本文主要研究紧黎曼面上的HCMU度量问题.

1 背景和主要定理

一般意义上的extremal Kähler度量最早由Calabi在文献^[1]中提出，目的是在一个紧Kähler流形的固定Kähler类 中找到最好的度量.具体地，设M为一个紧Kähler流形，在一个固定的Kähler类中，extremal Kähler度量 是下述Calabi能量的临界点

$C\left( g \right)={{\int }_{M}}{{R}^{2}}dg,$

这里R是Kähler类中度量g的数量曲率,C(g)的欧拉-拉格朗日方程是

${{R}_{,\alpha \beta }}=0,1\le \alpha ,\beta \le di{{m}_{c}}M,$

(1)

这里R_,αβ是R的2阶(0,2)型协变导数.因此我们称在一个紧Kähler流形M上满足(1) 的度量为extremal Kähler度量.

当M是紧黎曼面时，Calabi在文献^[1]中证明extremal Kähler度量就是常曲率(CSC)度量.自然地问题是如果在 紧黎曼面上extremal Kähler度量有奇点，是不是仍是常曲率度量.答案是否定的.在紧黎曼面上带奇点的extremal Kähler 度量 通常被称为HCMU(the Hessian of the curvature of the metric is umbilical)度量.文献^[2]给出了只带cusp奇点的HCMU度量的 分类，其中在球面上确实存在非常曲率的HCMU度量.下文中我们简称非常曲率的HCMU度量为non-CSC HCMU度量.之后，文献^[3]研究带锥奇点的non-CSC HCMU度量，研究了它的构造，并给出了一个这种HCMU度量存在的障碍性定理. 文献^[4]给出带锥奇点的non-CSC HCMU度量的局部结构，证明了任何一个带锥奇点的non-CSC HCMU度量都是由一些 结构最简单的带锥奇点的non-CSC HCMU度量粘起来的，这种结构最简单的带锥奇点的non-CSC HCMU度量称为football.文献^[4]还给出了任意两个 football能粘在一起的充要条件.接下来,文献^[5]用复分析的方法给出了带锥奇点的non-CSC HCMU度量，得到了 任何一个带锥奇点的non-CSC HCMU度量都与一个底流形上特殊的亚纯1-形式有关，这种亚纯1-形式被称为该HCMU度量的 特征1-形式.文献^[6]将文献^[5]中的结果推广到了既带锥奇点又带cusp奇点的non-CSC HCMU度量上.

本文将利用上述结果研究两方面问题.第一是带锥奇点的non-CSC HCMU度量的存在性问题，第二是关于non-CSC HCMU度量 的能量积分问题.

第一个问题的结果如下：

定理1.1 令p₁,p₂,p₃为S²上任意3个点，α₁,α₂,α₃为正实数且都不为1.则在S²上存在以p₁,p₂,p₃为 锥奇点并且锥角度分别为2πα₁,2πα₂,2πα₃的non-CSC HCMU度量的充要条件为α₁,α₂,α₃ 中至少有一个整数.

第二个问题的结果如下：

定理1.2 设M为紧黎曼面，p₁,p₂,…,p_N为M上N个点，g为M上non-CSC HCMU度量，并且以p₁,p₂,…,p_N 为奇点. 又设K为g 的高斯曲率，{q₁,q₂,…,q_S}⊂M\{p₁,p₂,…,p_N}为K的光滑极值点集，ω为g的特征1-形式. 记M′=M\{p₁,p₂,…,p_N,q₁,q₂,…,q_S}，令

${{C}_{n}}\left( g \right)={{\int }_{M}}_{\prime }{{K}^{n}}dg,n=0,1,2,\ldots ,$

称为g的第n个能量积分.则

${{C}_{n}}\left( g \right)=\frac{6{{\alpha }_{max~}}({{K}^{n+1}}_{1}-{{K}^{n+1}}_{2})}{\left( n+1 \right)({{K}_{1}}-{{K}_{2}})({{K}_{2}}+2{{K}_{1}})},$

这里α_max表示K的最大值点处的锥角度之和，K₁和K₂分别表示K的最大和最小值.

注：在定理1.2中，g可以是只带锥奇点的non-CSC HCMU度量，也可以是既带锥奇点又带cusp奇点的non-CSC HCMU度量. 事实上，文献^[4]已经计算出了一个football的面积，再利用文献^[4]中得到的任意 两个football能粘在一起的充要条件(见下文定理2.3)，可以得到任何一个带锥奇点的non-CSC HCMU度量的面积.文献^[5]定义了带锥奇点的non-CSC HCMU 度量的特征1-形式，并且说明利用特征1-形式也能计算出带锥奇点的non-CSC HCMU度量的面积和Calabi能 量，但是没有给出具体的公式.文献^[6]将文献^[5]的结果推广到了带锥奇点和cusp奇点的non-CSC HCMU度量上，也定义了相应的特征1-形式.定理1.2利用non-CSC HCMU度量的特征1-形式给出了只带锥奇点以及既带锥奇点又带cusp奇点的non-CSC HCMU 度量的第n个能量积分公式，自然也包括了面积和Calabi能量的表达式.

2 预备知识 2.1 HCMU度量，锥奇点和cusp奇点

设M为紧黎曼面，p₁,p₂,…,p_N为M上N个点.又设g是 M\{p₁,p₂,…,p_N}上的光滑保角度量，如果g满足

${{\Delta }_{g}}K+{{K}^{2}}=C,$

(2)

这里K为g的高斯曲率，C为实常数，称g为M上extremal Hermitian度量.(2)等价于在局部复坐标系下有

$\frac{\partial {{K}_{,zz}}}{\partial \bar{z}}=0,$

(3)

见文献^[3].如果g满足在局部复坐标系下

${{K}_{,zz}}=0,$

(4)

称g为HCMU度量.明显HCMU度量一定是extremal Hermitian度量，并且HCMU度量就是extremal Kähler度量在M\{p₁,p₂,…,p_N}上的直接推广.在下文中，我们一直假设extremal Hermitian度量和HCMU度量有有限的 面积和有限的Calabi能量，即

${{\int }_{M\backslash \{p}}_{1}{{,}_{{{p}_{2}},\ldots ,{{p}_{N}}\}}}dg＜+\infty ,{{\int }_{M\backslash \{p}}_{1}{{,}_{{{p}_{2}},\ldots ,{{p}_{N}}\}}}{{K}^{2}}dg＜+\infty .$

(5)

下面介绍锥奇点和cusp奇点:

定义2.1 设X为黎曼面，p∈X.又设(U,z)为p附近的局部复坐标系且z(p)=0，g为U\{p}上光滑度量.如果g=e^2φ|dz|²，并且φ-(α-1)ln|z|(α ＞0)在p处连续，称p为g的锥奇点并且g在p处有锥角度2πα.

定义2.2 设X为黎曼面，p∈X.又设(U,z)为p附近的局部复坐标系且z(p)=0，g为U\{p}上的光滑度量.如果g=e^2φ|dz|²，并且$\underset{z\to 0}{\mathop{lim}}\,\frac{\varphi +ln~\left| z \right|}{ln~\left| z \right|}=0$称p为g的cusp奇点.

事实上，如果HCMU度量满足(5)，则它的奇点或者是锥奇点或者是cusp奇点，见文献^[6-8].

2.2 带锥奇点的non-CSCHCMU度量的基本性质，football分解与粘合

仍然假设M为紧黎曼面，p₁,p₂,…,p_N为M上N个点，g为 M\{p₁,p₂,…,p_N}上光滑保角度量.设(U,z)为M\{p₁,p₂,…,p_N}上的局部复 坐标系，则g在U上可写成

$g={{e}^{2\varphi }}|dz{{|}^{2}},$

于是高斯曲率K=-e^-2φΔφ，这里$\Delta =4\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial z\partial \bar{z}}$如果g为 M\{p₁,p₂,…,p_N}上的HCMU度量，即式(4)成立，这等价于

$\nabla K=\sqrt{-1}{{e}^{-2\varphi }}{{K}_{{\bar{z}}}}\frac{\partial }{\partial \bar{z}}$

为M\{p₁,p₂,…,p_N}上 的全纯向量场，这也等价于

$V=\frac{1}{2}\left( \sqrt{-1}{{e}^{-2\varphi }}{{K}_{{\bar{z}}}}\frac{\partial }{\partial z}-\sqrt{-1}{{e}^{-2\varphi }}{{K}_{z}}\frac{\partial }{\partial \bar{z}} \right)$

为M\{p₁,p₂,…,p_N}上的Killing 向量场.进一步，如果g是non-CSC HCMU度量，∇K和V都是非平凡的.

现在假设g为non-CSC HCMU度量，p₁,p₂,…,p_N为g的锥奇点，并且g在p₁,p₂,…,p_N处分别有锥角度2πα₁,2πα₂,…,2πα_N，这里α₁,α₂,…,α_N都为正实数并且都不为1，因为文献^[9]证明了如果HCMU度量在某点处的锥角度为2π，则度量在该点处光滑，即该点实际上不是度量的奇点.Chen^[3]通过研究V以及V的积分曲线得到如下重要结论：

命题2.1(文献^[3]) 高斯曲率K可以连续地延拓到整个M上.

命题2.2(文献^[3]) V的奇点数有限，并且V的奇点集一定是K的鞍点集和K的局部极值点集的并集，这里K的鞍点是指存在两条以上V的积分曲线在该点相交.

命题2.3(文献^[3]) K的鞍点必为g的锥奇点，并且K的鞍点锥角度为2πα形式，这里α为整数，进一步V在K的鞍点处的旋转指标为α-1.

命题2.4(文献^[3]) g的锥奇点除了K的鞍点外，都是K的局部极值点.K的光滑临界点都是局部极值点，即K的局部极值点分成2类：一类是g的除鞍点外的锥奇点，另一类是K的全部光滑临界点.V在K的任何一个局部极值点处的旋转指标都是1.

定理2.1(文献^[3]) 设{p₁,p₂,…,p_I}⊂{p₁,p₂,…,p_N}为K鞍点集，则M的欧拉示性数为

$\chi \left( M \right)=\sum\limits_{i=1}^{I}{({{\alpha }_{i}}-1)+\left( N-I \right)+S,}$

(6)

这里S表示K的光滑临界点个数.

注：定理2.1是将Poincaré-Hopf定理应用到V上并且结合命题2.2，2.3和2.4得到的.

由定理2.1，可以得到如果K没有鞍点，χ(M)=N+S ＞0，因此，M为球面，并且N+S=2，即K 只有2个局部极值点分别在K的 最大、最小值点处.这种HCMU度量实际上是旋转对称的，称为football，如图 1所示.

这里南北极分别是K的最小、最大值点，并且度量在两点处的锥角度分别为2πβ、2πα，α>β，纬线为V的积分曲线.具体地，g=du²+f(u)²dθ²(0≤u≤l,0≤θ≤2π),这里f(u)满足基本性质：f(0)=f(l)=0；f ′(0)=α,f′(l)=-β；f(u)>0,u∈(0,l).由于g为HCMU度量，f还要满足其他性质，关于football 的详细描述见文献^[4].为了方便，记这样的football为S_{α,β}².此外，文献^[3]还给出了利用football构造复杂一些non-CSC HCMU度量的方法，例如：取2个相同的football，${{S}^{2}}_{\left\{ \frac{1}{2},\frac{1}{3} \right\}}$，见图 2.分别从K的最小值点沿经线剪开相同的距离，然后将 经线P和P′，Q和Q′粘在一起，于是得到一个新non-CSC HCMU度量，这个HCMU度量 有锥角度2$2\pi \frac{1}{2},2\pi \frac{1}{2},4\pi ,2\pi \frac{2}{3}$，A(A′)是K的鞍点，锥角度为4π.

文献^[4]继续文献^[3]中的研究,得到了下面一些结果.

命题2.5(文献^[4]) 带锥奇点的non-CSC HCMU度量，任何K的局部极值点都是K的最大或最小值点.如果记K₁、K₂为K的最大最小值，则K₁ ＞0,K₁＞K₂＞-(K₁+K₂).

定理2.2(文献^[4]) 带锥奇点的non-CSC HCMU度量都可以沿着有限条从K的最大值点到K的最小值点的测地线(这些测地线与V垂直)将底流形剖分成有限多片，而每一片都与某个football等距.

定理2.3(文献^[4]) 两个football S_{α1,β1}²与S_{α2,β2}²能沿着经线或经线的一段粘起来的充要条件是：

$\frac{{{\alpha }_{1}}}{{{\beta }_{1}}}=\frac{{{\alpha }_{2}}}{{{\beta }_{2}}},\frac{{{\alpha }_{1}}}{{{\alpha }_{2}}}=\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}},$

这里A₁、A₂分别表示S_{α1,β1}²和S_{α2,β2}² 的面积.

2.3 特征1-形式与non-CSCHCMU度量 2.3.1 带锥奇点的non-CSC HCMU度量

文献^[5]用复分析的方法研究了带锥奇点的non-CSC HCMU度量.具体地，其定义了∇K的对偶1-形式，称为特征1-形式. 证明了特征1-形式为亚纯1-形式，研究了特征1-形式在奇点处的阶以及留数性质，并且利用特征1-形式构造出了non-CSC HCMU度量.

仍沿用之前的记号，令M是紧黎曼面，p₁,p₂,…,p_N为M上N个点，g为M 上的non-CSC HCMU度量，在p₁,p₂,…,p_N处有锥奇点并且有锥角度2πα₁,2πα₂,…,2πα_N.又设{p₁,p₂,…,p_I}{p₁,p₂,…,p_N} 为K的鞍点，{p_I+1,p_I+2,…,p_J}{p₁,p₂,…,p_N}为K的最大值点，{p_J+1,p_J+2,…,p_N}{p₁,p₂,…,p_N}为K 的最小值点. 再设 {q₁,q₂,…,q_S}M\{p₁,p₂,…,p_N} 为K的光滑极值点，其中q₁,q₂,…,q_T 为K的最大值点，q_T+1,q_T+2,…,q_S为K的最小值点.则∇K在 M\{p₁,p₂,…,p_N,q₁,q₂,…,q_S} 上处处非零，于是定义ω为∇K的对偶1-形式，具体地，令ω为M\{p₁,p₂,…,p_N,q₁,q₂,…,q_S}上的全纯1-形式且 ω(∇K)=-14 (这里-14是技术性常数)，称ω为g的特征1-形式.于是有下列结果：

定理2.4(文献^[5]) ω为M上亚纯1-形式.p₁,p₂,…,p_I为ω的零点并且ω在p_i,i=1,2,…,I处的阶为α_i-1.p_I+1,p_I+2,…,p_N,q₁,q₂,…,q_S都是ω的单极点.

定理2.5(文献^[5]) 1)在M\{p₁,p₂,…,p_N,q₁,q₂,…,q_S}上有，

$K=(-\frac{{{K}^{3}}}{3}+CK+C\prime )\omega ,$

(7)

这里C是(2)式中常数，C′是实常数.

2) 在M\\{p₁,p₂,…,p_N,q₁,q₂,…,q_S}上有

$g=4(-\frac{{{K}^{3}}}{3}+CK+C\prime )\omega \bar{\omega }.$

(8)

$3)-\frac{{{K}^{3}}}{3}+CK+C\prime =-\frac{1}{3}(K-{{K}_{1}})(K-{{K}_{2}})(K+{{K}_{1}}+{{K}_{2}}),$

(9)

这里K₁、K₂分别为K的最大最小值.

定理2.6(文献^[5]) 令α_max=α_I+1+α_I+2+…+α_J+T，α_min=α_J+1+α_J+2+…+α_N+S-T，$\lambda =-\frac{{{{\bar{\alpha }}}_{max~}}}{{{{\bar{\alpha }}}_{min~}}},\sigma =-\frac{3}{({{K}_{1}}-{{K}_{2}})({{K}_{2}}+2{{K}_{1}})}.$.则 λ ＜-1，${{K}_{2}}=-\frac{\lambda +2}{2\lambda +1}{{K}_{1}}.$.并且在p_j，j=I+1,I+2,…,J处，ω的留数为 σα_j；在p_k，k=J+1,J+2,…,N处，ω的留数为λσα_k；在q_t，t=1,2,…,T处，ω的留数为σ; 在q_τ，τ=T+1,T+2,…,S处，ω的留数为λσ.

注：由于文献^[9]证明了如果HCMU度量在某点处的锥角度为2π，则度量在该点处光滑.因此，可以把K的光滑极值点看成锥角度为2π的锥奇点.在这种观点下，${{a}_{max}}\triangleq 2\pi {{\tilde{a}}_{max}},{{a}_{\min }}\triangleq 2\pi {{\tilde{a}}_{\min }}$分别可以看成K的最大值点和最小值点的角度之和.同样在这种观点下，如果p为K的最大值点，ω 在p处的留数可以写成 σα，这里2πα为g在p处的锥角度，类似地，如果p为K的最小值点，ω在p处的留数为λσα，这里 2πα为g在p处的锥角度.

2.3.2 既带锥奇点又带cusp奇点的non-CSC HCMU度量

文献^[6]将文献^[5]的结果推广到了既带锥奇点又带cusp奇点的non-CSC HCMU度量上.具体地，令M为紧 黎曼面，p₁,p₂,…,p_N为M上N个点，设g为M上non-CSC HCMU 度量，p₁,p₂,…,p_L(0 ＜L≤N) 为g的cusp奇点，p_L+1,p_L+2,…,p_N为g的锥奇点并且分别有锥角度2πα_L+1,2πα_L+2,…,2πα_N.则有下列结论：

命题2.6(文献^[6]) 高斯曲率K为M上的连续函数.

命题2.7(文献^[6]) 存在实常数C′使得在M\{p₁,p₂,…,p_N}上，

$-4\sqrt{-1}\nabla K\left( K \right)=-\frac{{{K}^{3}}}{3}+CK+C\prime .$

命题 2.8(文献^[6]) K的光滑极值点数有限.

由命题2.8，设q₁,q₂,…,q_S 为K的所有光滑极值点.于是∇K为 M\{p₁,p₂,…,p_N,q₁,q₂,…,q_S} 上处处非零的全纯向量场.因此，可以像在2.3.1中那样定义∇K的对偶1-形式ω，ω(∇K)=$\frac{\sqrt{-1}}{4}$，称为g的特征1- 形式. 于是有：

定理 2.7(文献^[6]) ω为M上亚纯1-形式，在M\{p₁,p₂,…,p_N,q₁,q₂,…,q_S} 上有：

$1)\partial K=(-\frac{{{K}^{3}}}{3}+CK+C\prime )\omega ,$

$2)g=(-\frac{{{K}^{3}}}{3}+CK+C\prime )\omega \bar{\omega }.$

定理 2.8(文献^[6]) 存在μ ＜0，使得$\underset{p\to {{p}_{l}}}{\mathop{limp}}\,K\left( p \right)=\mu ,l=1,2,\ldots ,L,$并且

$-\frac{{{K}^{3}}}{3}+CK+C\prime =-\frac{1}{3}{{\left( K-\mu \right)}^{2}}\left( K+2\mu \right).$

进一步，在M\{p₁,p₂,…,p_N,q₁,q₂,…,q_S} 上，μ ＜K＜-2μ.

定理2.9(文献^[6]) g的cusp奇点都是ω的单极点，并且ω在该极点处有正留数.在K的光滑极值点q₁,q₂,…,q_S处，K的 取值都是-2μ，并且ω在每个K的光滑极值点处的留数都是$-\frac{1}{3{{\mu }^{2}}}$.

定理2.10(文献^[6]) 每个g的锥奇点或者是ω的零点或者是ω的单极点，不妨设p_L+1,p_L+2,…,p_L+I为ω的零点，p_L+I+1,p_L+I+2,…,p_N为ω的单极点.则α_i，i=L+1,L+2,…,L+I，为整数，ω在 p_i处的阶为α_i-1，K可以光滑延拓到p_i处，$\mu ＜\underset{p\to {{p}_{i}}}{\mathop{limp}}\,K\left( p \right)＜-2\mu $并且dK(p_i)=0，即 p_i为K的鞍点.在p_k，k=L+I+1,L+I+2,…,N，处，ω的留数为$-\frac{{{a}_{k}}}{3{{\mu }^{2}}}$并且$\underset{p\to {{p}_{i}}}{\mathop{limp}}\,K\left( p \right)=-2\mu .$

3 定理1.1的证明

在定理1.1的证明中，必要性的证明比较容易，充分性的证明主要是将文献^[3]中构造non-CSC HCMU度量的方法推广.

定理1.1的证明 (必要性)设S²上存在以p₁,p₂,p₃为锥奇点的non-CSC HCMU度量g，并且g在p₁,p₂,p₃处的锥角度分别为 2πα₁,2πα₂,2πα₃.如果α₁,α₂,α₃中没有整数，由命题2.3，K没有鞍点，又由定理2.1，g为 football.再由定理2.1，公式(6)成立，而公式(6)左边为2，右边为3+S≥3，矛盾.因此，α₁,α₂,α₃ 中必有整数.

(充分性)如果α₁,α₂,α₃中有整数，不妨设α₁为整数.则α₁-1≥1，并且α₁-1+α₂＞α₃或者 α₁-1+α₃＞α₂，不妨假设前者成立.令$\rho =\frac{{{\alpha }_{3}}}{{{\alpha }_{1}}-1+{{\alpha }_{2}}},$，则ρ ＜1.取α₁个football：S_{α2,ρα2}²，$\underbrace{{{S}^{2}}_{\{1,\rho \}},\ldots ,{{S}^{2}}_{\{1,\rho \}}}_{{{\alpha }_{1}}-1},$并且满足定理2.3条件，即

$\frac{{{S}^{2}}{{_{\{\alpha }}_{2}}{{,}_{\rho {{\alpha }_{2}}}}_{\}}的面积}{{{S}^{2}}_{\{1,\rho \}}的面积}={{\alpha }_{2}},$

于是由定理2.3，S_{α2,ρα2}²和 S_{1,ρ}² 能沿经线或经线的一段光滑粘起来.取S_{α2,ρα2}²和一个S_{1,ρ}²，如同上文中文献^[3] 中构造的那样，先将S_{α2,ρα2}²和S_{1,ρ}²从K的最小值点沿着经线剪开相同的长度，再将S_{α2,ρα2}²剪开后的经线与S_{1,ρ}²剪开后的经线相应地粘在一起，于是 得到一个新的non-CSC HCMU度量有锥角度2πα₂,4π,2π(ρα₂+ρ). 再取一个S_{1,ρ}²，也从K的最小值点沿着经线剪开与前面相同的长度，将 上一步中，粘在一起的两条经线中的一段再剪开，与新的S_{1,ρ}²中被剪开的经线再相应地粘在一起，于是又得到一个新的non-CSC HCMU度量，有锥角度2πα₂,6π,2π(ρα₂+2ρ).然后重复上述步骤，直到把所有S_{1,ρ}²用完，最终得到一个non-CSC HCMU度量，有锥角度2πα₂,2πα₁,2π[ρα₂+(α₁-1)ρ]，而由ρ的定义，ρα₂+(α₁-1)ρ=α₃.因此，最终得到一个non-CSC HCMU度量，有预先指定的锥角度，并且底流形是球面.将这个non-CSC HCMU度量记为g，底流形记为M，则存在f:S²→M为双全纯映射.于是拉回度量f^*g为S²上的non-CSC HCMU度量，设f^*g的奇点为q₁,q₂,q₃，则存在Mbius 变换σ:S²→S²使得σ(p₁)=q₁,σ(p₂)=q₂,σ(p₃)=q₃. 于是σ^*f^*g为S²上的non-CSC HCMU度量并且以p₁,p₂,p₃为锥奇点.由于σ和f都是双全纯变换，p₁,p₂,p₃处的锥角度分别为2πα₁,2πα₂,2πα₃.证毕.

4 定理1.2的证明

由于带锥奇点的non-CSC HCMU度量与既带锥奇点又带cusp奇点的non-CSC HCMU度量很相似，这里只计算带锥奇点的non-CSC HCMU度量的第n个能量积分.

定理1.2的证明 首先不妨设{p₁,p₂,…,p_I}⊂{p₁,p₂,…,p_N}为K的鞍点集.由定理2.5，在M′上，

$g=-\frac{4}{3}(K-{{K}_{1}})(K-{{K}_{2}})(K+{{K}_{1}}+{{K}_{2}})\omega \bar{\omega }$

以及

$dK=-\frac{1}{3}(K-{{K}_{1}})(K-{{K}_{2}})(K+{{K}_{1}}+{{K}_{2}})\left( \omega +\bar{\omega } \right).$

因此，在M′上

${{K}^{n}}dg=\frac{\sqrt{-1}}{2}{{K}^{n}}[-\frac{4}{3}(K-{{K}_{1}})(K-{{K}_{2}}),$

$(K+{{K}_{1}}+{{K}_{2}})]\omega \wedge \bar{\omega }.=\frac{\sqrt{-1}}{2}4{{K}^{n}}dK\wedge \bar{\omega }=\frac{\sqrt{-1}}{2}\frac{4}{n+1}d({{K}^{n+1}}\omega -).$

于是

${{C}_{n}}\left( g \right)={{\int }_{M}}\prime {{K}^{n}}dg=\frac{\sqrt{-1}}{2}n+1{{\int }_{M}}\prime d({{K}^{n+1}}\bar{\omega })=\frac{2\sqrt{-1}}{n+1}\underset{\in \to 0}{\mathop{lim}}\,{{\int }_{M\backslash (\cup }}{{^{N}}_{k=1}}{{_{{{D}_{\in }}({{p}_{k}})\cup {{\cup }^{S}}_{j=1}{{D}_{\in }}({{q}_{j}}))}}^{d({{K}^{n+1}}\omega -),}}$

这里D_∈(p_k)(D_(q_j))表示以p_k(q_j)为圆心半径为∈的坐标圆盘.由Stokes公式，

${{\int }_{M\backslash \in (\cup }}{{^{N}}_{k=1}}{{_{D({{p}_{k}})\cup {{\cup }^{S}}_{j=1}{{D}_{\in }}({{q}_{j}}))}}^{d({{K}^{n+1}}\omega -)}}=-\underset{k=1}{\overset{N}{\mathop{\sum }}}\,{{\int }_{\partial D}}{{_{\in }}_{({{p}_{k}})}}{{K}^{n+1}}\bar{\omega }-\underset{j=1}{\overset{S}{\mathop{\sum }}}\,{{\int }_{\partial D}}{{_{\in }}_{({{p}_{j}})}}{{K}^{n+1}}\bar{\omega }.$

由于p₁,p₂,…,p_I为ω的零点，

$\underset{\in \to 0}{\mathop{lim}}\,{{\int }_{\partial D}}{{_{\in }}_{({{p}_{i}})}}{{K}^{n+1}}\bar{\omega }=0,i=1,2,\ldots ,I,$

而

$\underset{\in \to 0}{\mathop{lim}}\,{{\int }_{\partial D}}{{_{\in }}_{({{p}_{l}})}}{{K}^{n+1}}\bar{\omega }=(-2\pi \sqrt{-1})Re{{s}_{p}}_{l}\left( \omega \right){{(K({{p}_{l}}))}^{n+1}},l=I+1,I+2,\ldots ,N,$

类似地，

$\underset{\in \to 0}{\mathop{lim}}\,{{\int }_{\partial D}}{{_{\in }}_{({{q}_{j}})}}{{K}^{n+1}}\bar{\omega }=(-2\pi \sqrt{-1})Re{{s}_{q}}_{j}\left( \omega \right){{(K({{q}_{j}}))}^{n+1}},j=1,2,\ldots ,S.$

由定理2.6，如果p_l，l=I+1,I+2,…,N，为K的最大值点，则

$K({{p}_{l}})={{K}_{1}},Re{{s}_{p}}_{l}\left( \omega \right)=-\frac{3{{\alpha }_{l}}}{({{K}_{1}}-{{K}_{2}})({{K}_{2}}+2{{K}_{1}})};$

如果p_l为K的最小值点，则

$K({{p}_{l}})={{K}_{2}},Re{{s}_{p}}_{l}\left( \omega \right)=\frac{{{{\tilde{\alpha }}}_{max}}}{{{{\tilde{\alpha }}}_{min}}}\frac{3{{\alpha }_{l}}}{({{K}_{1}}-{{K}_{2}})({{K}_{2}}+2{{K}_{1}})};$

如果q_j，j=1,2,…,S，为K的最大值点，则

$K({{q}_{j}})={{K}_{1}},Re{{s}_{q}}_{j}\left( \omega \right)=-\frac{3}{({{K}_{1}}-{{K}_{2}})({{K}_{2}}+2{{K}_{1}})};$

如果q_j为K的最小值点，则

$K({{q}_{j}})={{K}_{2}},Re{{s}_{q}}_{j}\left( \omega \right)=\frac{{{{\tilde{\alpha }}}_{max}}}{{{{\tilde{\alpha }}}_{min}}}\frac{3}{({{K}_{1}}-{{K}_{2}})({{K}_{2}}+2{{K}_{1}})}.$

因此，

$\begin{align} & \underset{\in \to 0}{\mathop{lim}}\,(-\underset{k=1}{\overset{N}{\mathop{\sum }}}\,{{\int }_{\partial D}}{{_{\in }}_{({{p}_{k}})}}{{K}^{n+1}}\bar{\omega }-\underset{j=1}{\overset{S}{\mathop{\sum }}}\,{{\int }_{\partial D}}{{_{\in }}_{({{p}_{j}})}}{{K}^{n+1}}\bar{\omega })= \\ & \frac{2\pi \sqrt{-}1\left( -3 \right){{K}^{n+1}}_{1}{{{\tilde{\alpha }}}_{max}}}{({{K}_{1}}-{{K}_{2}})({{K}_{2}}+2{{K}_{1}})}+\frac{2\pi \sqrt{-1}\text{ }3{{K}^{n+1}}_{2}}{({{K}_{1}}-{{K}_{2}})({{K}_{2}}+2{{K}_{1}})}\frac{{{{\tilde{\alpha }}}_{max}}}{{{{\tilde{\alpha }}}_{min}}}{{{\tilde{\alpha }}}_{min}} \\ & =\frac{3\sqrt{-1}({{K}^{n+1}}_{2}-{{K}^{n+1}}_{1}){{\alpha }_{max}}}{({{K}_{1}}-{{K}_{2}})({{K}_{2}}+2{{K}_{1}})}, \\ \end{align}$

这里α_max=2πα_max.因此，

${{C}_{n}}\left( g \right)=\frac{6{{\alpha }_{max~}}({{K}^{n+1}}_{1}-{{K}^{n+1}}_{2})}{\left( n+1 \right)({{K}_{1}}-{{K}_{2}})({{K}_{2}}+2{{K}_{1}})}.$

证毕.