=-c₃显然有

$\underset{r\to 0}{\mathop{\lim }}\,-\Delta lnh\cdot {{h}^{-2}}{{r}^{2}}{{(-lnr)}^{2\beta }}=0,$

因此，极限$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,K\left( x \right)$为负常数的充要条件为β=1.

接下来我们将在局部上构造仅带一个cusp奇点的度量，再利用单位分解在S²上构造一个带cusp奇点的度量.

设g=e^2φ|dz|²为D_2R(0)\{0}上的共形度量,其中0<R<$\frac{1}{6}$，并且共形参数φ有下列形式

$\begin{align} & \varphi \left( z \right)=-ln\left| z \right|-\beta ln(-ln\left| z \right|) \\ & -\alpha ln(ln(-ln\left| z \right|)). \\ \end{align}$

(14)

我们将证明：g在D\{0}上满足面积和Calabi能量有限的充要条件是 α和β满足下面条件：

$\left\{ \begin{align} & \beta =\frac{1}{2},\alpha >\frac{1}{2}; \\ & \frac{1}{2}<\beta <\frac{3}{2},\alpha 任意; \\ & \beta =\frac{3}{2},\alpha <-\frac{1}{2}. \\ \end{align} \right.$

下面给出具体的构造方法.

定理1.2的证明

证明  令

$\begin{align} & \varphi \left( z \right)=-lnr+\frac{1}{2}ln\rho \left( z \right),\text{ }u=-lnr,\text{ }r=\left| z \right|, \\ & \rho \left( z \right)=\rho ({{e}^{-u}}cos\theta ,{{e}^{-u}}sin\theta )=\frac{1}{{{(ln~u)}^{2\alpha }}{{u}^{2\beta }}}\left( 其中\beta >0 \right) \\ \end{align}$

即φ(z)=-lnr-βln(-lnr)-αln(ln(-lnr))，容易验证对于任意的α，β ,φ(z)恒满足cusp奇点条件. 再令

$\begin{align} & \psi \left( u,\theta \right)=\varphi ({{e}^{-u}}cos\theta ,{{e}^{-u}}sin\theta )-u \\ & =\frac{1}{2}ln\rho ({{e}^{-u}}cos\theta ,{{e}^{-u}}sin\theta ), \\ \end{align}$

(15)

则面积变为

$\begin{align} & A\left( g \right)\left| _{{{D}_{2R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}} \right.=\int\limits_{{{D}_{2R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}}{{}}dg=\int\limits_{{{D}_{2R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}}{{}}{{e}^{2\varphi }}dxdy \\ & =\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{0}^{R}{{}}{{e}^{2\varphi }}rdrd\theta \\ & =\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{-\ln \left( 2R \right)}^{+\infty }{{}}{{e}^{2\varphi }}dud\theta \\ & =\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{-\ln \left( 2R \right)}^{+\infty }{{}}\rho \left( {{e}^{-u}}\cos \theta ,{{e}^{-u}}\sin \theta \right)dud\theta \\ & =\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{-\ln \left( 2R \right)}^{+\infty }{{}}\frac{1}{{{\left( \ln u \right)}^{2\alpha }}{{u}^{2\beta }}}dud\theta . \\ \end{align}$

所以由积分的收敛性可知,面积A(g)_D2R(0)\{0}有限的充要条件为β=12,α>$\frac{1}{2}$或者β>$\frac{1}{2}$,α 任意.

Calabi能量变为

$\begin{align} & E\left( g \right)\left| {{_{D}}_{_{2R}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}}} \right.=\int\limits_{{{D}_{2R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}}{{}}{{K}^{2}}dg=\int\limits_{{{D}_{2R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}}{{}}\frac{{{(\Delta \varphi )}^{2}}}{{{e}^{2\varphi }}}dxdy \\ & =\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{0}^{R}{{}}\frac{{{(\Delta \varphi )}^{2}}}{{}}{{e}^{2\varphi }}rdrd\theta \\ & =\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{-\ln \left( 2R \right)}^{+\infty }{{}}\frac{{{({{\Delta }_{u,\theta }}\psi )}^{2}}}{{{e}^{2\psi }}}dud\theta \\ & =\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{-\ln \left( 2R \right)}^{+\infty }{{}}\frac{{{\left[ {{\rho }_{u}}\prime\prime \rho -{{({{\rho }_{u}}\prime )}^{2}}-{{\rho }_{\theta }}\prime\prime \rho +{{({{\rho }_{\theta }}\prime )}^{2}} \right]}^{2}}}{{{\rho }^{5}}}dud\theta \\ & =\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi }{{}}\int_{-\ln \left( 2R \right)}^{+\infty }{{}}\left[ 2\alpha {{(lnu)}^{-4\alpha -2}}+2\alpha {{(lnu)}^{-4\alpha -1}}+ \right. \\ & {{\left. 2\beta {{(lnu)}^{-4\alpha }} \right]}^{2}}{{u}^{2\beta -4}}{{(lnu)}^{10\alpha }}dud\theta , \\ \end{align}$

其中Laplace算子Δ_u,θ=$\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{u}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{\theta }^{2}}}$.

由积分的收敛性可知，

$E\left( g \right)\left| _{{{D}_{2R}}\left( 0 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}} \right.<+\infty $

等价于

$\int_{-\ln \left( 2R \right)}^{+\infty }{{}}{{\left( \ln u \right)}^{2\alpha }}{{u}^{2\beta -4}}du<+\infty .$

(16)

而(16)式有限的充要条件为β=$\frac{3}{2}$，α<-$\frac{1}{2}$或β<$\frac{3}{2}$,α任意.

因而Calabi能量E(g)|_D2R(0)\{0}有限的充要条件为β=$\frac{3}{2}$，α<-$\frac{1}{2}$或β<$\frac{3}{2}$,α任意.

综上若φ有下面形式

$\begin{align} & \varphi \left( z \right)=-ln\left| z \right|-\beta ln(-ln\left| z \right|)- \\ & \alpha ln(ln(-ln\left| z \right|)), \\ \end{align}$

(17)

则g在D_2R(0)上满足面积和Calabi能量都有限当且仅当α,β满足下列关系式：

$\left\{ \begin{align} & \beta =\frac{1}{2},\alpha >\frac{1}{2}; \\ & \frac{1}{2}<\beta <\frac{3}{2},\alpha 任意; \\ & \beta =\frac{3}{2},\alpha <-\frac{1}{2}. \\ \end{align} \right.$

(18)

接下来在单位球面S²上构造一个共形度量${\tilde{g}}$，使其只带有一个cusp奇点并且保持面积和Calabi能量都有限.

令p为单位球面S²上的一点，取p点附近的复坐标图(U₁,z)，使得 z(p)=0，z(U₁)=D_2R(0)，其中R为上文提到的.又设

$\begin{align} & {{g}_{1}}={{e}^{2\varphi }}|dz{{|}^{2}}= \\ & \frac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}{{(-ln~\left| z \right|)}^{2\beta }}{{(ln~(-ln~\left| z \right|))}^{2\alpha }}}|dz{{|}^{2}}, \\ \end{align}$

(19)

其中，α,β满足式(18). 令U₂=S²/z^-1(D_R(0)),则S²=$\bigcup\limits_{i=1}^{2}{{}}$U_i，令(U₂,w)为U₂上的复坐标图且在U₂上取度量为

${{g}_{2}}=\frac{4|dw{{|}^{2}}}{{{(1+{{\left| w \right|}^{2}})}^{2}}},$

(20)

则g₂的Gauss曲率为1，并且在U₂上面积和Calabi能量都小于4π.取同指标从属于{U_i|_i=1,2} 的单位分解{ψ_i|_i=1,2} .定义S²\{p}上的共形度量${\tilde{g}}$为

$\tilde{g}=\sum\limits_{i=1}^{2}{{}}{{\psi }_{i}}{{g}_{i}},$

(21)

则${\tilde{g}}$为S²\{p}上保持面积和Calabi能量都有限的共形度量，p为S²上唯一的cusp奇点，但${\tilde{g}}$的共形参数在p附近的余项为o(ln(-ln|z|))=αln(ln(-ln|z|))，因此当α≠0时余项并不连续.

由定理1.2的证明并参照定义2.2，可以提出新的cusp奇点的定义，即

定义3.1  设M为Riemann面，p∈M，(U,z)为p附近的复坐标图，g=e^2φ|dz|²为U\{p}上的共形度量，如果φ在z=0附近有下面形式

$\varphi \left( z \right)=-ln\left| z \right|-\beta ln(-ln\left| z \right|)+lnh\left( z \right),$

(22)

这里β>$\frac{1}{2}$为常数，h(z)为U内的连续函数，我们称p点为g的强cusp奇点.容易验证β为共形不变量，并且β>$\frac{1}{2}$是为了保证g 有有限的面积.

因此，从定理1.2的证明中可得：即使在面积和Calabi能量都有限的条件下也不能得出cusp奇点与强cusp奇点等价.

下面的定理1.3将要证明：如果度量为HCMU度量并且满足面积和Calabi能量有限，则cusp奇点一定是强cusp奇点,并且此时定义3.1中β=1.

定理1.3的证明

证明 首先由HCMU度量的定义可知，K_,zz=0等价于▽K=$\sqrt{-1}{{e}^{-{{2}_{\varphi }}}}{{K}_{{\bar{z}}}}\frac{\partial }{\partial z}$为D\{0}上的全纯向量场.

令F=4e^-2φK_${\bar{z}}$，则F为D\{0}上的全纯函数，并且由文献^[4](定理B(2))可知，z=0为F的零点.由于K不为常数，z=0不为F零点的聚点，因此存在z=0的开邻域，在该开邻域内除z=0外不再有F的零点，不妨设该开邻域就是D，于是z=0为$\frac{1}{F}$ 在D上唯一的极点. 类似于文献^[7]中的讨论，可得下面3个结果：

1) 存在C′∈$\mathbb{R}$，使得在D\{0}上有

$-4\sqrt{-1}\nabla K\left( K \right)=-\frac{{{K}^{3}}}{3}+CK+C\prime ,$

(23)

这里C为(3)式中的常数.由此可得

${{e}^{2\varphi }}=4\left( -\frac{{{K}^{3}}}{3}+CK+C\prime \right){{\left| \frac{1}{F} \right|}^{2}}.$

(24)

2) 存在μ<0使得

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,K\left( x \right)=\mu $

(25)

并且

$-\frac{{{K}^{3}}}{3}+CK+C\prime =-\frac{1}{3}{{\left( K-\mu \right)}^{2}}\left( K+2\mu \right).$

(26)

3) 若令ω=$\frac{dz}{F}$，则z=0 为ω的一阶极点，并且ω在z=0 处的留数为实数.

于是可设

$\omega =\frac{dz}{F}=\frac{{{\lambda }_{-1}}}{z}dz+d{{f}_{1}}=\frac{\Phi \left( z \right)}{z}dz,$

(27)

其中λ_-1为ω在z=0处的留数，f₁为在z=0附近的全纯函数，Φ为z=0附近的全纯函数且Φ(0)=λ_-1≠0. 所以由上面的1)、2)、3)并结合文献^[7](定理1.1)得到

$\begin{align} & \frac{-3dK}{{{\left( K-\mu \right)}^{2}}\left( K+2\mu \right)}=\omega +\bar{\omega } \\ & ={{\lambda }_{-1}}dln{{\left| z \right|}^{2}}+2dRe({{f}_{1}}), \\ \end{align}$

(28)

${{e}^{2\varphi }}=-\frac{4}{3}{{\left( K-\mu \right)}^{2}}\left( K+2\mu \right){{\left| \frac{\Phi \left( z \right)}{z} \right|}^{2}}.$

(29)

由于(28)式左端可分解为

$\begin{align} & \frac{-3dK}{{{\left( K-\mu \right)}^{2}}\left( K+2\mu \right)}= \\ & -\left( \frac{1}{K+2\mu }-\frac{1}{K-\mu }+\frac{3\mu }{{{\left( K-\mu \right)}^{2}}} \right)\frac{dK}{3{{\mu }^{2}}}= \\ & -\frac{1}{3{{\mu }^{2}}}d\left( ln\left( -2\mu -K \right)-ln\left| \mu -K \right|-\frac{3\mu }{K-\mu } \right). \\ \end{align}$

(30)

所以(28)式等价于

$\begin{align} & -\frac{1}{3{{\mu }^{2}}}d\left( ln\left( -2\mu -K \right)-ln\left| \mu -K \right|-\frac{3\mu }{K-\mu } \right)= \\ & d({{\lambda }_{-1}}ln{{\left| z \right|}^{2}}+2Re({{f}_{1}})). \\ \end{align}$

(31)

对(31)式两边同时积分得

$\begin{align} & -\frac{1}{3{{\mu }^{2}}}\left( ln\left( -2\mu -K \right)-ln\left| \mu -K \right|-\frac{3\mu }{K-\mu } \right) \\ & ={{\lambda }_{-1}}ln{{\left| z \right|}^{2}}+2Re({{f}_{1}})+C, \\ \end{align}$

(32)

其中，C为常数.

由(29)式得

$\begin{align} & \varphi \left( z \right)=\frac{1}{2}ln\left[ {{\left( K-\mu \right)}^{2}}\left( -2\mu -K \right)\cdot \right. \\ & \left. \frac{4}{3}\frac{|\Phi \left( z \right){{|}^{2}}}{{{\left| z \right|}^{2}}} \right], \\ \end{align}$

(33)

即

$\begin{align} & \varphi \left( z \right)=-ln\left| z \right|+ln\left| \mu -K \right|+ \\ & \frac{1}{2}ln\left( -2\mu -K \right)+\frac{1}{2}ln\frac{4}{3}+ln\Phi \left( z \right). \\ \end{align}$

(34)

再将(34)式代入cusp奇点条件得

$\underset{z\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{ln~\left| \mu -K \right|}{ln~\left| z \right|}=0,$

(35)

再对(32)式两边同除ln|z|，利用(35)式得到

$\underset{z\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{2\mu }}{\left( K-\mu \right)ln~\left| z \right|}={{\lambda }_{-1}},$

(36)

其中，λ_-1为ω在z=0(即cusp奇点)处的留数.

由于特征1-形式ω在cusp奇点处留数可正可负，所以Gauss曲率K有2种情况.但无论哪种情况都有下面的式子成立：

1) 当K<μ时，$\underset{z\to 0}{\mathop{\lim }}\,l\frac{n~\left( \mu -K \right)}{-ln~(-ln~\left| z \right|)}=1$；

2) 当μ<K<-2μ时，$\underset{z\to 0}{\mathop{\lim }}\,l\frac{n~\left( K-\mu \right)}{-ln~(-ln~\left| z \right|)}=1$.

我们证明第1种情况，第2种情况类似.

当K<μ时,由(36)式得

$\underset{z\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( K-\mu \right)\cdot \ln ~\left| z \right|=\frac{1}{2\mu {{\lambda }_{-1}}}$

(37)

由极限定义∀ε>0充分小,∃δ>0,使得当0<|z|<δ时，有|(K-μ)·ln|z|-$\frac{1}{2\mu {{\lambda }_{-1}}}$|<ε所以

$\begin{align} & \left( \frac{1}{2\mu {{\lambda }_{-1}}}-\varepsilon \right)\cdot {{(-ln\left| z \right|)}^{-1}}<\mu -K< \\ & \left( \frac{1}{2\mu {{\lambda }_{-1}}}+\varepsilon \right)\cdot {{(-ln\left| z \right|)}^{-1}}. \\ \end{align}$

(38)

由ln的单调性，对(38)式两边同取ln有

$\begin{align} & ln\left( \frac{1}{2\mu {{\lambda }_{-1}}}-\varepsilon \right)-ln(-ln\left| z \right|)<ln\left( \mu -K \right) \\ & <ln\left( \frac{1}{2\mu {{\lambda }_{-1}}}+\varepsilon \right)-ln(-ln\left| z \right|). \\ \end{align}$

(39)

对(39)式两边同除-ln(-ln|z|)有

$\begin{align} & \frac{ln~\left( \frac{1}{2\mu {{\lambda }_{-1}}}-\varepsilon \right)}{-ln~(-ln~\left| z \right|)}+1>\frac{ln~\left( \mu -K \right)}{-ln~(-ln~\left| z \right|)}> \\ & \frac{ln~(\varepsilon +\frac{1}{2\mu {{\lambda }_{-1}}})}{-ln~(-ln~\left| z \right|)}+1. \\ \end{align}$

(40)

由(40)式得到

$\underset{z\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{ln~\left( \mu -K \right)}{-\ln \left( -ln~\left| z \right| \right)}=1.$

(41)

所以由(34)式、(41)式共形参数φ(z)在cusp奇点附近一定可以写成

$\begin{align} & \varphi \left( z \right)=-ln\left| z \right|-ln(-ln\left| z \right|)+ \\ & ln[\left( \mu -K \right)(-ln\left| z \right|)]+ \\ & \frac{1}{2}ln\left( -2\mu -K \right)+\frac{1}{2}ln\frac{4}{3}+ln\Phi \left( z \right). \\ \end{align}$

(42)

再由(37)式知道(42)式的余项o(ln(-ln|z|))，在z=0处连续0以外光滑.

所以(42)式经整理得到

$\varphi \left( z \right)=-ln\left| z \right|-ln(-ln\left| z \right|)+ln{{h}_{1}}\left( z \right),$

(43)

其中，h₁(z)为在z=0处连续，在z=0以外光滑的正函数.

同理可以求出当μ<K<-2μ时,φ(z)在cusp奇点的局部表达式为

$\varphi \left( z \right)=-ln\left| z \right|-ln\left( -ln|z| \right)+ln{{h}_{2}}\left( z \right),$

(44)

其中，h₂(z)为在z=0处连续，在z=0以外光滑的正函数.

所以综上得到如果g为HCMU度量，共形参数在cusp奇点附近一定可以写成

$\varphi \left( z \right)=-ln\left| z \right|-ln(-ln\left| z \right|)+lnh\left( z \right)$

(45)

其中，h(z)为在z=0处连续，在z=0以外光滑的正函数.

推论3.1  令M为紧致无边的Riemann面，记P:={p₁,p₂,…,p_n}，g=e^2φ|dz|²为M\P 上的extremal Hermitian度量，其中P为M的cusp奇点,且g在M\P上保持面积和Calabi能量都有限，则共形参数在cusp 奇点附近一定可以写成

$\varphi \left( z \right)=-ln\left| z \right|-ln(-ln\left| z \right|)+lnh\left( z \right)$

(46)

其中，h(z)为在z=0处连续，在z=0以外光滑的正函数.

证明  由文献^[4](定理A)我们知道：如果M为紧致无边，g是M\{p₁,p₂,…,p_n}上的extremal Hermitian度量，其中p₁,p₂,…,p_n 为g的cusp奇点，并且满足面积和Calabi能量都有限，则共形度量g一定为HCMU 度量，进而由上面的定理1.3得到结果.

4 后续的讨论

对于一般Riemann面上的extremal Hermitian度量，其在cusp奇点附近面积和Calabi能量都有限，我们推测共形参数φ在cusp奇点附近也可以表示为

$φ(z)=-ln|z|-ln(-ln|z|)+lnh(z)$

其中，h(z)为在z=0处连续，在z=0以外光滑的正函数.

因为无论从定理1.3还是最后的推论3.1，都有迹象表明应该会有这样的形式，因此我们会在后续研究中予以讨论.