在量子力学中，2个力学量同时测量都有确定值的充要条件是对应的算符A和B满足对易关系

$ \begin{equation} [A, B]=A B-B A=0 . \end{equation} $

(1)

这也表示交换2个算符的顺序，其作用结果不变。相反如果2个观测量不对易，则它们不可能同时有精确的测量值，这与经典物理有显著区别。

对易关系作为基本概念广泛应用在量子力学表达中，其中著名的海森堡不确定关系是它的直接作用结果^[1]

$ \Delta A^{2} \Delta B^{2} \geqslant\left|\frac{1}{2}\langle[A, B]\rangle\right|^{2}, $

(2)

其中: $\Delta A(B)^{2}$表示观测量$A(B)$的方差，属于量子系统的系综性质。1930年，薛定谔提出包含反对易子的不确定关系^[2]

$ \begin{aligned} \Delta A^{2} \Delta B^{2} \geqslant\left|\frac{1}{2}\langle[A, B]\rangle\right|^{2}+\left|\frac{1}{2}\langle\{A, B\}\rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle\right|^{2} . \end{aligned} $

(3)

不确定关系蕴含的固有不确定度对量子系统的行为和精密测量程度有重要指导作用，比如在量子密码、量子计算和量子导引等方面。这些科学技术的应用总希望理论可以提供适用范围普适或者边界能够最优的不确定关系作为参考。因此，针对N个可观测量的纯态和混态系统，理论上提出了很多边界更紧的方差型^[3-5]、熵型^[6-7]和受控型不确定关系^[8-9]。很多不确定关系式子已经在单光子^[10]、核自旋^[11]、NV色心^[12]等多种单光子源体系中被验证。此外研究者还利用相干光源证明了不确定关系的系综性质^[13]。

不确定关系的实验检验可以通过投影测量实现，即利用

$ \langle\Psi|[\hat{A}, \hat{B}]|\Psi\rangle=\langle\Psi| \hat{C}|\Psi\rangle=\sum_{i} c_{i} P_{i}^{\prime}, $

其中：$c_{i}$为可观测量$C$的本征值，$P_{i}^{\prime}=\left|\left\langle\Psi \mid c_{i}\right\rangle\right|^{2}$表示投影概率。但对正则对易关系式（1）的直接检验仍是有挑战的。因为2个非对易观测量的联合概率在量子理论中不存在，而且可观测量的乘积一般是非厄米的。根据对易关系的定义，在实验上可以通过分别测量$\hat{A} \hat{B}$和$\hat{B} \hat{A}$来研究对易关系。现有实验方法主要包括2类，方法1：可以在Mach-Zehnder干涉仪的2支臂中分别按顺序加入波片组实现观测量$A$和$B$，最后通过量子态层析观测量C来观察实验结果^[14-17]；方法2：基于弱测量对系统的扰动很小，使得系统态基本保持不变，从而允许连续测量2个非对易观测量，测量结果可通过序列弱值来提取^[18]。

序列叠加的研究方法忽略了2个非对易观测量之间本身的关联，不能反映出对易关系对不确定关系下限的内在约束能力。本文利用关联2个不相容观测量的弱值来表示对易关系，并且使用相干光作为光源在干涉光路中实现弱测量技术。实验弥补了序列叠加的缺点，从非对易观测量之间的内在关联出发完成对正则对易关系的直接检验。另外，还通过弱值对不确定关系进行实验验证。

1 理论介绍

假设一个量子系统处于$|\psi\rangle$态下，并在该量子态下对观测量B进行测量。通过调节测量装置的侵入强度可以实现和待测系统之间的弱耦合相互作用。随后对待测系统继续测量使得投影到某特定量子态$|\Psi\rangle$上。此时指针态包含了待测系统的信息——弱值^[19]

$ \begin{aligned} \langle\hat{B}\rangle_{w}=\frac{\langle\Psi| \hat{B}|\psi\rangle}{\langle\Psi \mid \psi\rangle}, \end{aligned} $

(4)

这里$|\psi\rangle$和$|\Psi\rangle$被称为前选择态和后选择态。当前后选择态相同时，弱值变成观测量的期望值〈B〉。但区别于期望值，弱值可以超过本征范围，也可以是复数。

接下来利用弱值的双态矢量重新描述对易关系。将观测量$A$进行谱分解，满足$\hat{A}= \sum\limits_{i} a_{i}\left|a_{i}\right\rangle\left\langle a_{i}\right|$，则对易关系的期望值可以重新被写为

$ \begin{aligned} \langle\Psi|[\hat{A}, \hat{B}]|\Psi\rangle=\sum\limits_{i} a_{i} P_{i}\left(\langle\hat{B}\rangle_{w}^{*}-\left\langle\hat{B}_{w}\right\rangle\right) . \end{aligned} $

(5)

反对易关系的期望值也等价于

$ \begin{aligned} \langle\Psi|\{\hat{A}, \hat{B}\}|\Psi\rangle=\sum\limits_{i} a_{i} P_{i}\left(\langle\hat{B}\rangle_{w}^{*}+\left\langle\hat{B}_{w}\right\rangle\right) . \end{aligned} $

(6)

其中$P_{i}=\left|\left\langle\Psi \mid a_{i}\right\rangle\right|^{2}$是后选择概率。与弱值定义式（4）相比，$\langle\hat{B}\rangle_{w}=\frac{\langle\Psi| \hat{B}\left|a_{i}\right\rangle}{\left\langle\Psi \mid a_{i}\right\rangle}$表示以$A$的本征态$\left|a_{i}\right\rangle$为前选择态，直接把不相容的观测量$A$和$B$关联起来。这里$\langle\hat{B}\rangle_{w}^{*}$表示弱值的复共轭。由式(5)和式(6)可以看出一对非对易观测量的信息可以分次从弱值中提取一部分关联量，最后求和收集整个系统的测量统计信息。

简单考虑二维系统，取泡利观测量

$ \begin{aligned} & \hat{A}=\hat{\sigma}_{z}=|H\rangle\langle H|-|V\rangle\langle V|, \\ & \hat{B}=\hat{\sigma}_{x}=|+\rangle\langle+|-|-\rangle\langle-| . \end{aligned} $

其中: $|H\rangle$和$|V\rangle$分别表示水平和垂直偏振态，|+$\rangle$和|-$\rangle$分别表示45°和135°方向的偏振态。因此式(5)和式(6)可重新表述为

$ \begin{equation} \langle\Psi|\left[\hat{\sigma}_z, \hat{\sigma}_x\right]|\Psi\rangle=4 P_{+} \operatorname{Im}\left\langle\hat{\sigma}_z\right\rangle_w^{+}, \end{equation} $

(7)

$ \begin{equation} \langle\Psi|\left\{\hat{\sigma}_z, \hat{\sigma}_x\right\}|\Psi\rangle=2\left(P_{+} \operatorname{Re}\left\langle\hat{\sigma}_z\right\rangle_w^{+}+P_{-} \operatorname{Re}\left\langle\hat{\sigma}_z\right\rangle_w^{-}\right), \end{equation} $

(8)

其中：$\left\langle\hat{\sigma}_{z}\right\rangle_{w}^{ \pm}=\langle\Psi| \hat{\sigma}_{z}| \pm\rangle /\langle\Psi \mid \pm\rangle$。这表明对易关系的期望值由弱值的虚部决定^[20]，而反对易关系由实部决定。对正则对易关系式(7)和式(8) 的直接检验可以通过弱值和后选择概率计算实现，这也是接下来实验设计的动机。

2 实验过程

实验装置如图 1所示，包含弱测量的4个步骤：前后选择态制备、弱耦合和指针测量。首先将波长为808 nm的高稳定激光器入射到偏振分束器(PBS)，在透射方向上和1/2波片H1组合实现偏振态制备。当H1的角度分别设为π/8和-π/8时，得到前选择态|+〉或者|-〉。随后前选择态进入光束位移器BD1发生双折射效应使得垂直偏振光直接透射而水平偏振光横向偏折4 mm，结果光束分成2条路径(分别称为上路径和下路径)。上路径的垂直偏振光经过旋转角度为π/4的1/2波片后转为水平偏振光，作为指针系统的初态。此时偏振自由度作为指针系统，路径自由度作为待测系统。

在弱耦合阶段，偏振自由度和路径自由度组成一个大的孤立系统，其整体态发生幺正演化满足

$ |\Phi\rangle=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \gamma \hat{\sigma}_{z} \otimes \hat{\sigma}_{y}}| \pm\rangle\left|H_{p}\right\rangle, $

其中: $\hat{\sigma}_{y}$是指针观测量，γ是系统受到的测量破坏强度。实验上，弱耦合相互作用可以通过放置在上路径的H2和下路径的H3实现，并且1/2波片角度等于耦合强度的一半。

另外，实验通过由2个1/4波片Q2、Q3和1个1/2波片H5组成的波片组将待测系统进行后选择投影到态$|\Psi(\theta, \phi)\rangle=\cos \theta|H\rangle+\sin \theta \mathrm{e}^{\mathrm{i} \phi}|V\rangle$, $\theta(\phi) \in[0, 2 \pi]$。此时整体态只剩下指针系统，表述为

$ \begin{aligned} \left|\widetilde{\varphi}_{p}\right\rangle & =\langle\Psi \mid \Phi\rangle \\ & =\langle\Psi \mid \pm\rangle\left(\cos \gamma\left|H_{p}\right\rangle+\sin \gamma\langle\hat{A}\rangle_{w}\left|V_{p}\right\rangle\right) . \end{aligned} $

对指针分别取观测量$\hat{\sigma}_{x}$和$\hat{\sigma}_{y}$进行测量，根据期望值定义$\left\langle\hat{\sigma}_{i}\right\rangle_{p}=\left\langle\widetilde{\psi}_{p}\right| \hat{\sigma}_{i}\left|\widetilde{\psi}_{p}\right\rangle /\left\langle\widetilde{\psi}_{p} \mid \widetilde{\psi}_{p}\right\rangle$得到^[21]

$ \begin{aligned} & \left\langle\hat{\sigma}_{x}\right\rangle_{p}=\frac{\sin 2 \gamma \operatorname{Re}\left\langle\hat{\sigma}_{z}\right\rangle_{w}}{\cos ^{2} \gamma+\sin ^{2} \gamma\left|\left\langle\hat{\sigma}_{z}\right\rangle_{w}\right|^{2}}, \\ & \left\langle\hat{\sigma}_{y}\right\rangle_{p}=\frac{\sin 2 \gamma \operatorname{Im}\left\langle\hat{\sigma}_{z}\right\rangle_{w}}{\cos ^{2} \gamma+\sin ^{2} \gamma\left|\left\langle\hat{\sigma}_{z}\right\rangle_{w}\right|^{2}} . \end{aligned} $

(9)

因此实验可以利用指针观测量的期望值来提取弱值。根据式(9)，指针系统的投影测量$\{|+\rangle, |-\rangle, |R\rangle, |L\rangle\}$由$1 / 4$波片$\mathrm{Q} 1, 1 / 2$波片H4和偏振分束器实现。实验通过光功率计（OPE）采集各个投影方向的光强$I_{i}$计算得到

$ \begin{aligned} & \left\langle\hat{\sigma}_{x}\right\rangle_{p}=\frac{\left(I_{+}-I_{-}\right)}{\left(I_{+}+I_{-}\right)}, \\ & \left\langle\hat{\sigma}_{y}\right\rangle_{p}=\frac{\left(I_{R}-I_{L}\right)}{\left(I_{R}+I_{L}\right)} . \end{aligned} $

(10)

这里$|L\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|H\rangle-\mathrm{i}|V\rangle)$和$|R\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|H\rangle+\mathrm{i}|V\rangle)$分别表示左旋和右旋偏振态。

3 结果分析

分别制备$|\Psi(\theta, 0)\rangle$和$\left|\Psi\left(\frac{\pi}{6}, \phi\right)\right\rangle 2$类量子态。首先当相因子$\phi=0$时，调节1/2波片H5的角度为$\theta / 2$并移除1/4波片Q2和Q3，此时量子系统处于$|\Psi(\theta, 0)\rangle=\cos \theta|H\rangle+\sin \theta|V\rangle$偏振态。因此弱值的理论预测值分别为$\left\langle\hat{\sigma}_{z}\right\rangle_{w}^{+}=\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta}$和$\left\langle\hat{\sigma}_{z}\right\rangle_{w}^{-}=\frac{\cos \theta+\sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}$，是纯实数。弱值随参量θ变化的实验结果如图 2所示，图中红色和蓝色虚线分别表示理论预测，散点是弱值虚部和实部的实验值。其中图 2(a)对应前选择态为|+〉，图 2(b)对应前选择态为|-〉。由图可以看到，虚部实验值$\operatorname{Im}\left\langle\hat{\sigma}_{z}\right\rangle_{w}^{ \pm}$一直处于零值附近，符合实数的理论预测。实部实验值$\operatorname{Re}\left\langle\hat{\sigma}_{z}\right\rangle_{w}^{ \pm}$在大部分区域都符合了理论预测，但随着后选择态逐渐正交于前选择态，实验值与理论值的偏离逐渐变大。

另外固定θ=π/6，调节波片角度制备得到量子态$\left|\Psi\left(\frac{\pi}{6}, \phi\right)\right\rangle=\sqrt{3} / 2|H\rangle+\mathrm{e}^{\mathrm{i} \phi} / 2|V\rangle$。弱值实部和虚部随参量$\phi$变化的实验结果如图 3所示，其中图 3(a)和3(b)分别对应前选择态为|+〉和|-〉的实验结果。实验值很好地符合了理论的预测。

由实验获得的弱值$\left\langle\hat{\sigma}_{z}\right\rangle_{w}^{ \pm}$代入对易关系式(7) 和式(8)，实验结果如图 4所示。其中图 4(a)和4(b)分别对应量子态$|\Psi(\theta, 0)\rangle$和$\mid \Psi \left(\frac{\pi}{6}, \phi\right) 〉$下的实验结果，图中红色圆圈表示对易关系的期望值，蓝色三角形表示反对易关系的期望值。由图 4可以看出，数据点都处在理论预测的虚线上，因此提供了直接检验正则对易关系的实验证明。另外还利用弱值计算了薛定谔不确定关系式(3) 的右边(RHS)，用品红色方块表示。实验从2个不相容观测量之间的内在关联出发，验证不确定关系，实现对测量的内禀约束力的观察。

4 结论

本文从观测量之间的内在关联出发，利用观测量的本征态作为另一个不相容可观测量的前选择态，得出用弱值表示的正则对易关系，提供了实验上可以直接检验的理论方案。实验使用相干光作为光源，在弱测量模型下对泡利算符的对易关系展开实验验证。实验结果与理论预测一致，证明2个非对易观测量之间的信息跟弱值有关，其中实部决定反对易关系的期望值而虚部决定对易关系。另一方面，实验表明弱测量技术为量子基本问题的验证提供了有效的测量工具。