附壁液滴蒸发广泛存在于自然界中，并在热机械管理^[1-2]、喷墨打印^[3-4]、微电子行业^[5]等工业领域有重要应用。Langmuir^[6]最早研究了小球冠液滴蒸发问题，假设蒸发过程在气液界面由浓度扩散驱动，且蒸发通量沿界面均匀分布，推导了小球冠液滴蒸发速率方程。实验研究发现Langmuir研究结果适用于小液滴蒸发，但对大体积液滴蒸发速率预测误差较大。随后研究对Langmuir的均匀模型进行了修正，假设蒸发通量不均匀，建立了目前最广泛使用的基于气相间扩散机制的蒸发模型^[7-10]。Hu和Larson^[8]利用有限元理论研究了球冠状附壁液滴蒸发问题，给出了液滴界面蒸发通量不均匀的直接证据，表现在三相接触线附近最大，液滴顶点处最小，建立了适用于小液滴和大液滴的蒸发理论模型。

附壁液滴蒸发特性受气液界面几何特征影响，Picknett和Bexon^[11]关注蒸发过程中的形貌演化特征，发现附壁液滴存在2种蒸发模式，接触半径不变、接触角随时间减小的恒接触半径模式(constant contact radius, CCR)，和接触角不变、接触半径随时间减小的恒接触角模式(constant contact angle, CCA)。Bourges-Monnier和Shanahan^[12]发现附壁液滴蒸发经历3个阶段，1)恒接触线阶段，高度和接触角随时间减小；2)恒接触角阶段，接触线开始收缩，高度继续减小；3)接触角和接触线同时减小的快速蒸干阶段。此外，除CCR和CCA模式外，学者们还发现了更为复杂的SS(stick-slip)与SJ(stick-jump)模式^[13]。

前文所述对于附壁液滴的研究，是无外部流场作用的静态液滴蒸发问题。实际上，液滴蒸发过程耦合外部流场具有更广泛的应用场景，微电子领域中，芯片的高度集成化带来高热流密度散热需求，单纯利用液滴准静态蒸发所带走的热量已经不能满足其散热需求，利用剪切流加速液滴蒸发，是有效的强化换热手段。此外，在载人航天领域的空间站生命管理系统(ECLSS)中，微重力下冷凝板上的液滴难以自行脱落^[14]造成换热效率大幅下降，利用剪切流作用去除液滴以实现冷凝面液滴的持续更迭，将使得冷凝换热系数长期维持在较高水平。目前研究主要关注剪切流作用下的液滴动力学行为，此外还有学者关注液滴在外场作用下的射流与撞击问题^[15-16]，但动力学耦合下的液滴蒸发特征的研究较少。Bin等^[17]对低风速作用下的甲醇液滴蒸发特性进行观测，得到在无风和1.2 m/s的低风速情况的液滴蒸发过程中的形貌演化，对于高风速下的蒸发特性尚不清楚。Buffone^[18]研究较低侧风速(＜2 m/s)下的乙醇液滴蒸发，发现液滴顶部温度随风速增加急剧下降且外形不对称，且三相线温度沿周向不均匀分布。Doursat等^[19]对强迫对流下的附壁水滴蒸发进行数值模拟和无量纲分析，模拟液滴从三相线钉扎到去钉扎过程中的形貌变化，预测底部绝热基板上液滴的质量演化，研究了基座物化性质和空气相对湿度对蒸发传质现象的影响。

剪切流作用会导致液滴界面形貌发生变化^[20-22]。由于蒸发通量与液滴界面形貌密切相关，剪切流作用下液滴的形貌演化规律将不同于无外场作用的静态蒸发液滴，同时气流影响液滴的对流传质过程，使蒸发速率不同于静态蒸发液滴。目前对于气流作用下，尤其是高风速下非对称液滴的气液形貌演化规律尚不明确，且对气流如何影响蒸发速率仍不清楚，亟需开展相关研究。针对上述问题，本文对风速为2~10 m/s下附壁液滴的蒸发特征进行较为详细的研究，旨在拓展较强剪切流作用下液滴蒸发动力学特征与传质规律的认知。

1 实验系统

设计了可大范围调节风速(0~25 m/s)、并能实时观测和采集液滴形貌信息的实验装置。该实验装置主要由光学系统、温度控制系统、湿度控制系统和风速控制系统组成，如图 1和图 2所示。液滴外形通过CCD相机采集后利用软件分析，可获取液滴在剪切流作用下不同时刻的形貌信息，从而研究液滴受气流影响的蒸发动力学特性。

实验开始前，通过温度、湿度控制系统使实验环境达到设定值。温度控制系统由热电温度控制器(TC-48-20)与温度传感器(MP-3193)组成，通过PID算法可实现环境温度精确控制，本文绝大部分实验在(25±0.1) ℃的环境中开展；湿度控制系统中，在环境湿度的基础上，通过湿度控制器(Auber HSR-HD 200)采集湿度传感器(Auber HD-220)的湿度信号，反馈控制超声波雾化器(SD02_JSQ)启停，实现环境湿度最高为99 % 的相对湿度和控制精度为±4 % 的湿度控制能力。待温度、湿度值稳定之后，通过注液系统将实验液体注入指定实验区域成滴，随后启动光学系统和风速控制系统。实验过程中，光学系统采集液滴形貌，并通过计算机得到液滴形貌信息。光学系统由顶视、侧视CCD相机(M1280, Genie Nano)组成，视场均为75 mm，分辨率为1 280×1 080。风速控制系统控制并测量实验中剪切流的风速，精度为±0.2 m/s，其由风机(MM1865 Series, Mechatronics Inc.)、热式风速计(EE75, E+E Elektronik GmbH) 组成。

图 3为实验区域与基座示意图。实验过程中，液滴蒸发发生在实验区域的铜制基座上，基座位于长150 mm，横截面为50 mm×50 mm的长方体实验区域，铜基座的尺寸为25 mm×75 mm，其通过两侧的轨道安装在可抽拉的水平底座上。为确保来流的均匀性^[23-25]，基座位于整流器后试验段的水力直径20 % 处，液滴位置的边界层厚度小于1 mm。由于部分浸润液滴在固体表面会因重力效应不再保持球冠状，为使液滴维持标准球冠状，本文在距离基座前端3.0 mm处设计了一个直径为3.90 mm、高0.5 mm的圆柱形凸台，见图 3(b)，该凸台可以使液滴保持标准球冠状，同时可以强化液滴的钉扎效应。

2 结果与分析

实验过程中保持温度为25 ℃，相对湿度为65 %，基座的材料为铜，液滴采用的工质为水，体积为10~30 μL，风速变化范围是0~10 m/s。

2.1 剪切流作用下液滴形貌的演化

剪切流作用下，液滴蒸发特性特别是接触角、接触半径与高度演化规律将不同于静态蒸发液滴，因此需要研究剪切流作用下液滴形貌演化规律。

本文采集了10 μL的液滴在2 m/s的风速下，在不同时刻的CCD图像，见图 4。可以发现在低风速下液滴形貌不显著受风速影响，基本保持对称，且液滴在蒸发过程中基本保持接触半径不变。

为进一步分析气流作用下液滴形貌演化规律，需要做出接触角、接触半径、高度随时间变化的图像。10 μL的液滴在2 m/s的风速下，接触角、接触半径和高度随时间的变化见图 5。初始时，由于凸台并不是一个理想表面，其表面能不均匀，液滴在凸台表面出现接触角滞后现象^[26]，液滴前接触角为67.4°，后接触角为70.4°，前后接触角差约-3°。凸台使液滴三相接触线处缺少水平方向的气固间表面张力，强化了钉扎效应，因此液滴在蒸发过程中保持接触线不变的钉扎状态，高度线性减小，如图 5(a)所示。液滴蒸发过程中按接触角变化可分为3个阶段，见图 5(b)。第1阶段，液滴接触角缓慢减小，该阶段接触角仅减小4 %。第2阶段，接触角线性减小，同时由于剪切流作用，前后接触角差值θ_a-θ_r保持稳定，约为2°，这一阶段持续时间最长，占总蒸发时长的66 %。第3阶段，接触角的减小速率相比第2阶段进一步增大，液滴快速蒸干。

低风速作用下，液滴形貌不显著受剪切流影响，但在高风速下，液滴形貌会因剪切流影响而发生变形。20 μL的液滴在0、10 m/s风速下形貌的比较，见图 6。2种工况都处于刚施加剪切流的初始时刻即t=2 s，X和Y表示图像点的像素坐标。可以看出无风速时液滴形貌对称，前后接触角基本相同; 高风速时，液滴形貌不对称，前后接触角不相等。气流使液滴不再保持原有的对称性，液滴在蒸发过程中的界面特性演化规律将不同于对称液滴。因此需要对高风速下，液滴界面特性演化规律进行研究。

图 7为20 μL的液滴在10 m/s风速下，界面形貌随时间的演化规律。可以看出蒸发液滴在高风速下同样存在3个阶段: 第1阶段，前后接触角差受风速影响显著，20 μL的液滴在10 m/s风速下，前后接触角差值θ_a-θ_r约为10°，前后接触角缓慢减小；第2阶段，前后接触角差值θ_a-θ_r保持稳定，该阶段差值θ_a-θ_r小于第1阶段差值，为5°，前后接触角线性减小；第3阶段，前接触角和后接触角随时间减小速率进一步增大，并且差值相较于前2个阶段最小，为2°。同时由图 7(b)可以看出，液滴体积越小，界面形貌受气流影响越小，前后接触角差值越小。

2.2 剪切流对液滴前后接触角的影响

为进一步研究剪切流对蒸发液滴形貌的影响，需要对剪切流作用下的液滴进行动力学分析。图 8所示为剪切流作用下液滴的水平方向受力示意图，液滴在水平方向主要受到黏附力和迎面风阻作用，黏附力^[27]由表面张力引起，表达式为

$ F_{\text {adh }}=k L \gamma\left(\cos \theta_{\mathrm{r}}-\cos \theta_{\mathrm{a}}\right). $

(1)

其中: L为液滴的宽度，γ为气液间表面张力，θ_r和θ_a分别为液滴的后接触角和前接触角，k是与三相接触线形状和底板特性有关的常量。

迎面风阻^[28]为

$ F_{\text {drag }}=\frac{1}{2} C_D \rho U^2 S. $

(2)

其中: ρ为气流密度，U为气流的速度，S为液滴迎风面积的投影，C_D是与液滴形状、气流特性和液滴物性有关的常数。液滴在剪切流作用下处于平衡时有

$ F_{\mathrm{adh}}=F_{\mathrm{drag}}. $

(3)

图 9为30 μL的液滴在10 m/s风速作用下顶视和侧视高速CCD的图像，可以发现在此风速下，尽管液滴前后接触角不对称，但底部仍保持圆接触线。因此式(1)中的L即等于接触半径R，式(2)中的投影面积为S=2RH。

将式(1)和式(2)代入式(3)整理得

$ \cos \theta_r-\cos \theta_a=k^{\prime} \cdot W e. $

(4)

其中: We为无量纲参数Weber数，k′是一个表征迎面风阻和黏附力之比的无量纲参数，即

$ k^{\prime}=\frac{C_D}{k}, W e=\frac{\rho U^2 h}{\gamma}. $

(5)

由式(4)可以推断出，液滴体积越大，风速越高则We数也越大，前后接触角之差越大。这与本文实验结果一致。

图 10为20、30 μL液滴的We数与cos θ_r-cos θ_a的关系，可以看出We数与cos θ_r-cos θ_a成线性关系，这表明无量纲数k′对于相同体积的液滴是一个常数，与风速无关。从图 10可以推断出液滴体积越大，风阻对其作用效应越大。通过线性拟合求出20和30 μL液滴的k′为0.032 8和0.057 7，其R²值为0.99和0.94，基本符合线性关系。

为定量化研究风速与前后接触角差值的关系，对式(4)使用和差化积公式得

$ \sin \left(\frac{\theta_{\mathrm{a}}-\theta_{\mathrm{r}}}{2}\right)=\frac{k^{\prime}}{2 \sin \theta_0} \cdot W e. $

(6)

θ₀为前后接触角平均值，实验研究发现，θ₀在不同风速下差异不大，不同风速下差值在10 % 以内，因此将其近似为初始接触角θ₀，将We数代入式(6)可得

$ \sin \left(\frac{\theta_{\mathrm{a}}-\theta_{\mathrm{r}}}{2}\right)=\frac{k^{\prime}}{2 \sin \theta_0} \cdot \frac{\rho h}{\gamma} \cdot U^2 $

(7)

式(7)定量化描述了前后接触角差值和风速的关系。式(7)和实验结果的比较见图 11，可以看出：该关系式对于小体积液滴在低风速时符合得较好，对大体积、高风速液滴误差较大。造成这一误差的原因，主要为对于大体积的液滴来说，其在高风速作用下，液滴的高度会受到较大的影响。因此式(7)中使用初始液滴高度代替液滴实际高度进行计算即会产生较大的误差。

2.3 剪切流对于蒸发速率的强化

剪切流下的液滴，因外界强迫气流作用，其蒸发速率不同于静态蒸发液滴。注液误差使不同风速下注液体积存在差异，本文实验中注液系统误差在3 % 以内，为使不同风速下液滴初始体积处于同一点，对液滴体积做归一化处理。10 μL的液滴分别在0~10 m/s的风速下，归一化体积V随时间的变化规律见图 12。可以看出剪切流作用下的液滴，体积随时间线性减小，这说明液滴蒸发速率为常数与时间无关。相较于无风情况，风速能显著提升液滴蒸发速率，风速越快，蒸发速率越快，但当风速大于4 m/s，增大风速不能显著提升蒸发速率。表 1为10 μL液滴分别在0~10 m/s的风速下，蒸发速率的大小，可以看出2 m/s的风速相较于无风速情形，液滴蒸发速率提升168 %，4 m/s的风速相对于2 m/s的风速，蒸发速率提升63 %，6 m/s的风速相对于4 m/s的风速，蒸发速率仅提升21 %。

图 13为10~30 μL液滴蒸发速率随风速变化的实验测试结果。从图中来看，蒸发速率与风速成上凸函数关系，其增长速度随风速增加而逐渐减缓。在高风速区增大风速并不能显著提升液滴的蒸发速率。

已有对流蒸发模型^[19]表明蒸发通量与气液界面蒸汽浓度满足

$ \rho \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} t}=\iint_S h_{\mathrm{m}}\left(c_{\text {sat }}-c_{\infty}\right) \mathrm{d} S. $

(8)

其中: h_m(mm/s)为对流传质系数; c_sat为气液界面的饱和蒸汽浓度; c_∞为无穷远处的蒸汽浓度, c_∞=RH·c_sat，RH为相对湿度。由于蒸发通量沿界面不均匀，h_m与气液界面S相关，这里将其取为沿表面的平均值h_a，由此可得

$ h_{\mathrm{a}}=\frac{\rho(\mathrm{d} V / \mathrm{d} t)}{(1-\mathrm{RH}) c_{\text {sat }} \cdot S}. $

(9)

取初始时刻，S=S₀，c_sat依据已有文献研究结果^[8]c_sat=2.32×10^-8 g/mm³，则可得到不同风速下初始时刻的平均对流传质系数。为衡量对流传质相对于静态扩散的影响，引入无量纲数Sherwood数Sh，定义为

$ S h=\frac{h_{\mathrm{a}} R}{D} $

(10)

该无量纲参数表征对流传质与扩散传质之比，由于平均对流传质系数h_a与体积无关，h_a取10~30 μL液滴平均值，静态扩散系数D按Hu和Larson^[8]的结果为26.1 mm²/s。Sh数与Re数的关系，见图 14。可以看出Sh数随Re数的增大而增大，这表明随着风速的增大，对流传质相比于扩散传质占主导作用，使得剪切流作用下的液滴相较于无风速下蒸发速率显著提升。这是因为剪切流作用下，气液界面浓度梯度一直处于非饱和状态，气液界面对流传质增强，蒸发速率高，无气流时扩散使界面浓度梯度饱和导致蒸发速率受到限制，因此气流能显著提高液滴蒸发速率。从图 14还可以看出Re数与Sh数成上凸函数关系，这是因为液滴蒸发所需潜热的能量主要由基底提供，液滴从基底获得的能量存在一个阈值，当达到阈值时，即使继续增大风速使界面浓度梯度处于不饱和状态，也无法使对流传质得到增强，从而蒸发速率提升不显著。这是图 13中高风速下增大风速不能显著提升液滴蒸发速率的主要原因。

球冠状液滴的体积、半径与高度满足如下公式

$ V=\frac{\mathsf{π} h\left(3 R^2+h^2\right)}{6}. $

(11)

其中：h为液滴高度，R为接触半径。液滴在蒸发过程中接触半径不变，因此R是一个常量。式(11)两边对t求导得

$ \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathsf{π} R^2}{2} \frac{\mathrm{~d} h}{\mathrm{~d} t}+\frac{\mathsf{π} h^2}{2} \frac{\mathrm{~d} h}{\mathrm{~d} t} $

(12)

根据本文实验结果，蒸发速率dV/dt和高度减小速率dh/dt是一个仅与风速有关的量，与时间t无关，即

$ \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{~d} t}=k_1(U), \quad \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} t}=k_2(U). $

(13)

由式(13)可得h应是时间t的一次函数，则式(12)中的第2项是一个与时间t成二次关系的量，那么液滴蒸发速率k₂(U)与时间t成二次关系，这与本文实验结果不符合(蒸发速率k₂(U)与时间t无关)。因此可以推断式(12)第2项相较于第1项是一个小量(由于初始时刻，风场不稳定，而液滴蒸发又是一个准稳态过程，本文通过线性拟合计算得到的蒸发速率是稳定时刻的，该时段范围中式(12)的第2项相较于第1项为一小量)，从而有

$ \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} t}=\frac{\pi R^2}{2} k_1(U). $

(14)

从式(14)可以看出，要定量化蒸发速率与风速的关系，必须确定高度的减小速率k₁(U)与风速的关系，因此需要做出高度减小速率随风速的关系图。10~30 μL液滴的高度减小速率k₁(U)和风速的关系见图 15，从图 15可以看出对于10~30 μL的液滴，高度的减小速率基本与体积无关，可以认为高度减小速率k₁(U)仅为风速U的连续函数k₁(U)。同时由图 15可以看出高度的减小速率在风速足够大的高风速区，同样与风速呈上凸函数关系，即风速越大，高度减小速率的增长越缓慢。

由图 15可得k₁(U)并不存在拐点，因此如果k₁(U)满足多项式关系，则其最可能是二次多项式，因此本文假设k₁(U)是一个二次多项式，则蒸发速率与风速的关系可定量化表示为

$ \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathsf{π} R^2}{2}\left(\alpha+\beta U+\gamma U^2\right). $

(15)

对k₁(U)进行二次拟合，得到待定系数α、β、γ分别为α=9.532 1×10^-4，β=6.512 96×10^-4，γ=-2.416 74×10^-5，二次拟合的R²和调整R²系数分别为0.99和0.99，k₁(U)基本满足二次关系。

10~30 μL液滴在0~10 m/s风速下的蒸发速率理论公式(15)与实验数据的比较，见图 16。可以发现理论公式(15)对10 μL的小液滴符合较好，误差在5 % 以内。随着体积增大，理论公式误差增大。这是因为式(15)的推导是基于液滴保持球冠状，由前文所述10 μL的液滴，在0~10 m/s的风速下，形貌不显著受风速影响，始终保持球冠状。而对大液滴，在高风速下，其形貌受风速影响显著，剪切流使其形貌不再维持标准球冠状，且液滴体积越大，形貌受风速影响越大，因此式(15)的误差随液滴体积增大而增大。

3 结论

本文以铜基座上10~30 μL的蒸发液滴为研究对象，观测在受风速为0~10 m/s时的界面演化特性和蒸发速率，研究受剪切流作用液滴的蒸发动力学特性，结论如下：

1) 剪切流作用下的钉扎液滴，在蒸发过程中经历3个阶段：第1阶段接触角减小缓慢，这一阶段前后接触角差最明显；第2阶段接触角线性减小，这一阶段占总蒸发时长比重最大，前后接触角差值基本维持一个稳定值；第3阶段，前后接触角快速减小，接触角滞后现象消失，液滴快速蒸干。

2) 剪切流作用下的液滴，其前后接触角差值取决于We数和无量纲数k′，对相同We数，液滴体积越大则k′越大，前后接触角差值越大。通过动力学分析，给出了前后接触角差值和风速的定量化关系式，与实验数据符合较好。

3) 液滴受到剪切流作用时，蒸发速率显著区别于无风速情况。2 m/s风速下，10 μL液滴相较于无风速时，蒸发速率提升168 %。但在高风速区，增大风速无法显著提升液滴蒸发速率。

4) 研究Re数与Sh数的关系。Sh数随Re数的增大而增大，在大Re数下对流传质占主导作用，Re数与Sh数呈上凸函数关系，高风速区增大风速不显著强化对流传质。

5) 在本文研究条件下，推导了适用于体积小于30 μL、风速小于10 m/s的液滴蒸发速率与风速的关系式，该关系式对小体积液滴误差小，大体积液滴误差较大。