对重夸克偶素产生和衰变的研究一直是粒子物理学的重要任务，目前非相对论量子色动力学^[1](non-relativistic quantum chromodynamics, NRQCD)是研究重夸克偶素的标准工具。在这个理论中，重夸克偶素的产生过程可以因子化为短程系数和长程矩阵元(long distance matrix element, LDME)的乘积。这种因子化的有效性需要各种实验的检验^[2-7]，目前NRQCD对某些实验现象依然不太好解释，如极化问题^[8]。

在大型强子对撞机(large hadron collider, LHC)上，高能对撞过程中，末态是以喷注的形式产生。在高能物理领域，喷注物理是另一个非常重要的课题，在这方面已经有很多前人的工作^[9-12]。在实际中，需要一定的算法来定义一个喷注，理论和实验都要遵循同样的定义方法，才能进行预测和对比。目前常用的喷注算法有：cone，kt，anti-kt，Cambridge/Aachen^[13-14]等。每种算法都必须保证相应过程中的红外安全。本工作采用anti-kt的算法定义喷注，因为这种方法简单高效。

在LHC上J/ψ的产生过程中，J/ψ伴随一个喷注的单举产生过程具有重要意义。首先，此过程结合了重夸克偶素的产生以及喷注的性质；其次，此过程为单举过程，相对于遍举过程更加易于探测；第三，此过程非常适合于喷注物理的研究，可以用来研究喷注的结构，还可以用来检验各种喷注算法的合理性；最后，此过程可以用来提取J/ψ的长程矩阵元。

为了更好地理解重夸克偶素产生机制以及喷注的性质，需要在NRQCD的次领头阶(next-to-leading order, NLO)水平上计算J/ψ伴随一个喷注的单举产生过程，这是本文的主要目的。之前对此过程的研究，都是J/ψ包含在喷注中^[15-16]。为避免J/ψ包含在喷注中带来的非微扰问题，本工作考虑J/ψ并不包含在喷注中的情形。相比领头阶(leading order, LO)，NLO不仅可以降低理论误差，还可以存在新的动力学机制，比如大横动量行为和LO完全不同。更进一步，在此过程中，J/ψ和喷注在大横动量区域，NLO的贡献是占主导的。因此，为了得到更精确的结果，本文在NRQCD NLO水平上计算J/ψ伴随一个喷注的单举产生过程。

1 理论框架

在非相对论量子色动力学中，LHC上J/ψ伴随一个喷注单举产生过程的截面^[1]可以表示为

$ \begin{gathered} \mathrm{d} \sigma_{p+p \rightarrow J/\psi+\mathrm{jet}+X} \\ =\sum\limits_{i, j, n} \int \mathrm{~d} x_1 \mathrm{~d} x_2 f_{i/p}\left(x_1\right) f_{i/p}\left(x_2\right) \mathrm{d} \hat{\sigma}_{i, j}^n\left\langle\mathcal{O}_n\right\rangle^{J/\psi} . \end{gathered} $

(1)

式中: f_i/p(x_{1, 2})是质子中部分子分部函数，x₁、x₂是初态部分子动量分额，〈$\mathcal{O}$_n〉^J/ψ是J/ψ的长程矩阵元。$\mathrm{d} \hat{\sigma}$为短程系数，n=³S₁^[1]、³S₁^[8]、¹S₀^[8]、³P_J^[8]代表J/ψ不同的Fock态。在此过程的LO计算中，由于部分子分部函数的压低，只需要考虑g+g→J/ψ+1jet的贡献。然而在NLO计算中，还需考虑q+g→J/ψ+1jet+X的过程。LO和NLO的典型费曼图见图 1。

NLO修正过程可以分成两部分：虚修正和实修正。虚修正起源于对LO树图的单圈修正，而且仅包含胶子融合过程，这点和LO一样。而实修正除胶子融合过程外，还包含夸克胶子散射过程：q+g→J/ψ+1jet+X。

虚修正过程存在紫外发散和红外发散，需要通过维数正规化的方法提取紫外和红外奇点。虚修正中还存在一种库伦发散，此种发散是通过J/ψ中c c夸克对间的相对速度来正规化。紫外发散需要通过引入抵消项来抵消，过程中重整化常数包括Z₂、Z₃、Z_m和Z_g，分别对应夸克场、胶子场、夸克质量和强耦合常数。在本文的计算中，Z_g采用改进的最小减除方案(modified minimum subtraction scheme, MS)，而其余3个重整化常数是采用在壳减除方案(on-shell subtraction scheme, OS)，表达式如下

$ \begin{aligned} & \delta Z_{\mathrm{m}}^{\mathrm{OS}}=-3 C_{\mathrm{F}} \frac{\alpha_{\mathrm{s}}}{4 \pi}\left[\frac{1}{\epsilon_{\mathrm{UV}}}-\gamma_{\mathrm{E}}+\ln \frac{4 \pi \mu_{\mathrm{r}}^2}{m_{\mathrm{c}}^2}\right], \\ & \delta Z_2^{\mathrm{OS}}=-C_{\mathrm{F}} \frac{\alpha_{\mathrm{s}}}{4 \pi}\left[\frac{1}{\epsilon_{\mathrm{UV}}}+\frac{2}{\epsilon_{\mathrm{IR}}}-3 \gamma_{\mathrm{E}}+3 \ln \frac{4 \pi \mu_{\mathrm{r}}^2}{m_{\mathrm{c}}^2}+4\right], \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \delta Z_{2 \mathrm{l}}^{\mathrm{OS}}=-C_{\mathrm{F}} \frac{\alpha_{\mathrm{s}}}{4 \pi}\left[\frac{1}{\epsilon_{\mathrm{UV}}}-\frac{1}{\epsilon_{\mathrm{IR}}}\right], \\ & \delta Z_3^{\mathrm{OS}}=\frac{\alpha_{\mathrm{s}}}{4 \pi}\left[\left(\beta_0^{\prime}-2 C_{\mathrm{A}}\right)\left(\frac{1}{\epsilon_{\mathrm{UV}}}-\frac{1}{\epsilon_{\mathrm{IR}}}\right)-\frac{4}{3} T_{\mathrm{F}}\left(n_{\mathrm{f}}-n_{\mathrm{If}}\right) \times\right. \\ & \left.\left(\frac{1}{\epsilon_{\mathrm{UV}}}-\gamma_{\mathrm{E}}+\ln \frac{4 \pi \mu_r^2}{m_{\mathrm{c}}^2}\right)\right], \\ & \delta Z_{\mathrm{g}}^{\overline{\mathrm{MS}}}=-\frac{\beta_0}{2} \frac{\alpha_{\mathrm{s}}}{4 \pi}\left[\frac{1}{\epsilon_{\mathrm{UV}}}-\gamma_{\mathrm{E}}+\ln (4 \pi)\right] . \end{aligned} $

(2)

式中: δZ_2l^OS代表只考虑轻夸克的重整化常数; n_f=4代表计算中出现的夸克数目，n_lf=3代表计算中出现的轻夸克数目; $\beta_0=\frac{11}{3} C_A-\frac{4}{3} T_{\mathrm{F}} n_{\mathrm{f}}$，是QCD单圈beta函数，$\beta^′_0=\frac{11}{3} C_A-\frac{4}{3} T_{\mathrm{F}} n_{\mathrm{lf}}$，是只考虑轻夸克的QCD单圈beta函数; μ_r是重整化能标，对于SU(3)，C_A=3。

如上文所说，实修正过程中存在2个子过程：g+g→J/ψ+1jet+g和q+g→J/ψ+1jet+X。由于末态相空间的积分，在这2个过程中都存在红外发散。这些红外发散会和虚修正中残留的红外发散，以及S波矩阵元的重整化发散互相抵消掉。根据相空间的不同区域，可以把红外发散分成软发散和共线发散。在本文中，采用双截断相空间切片方法^[17]分离这2种类型的红外发散，最终实修正的截面可以表示为

$ \sigma_{\text {Real }}=\sigma_{\text {Real }}^{\mathrm{Soft}}+\sigma_{\text {Real }}^{\mathrm{HC}}+\sigma_{\text {Real }}^{\mathrm{HC}} . $

(3)

这里HC和HC分别代表硬共线和硬非共线区域的贡献。

通过标准的重整化步骤，再利用双截断相空间切片方法，最终可以把次领头阶J/ψ+1jet的产生截面表示为

$ \sigma_{\text {NLO }}=\sigma_{\text {Born }}+\sigma_{\text {Virtual }}+\sigma_{\text {Real }} . $

(4)

其中紫外发散通过引入抵消项来消除，而虚修正和实修正中的红外发散，以及S波矩阵元的重整化发散会天然抵消掉，最终得到紫外、红外都有限的结果。

2 数值结果 2.1 参数输入

由于J/ψ+1jet单举产生过程NLO修正的复杂性，在本文的计算中，采用FEYNARTS^[18]产生此过程的所有费曼图和费曼振幅，然后利用组内程序BSCalc做振幅模方以及圈积分处理，最终用VEGAS程序包做相空间数值积分。

对于末态喷注，采用anti-kt算法进行喷注重构，在程序中通过FastJet^[19]包来实现，其中对应此算法的参数R=0.6，R为此算法中定义的一个半径参数。另外在anti-kt算法中，喷注是按横动量大小进行排序，领头喷注对应的横动量最大。

在本文中，LHC上，对于p+p→J/ψ+1jet单举产生过程，设定质心对撞能量为：$\sqrt{S}$=13 TeV，其余参数设定如下

$ \begin{array}{ll} p_{T_{J/\psi}}>10 \mathrm{GeV}, & \left|y_{J/\psi}\right|<2.2, \\ p_{T_{\mathrm{jet}}}>20 \mathrm{GeV}, & \left|y_{\mathrm{jet}}\right|<3 . \end{array} $

(5)

在数值计算中，质子中夸克和胶子的部分子分布函数采用CTEQ6L和CTEQ6M^[20-21], 重整化能标μ_r和共线因子化能标μ_f选取：μ_r=μ_f=m_T，即J/ψ的横向质量：$m_{\mathrm{T}}=\sqrt{p_{\mathrm{T}}^2+4 m_{\mathrm{c}}^2}$。NRQCD因子化能标μ_Λ选为: μ_Λ=m_c。粲夸克质量选取为：m_c=1.5 GeV。同时在双截断相空间切片方法中，引入软截断δ_s和共线截断δ_c参数，它们的值选取为：δ_s=10^-2，δ_c=10^-4。J/ψ的色单态长程矩阵元选取为：$\left\langle\mathcal{O}\left({ }^3 S_1{ }^{[1]}\right)\right\rangle^{J/\psi}$=1.16 GeV³，这个数值是由B-T势模型^[22]求解得到的。而对于 ³S₁^[8]、¹S₀^[8]、³P_J^[8]色八重态长程矩阵元，本文选取了不同的理论组拟合出的数据^[23-26]，其值见表 1，其中第1列的数据是一样的，是B-T势模型得到的色单态长程矩阵元。

2.2 唯象分析

在LHC上，应用式(5)给出的实验条件，可以得到p+p→J/ψ+1jet单举产生过程NLO的总截面。其中已经考虑了p+p→ψ(2S)+1jet→J/ψ+1jet的feed-down的贡献，粗略估计占30%。NLO总截面的结果见表 2。

从总截面的结果来看，4组LDME给出的NLO截面值并不一致，甚至文献[24, 26]的矩阵元给出的总截面是负值。这种不一致反映了在J/ψ单举产生过程中拟合出来的LDME并不是普适的，它们具有过程依赖性。然而，从表 2的结果来看，抛开文献[24, 26]负的截面不谈，文献[23, 25]的矩阵元给出的截面，对于实验探测来说是很可观的，因此此过程的计算对于未来LHC此过程的探测提供了很好的理论预言。

可以简单分析一下为何用文献[24, 26]的长程矩阵元导致负的截面。事实上，和J/ψ单举产生过程一样，可以把NLO短程系数d[³P_J^[8]]按下面的表达式分解，当J/ψ的横向动量大于一定值时，此分解可以达到10^-5的精度：

$ \mathrm{d} \hat{\sigma}\left[{ }^3 P_J{ }^{[8]}\right]=r_0 \mathrm{~d} \hat{\sigma}\left[{ }^1 S_0{ }^{[8]}\right]+r_1 \mathrm{~d} \hat{\sigma}\left[{ }^3 S_1{ }^{[8]}\right] . $

(6)

式中r₀和r₁是2个参数，利用式(5)的实验条件，能够拟合出这2个参数的值为：r₀=-4.5，r₁=-0.19。图 2展示了这种分解对J/ψ横向动量的依赖性，其中对于每一个Fock态，定义了一个新的短程比例系数：$\mathrm{d} \tilde{\hat{\sigma}}=\frac{\mathrm{d} \hat{\sigma}}{\mathrm{~d} \hat{\sigma}\left[{ }^1 S_0{ }^{[8]}\right]+\mathrm{d} \hat{\sigma}\left[{ }^3 S_1{ }^{[8]}\right]}$。可以看出，当P_TJ/ψ>30 GeV时，这个分解精度相当高。

在此基础上，可以定义矩阵元的组合：

$ \begin{aligned} & M_{0, r_0}^{J/\psi}=\left\langle\mathcal{O}\left({ }^1 S_0{ }^{[8]}\right)\right\rangle+\frac{r_0}{m_{\mathrm{c}}^2}\left\langle\mathcal{O}\left({ }^3 P_0{ }^{[8]}\right)\right\rangle, \\ & M_{1, r_1}^{J/\psi}=\left\langle\mathcal{O}\left({ }^3 S_1{ }^{[8]}\right)\right\rangle+\frac{r_1}{m_{\mathrm{c}}^2}\left\langle\mathcal{O}\left({ }^3 P_0{ }^{[8]}\right)\right\rangle . \end{aligned} $

(7)

因此对于文献[23-26]的4组矩阵元，可以得到相应的M^J/ψ_{0, r0}和M^J/ψ_{1, r1}，见表 3。可以看到对于文献[24, 26]，M^J/ψ_{1, r1}是负值，并且对于所给的实验截断条件来说，M^J/ψ_{1, r1}是总截面的主要贡献来源，因此导致了总截面是负值。

因为J/ψ和喷注上面施加了横动量截断，导致J/ψ和喷注主要在大动量区域，所以在J/ψ伴随一个喷注单举产生过程中，NLO修正是很大的。为了看清这一点，图 3给出各Fock态的LO和NLO截面随喷注横动量的变化关系。为避免各线条交叠，把各矩阵元做了重设：〈$\mathcal{O}$(³S₁^[1])〉= 1.16×10^-5GeV³，〈$\mathcal{O}$(¹S₀^[8])〉= 8.9×10^-4GeV³，〈$\mathcal{O}$(³S₁^[8])〉= 3.0×10³GeV³，〈$\mathcal{O}$(³P₀^[8])〉=5.6 GeV⁵。这些重设不会改变LO和NLO的对比趋势。从图 3可以看出，与LO相比，NLO的结果明显降低了能标的依赖，而且NLO的结果比LO要大得多，说明对于式(5)的实验条件，NLO的贡献是占主导的。

接下来给出J/ψ伴随一个喷注单举产生过程中，J/ψ的NLO横向动量谱，如图 4所示。可以看到4组矩阵元给出的结果依然不一致，而且NLO下J/ψ的横向动量分布也不是很光滑，因为理论计算中取的每个bin的宽度比较大。

对于末态的喷注，依然可以给出次LO横动量分布，如图 5所示。同上面的情况一样，4组矩阵元在此分布下的结果也不一致。因为上面提到了，对于绿线和红线对应的2组矩阵元，截面是负值，所以为便于比较，绿线和红线2个分布都乘了因子(-1)。由于bin取得很细，这个分布很光滑。喷注的横动量分布对于LHC探测来说也是非常重要的，可以直接用来检验anti-kt重构算法的有效性，以及非相对论量子色动力学在喷注物理中的有效性。另外，对于喷注的横动量分布，未来LHC的实验数据也可以用来做J/ψ矩阵元的多过程拟合，从而给出更精确的矩阵元数值。

最后给出J/ψ和喷注之间的NLO快度差分布以及3个动量间的夹角分布，如图 6和图 7所示。同样4组矩阵元给出的分布不一致。快度差的范围是：0 < |Δy| < 4.4，同样，对于快度差分布，绿线和红线分布乘了一个因子(-1)。快度差谱是实验上常测量的分布之一，我们的理论计算为未来实验探测提供了理论依据。另外从3动量夹角分布图中可以看出，在次领头阶水平，最后一个bin是下降的，原因可能在于，当J/ψ和喷注3动量夹角趋于π时，单举过程g+g→J/ψ+1jet+g中的胶子g和q+g→J/ψ+1jet+X过程中的X由于被anti-kt算法认定为不含于喷注中，所以必然和喷注间有一个大的夹角，这样这个粒子就和J/ψ靠得相对较近，这样微扰计算可能存在问题。

3 总结和结论

本文在非相对论量子色动力学框架下，研究LHC上J/ψ伴随一个喷注单举产生的NLO修正，其中喷注的重构采用anti-kt算法。首先应用标准重整化步骤，得到NLO水平上紫外红外都安全的振幅模方，然后应用LHC上J/ψ和喷注的实验条件，做相空间积分得到此过程的产生截面，以及J/ψ的横向动量分布谱、喷注的横向动量分布谱、J/ψ和喷注快度差分布谱等。本文应用4组在J/ψ单举产生过程中拟合出来的矩阵元，发现得到的总截面及各种微分分布不一致，甚至其中2组矩阵元会导致负的截面值。希望将来能够根据越来越多的实验数据，拟合得到更精确的J/ψ色八重态长程矩阵元。

在LHC上J/ψ伴随一个喷注单举产生的过程中，理论计算得到的总截面对于实验探测来说是非常可观的，说明此过程对于检验NRQCD的适用性以及对喷注物理的研究都是一个非常合适的选择。计算结果也表明在给定的横动量截断下，此过程是NLO主导的，并且NLO显著降低了能标依赖。而对于各种微分分布，虽然应用不同的矩阵元得到的分布不同，但是各个结果都表明此过程在LHC上是完全可以探测的。将来，还会对J/ψ伴随n个喷注单举产生的过程、喷注结构等方面开展相应的研究。