现代几何中的一类基本问题是研究齐性曲面和齐性子流形，其中最为重要的情形是讨论复空间形式和复Grassman 流形中的齐性球面.

过去几十年以来，人们在研究复Grassman流形中的齐性二维球面这个问题上取得了一些很重要的成果.Bando 和Ohnita^[1]讨论 CPⁿ 中的齐性二维球面. Li等^[2]使用调和序列的方法给出 CPⁿ 中齐性二维曲面的分类.Fei等^[3]应用SU(2)的复表示,给出复Grassman流形中的齐性二维球面的分类.

然而，对于复Grassman流形中高维的齐性球面研究进展比较缓慢，能够找到的相关研究结论并不多.

本文中，我们考虑复Grassman流形中齐性三维球面的情形，并且将证明复Grassman流形中的齐性三维球面都可以归结为三维的ρ(SU(2))轨道.由此，对于复Grassman流形中齐性三维球面的分类可能并不困难，不过，限于研究水平和时间制约等一些因素，我们在这篇文章里只是描述了一个更为简单的问题：如何在复Grassman流形中具体地构造齐性三维球面？

需要指出的是，本文的思想是源自文献^[3]的启发，并且将引用其中的很多结论.注意到 SU(2)≌spin(3)和spin(4)≌SU(2)×SU(2), 这是本文写作的一个直接动机.

1 SU(2)的复表示

在这一节中，我们将采用与文献^[3]中相同的一些符号记法.下边先回顾SU(2)不可约表示的一些基本性质.

SU(2) 定义为

$SU\left( 2 \right) = \left\{ {g = \left( \begin{gathered} a - \bar b \hfill \\ b\bar a \hfill \\ \end{gathered} \right):a,b \in C,{{\left| a \right|}^2} + {{\left| b \right|}^2} = 1} \right\}.$

它的李代数 su(2) 为

$su\left( 2 \right) = \left\{ X \right. = \left( \begin{gathered} \sqrt { - 1{x_1}} - {x_2} \hfill \\ {x_2} - \sqrt { - 1{x_1}} \hfill \\ \end{gathered} \right):{x_1} \in R,{x_2} \in C\} .$

李代数的一组自然基底由 H_1x,H_2x,H_3x 给出，其中

${H_{1x}} = \left( \begin{gathered} \sqrt { - 1} 0 \hfill \\ 0 - \sqrt { - 1} \hfill \\ \end{gathered} \right),{H_{2x}} = \left( \begin{gathered} 01 \hfill \\ - 1A0 \hfill \\ \end{gathered} \right),{H_{3x}} = \left( \begin{gathered} 0\sqrt { - 1} \hfill \\ \sqrt { - 1} AA0 \hfill \\ \end{gathered} \right),$

并且，这组基底有如下关系

[H_1x,H_2x]=2H_3x,[H_2x,H_3x]=2H_1x,[H_3x,H_1x]=2H_2x.

接着，考虑 SU(2)的复表示.令V_n为一个(n+1)维的复向量空间，它由关于变量z₀ 和 z₁的n次齐次多项式构成.我们在V_n 定义一种Hermitian内积(,)，使得

${{u}^{(n)}}_{k}=\frac{1}{\sqrt{k!\left( n-k \right)!}}{{z}^{n-k}}_{0}{{z}^{k}}_{1};0\le k\le n$

是 V_n的一组酉基.由此，定义实内积为 ＜, ＞=Re(,). SU(2) 在 V_n的不可约复表示ρ_n 定义为

${{\rho }_{n}}\left( g \right)p({{z}_{0}},{{z}_{1}}):=p(a{{z}_{0}}+\bar{b}{{z}_{1}},-b{{z}_{0}}+\bar{a}{{z}_{1}}),$

(1)

其中 g∈SU(2) ，p∈V_n. 因为 ρ_n(g)u⁽ⁿ⁾_k∈V_n， 可以记

${{\rho }_{n}}\left( g \right){{u}^{(n)}}_{k}=\sum\limits_{i=0}^{n}{{{\lambda }^{i}}_{k}\left( a,b \right){{u}^{(n)}}_{i},}$

其中

${{\lambda }^{i}}_{k}\left( a,b \right)=i!\left( n-i \right)!k!\left( n-k \right)!\text{ }\sum\limits_{h+r=n-i}{\left( \frac{n-i}{h}\text{ } \right)}\left( \frac{i}{r} \right)\cdot {{a}^{h}}{{\left( a \right)}^{k-r}}{{b}^{n-k-h}}{{\left( -b \right)}^{r}}.$

(2)

将 V_n 等同于(n+1)维复向量空间Cⁿ⁺¹，在这种等同下，每一个线性自同态 ρ_n(g)都可以由矩阵 (λ_kⁱ(a,b)) 来表示，于是，有李群同态：

${{\rho }_{n}}:SU\left( 2 \right)\to U\left( n+1 \right)g\mapsto {{\rho }_{n}}\left( g \right)=({{\lambda }^{i}}_{k}\left( a,b \right)).$

(3)

SU(2)的复表示ρ_n 诱导了它的李代数 su(2)在V_n 上的表示，该表示如下

$\begin{gathered} {\rho _{n*}}\left( X \right)({u^{(n)}}_k) = \frac{d}{{dt}}{|_{t = 0}}\rho (exptX)({u^{(n)}}_k) \hfill \\ = - \sqrt {k\left( {n - k + 1} \right)} {{\bar x}_2}{u^{(n)}}_{k - 1} + \hfill \\ \left( {n - 2k} \right)\sqrt { - 1} {x_1}{u^{(n)}}_k + \sqrt {\left( {n - k} \right)\left( {k + 1} \right)} {x_2}{u^{(n)}}_{k + 1}. \hfill \\ \end{gathered} $

(4)

其中 0≤k≤n ，X∈SU(2).使用矩阵记法，ρ_n^*(X) 可以写作

${\rho _{n*}}\left( X \right) = \left( \begin{gathered} n\sqrt { - 1} {x_1}\sqrt n {x_2} \hfill \\ - \sqrt n {{\bar x}_2}\left( {n - 2} \right)\sqrt { - 1} {x_1}\sqrt {2\left( {n - 1} \right)} {x_2} \hfill \\ - \sqrt n {{\bar x}_2} - n\sqrt { - 1} {x_1}. \hfill \\ \end{gathered} \right)$

(5)

2 SU(2)×SU(2)和S¹×SU(2)的复表示

SU(2)×SU(2) 定义为

$\begin{gathered} SU\left( 2 \right) \times SU\left( 2 \right) = \{ g \times h = \left( \begin{gathered} a - \bar b \hfill \\ b\bar a \hfill \\ \end{gathered} \right) \times \hfill \\ \left( \begin{gathered} c - \bar d \hfill \\ d\bar c \hfill \\ \end{gathered} \right):a,b,c,d \in C, \hfill \\ {\left| a \right|^2} + {\left| b \right|^2} = {\left| c \right|^2} + {\left| d \right|^2} = 1\} . \hfill \\ \end{gathered} $

它的李代数 su(2)⊕su(2)定义为

$\begin{gathered} su\left( 2 \right) \oplus su\left( 2 \right) = {\text{ }}\{ \left( {X,Y} \right) = \hfill \\ \left( {\left( \begin{gathered} \sqrt { - 1} {x_1} - {{\bar x}_2} \hfill \\ {x_2} - \sqrt { - 1} {x_1} \hfill \\ \end{gathered} \right),\left( \begin{gathered} \sqrt { - 1} {y_1} - {{\bar y}_2} \hfill \\ {y_2} - \sqrt { - 1} {y_1} \hfill \\ \end{gathered} \right)} \right): \hfill \\ {x_1},{y_1} \in R,{x_2},{y_2} \in C\} . \hfill \\ \end{gathered} $

李代数有一组自然的基底： (H_1x,0),(H_2x,0),(H_3x,0),(0,H_1y)，(0,H_2y),(0,H_3y).这里H_1x,H_2x,H_3x 同上一节中的，H_1y,H_2y,H_3y 与H_1x,H_2x,H_3x 类似，定义为:

${H_{1y}} = \left( \matrix{ \sqrt { - 1} 0 \hfill \cr 0 - \sqrt { - 1} \hfill \cr} \right),{H_{2y}} = \left( \matrix{ 01 \hfill \cr - 10 \hfill \cr} \right),{H_{3y}} = \left( \matrix{ 0\sqrt { - 1} \hfill \cr \sqrt { - 1} 0 \hfill \cr} \right)$

且它们有如下关系

[H_1y,H_2y]=2H_3y,[H_2y,H_3y]=2H_1y,[H_3y,H_1y]=2H_2y.

为了给出 SU(2)×SU(2) 和S¹×SU(2) 的复表示，需要2个引理(文献^[4]，第五章,Def. 5.22和Prop.5.23).

引理2.1 设 G 和H 是2个李群，∏₁为G在空间 U上的一个表示，∏₂为 H在空间 V上的一个表示，则有 G×H 作用在 U⊗V上的一个表示∏₁⊗∏₂ ，其定义为

${{\prod }_{1}}\otimes {{\prod }_{2}}\left( A,B \right)={{\prod }_{1}}\left( A \right)\otimes {{\prod }_{2}}\left( B \right),$

其中，任意 A∈G ，任意B∈H.

引理2.2 设 G和H是2个李群，∏₁,∏₂分别是G,H的表示，不妨，记G×H的表示为 ∏₁⊗∏₂，相应地，G×H的李代数，即 g⊕h的表示记为π₁⊗π₂.则对任意的X∈g和Y∈h ，有

${{\pi }_{1}}\otimes {{\pi }_{2}}\left( X,Y \right)={{\pi }_{1}}\left( X \right)\otimes I+I\otimes {{\pi }_{2}}\left( Y \right).$

利用上述2个引理，可以给出 SU(2)×SU(2) 的复表示.

记 SU(2)×SU(2)的表示空间为 V_n⊗V_m，其中V_n 是一个(n+1)维的复向量空间，它由关于变量z₀ 和 z₁的 n次齐次多项式构成，V_m 是一个(m+1)维的复向量空间，它由关于变量w₀ 和 w₁的 m次齐次多项式构成. 设p_n∈V_n，q_m∈V_m，则得到 SU(2)×SU(2)作用在 V_n⊗V_m上的一个不可约表示ρ_n⊗ρ_m ，其定义为

$\begin{align} & {{\rho }_{n}}\left( g \right)\otimes {{\rho }_{m}}\left( h \right)({{p}_{n}}({{z}_{0}},{{z}_{1}})\otimes {{q}_{m}}({{w}_{0}},{{w}_{1}})):= \\ & {{p}_{n}}(a{{z}_{0}}+b{{z}_{1}},-\bar{b}{{z}_{0}}+\bar{a}{{z}_{1}})\otimes {{q}_{m}}(c{{w}_{0}}+d{{w}_{1}},-\bar{d}{{w}_{0}}+\bar{c}{{w}_{1}}). \\ \end{align}$

(6)

容易看到，

u⁽ⁿ⁾_k⊗u^(m)_l=1k!l!(n-k)!(m-l)!z^n-k₀z^k₁⊗w^m-l₀w^l₁

${{u}^{(n)}}_{k}\otimes {{u}^{(m)}}_{l}=\frac{1}{\sqrt{k!l!\left( n-k \right)!\left( m-l \right)!}}{{z}^{n-k}}_{0}{{z}^{k}}_{1}\otimes {{w}^{m-l}}_{0}{{w}^{l}}_{1}$

是 V_n⊗V_m 的一组基底.正如第1节指出的那样，记

${{\rho }_{n}}\left( g \right)\otimes {{\rho }_{m}}\left( h \right)({{u}^{(n)}}_{k}\otimes {{u}^{(m)}}_{l})=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathop{\sum }}}\,\underset{j=0}{\overset{m}{\mathop{\sum }}}\,{{\lambda }^{i}}_{k}\left( a,b \right){{\lambda }^{j}}_{l}\left( c,d \right){{u}^{(n)}}_{i}{{u}^{(m)}}_{j},$

其中 λⁱ_k(a,b) 与第1节相同，而

${{\lambda }^{j}}_{l}\left( c,d \right)=\sqrt{\frac{j!\left( n-j \right)!}{l!\left( m-l \right)!}}\text{ }\sum\limits_{s+t=m-j}{\left( \frac{m-j}{s}\text{ } \right)\left( \frac{j}{t} \right)}\cdot {{c}^{s}}{{\left( {\bar{c}} \right)}^{l-t}}{{d}^{m-l-s}}{{\left( -\bar{d} \right)}^{t}}.$

(7)

与第1节类似，我们考虑 V_n⊗V_m 等同于(n+1)(m+1) 维复向量空间C^(n+1)(m+1)，在这种等同下，每一个线性自同态ρ_n(g)⊗ρ_m(h) 都可以由矩阵 (λ_kⁱ(a,b)λ_l^j(c,d)) 表出，于是，得到李群同态

${{\rho }_{n}}\otimes {{\rho }_{m}}:SU\left( 2 \right)\times SU\left( 2 \right)\to U\left( \left( n+1 \right)\left( m+1 \right) \right)\left( g,h \right)\mapsto {{\rho }_{n}}\left( g \right){{\rho }_{m}}\left( h \right)=({{\lambda }^{i}}_{k}\left( a,b \right){{\lambda }^{j}}_{l}\left( c,d \right))$

(8)

SU(2)×SU(2)的李群表示 ρ_n⊗ρ_m 诱导了它的李代数 su(2)⊕su(2) 在 V_n⊗V_m 上的复表示.使用引理2.2和矩阵记法，该李代数表示可以写作

$\begin{array}{l} {\rho _{n*}} \otimes {\rho _{m*}}\left( {X,Y} \right) = \left( \begin{array}{l} n\sqrt { - 1} {x_1}\sqrt n {x_2}\\ - \sqrt n {{\bar x}_2}\left( {n - 2} \right)\sqrt { - 1} {x_1}\sqrt {2\left( {n - 1} \right)} {x_2}\\ \sqrt { - n} {{\bar x}_2} - n\sqrt { - 1} {{\bar x}_1} \end{array} \right)\\ \otimes {I_m} + {I_n} \otimes \left( \begin{array}{l} m\sqrt { - 1} {y_1}\sqrt m {y_2}\\ - \sqrt m {{\bar y}_2}\left( {m - 2} \right)\sqrt { - 1} {y_1}\sqrt {2\left( {m - 1} \right)} {y_2}\\ - \sqrt m {{\bar y}_2} - m\sqrt { - 1} {y_1}. \end{array} \right) \end{array}$

(9)

接着，给出 S¹×SU(2) 的复表示.

不妨，令 S¹ 的一个不可约复表示为

${{\phi }_{n}}:{{S}^{1}}\to U\left( 1 \right){{e}^{-1\theta }}\mapsto {{\phi }_{n}}\left( {{e}^{\sqrt{-1\theta }}} \right)=\left( {{e}^{\sqrt{n-1\theta }}} \right),$

(10)

其中 n∈Z,θ∈R. 若设 SU(2)的不可约表示空间为V ，它是一个m+1 维空间.由引理2.1和引理2.2，显然，有 S¹×SU(2)的不可约表示空间仍然是 m+1 维的，定义这个不可约表示为

${{\phi }_{n}}\otimes {{\rho }_{m}}:{{S}^{1}}\times SU\left( 2 \right)\to U\left( m+1 \right){{e}^{\sqrt{-1\theta }}},h\mapsto {{e}^{\sqrt{n-1\theta }}}\cdot {{\lambda }^{j}}_{l}\left( c,d \right),$

(11)

因此， S¹×SU(2)的李代数R⊕su(2)在 C⊗V_m 上的表示可以写作

$\begin{array}{l} {\phi _{n*}}{\rho _{m*}}\left( {\theta ,Y} \right) = n\sqrt { - 1} \theta \otimes {I_m} + \\ {I_1} \otimes \left( \begin{array}{l} m\sqrt { - 1} {y_1}\sqrt m {y_2}\\ - \sqrt m {{\bar y}_2}\left( {m - 2} \right)\sqrt { - 1} {y_1}\sqrt {2\left( {m - 1} \right)} {y_2}\\ - \sqrt m {{\bar y}_2} - m\sqrt { - 1} {y_1} \end{array} \right). \end{array}$

(12)

3 复Grassman流形中的齐性三维球面

一个浸入 x:S³→G(k+1,N+1) (0≤k≤N) 称作是齐性的，如果对任意2个点p,q∈x(S³) ，存在x(S³)的一个等距 σ和G(k+1,N+1)的一个全纯等距 $\tilde T$ ，使得σ(p)=q，并且有下述的交换图

$\begin{align} & x\left( {{S}^{3}} \right)\xrightarrow{x}G\left( k+1,N+1 \right) \\ & \sigma \downarrow \downarrow \tilde{T} \\ & x({{S}^{3}})\xrightarrow{x}G\left( k+1,N+1 \right) \\ \end{align}$

也即， $x\circ \sigma =\tilde{T}\circ x,T(x({{S}^{3}}))=x({{S}^{3}})$.这意味着x(S³) 是某个群作用的轨道，并且 $\tilde T$ 可以看作 x(S³) 的一个等距变换.

称上述浸入为齐性三维球面.换句话说，齐性三维球面是一个以S³为覆盖空间的轨道.

由于$\tilde T$看作U(N+1)的某个元素.所有满足这种性质的$\tilde T$构成一个闭子群，即U(N+1)的某个紧子群，将它的单位连通分支记为G，G作用在x(S³)上是可迁的.

下面证明只需将G取成SU(2)×SU(2)的某个闭子群.

设 G₀是x(S³)的连通等距变换群，λ:G→G₀使得λ($\tilde T$)=σ，其中x°σ=T°x.H=kerλ将保持x(S³)所有点不动.则H是G的某个闭的正规李子群^[3].此时，商群K=G/H的轨道与G的轨道完全相同.而K同构于G₀的某个紧子群.即x(S³)一定是K轨道，且3≤dimK≤6.

当rankK≥3时，K的李代数为R^k⊕su(2)，则迷向群H的李代数为R^k或su(2).H的李代数为R^k时，必能找到k-1维子代数R^k-1的理想，故此时K轨道为S¹×SU(2)轨道.

当rankK≤2时，容易看出，此时K的李代数必为su(2)⊕su(2)⊕so(4)的子代数.K以su(2)，S¹×SU(2)或者SU(2)×SU(2)为覆盖群，这取决于它具体的维数.下边详细地阐述这个想法.

六维的SU(2)×SU(2)在四维欧式空间的等距作用定义为

$\left( A,B \right)\cdot X=AX{{B}^{-1}},X=\left( \begin{align} & a-\bar{b} \\ & b\bar{a} \\ \end{align} \right),a,b\in C.$

通过考虑so(4)的子代数，得到下述3种情形：

i) dimK=6，因为 SU(2)×SU(2) 只有一个连通的六维闭子群: {(A,B)|A∈SU(2),B∈SU(2)}，考虑该闭子群的轨道，不难看到，这种情形下，作用在 x(S³) 上的迷向群同构于 {(A,A)|A∈SU(2)}.因此，实际上，dimK=3,λ_*(h^⊥)≌h^⊥≌so(3).于是，得到覆盖同态λ|_K:K→SO(3)，这意味着 K 同构于 SO(3) 或者Spin(3)≌SU(2). 若 K≌SO(3)，令ψ 表示Spin(3)≌SU(2) 的伴随作用，则映射

$\rho :SU\left( 2 \right)\xrightarrow{\psi }SO\left( 3 \right)\xrightarrow{\cong }K\xrightarrow{i}U\left( N+1 \right)$

给出了 SU(2)的某个表示.若 K≌SU(2) ，则

$\rho :SU\left( 2 \right)\xrightarrow{\cong }K\xrightarrow{i}U\left( N+1 \right)$

同样给出了 SU(2)的表示.因此，x(S³) 可以视为某个三维的ρ(SU(2)) 轨道.

ii) dimK=4，因为SU(2)×SU(2)有2个四维的连通闭子群，它们都同构于S¹×SU(2):{(A,B)|A∈SU(2),B∈S¹};{(A,B)|A∈S¹,B∈SU(2)}.不管如何，只需要考虑S¹×SU(2)的轨道，也就是说，可以将x(S³)看作是某个三维的ρ(S¹×SU(2))轨道.在这种情形下，不难看到，作用在x(S³)上的迷向群同构于{(A，A)|A∈S¹}.因此，正如第一种情形那样，dimK=3,λ_*(h^⊥)≌ h^⊥≌so(3),得到覆盖同态λ|_K:K→SO(3)，这意味着K同构于SO(3)或者SU(2).于是，x(S³)同样可以看作一个三维的ρ(SU(2))轨道.

iii) dimK=3，由于SU(2)×SU(2) 有3个三维的连通闭子群，它们都同构于 SU(2): {(I,B)|B∈SU(2)};{(A,I)|A∈SU(2)};{(A,A)|A∈SU(2)}，其中{(I,B)|B∈SU(2)} 与 {(A,I)|A∈SU(2)} 在 x(S³) 上的作用是可迁的；而 {(A,A)|A∈SU(2)} 在 x(S³) 上的作用不是可迁的，换句话说，它在四维欧式空间上的作用是可约的，故不能考虑它的轨道，但它可以作为 SU(2)×SU(2) 作用的迷向群(第1种情形中已经提到).所以，这种情形下，可以只考虑 SU(2)的轨道，相应地，迷向群为单位.于是，得到覆盖同态λ|_K:K→SO(3)，这意味着，K 同构于 SO(3) 或者Spin(3)≌SU(2).在此情形下，x(S³) 仍然可以看作一个三维的 ρ(SU(2)) 轨道.

由上述讨论，得到下面的这个定理.

定理3.1 若 x:S³→G(k+1,N+1) 是一个齐性浸入，则存在表示 ρ:SU(2)→U(N+1)，使得 x(S³) 是G(k+1,N+1) 中一个三维的 ρ(SU(2)) 轨道.

4 复Grassman流形中齐性三维球面的一种构造

由定理3.1，为了在复Grassman流形中构造齐性三维球面，只需考虑三维的 ρ(SU(2)) 轨道.但是，我们仍然在这篇文章中给出用ρ(SU(2)×SU(2)) 轨道在复Grassman流形中构造齐性三维球面的方法.

第1种方法: G(k+1,N+1) 中三维的ρ(SU(2)) 轨道

在第1种方法里，我们用 ρ(SU(2)) 轨道在复Grassman流形中构造齐性三维球面.

在这种方法里， G(k+1,N+1)中的齐性三维球面是一个三维的 ρ(SU(2)) 轨道，它是 ρ(SU(2)) 在 G(k+1,N+1) 中的一个主轨道. 因为SU(2) 并没有二维的闭子群，所以在G(k+1,N+1) 中不存在一维的 ρ(SU(2)) 轨道.而 G(k+1,N+1) 中二维的ρ(SU(2)) 轨道已经在文献^[3](Theorem 3.2 和 Theorem 3.3)中讨论过了，我们以引理的形式列出如下.

引理4.1 若 x:S²→G(k+1,N+1) 是一个齐性浸入，则存在表示 ρ:SU(2)→U(N+1)，使得 x(S²) 在G(k+1,N+1) 中是一个二维的ρ(SU(2)) 轨道.

引理4.2 ρ(SU(2)) 的某个轨道 M 在 G(k+1,N+1) 中是齐性二维球面当且仅当M 通过的点 W∈G(k+1,N+1) 是一个(k+1) 维的子空间，它在T 作用下不变，其中 $T=diag\{{{e}^{\sqrt{-1\theta }}},{{e}^{-\sqrt{-1\theta }}}\},\theta \in R$.

因此，利用这2个引理，不难判断一个在 G(k+1,N+1)中的 ρ(SU(2)) 轨道是否为齐性二维球面，而零维的 ρ(SU(2)) 轨道(即单点)是容易找出来的，排除掉这2种情形，剩下的就是齐性三维球面.为了简便，我们举 G(2,4) 中的例子来加以说明.

1) 若ρ=ρ₃ 是不可约的，则ρ_*:su(2)→u(4) 可以由如下方式给出

${\rho _*}\left( X \right) = \left( \begin{array}{l} 3\sqrt { - 1} {x_1}\sqrt 3 {x_2}00\\ - \sqrt 3 {{\bar x}_2}\sqrt { - 1} {x_1}2{x_2}0\\ 0 - 2{{\bar x}_2} - \sqrt { - 1} {x_1}\sqrt 3 {x_2}\\ 00 - \sqrt 3 {{\bar x}_2} - 3\sqrt { - 1} {x_1} \end{array} \right).$

(13)

容易看出上述矩阵所有的对角元素构成矩阵 ρ_*(T). 因此，[E_i]:=span_C[e_i],0≤i≤3，其中e₀,e₁,e₂,e₃ 是 C⁴的标准基，它们是所有一维的T 不变子空间，则有span_C{e_k,e_l},0≤k ＜l≤3 是所有二维的 T 不变子空间.因此，得到下述6个基点，通过这些基点的轨道都是 G(2,4) 中的齐性二维球面:

$\left[ \begin{array}{l} 0100\\ 0010 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{l} 0001\\ 1000 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{l} 0010\\ 0100 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{l} 0001\\ 1000 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{l} 0001\\ 0100 \end{array} \right]$

在文献^[3]中，这6个基点的情形分别表示为 (I1),(I1′),(I2),(I2′),(I3),(I3′).

2) 第2个例子的条件与第1个例子相同.则 span_C{e_i+e_j},0≤i ＜j≤3 是一维的向量子空间，它并不是 T 不变的，于是可以由这组向量构造二维的向量子空间，使得它也不是 T 不变的.我们列举一些这种类型的基点：$\left[ \begin{array}{l} 1100\\ 0010 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{l} 1100\\ 0110 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{l} 1010\\ 0101 \end{array} \right].$

显然，通过这些点的轨道并不是零维的 ρ(SU(2)) 轨道，所以，它们是G(2,4) 中的齐性三维球面.

3) 若 ρ 是可约的，取 ρ=ρ₁⊕ρ₁，则 ρ_*:su(2)→u(4) 可以由下述方式给出

${{\rho }_{*}}\left( X \right)=\left( \begin{align} & \sqrt{-1}{{x}_{1}}{{x}_{2}}00 \\ & -{{{\bar{x}}}_{2}}-\sqrt{-1}{{x}_{1}}00 \\ & 00\sqrt{-1}{{x}_{1}}{{x}_{2}} \\ & 00-{{{\bar{x}}}_{2}}-\sqrt{-1}{{x}_{1}} \\ \end{align} \right).$

(14)

上述矩阵所有的对角元素构成矩阵 ρ_*(T).我们列举一些基点：$\left[ \begin{array}{l} 1100\\ 0011 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{l} 1000\\ 0100 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{l} 0010\\ 0001 \end{array} \right].$

不难看出，通过这些点的轨道是零维的 ρ(SU(2)) 轨道，即单点，所以，它们不是齐性球面.

4) 第4个例子的条件与第3个例子相同.与第2个例子的方法类似，我们知道 span_C{e₀+e₁,e₂+e₃}是一维的子空间，它们并不是T 不变的.于是可以利用这组向量构造二维的向量子空间，使得它也不是 T 不变的.我们列举一些这种类型的基点： $\left[ \begin{array}{l} 1100\\ 0010 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{l} 1100\\ 0001 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{l} 1000\\ 0011 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{l} 1100\\ 0001 \end{array} \right].$

容易验证，通过这些点的轨道并不是零维的 ρ(SU(2)) 轨道，所以，它们是 G(2,4) 中的齐性三维球面.

第2种方法: G(k+1,N+1) 中三维的 ρ(SU(2)×SU(2)) 轨道

在第2种方法里，假定 n≥m. 因为 S³≌SU(2)≌(SU(2)×SU(2)/SU(2)) ，G(k+1,N+1) 中ρ(SU(2)×SU(2)) 的某个轨道 M 是齐性三维球面，若 M 通过的点 W∈G(k+1,N+1) 是一个 (k+1) 维的子空间，它是 SU(2) 不变的，所以，只需要找出这些基点即可.

为了找出这些基点，需要借助于 Clebsch-Gordan 理论^[4](这个理论在物理中应用广泛).

定理4.1 令 V_k 为SU(2)的 k+1 维不可约表示空间.考虑 V_n⊗V_m 作为SU(2)的表示空间，此处 n≥m ，则有

${{V}_{n}}\otimes {{V}_{m}}\cong {{V}_{n+m}}\oplus {{V}_{n+m-2}}\oplus \ldots \oplus {{V}_{n-m+2}}\oplus {{V}_{n-m}},$

其中 ⊕ 意义为 SU(2) 等价的表示.

Proof 参见文献^[4]中的附录 D.

下面，用例子来展示如何使用这个理论，这个理论可以给出我们所需要的 Clebsch-Gordan 系数.

a) G(1,4),n=m=1，则 V₁≌V₁⊕V₂⊕V₀，取 V₀ 为 SU(2)不变子空间，它可能是一个可行的基点.

b) G(8,16),n=m=3，则 V₃⊗V₃≌V₆⊕V₄⊕V₂⊕V₀，取 V₆⊕V₀ 或者 V₄⊕V₂ 作为 SU(2) 不变子空间，这二者都可能是可行的基点.

c) G(9,16),n=m=3，则 V₃⊗V₃≌V₆⊕V₄⊕V₂⊕V₀，在这种情形下，找不到 SU(2) 不变的子空间，也就不存在可行的基点.

上述例子给出如何使用Clebsch-Gordan 理论找到可能可行的基点.对这些可行的基点，还需进一步验证，它是否确实为可行的基点，因为它们也可能是 SU(2)×S¹不变的子空间，或者是 SU(2)×SU(2) 不变的子空间.

我们用上述第1个例子来说明这个验证过程.

考虑 G(1,4),n=m=1，取e₁,e₂ 为C² 的标准基，则向量形式 e_k⊗e_l,1≤k,l≤2 构成C²⊗C² 的一组基.不难看到 C²⊗C²=span{e₁⊗e₁,e₁⊗e₂+e₂⊗e₁,e₂⊗e₂}⊕span{e₁⊗e₂-e₂⊗e₁}， 因此，取

span{e₁⊗e₂-e₂⊗e₁} 作为可能可行的基点.

利用式(9)，不难验证 span{e₁⊗e₂-e₂⊗e₁} 并不是一个SU(2)×SU(2) 不变的子空间.

对于它是否为 S¹×SU(2) 不变的子空间，由式(12)，知道

${\phi _{1*}} \otimes {\rho _{1*}}\left( {\theta ,Y} \right) = - \left( \begin{array}{l} \sqrt {1\theta } 0\\ 0 - \sqrt { - 1} \theta \end{array} \right) \otimes {I_2} + {I_2} \otimes \left( \begin{array}{l} \sqrt { - 1} {y_1}{y_2}\\ - {{\bar y}_2} - \sqrt { - 1} {y_1} \end{array} \right).$

(15)

通过这个表示，容易验证 span{e₁⊗e₂-e₂⊗e₁} 既不是一个S¹×SU(2) 不变的子空间，也不是一个SU(2)×S¹ 不变的子空间.

所以，它是一个确实可行的基点，于是，第1个例子里，我们用 ρ(SU(2)×SU(2)) 轨道在G(1,4) 中确确实实构造了一个齐性三维球面.其他例子可以用类似的方法逐一验证.

最后，我们引入一个有趣的问题：在何种条件下，复Grassman流形中的齐性三维球面是真正的 S³，而不是RP(3) 或者其他形式？

考虑复Grassman流形中的齐性二维球面，由闭曲面分类定理，我们知道它只包含2种形式： S² 或者RP(2).下面，利用 G(2,4) 中的例子做进一步的讨论.

在第1种方法里，我们注意到${{\rho }_{n}}{{|}_{T}}:T\to U\left( n+1 \right)\text{ }由diag\{{{e}^{\sqrt{-1\theta }}},{{e}^{-\sqrt{-1\theta }}}\}\mapsto diag\{{{e}^{\sqrt{-1n\theta }}},{{e}^{\sqrt{-1}\left( n-2 \right)\theta }},\ldots ,{{e}^{-\sqrt{-1}n\theta }}\}$给出，因为S²≌SU(2)/T ，RP(2)⊕SU(2)/(T×Z₂)，通过直接计算，不难看到在例子1中(I1),(I1′),(I2),(I2′) 的迷向群都是T，而例子1中 (I3),(I3′) 的迷向群是T×Z₂，换句话说，(I1),(I1′),(I2),(I2′) 是S²，而 (I3),(I3′) 是RP(2).

一般地，可以用同样的方法来计算 G(k+1,N+1) 中的齐性二维球面是 S²还是RP(2).

实际上，利用迷向群的方法，不难在复Grassman流形中的齐性三维球面里找出真正的 S³ 和RP(3) ，但是显性地给出复Grassman流形中齐性三维球面的分类并不是一个简单的问题，我们知道，以 S² 作为覆盖空间的只有S² 和RP(2) ，但是以 S³ 作为覆盖空间的却不止有 S³,RP(3) 和 Lens空间.并不存在类似于闭曲面分类定理的命题，因此，显性地分出复Grassman流形中的齐性三维球面，要稍微麻烦一些.本文并没有做到这一点.