设G是有限群，有限集合X连同G在X上的作用称为有限G－集.所有有限G－集范畴的K₀群实际上是一个环，称为G的Burnside环，记为Ω(G).Ω(G)的代数描述如下.

有限G－集X,Y的不相交并及其G－作用定义为

$\begin{align} & X\overset{d}{\mathop{\cup }}\,Y=\left( X\times \left\{ 1 \right\} \right)\cup \left( Y\times \left\{ 2 \right\} \right), \\ & g\cdot \left( x,1 \right)=\left( g\cdot x,1 \right),g\cdot \left( y,2 \right)=\left( g\cdot y,2 \right) \\ \end{align}$

所有有限G－集的同构类的集合在不相交并的运算下构成幺半群M.对G的任一子群H，H在G中的左陪集集合G/H=gHg∈G是一个G－集.G在G/H上的作用自然地定义为左乘作用：

G×G/H→G/H，(g₁,g₂H)→g₁g₂H.

众所周知，G/H在这样定义的作用下是可迁的，任一可迁G－集均同构于某一形如G/H的G－集，且G/H与G/H′同构当且仅当H与H′在G中共轭.记a_H=[G/H]为有限G－集G/H的同构类.若G的子群的共轭类恰有c个，由于每个G－集可以唯一地分解为可迁G－集的不相交并，因此M可看作以a_H,H≤G,为基底的自由交换幺半群$\mathbb{N}$^c.M的群完备Ω(G)是以a_H为基的自由交换群$\mathbb{Z}$^c，称为G的Burnside环^[1]，其基元a_H与a_K的乘积由G－集G/H×G/K表示成不相交G－集之并来给出，但没有简单的乘积表达公式.然而，如果G是有限交换群，关于a_H的乘法由以下易知的引理给出.

引理1 令G是有限交换群，H,K均为G的子群，则有a_H×a_K=G/HKa_H∩K.

对G的每个子群H，从G的Burnside环Ω(G)到整数环$\mathbb{Z}$有典范的环同态φ_H:Ω(G)→$\mathbb{Z}$，它把每个有限G－集X的同构类[X]映射为集合

X^H={x∈Xh·x=x,∀x∈X}

的基数.特别地，对交换群G及G的任一子群K，有

$\eqalign{ & {\left( {G/K} \right)^H} = \left\{ {gK \in G/K\left| {h \cdot gK = gK,\forall h \in H} \right.} \right\} \cr & = \left\{ \matrix{ \emptyset ,H\not \subset K; \hfill \cr G/K,H \subseteq K. \hfill \cr} \right. \cr} $

同态φ_H反映了Ω(G)的许多本质性质，例如$\oplus {{\varphi }_{H}}:\Omega \left( G \right)\to \underset{H\le G}{\mathop{\oplus }}\,\mathbb{Z}$是单同态等.对φ_H的研究可以增进人们对Ω(G)的了解.Ω(G)的增广理想I_H定义为典范同态φ_H的核，即I_H=kerφ_H.于是

${{I}_{H}}=\underset{H\not\subset K}{\mathop{\Sigma }}\,\mathbb{Z}{{a}_{K}}+\underset{K\ne G}{\mathop{\underset{H\not\subset K}{\mathop{\Sigma }}\,}}\,\mathbb{Z}\left( {{a}_{K}}-\left| G/K \right| \right)$

记I_Hⁿ为I_H的n次幂，则有理想的降链：

$\Omega \left( G \right)\supseteq {{I}_{H}}\supseteq I_{H}^{2}\supseteq \cdot \cdot \cdot \supseteq I_{H}^{n}\supseteq \cdot \cdot \cdot .$

通常把连续商群I_Hⁿ/I_Hⁿ⁺¹记作Q_n^H(G).

我们之所以关注Q_n^H(G)，是希望通过对Q_n^H(G)的研究来加深对Burnside环Ω(G)的了解.举2个经典范例来说明这种研究途径.对一个域F，它的Witt环W(F)有基本理想I，这是W(F)到$\mathbb{Z}$/2$\mathbb{Z}$的同态核，而著名的Milnor猜想的实质就是搞清楚连续商群Iⁿ/Iⁿ⁺¹的构造.对整群环$\mathbb{Z}$，其增广理想I为同态

$\mathbb{Z}G\to \mathbb{Z},\sum{{{a}_{g}}}g\mapsto \sum{{{a}_{g}}}$

的核，它的n次幂与n+1次幂的商记为Q_n($\mathbb{Z}$G).人们对Q_n($\mathbb{Z}$G)的结构进行了大量研究并获得了许多重要的结果.例如，在文献^[2]中，Passi确定当n充分大且G是基本p－群时Q_n($\mathbb{Z}$G)的结构.受此启发，Karpilovsky^[3]公开提出确定商群Q_n($\mathbb{Z}$G)的结构问题.Hales^[4]确定当n充分大时Q_n($\mathbb{Z}$G)的结构.Tang^[5]解决了当G是基本交换群时Q_n($\mathbb{Z}$G)的结构问题.然而对任意的n及任意的有限交换群G，Q_n($\mathbb{Z}$G)的确切构造已由Chang和Tang^[6]给出.由于Q_n^H(G)同构于Tor₁^Ω(G)(Ω(G)/I_Hⁿ,Ω(G)/I_H)^[7]，则关于Q_n^H(G)的结果也就给出了Tor₁^Ω(G)(Ω(G)/I_Hⁿ,Ω(G)/I_H)的结果.

引理2 Q_n^H(G)是指数为|G|的有限交换群.

证明 对I_H中元a_K，由于a_K²=|G/K|a_K，故a_K在Q_n^H(G)中的像的周期整除|G/K|.

若a_K－|G/K|∈I_H，则由

(a_K－|G/K|)²=－|G/K|(a_K－|G/K|)

知a_K－|G/K|在Q_n^H(G)中的像的周期也整除|G/K|，故Q_n^H(G)是周期交换群.又因为I_Hⁿ是有限生成交换群，从而Q_n^H(G)是有限交换群，其指数为|G|. □

下面的2个问题是有趣且重要的：

1) 由引理2及正合列0→I_Hⁿ⁺¹→I_Hⁿ→Q_n^H(G)→0知I_Hⁿ是秩为c－1的自由交换群，它的基底是什么？

2) 确定有限交换群Q_n^H(G)的结构.

然而，对一般的有限群，上述2个问题是比较复杂的.我们仅考虑有限交换群的情形.

定义1 设G是有限交换群，H是G的极大子群，K是G的子群.若G/K可分解为2个群的直积，即$G/K\cong G/{{K}_{1}}\times G/{{K}_{2}}$，且G/K₁及G/K₂与G/H作为G－集是不同构的，则称K是H限制下可分解的.否则称K是H限制下不可分解的.

令G是由a生成的n阶循环群，n=p₁^α₁p₂^α₂…p_s^α_s，α_i≥0，p_i是两两互不相同的素数，i=1,2,…,s.取H为G的极大子群.显然，H也是循环群，其阶不妨设为p₁^α₁－1p₂^α₂…p_s^α_s，即H是由a^p₁生成的.对G的任一异于H的子群K，有φ_H(a_K)=0，而φ_H(a_H)=p₁，φ_H(a_G)=1.

定理1 设G是n阶循环群，n=p₁^α₁p₂^α₂…p_s^α_s，α_i∈$\mathbb{Z}$，p_i是两两互不相同的素数，i=1,2,…,s.H是G的阶为p₁^α₁－1p₂^α₂…p_s^α_s的极大子群.则Ω(G)的n次增广理想I_Hⁿ可表示为如下形式

$\begin{align} & I_{H}^{n}=\sum\limits_{i=2}^{s}{\mathbb{Z}a_{pi}^{n}}+\sum\limits_{j=2}^{s}{\sum\limits_{i=2}^{aj}{\mathbb{Z}}a_{pi}^{n-1}}a_{p_{1}^{i}}^{n} \\ & +\mathbb{Z}{{\left( {{a}_{H}}-{{p}_{1}} \right)}^{n}}+I_{H}^{n+1} \\ \end{align}$

证明 由H的极大性及增广理想的定义可知，

$\begin{align} & {{I}_{H}}=\underset{K\ne H}{\mathop{\Sigma }}\,\mathbb{Z}{{a}_{K}}+\mathbb{Z}\left( {{a}_{H}}-{{p}_{1}} \right) \\ & =\underset{K\not\subset H}{\mathop{\Sigma }}\,\mathbb{Z}{{a}_{K}}+\underset{K\subseteq H}{\mathop{\Sigma }}\,\mathbb{Z}{{a}_{K}}+\mathbb{Z}\left( {{a}_{H}}-{{p}_{1}} \right), \\ \end{align}$

令 ${{I}_{1}}=\underset{K\not{\subset }H}{\mathop{\Sigma }}\,\mathbb{Z}{{a}_{K}},{{I}_{2}}=\underset{K\subseteq H}{\mathop{\Sigma }}\,\mathbb{Z}{{a}_{K}}$则

I_H=I₁+I₂+begin{document} $\mathbb{Z}$ end{document}(a_H－p₁).

进而有

I_H²=I₁²+I₁I₂+I₁(a_H－p₁)+I₂²+

I₂(a_H－p₁)+begin{document} $mathbb{Z}$ end{document}(a_H－p₁)².

任取a_K∈I₂，由K⊂H且K≠H，有

a_K(a_H－p₁)=|G/HK|a_H∩K－p₁a_K

=|G/H|a_K－p₁a_K=0，

亦即

${{I}_{2}}\left( {{a}_{H}}-{{p}_{1}} \right)=0$

(1)

任取a_K∈I₁，由于$K\not{\subseteq }H$，则K必包含G的Sylow p₁－子群，故

$\left( \left| \frac{G}{K} \right|,{{P}_{1}} \right)=1$

存在u,v∈$\mathbb{Z}$，使得up₁+v|G/K|=1进而有

a_K(a_H－p₁)=up₁a_K(a_H－p₁)+

v|G/K|a_K(a_H－p₁).

由引理1有，－p₁(a_H－p₁)=(a_H－p₁)_K²，|G/K|a_K=a².因此，

a_K(a_H－p₁)=－ua_K(a_H－p₁)²+

va_K²(a_H－p₁)∈I_H³.

再由归纳法可得

${{I}_{1}}\left( {{a}_{H}}-{{p}_{1}} \right)\subseteq I_{H}^{n}$

(2)

任取a_K∈I₁，a_K′∈I₂，因为K′⊆H且K≠H，由定义1可知a_K′可分解为a_H1a_K′1a_K′2…a_K′m，其中|G/H|₁=p₁^l.考虑a_Ka_H1，由于$K\not{\subseteq }H$，所以(|G/K|,p₁)=1，从而(|G/K|,p₁^l)=1.存在α,β∈$\mathbb{Z}$，使1=α|G/K|+βp₁^l.则有

a_Ka_H1=α|G/K|a_Ka_H1+βp₁^la_Ka_H1

=αa_K²a_H1+βa_Ka_H1².

若H₁≠H，则a_Ka_H1∈I_H³.由归纳法可知a_Ka_H1∈I_Hⁿ.若H₁=H，则

a_K′=a_Ha_K′1…a_K′m,m≥1,

进而

$\begin{align} & {{a}_{K}}{{a}_{K'}}={{a}_{K}}{{a}_{K{{'}_{1}}}}\cdot \cdot \cdot {{a}_{K{{'}_{m}}}}\left( {{a}_{H}}-{{p}_{1}} \right)+ \\ & {{p}_{1}}{{a}_{K}}{{a}_{K{{'}_{1}}}}\cdot \cdot \cdot {{a}_{K{{'}_{m}}}}\in {{I}_{1}}\left( {{a}_{H}}-{{p}_{1}} \right)+I_{1}^{n} \\ \end{align}$

(3)

由关系(1)—(3)可知，

I_H²=I₁²+I₂²+$\mathbb{Z}$(a_H－p₁)_H²+Iⁿ.

由于在Ω(G)中，a_K不能分解当且仅当|G/K|是素数幂阶循环群.因此I₂²中只余那些阶为p₁ⁱ,i=2,…,α₁,的子群所对应的元.而对I₁中的元a_K，由于$K\not{\subseteq }H$，可设K=p₁^α₁p₂^β₂…p_s^β_s，其中β_i≤α_i,i=2,…,s.则有

$\begin{align} & G/K=G/p_{2}^{{{\alpha }_{2}}-{{\beta }_{2}}}\times \cdot \cdot \cdot \times G/p_{s}^{{{\alpha }_{s}}-{{\beta }_{s}}} \\ & \triangleq G/{{K}_{2}}\times \cdot \cdot \cdot \times G/{{K}_{s}} \\ \end{align}$

即a_K=a_K2…a_Ks.由引理1可知，若|K′_i|=p_i^β′_i，|K″_i|=p_i^β″_i，则

a_K′i·a_K″i=p_i^{min{β′_i,β″_i}}a_{K′i∩K″i}，i=2,…,s.

即同底数的素数幂阶循环群作乘积时只会留下幂次最小的，亦即阶为p_i,i=2,…,s的子群的共轭类a_pi,i=2,…,s.所以有

$\begin{align} & I_{H}^{2}=\sum\limits_{i=2}^{s}{\mathbb{Z}a_{pi}^{2}}+\sum\limits_{j=2}^{s}{\sum\limits_{i=2}^{aj}{\mathbb{Z}}{{a}_{pj}}}{{a}_{p_{j}^{i}}}+\sum\limits_{i=2}^{{{a}_{1}}}{\mathbb{Z}}a_{p_{1}^{i}}^{2}+ \\ & \mathbb{Z}{{\left( {{a}_{H}}-{{p}_{1}} \right)}^{2}}+I_{H}^{3} \\ \end{align}$

再由数学归纳法可得

$\begin{align} & I_{H}^{n}=\sum\limits_{i=2}^{s}{\mathbb{Z}a_{pi}^{n}}+\sum\limits_{j=2}^{s}{\sum\limits_{i=2}^{aj}{\mathbb{Z}}a_{pj}^{n-1}}{{a}_{p_{j}^{i}}}+\sum\limits_{i=2}^{{{a}_{1}}}{\mathbb{Z}}a_{p_{1}^{i}}^{n}+ \\ & \mathbb{Z}{{\left( {{a}_{H}}-{{p}_{1}} \right)}^{n}}+I_{H}^{n+1} \square \\ \end{align}$

引理3 设G=G₁×G₂是有限交换群，并且(|G₁|,|G₂|)=1，H是G的子群，则分别存在G₁的子群H₁和G₂的子群H₂，使得H=H₁×H₂.

证明 令H₁=H∩G₁，H₂=H∩G₂，则有

H₁H₂=H₁×H₂.

对任意h∈H，设h=g₁g₂，g_i∈G_i，i=1,2，o(g₁)=s，o(g₂)=t.由于(|G₁|,|G₂|)=1，则(s,t)=1，进而存在u,v∈$\mathbb{Z}$，使得us+vt=1.在G/H中，因为g₁g₂H=H，即g₁H=g₂^－1H，因此

H=(g₁H)₂^s=(g^－1H)₂^s=g^－sH，

故g₂^－s∈H.又因为g₂=g₂^us+vt=g₂^us∈H，从而g₂∈H∩G₂.同理有g₁∈H∩G₁.于是H=H₁H₂=H₁×H₂. □

命题1 设G=G₁×G₂是有限交换群，并且

(|G₁|,|G₂|)=1，H=H₁×H₂，

H_i≤G_i，i=1，2，是G的子群，则有

Q_n^H(G)=Q_n^H₁(G₁)×Q_n^H₂(G₂).

证明 因为I_H由a_K，$K\not{\subseteq }H$，及a_K－|G/K|，H⊆K，K≠G，生成，对I_H中元a_K，begin{document} $K\not{\subseteq }H$ end{document}，由引理3有分解K=K₁×K₂，则K₁≠G₁或K₂≠G₂.故由引理1可得I_H中的关系式

a_K=a_G1×K2a_K1×G2，

或

a_K=(a_G1×K2－|G/(G₁×K₂)|)a_K1×G2+

|G/(G₁×K₂)|a_K1×G2，

或

a_K=a_G1×K2(a_K1×G2－|G/(K₁×G₂)|)+

|G/(K₁×G₂)|a_G1×K2.

若H⊆K且K≠G，由于

(a_K－G/K)=(a_G1×K2－|G/(G₁×K₂)|)×

(a_K1×G2－|G/(K₁×G₂)|)+

|G/(K₁×G₂)|(a_G1×K2－

|G/(G₁×K₂)|)+

|G/(G₁×K₂)|(a_K1×G2－

|G/(K₁×G₂)|)，

故I_H中生成元在Q₁^H中的像均可表示成Q₁^H₁与Q₁^H₂中元之和，从而Q_n^H中元可表示为Q_n^H₁与Q_n^H₂中元之和. □

由命题1可知，可以将讨论有限交换群的增广商群的结构问题转化为讨论有限交换p－群的增广商群的结构问题.

定理2 设G是有限循环p－群，|G|=p^s，H是G的极大子群，则有

$Q_{n}^{H}\left( G \right)\cong {{\left( {{\mathbb{Z}}_{{{P}^{2}}}} \right)}^{s-1}}\oplus {{\mathbb{Z}}_{p}}$

证明 由于G是有限循环p－群，|G|=p^s，H是G的极大子群，因此G共有s－1个异于H的真子群H_i，H_i=pⁱ，0≤i≤s－2.由增广理想的定义可知

${{I}_{H}}=\sum\limits_{i=0}^{s-2}{\mathbb{Z}{{a}_{{{H}_{i}}}}}+\mathbb{Z}\left( {{a}_{H}}-{{p}_{1}} \right)$

令${{I}_{1}}=\sum\limits_{i=0}^{s-2}{\mathbb{Z}{{a}_{{{H}_{i}}}}}$则

I_H²=I₁²+I₁(a_H－p)+begin{document} $mathbb{Z}$ end{document}(a_H－p)².

任取a_Hi∈I₁，由引理1及H的极大性，有

a_Hi(a_H－p)=|G/H_iH|a_Hi∩H－pa_Hi

=pa_Hi－pa_Hi=0.

亦即₁(a_H－p)=0.

任取a_Hi,a_Hj∈I₁，由于

${{a}_{{{H}_{i}}}}{{a}_{{{H}_{j}}}}=\left| G/{{H}_{i}}{{H}_{j}} \right|{{a}_{{{H}_{i}}\cap {{H}_{j}}}}=\left\{ \begin{align} & \left| G/{{H}_{i}} \right|{{a}_{{{H}_{i}}}},i=j; \\ & \left| G/{{H}_{j}} \right|{{a}_{{{H}_{i}},}}i<j; \\ & \left| G/{{H}_{i}} \right|{{a}_{{{H}_{j}},}}italic>j. \\ \end{align} \right.$

所以

$\begin{align} & I_{1}^{2}=\sum\limits_{i=0}^{s-2}{\sum\limits_{j=0}^{s-2}{\mathbb{Z}{{a}_{{{H}_{i}}}}{{a}_{{{H}_{j}}}}}}=\sum\limits_{i=0}^{s-2}{\sum\limits_{j=0}^{s-2}{\mathbb{Z}\left| G/{{H}_{j}} \right|}}{{a}_{{{H}_{i}}}} \\ & =\sum\limits_{i=0}^{s-2}{\mathbb{Z}}\left| G/{{H}_{s-2}} \right|{{a}_{{{H}_{i}}}}=\sum\limits_{i=0}^{s-2}{\mathbb{Z}{{a}_{{{H}_{i}}}}{{a}_{{{H}_{s-2}}}}} \\ \end{align}$

进而，

$I_{H}^{2}=\sum\limits_{i=0}^{s-2}{\mathbb{Z}{{a}_{{{H}_{i}}}}{{a}_{{{H}_{s-2}}}}}+\mathbb{Z}{{\left( {{a}_{H}}-p \right)}^{2}}$

再由数学归纳法可知

$I_{H}^{n}=\sum\limits_{i=0}^{s-2}{\mathbb{Z}{{a}_{{{H}_{i}}}}a_{{{H}_{s-2}}}^{n-1}}+\mathbb{Z}{{\left( {{a}_{H}}-p \right)}^{n}}$

由于a_Hia_Hs－2^n－1=p²a_Hia_Hs－2^n－2及(a_H－p)_H=－p(a_H－p)^n－1，这亦给出了I_Hⁿ的一组基底元a_Hia_Hs－2^n－1及(a_H－p)ⁿ.从而有

$Q_{H}^{n}\left( G \right)=I_{H}^{n}/I_{H}^{n+1}\cong {{\left( {{\mathbb{Z}}_{{{p}^{2}}}} \right)}^{s-1}}\oplus {{\mathbb{Z}}_{p}} \square $