宇宙中的能量和物质组分是宇宙学研究的重要课题之一。目前宇宙学观测，如Ia型超新星(type Ia supernova，SNIa)^[1-3]、宇宙微波背景辐射^[4-5]和大尺度结构^[6]，表明宇宙的总能量密度由约70 % 的暗能量、26 % 的暗物质^[7]、4 % 的普通重子物质、0.001 % 的2.7 K辐射以及占比例尚未确定的中微子组成^[4-5]。目前，宇宙正经历加速膨胀且温度极低。广义相对论的框架内，加速膨胀由暗能量驱动，最简单的暗能量模型为宇宙学常数冷暗物质模型(Λ cold dark matter model，ΛCDM)，该模型假设均匀的、不随时间演化的宇宙学常数Λ作为加速膨胀的源, 但该模型存在巧合性问题^[8]，无法解释为何当前时期的宇宙学常数对应的能量密度与尘埃物质的能量密度为同一量级。为解决这个问题，不同的暗能量模型被提出，如精质和幽灵标量场模型^[8-10]、带荷标量场模型^[11]、统一暗物质和暗能量的恰普雷金气体模型^[12]以及量子有效杨-米尔斯场模型^[13-18]等。这些模型中通常含有若干待定参数，它们可以通过观测数据来确定^{[12, 19]}。这类模型通常会引入一种独立的宇宙组分作为暗能量，且不与其他宇宙组分耦合。然而，粒子物理标准模型中，玻色场、费米场和规范场是宇宙物质的基本场，且相互之间存在耦合。因此，我们希望在粒子物理标准模型的框架内，探讨相互间有耦合的基本场作为暗能量的可能性。本文中，标量场将作为暗能量组分，它通过U(1)规范场与费米场相耦合，因此这种标量场暗能量不是孤立的。据我们所知，目前暗能量研究中尚未有类似的模型被提出。

1 玻色-费米子耦合暗能量模型

考虑一个物理系统，其中含有一个复标量玻色场ϕ和一个费米场Ψ，二者通过U(1)规范场A_μ相耦合，该系统的拉格朗日密度为^[20]

$ \begin{gathered} \mathcal{L}=\left(D_\mu \phi\right)\left(D^\mu \phi\right)^{\dagger}-m_\mathsf{ϕ}^2 \phi \phi^{\dagger}-\frac{\lambda}{4!}\left(\phi \phi^{\dagger}\right)^2- \\ \frac{1}{4} \boldsymbol{F}^{\mu v} \boldsymbol{F}_{\mu v}+\bar{\mathit{Ψ}}\left(\mathrm{i} \boldsymbol{\gamma}^v D_v-m_{\mathrm{f}}\right) \mathit{Ψ}, \end{gathered} $

(1)

其中: D_v=∂_v+ieA_v是规范协变导数，e是单位荷，m_ϕ是玻色子质量，λ是标量场的自耦合常数，F_μv=∂_μA_v-∂_vA_μ是规范场张量，γ^v是狄拉克矩阵，m_f是费米子质量。在U(1)规范变换下：$\phi \rightarrow \phi \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \epsilon}$, $A_\mu \rightarrow A_\mu+\frac{1}{e} \partial_\mu \epsilon, \mathit{Ψ} \rightarrow \mathit{Ψ} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \epsilon}$，$\mathcal{L}$是不变的，其中$\epsilon(x)$是关于时空坐标的标量函数。由于$\mathcal{L}$具有U(1)对称性，因此该系统存在一个守恒的荷密度^[20]

$ q=\mathrm{i}\left(\dot{\phi} \phi^{\dagger}-\phi \dot{\phi}^{\dagger}\right)-2 e A_0 \phi \phi^{\dagger}+\bar{\mathit{Ψ}} \gamma^0 \mathit{Ψ} . $

(2)

守恒荷包含玻色场和费米场的贡献，而规范场A_μ不带荷，由于总荷是守恒的，因此玻色场的荷与费米场的荷不是独立的。需要说明，这里的U(1)规范场A_μ不是通常的电磁场，e也不是通常的电荷。带荷玻色子是类似于文献[11, 20-30]所研究的存在于宇宙中的可能组分，而带荷费米子是粒子物理模型中的一种基本场，例如三代中微子。

现阶段宇宙温度极低，为此我们考虑玻色-费米系统处于低温状态，带荷玻色子作为暗能量处于相对论性凝聚态，即玻色子处于波数k=0的态(见文献[11, 21-23]的详细讨论)，而费米子处于低温简并状态。若忽略玻色-费米系统中的扰动部分(温度部分)，则该系统可以由平均场描述^{[20, 24-25]}。将ϕ和Ψ写为如下形式，$\phi=\frac{1}{\sqrt{2}} \sigma \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \xi}$，$\mathit{Ψ}=\psi \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \xi}$，其中ξ是相位，σ和ψ是幅度。由于宇宙背景是均匀各向同性的，因此$\nabla \sigma=0$，▽ξ=0，且可以设玻色凝聚和简并费米子的U(1)流的空间分量为0

$ \partial_i \xi=0\left(j_\mathsf{ϕ}^i=\Sigma^2 \partial^i \xi=0\right), \bar{\psi} \gamma^i \psi=0 . $

(3)

系统具有守恒荷q，可以引入化学势μ，写下修正哈密顿量密度^{[20, 24-25]}

$ \begin{aligned} & \langle\mathcal{H}(\mu)\rangle=\langle\mathcal{H}-\mu q\rangle=\frac{\left\langle\pi_{\xi}^2\right\rangle}{2 \Sigma^2}+\left\langle\pi_{\Sigma}^2\right\rangle+ \\ & \frac{1}{2} m_\mathsf{ϕ}^2 \Sigma^2+\rho_f+\left(e A_0-\mu\right)\left(\varrho_{\mathrm{B}}+\left\langle\pi_{\xi}\right\rangle\right), \end{aligned} $

(4)

其中: $\pi_{\Sigma} \equiv \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \Sigma}=\dot{\Sigma} \text { 和 } \pi_{\xi} \equiv \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\xi}}=\Sigma^2\left(\dot{\xi}-e A^0\right)$为共轭动量(玻色子的荷密度)。因此，可将守恒荷密度改写为q=π_ξ+ $\varrho_{\mathrm{B}}$, 其中$\varrho_{\mathrm{B}}=\bar{\psi} \gamma^0 \psi$是费米子的荷密度。低温极限下, U(1) 规范场的能量已在式(4) 中忽略^[20]，因为其能量远小于玻色凝聚和简并费米气体的能量。这里$\mathcal{H}(\mu)$同时包括化学势μ和费米场, 相比哈密顿量密度$\mathcal{H}$，推广了文献[31-34]的情况。修正哈密顿密度对A₀的偏导数为0, 在库仑规范(A₀=0)下, 得到

$ 0=\frac{\partial\langle\mathcal{H}(\mu)\rangle}{\partial A_0}=e\left\langle\left(\pi_{\xi}\right\rangle+\varrho_{\mathrm{B}}\right)=e\langle q\rangle, $

(5)

玻色-费米系统的守恒荷〈q〉为0

$ q_\mathsf{ϕ}+\varrho_{\mathrm{B}}=0 \Rightarrow\left|q_\mathsf{ϕ}\right|=\left|\varrho_{\mathrm{B}}\right|, $

(6)

其中: q_ϕ是玻色子的荷密度，$\varrho_B$是费米子的荷密度(等于费米子的数密度)。玻色组分和费米组分分别携带符号相反且等量的荷。因此，玻色凝聚与简并费米气体由约束关系式(6) 联系在一起，不再是相互独立的。

2 能量密度与压强

在广义相对论的框架下，能量动量张量是爱因斯坦场方程的源。在低温近似下，可以忽略带荷玻色凝聚和简并费米气体中由温度部分贡献的能量密度和压强。此外，规范场的能量密度和压强很小，也可以忽略。玻色场的能量动量张量能够通过对其作用量变分得到。由于该系统处于低温态(温度T=0)，因此大量的玻色子应处于凝聚相(波数k=0)，而仅有少数可忽略不计的玻色子处于激发态(波数k>0)。

通过如上假设，可以计算得到相对论性带荷玻色凝聚的能量密度与压强^{[11, 20-21, 35]}

$ \rho_\mathsf{ϕ}=m_\mathsf{ϕ} n+\frac{\lambda}{96 m_\mathsf{ϕ}^2}\left(n+\sqrt{n^2-q_\mathsf{ϕ}^2}\right)^2, $

(7)

$ p_\mathsf{ϕ}=-m_\mathsf{ϕ} \sqrt{n^2-q_\mathsf{ϕ}^2}-\frac{\lambda}{96 m_\mathsf{ϕ}^2}\left(n+\sqrt{n^2-q_\mathsf{ϕ}^2}\right)^2 \text {, } $

(8)

其中: n是玻色子的数密度。将玻色凝聚的荷密度写为q_ϕ≡-αn，其中参数α是玻色凝聚的荷数比，其取值范围是0 < α≤1，它也代表了费米子数密度与玻色子数密度的比值。因此，玻色凝聚可以由参数m_ϕ、λ、α及变量n描述。简并费米气体的分布函数是阶梯函数，当k≤k_F时，每个能级有自旋方向相反的2个粒子，当k>k_F时，粒子数为0。简并费米气体的能量密度和压强为^{[20, 24, 31]}：

$ \begin{aligned} \rho_f & =\frac{1}{\mathsf{π}^2} \int_0^{k_{\mathrm{F}}} k^2\left(k^2+m_{\mathrm{f}}^2\right)^{1 / 2} \mathrm{~d} k \\ & =\frac{k_{\mathrm{F}}^4}{4 \mathsf{π}^2}\left[\sqrt{1+b^2}+\frac{b}{3} f(b)\right], \end{aligned} $

(9)

$ \begin{aligned} p_f & =\frac{1}{3 \mathsf{π}^2} \int_0^{k_{\mathrm{F}}} k^4\left(k^2+m_{\mathrm{f}}^2\right)^{-1 / 2} \mathrm{~d} k \\ & =\frac{k_{\mathrm{F}}^4}{4 \mathsf{π}^2}\left[\frac{1}{3} \sqrt{1+b^2}-\frac{b}{3} f(b)\right], \end{aligned} $

(10)

其中: $f(b) \equiv \frac{3 b}{2}\left[\sqrt{1+b^2}-b^2 \ln \left(\frac{1+\sqrt{b^2+1}}{b}\right)\right]$，$b \equiv \frac{m_{\mathrm{f}}}{k_{\mathrm{F}}}$，k_F是费米动量。简并费米气体由参数m_f和变量k_F描述。利用玻色-费米系统的约束关系式(6)和费米子数密度$\varrho_{\mathrm{B}}=\frac{k_{\mathrm{F}}^3}{3 \mathsf{π}^2}=\frac{m_{\mathrm{f}}^3}{3 \mathsf{π}^2 b^3}$，可将玻色子数密度表示为变量b的函数

$ n=\frac{m_{\mathrm{f}}^3}{3 \mathsf{π}^2 b^3 \alpha}. $

(11)

将式(7) ~式(10)改写为

$ \begin{aligned} \rho_\mathsf{ϕ}= & \frac{m_{\mathrm{f}}^4}{3 \mathsf{π}^2 b^3}\left[\frac{1}{\alpha}\left(\frac{m_\mathsf{ϕ}}{m_{\mathrm{f}}}\right)+\frac{\lambda\left(1+\sqrt{1-\alpha^2}\right)^2}{288 \mathsf{π}^2 \alpha^2}\right. \\ & \left.\left(\frac{1}{b^3}\right)\left(\frac{m_{\mathrm{f}}}{m_\mathsf{ϕ}}\right)^2\right], \end{aligned} $

(12)

$ \begin{aligned} p_\mathsf{ϕ}= & \frac{m_{\mathrm{f}}^4}{3 \mathsf{π}^2 b^3}\left[-\frac{1}{\alpha}\left(\frac{m_\mathsf{ϕ}}{m_{\mathrm{f}}}\right) \sqrt{1-\alpha^2}-\right. \\ & \left.\frac{\lambda\left(1+\sqrt{1-\alpha^2}\right)^2}{288 \mathsf{π}^2 \alpha^2}\left(\frac{1}{b^3}\right)\left(\frac{m_{\mathrm{f}}}{m_\mathsf{ϕ}}\right)^2\right], \end{aligned} $

(13)

$ \rho_{\mathrm{f}}=\frac{m_{\mathrm{f}}^4}{4 \mathsf{π}^2 b^4}\left[\sqrt{1+b^2}+\frac{b}{3} f(b)\right], $

(14)

$ p_{\mathrm{f}}=\frac{m_{\mathrm{f}}^4}{12 \mathsf{π}^2 b^4}\left[\sqrt{1+b^2}-b f(b)\right] . $

(15)

式(12) ~式(15) 中含有4个独立参数(m_ϕ，m_f，λ，α)和一个变量b。为方便起见，我们将玻色-费米系统的能量密度和压强分别记为ρ_d≡ρ_ϕ+ρ_f，p_d≡p_ϕ+p_f。对于该玻色-费米系统，需要注意的是，玻色凝聚的压强p_ϕ < 0，扮演暗能量的角色，而简并费米气的p_f>0，并不是暗能量，只是作为一种辅助组分。

3 宇宙各组分的演化方程

从物质为主时期到如今的加速膨胀时期，宇宙中除了玻色-费米系统之外，还包含暗物质和重子物质作为尘埃物质组分，其能量密度记为ρ_m，而其压强可以忽略(p_m=0)。在以上2个阶段中，辐射组分的能量密度占总能量密度的比值较小, 约10^-5，可以忽略。为简单起见，假设玻色-费米系统与尘埃物质组分之间无相互作用，宇宙中的总能量密度可表示为ρ=ρ_ϕ+ρ_f+ρ_m，而总压强可表示为p=p_ϕ+p_f。

目前的宇宙学观测表明^[6]，宇宙是空间平直的，Ω=Ω_ϕ+Ω_f+Ω_m=1，其中各个组分的能量密度比值Ω_i的定义为

$ \mathit{Ω}_i \equiv \rho_i / \rho, \quad i=\mathrm{d}, \mathsf{ϕ}, \mathrm{f}, \mathrm{~m} . $

(16)

它们均为时间的函数。此外，各组分的物态方程定义如下

$ \omega_i=\frac{p_i}{\rho_i}, \quad i=\mathrm{d}, \mathsf{ϕ}, \mathrm{f}, \mathrm{~m} . $

(17)

而ω=p/ρ表示总物态方程。对于平直宇宙^[6]，弗里德曼方程、玻色-费米系统的守恒方程^[8]、尘埃物质的守恒方程分别为

$ \dot{H}+H^2=-\frac{4 \mathsf{π} G}{3}\left(\rho_{\mathrm{d}}+\rho_{\mathrm{m}}+3 p_{\mathrm{d}}\right), $

(18)

$ \dot{\rho}_{\mathrm{d}}+3 H\left(\rho_{\mathrm{d}}+p_{\mathrm{d}}\right)=0, $

(19)

$ \dot{\rho}_{\mathrm{m}}+3 H \rho_{\mathrm{m}}=0, $

(20)

其中: $H \equiv \dot{a}(t) / a(t)$是随时间演化的哈勃参量，a(t)是标度因子，$\dot{H}=\mathrm{d} H / \mathrm{d} t$。由式(18)可知，当ω < -1/3时，宇宙作加速膨胀$(\ddot{a}>0)$。此外，由于玻色-费米系统仅含有一个随时间演化的变量b，所以该系统仅用一个守恒方程(19) 便可以描述，而物质组分ρ_m是独立演化的，因此其守恒方程(20) 较为简单。为便于数值计算，将方程(18) ~方程(20) 无量纲化，可得

$ h \frac{\mathrm{~d} h}{\mathrm{~d} N}+h^2=-\frac{1}{2}\left(\varphi_1+3 \varphi_2+y\right), $

(21)

$ \frac{\mathrm{d} \varphi_1}{\mathrm{~d} b} \frac{\mathrm{~d} b}{\mathrm{~d} N}+3\left(\varphi_1+\varphi_2\right)=0, $

(22)

$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} N}+3 y=0, $

(23)

其中: 变量N≡lna(t)=-ln(z+1)，函数h≡H/H₀，y≡ρ_m/ρ_c, z为宇宙学红移，而H₀为现在时刻的哈勃常数^{[5, 36-38]}(H₀=100h₀ km·s^-1 ·Mpc^-1, h₀是约化哈勃常数，其取值约为0.68~0.72)，ρ_c=3H₀²/(8πG)≈10^-47 GeV⁴为临界密度^[8]。若定义$r \equiv m_{\mathrm{f}}^4 / \rho_{\mathrm{c}}$，则$m_{\mathrm{f}} \approx 1.778\;28 \times 10^{-3} \mathrm{r}^{1 / 4} \mathrm{eV}$，方程(21) 和方程(22) 中的函数为

$ \begin{aligned} \varphi_1 \equiv & \frac{\rho_{\mathrm{d}}}{\rho_{\mathrm{c}}}=\frac{r}{3 \mathsf{π}^2 b^3}\left[\frac{1}{\alpha}\left(\frac{m_\mathsf{ϕ}}{m_{\mathrm{f}}}\right)+\frac{3 \sqrt{1+b^2}}{4 b}+\frac{1}{4} f(b)+\right. \\ & \left.\frac{\lambda\left(1+\sqrt{1-\alpha^2}\right)^2}{288 \mathsf{π}^2 \alpha^2}\left(\frac{1}{b^3}\right)\left(\frac{m_{\mathrm{f}}}{m_\mathsf{ϕ}}\right)^2\right], \end{aligned} $

(24)

$ \begin{gathered} \varphi_2 \equiv \frac{p_{\mathrm{d}}}{\rho_{\mathrm{c}}}=\frac{r}{3 \mathsf{π}^2 b^3}\left[-\frac{1}{\alpha}\left(\frac{m_\mathsf{ϕ}}{m_{\mathrm{f}}}\right) \sqrt{1-\alpha^2}+\frac{\sqrt{1+b^2}}{4 b}-\right. \\ \left.\frac{1}{4} f(b)-\frac{\lambda\left(1+\sqrt{1-\alpha^2}\right)^2}{288 \mathsf{π}^2 \alpha^2}\left(\frac{1}{b^3}\right)\left(\frac{m_{\mathrm{f}}}{m_\mathsf{ϕ}}\right)^2\right], \end{gathered} $

(25)

其中b是关于z的函数。求解方程(21)~(23) 需要一组初值，即在红移z=0的h(0)、φ₁(0)和y(0)。由定义可知h(0)=1，而宇宙学观测所给出的尘埃物质密度比值的范围y(0)=Ω_m(0)=0.27~0.32^[5]，φ₁(0)=1-Ω_m(0)=0.68~0.73。每给出一组参数(m_f, m_ϕ, α, λ)，b(0)就能够通过式(24) 解出。因此，方程(21)~(23) 能够进行数值求解。以下章节将利用这组方程和参数空间的统计分析方案定出较好的参数取值范围。

4 统计分析与参数估计

本节将介绍如何利用SNIa型超新星和重子声学振荡(baryon acoustic oscillations，BAO)的观测数据，对模型的参数组作统计分析。我们将计算不同参数组下的卡方，以期找到最小卡方所对应的参数组。总卡方可写为

$ \chi^2=\widetilde{\chi}_{\mathrm{SN}}^2+\chi_{\mathrm{BAO}}^2, $

(26)

其中：$\tilde{\chi}_{\mathrm{SN}}^2$和χ_BAO²是通过SNIa型超新星数据和BAO数据所计算的卡方。以下简述如何计算$\widetilde{\chi}_{\mathrm{SN}}^2$和χ_BAO²。

对于SNIa型超新星，其卡方可由文献[39] 中的关系式计算

$ \widetilde{\chi}_{\mathrm{SN}}^2(\boldsymbol{p})=-\frac{B_S(\boldsymbol{p})^2}{C_S}+A_S(\boldsymbol{p}), $

(27)

其中

$ B_S(\boldsymbol{p})=\sum \frac{\mu_{\mathrm{obs}}\left(z_i\right)-\mu_{\mathrm{th}}\left(z_i ; \boldsymbol{p}\right)}{\sigma_i^2}, $

(28)

$ A_S(\boldsymbol{p})=\sum \frac{\left[\mu_{\mathrm{obs}}\left(z_i\right)-\mu_{\mathrm{th}}\left(z_i ; \boldsymbol{p}\right)\right]^2}{\sigma_i^2}, $

(29)

$ C_S=\sum \frac{1}{\sigma_i^2} . $

(30)

p代表模型的参数组，μ_obs(z_i)是某颗SNIa型超新星的距离模数的观测值(本文使用文献[40-41] 中的观测数据，一共包含1 048颗超新星)，μ_th(z_i)是该星的距离模数的理论计算值，而σ_i是距离模数在1σ处的误差值。理论距离模数定义为

$ \mu_{\mathrm{th}}(\mathrm{z}) \equiv 5 \log _{10} D_{\mathrm{L}}(z)+\mu_0, $

(31)

其中

$ D_{\mathrm{L}}(z)=(1+z) \int_0^z \frac{\mathrm{~d} z^{\prime}}{E\left(z^{\prime}\right)}, $

(32)

是光度距离，E(z)≡H(z)/H₀=h(z)可由方程(21)的解给出，而μ₀=42.38-5log₁₀h₀。在计算中对μ₀作边缘化处理，因此约化哈勃参数h₀的值不影响卡方分析^[39]。

对于BAO，其卡方可以通过下式计算

$ \chi_{\mathrm{BAO}}^2=\sum\limits_{i=1}^5 \frac{\left(A\left(\boldsymbol{p}, z_i\right)-A_{\mathrm{obs}}\left(z_i\right)\right)^2}{\sigma_i^2}, $

(33)

其中

$ A \equiv \sqrt{\mathit{Ω}_{\mathrm{m}}(0)} E\left(z_1\right)^{-1 / 3}\left[\frac{1}{z_1} \int_0^{z_1} \frac{\mathrm{~d} z}{E(z)}\right]^{2 / 3}, $

(34)

是峰值参数^[42]。本文采用文献[12] 和其所引文献[43-45] 所给出的5个数据点(注意，文献[12] 中红移0.122处的数据点在1σ处误差过大，本文不予采用)此外，文献[16] 中提及的不同文章所使用的观测量有所不同(例如，角直径距离D_A, 体积平均的角直径距离D_V)，因此我们将不同的观测量和误差统一为本文的观测量A(z)和对应误差，列在表 1中。

为直观展示本文中所取得参数的可靠性，我们利用马尔可夫链蒙特卡罗方法得出了3个参数的一维边缘分布，其中似然函数取作

$ L(\boldsymbol{p})=\mathrm{e}^{-\frac{\chi(\boldsymbol{p})^2}{2}} . $

(35)

下一节，我们将展示一维边缘分布的结果。

5 参数分析

加速膨胀$\ddot{a}>0$要求物态方程ω_d < -(1+ρ_m/ρ_d)/3，于是ω_d的变化区间为$\left(-1,-\frac{\sqrt{1-\alpha^2}}{1+\alpha\left(\frac{m_{\mathrm{f}}}{m_\mathsf{ϕ}}\right)}\right)$，因此，数值较小的α和m_f/m_ϕ更有利于产生加速膨胀。计算表明, 在很宽的参数空间内, 方程(21)~(23) 可以给出现阶段宇宙加速膨胀的解。此外，基于粒子物理的考虑, 费米组分的Ω_f不能过大，因此我们选择如下荷数比α作为具体展示：α=10^-5，1.7×10^-1，并结合宇宙学观测数据，作参数空间的统计分析，给出每个α值所对应的参数组(m_f, m_ϕ, λ)和Ω_m的优化数值以及总卡方χ²。为进行模型间的比较，还计算了ΛCDM模型对应的演化和卡方χ_ΛCDM²，结果表明，小α的模型(其参数见表 2)的总卡方χ² < χ_ΛCDM²，即玻色-费米暗能量模型稍好于ΛCDM模型，与目前宇宙学观测一致。而大α的模型(参数见表 3)的总卡方χ²>χ_ΛCDM²，此时ΛCDM模型稍好于玻色-费米暗能量模型。

例如，当α=10^-5时，表 2展示了优化参数组的值以及相关的物理量，图 1展示了各组分能量密度的演化，图 2展示了密度比值的演化，图 3展示了物态方程的演化。表 2的参数值显示，玻色子质量m_ϕ与费米子的质量m_f很小且玻色场的自作用很小$(\lambda \ll 1)$，因此小质量、弱耦合的玻色-费米系统是目前粒子物理模型所允许的。若三代中微子的质量足够小且携带U(1)荷，就可以充当模型中的费米子的候选者，$\alpha \ll 1$说明费米子的数密度远低于玻色子的数密度。此外，根据表 2，我们绘制了α=10^-5模型下3个参数(b(0)、log₁₀(m_f/m_ϕ)、r×10⁵) 的一维边缘分布，见图 4~图 6 (由于本模型对λ的取值极不敏感，因此暂不考虑该参数的分布)，这3个参数在1σ处的误差分别为0.033 5、0.005 5和0.013 3。

6 演化行为

图 1~图 3所展示的α=10^-5的模型(表 1)的各组分的演化行为如下：

1) 相对论性玻色凝聚作为暗能量，其能量密度ρ_ϕ几乎不变，仅有缓慢减小。其物态ω_ϕ$\simeq$-1，没有剧烈变化，类似于宇宙学常数。密度比值在早期$z \gg 0$时很小，随宇宙膨胀而逐渐增大，并在z=0时达到Ω_ϕ~0.705 8，对应于目前宇宙学观测的暗能量比值。在未来，Ω_ϕ将一直增大并趋向于0.999。

2) 简并费米气体作为辅助组分，其能量密度ρ_f远小于玻色凝聚的能量密度ρ_ϕ，衰减缓慢。其物态ω_f一直接近于3.109×10^-3，衰减也很缓慢。而其密度比值缓慢增加，范围在Ω_f$\simeq$10^-12~10^-9。

3) 尘埃物质组分是独立演化的，其能量密度随宇宙膨胀而减小ρ_m∝a^-3，其物态始终为ω_m=0，其密度比值Ω_m在早期$z \gg 0$时趋向于1，在z=0.338 7时减小为0.5，当今值为0.294 2，未来将趋向于0。

4) 总物态ω在早期接近于0，宇宙处于减速膨胀阶段$\ddot{a}<0$。随着宇宙演化，ω逐渐减小，在z=0.686 6处$\ddot{a}=0$。此后，总物态降为ω$\simeq$-1/3，宇宙进入加速膨胀状态，随后将一直保持$\ddot{a}>0$。总物态现在的值为ω$\simeq$-0.705 8，未来将趋向于-0.999。

我们还检验了另外2组小α的模型(α=10^-3，10^-4)，它们所预言的演化与上述α=10^-5的模型很接近，也都接近于ΛCDM模型，仅最佳参数值和物理量数值间有差别。以上玻色-费米系统暗能量模型的演化行为明显地不同于杨-米尔斯凝聚暗能量模型^[13-18]。

7 总结与讨论

在广义相对论框架内，探讨了一个基于粒子物理标准模型的暗能量模型，其组分包括带荷凝聚玻色场、简并费米场，二者通过非电磁场的U(1)规范场耦合起来。玻色凝聚和简并费米气体各自携带等量、符号相反的荷，总荷为0。这个玻色-费米模型是粒子物理标准模型所允许的。现阶段宇宙处于低温状态，带荷玻色子处于玻色-爱因斯坦凝聚态，具有负压强，可视为暗能量，带荷费米子处于简并态，是辅助组分，而U(1)规范场的能量贡献可以忽略。此外，宇宙中还有尘埃物质组分，包括暗物质和重子物质。

膨胀宇宙中的动力学演化方程组(18)~(20)的解由4个独立物理参数(m_f，m_ϕ，α，λ)以及初始条件决定。计算表明，在很宽的参数空间内，方程组的解都可以解释现阶段加速膨胀。为与宇宙学观测更细致地比较，利用SNIa型超新星和重子声学振荡的观测数据，对玻色-费米暗能量模型做统计的参数估计，以限制参数空间。通过卡方分析，得到具有最佳参数值的模型，宇宙在红移z~0.68处进入加速膨胀阶段。该模型下，玻色子与费米子的质量均很小且玻色场的自相互作用很弱$\lambda \ll 1$，玻色凝聚组分占主导Ω_ϕ$\simeq$0.705 8，其物态ω_ϕ$\simeq$-1，压强为负，扮演了宇宙学常数的角色，而简并费米组分很少Ω_f$\simeq$10^-12~10^-9，是辅助组分，其物态ω_f$\simeq$10^-3，压强为正。物质组分是独立演化的，Ω_m$\simeq$0.294 2，压强为零。与通常的ΛCDM模型对比显示，小荷数比α的玻色-费米暗能量模型(表 2)给出的宇宙学演化行为很接近ΛCDM模型，但其总卡方χ² < χ_ΛCDM²，能更好地解释目前的观测数据。对于大荷数比α~10^-1的情况(见表 3)，其总卡方χ²>χ_ΛCDM²，从统计上看，不如小α的模型和ΛCDM模型。

本模型的一个特点是，带荷玻色场作为暗能量与带反荷的费米场相联系，不再是孤立的组分。需要说明的是玻色和费米系统所携带的U(1)荷，不是通常电磁学的电荷，基于电磁学的天文观测手段无法直接探测。本文中取U(1)规范场是为了简化讨论。这个模型可以进一步推广到杨-米尔斯场的情况。若粒子物理中的三代中微子质量足够小，就可能作为费米子的候选者。而小质量的带荷玻色子是什么以及如何探测模型中的U(1) 荷是值得继续探讨的问题。就目前暗能量的研究现状来看，该模型与其他种类的多个模型，都仍是暗能量可能候选模型。