自2015年起，宽带低轨卫星互联网星座迅速发展，引起了整个卫星行业的广泛关注^[1]，得益于终端小型化、传播低时延、链路损耗小等优势，低轨卫星一度成为卫星通信系统发展的主流。如今地面5G移动通信系统在我国已经相对成熟并逐步普及，作为空间段的补充，宽带低轨卫星通信系统势必要能与5G移动通信系统融合工作^[2]，这将使得卫星通信技术面临巨大挑战。随着数字相控阵的发展，在数字域灵活配置多波束成为可能，多波束技术也在宽带低轨卫星与5G移动通信系统融合的过程中发挥了重要作用。

目前卫星通信系统最大的挑战在于日益增长的吞吐量需求，高通量卫星主要依赖多波束技术实现阵列的空间自由度复用^[3]，同时文献[4]表明波束成形等技术是处理多波束干扰问题的可行方案。传统低轨卫星基于DVB-S2/S2X标准通信技术，采用相移键控(phase-shift keying，PSK)调制方式，而多波束采用多载波调制方式，峰均比大幅上升。此外，在多载波调制方式下，大规模阵列会导致更高的峰均比^[5]。多波束信号的峰均比问题让功率放大器(power amplifier，PA)的非线性失真不可忽视，成为宽带低轨卫星通信系统中亟待解决的问题。

PA的非线性失真可以分为通道内失真和通道外失真。在通道内表现为带内失真^[6]，即幅度和相位的偏移，最终导致星座图偏移；在通道外表现为频带拓展^[7]，即信号产生新的频率分量，发生信号互调，功率部分泄漏到相邻信道，过高的邻信道功率泄漏可能还会违反杂散发射原则^[8]。在大规模天线阵列下，带外失真在主波束方向最为严重，且此时的失真水平与同条件下的单天线发射机相当^[9]。可以理解为非线性失真同样会受到波束成形的影响，非线性失真在主波束方向聚集，而在其他方向被稀释。

针对PA的非线性失真，目前已有功率回退法、前馈法、包络跟踪法和数字预失真(digital pre-distortion，DPD)等多种线性化技术。功率回退法通过降低工作电平，使PA工作在线性区，PA的效率较低^[10]。前馈法，实现结构复杂。包络跟踪法稳定性非常高，但仅适用于低峰均比信号。随着数字域处理的发展成熟，DPD技术^[11]因其显著的线性化效果成为克服PA非线性特性的解决方案，适用于大规模天线阵列。传统阵列预失真方法采用各通道独立结构，实现复杂度高。文献[12]从算法层面入手，降低DPD学习算法的复杂度。但追求单一通道的复杂度降低不足以满足大规模天线阵列的预失真需求^[13]。为避免预失真模型复杂度随阵元数量呈爆炸式增长，文献[14]提出一种有代表性的简化DPD反馈结构，给出了基于大规模阵列的DPD单通道复用方案，通过对单一PA提取对应的DPD参数，然后应用在所有通道上。但由于实际PA的非一致性，该方案在实际工程场景中的表现较差。

结合波束成形技术，文献[15]在单用户情况下，通过相干组合阵列内的PA输出信号，模拟接收信号作为DPD参数学习的输入信号。在单波束情况下，该方法是一种有效线性化接收方向的预失真方案。文献[16]给出一种适用于双频的多波束DPD技术，在两波束场景下很好地解决了非线性失真、互调失真和多波束干扰问题。文献[17]也设计了一种基于矢量旋转的分解模型，代替传统多项式建模解决多波束预失真问题，但参数提取依旧采取传统结构，仅适用于较小天线规模的场景。对于多波束场景而言，传统预失真的模型和结构不再适用，需要引入新的预失真模型和结构来克服多波束之间的干扰问题^[18]以及由互调失真引起的带外功率泄漏。

针对基于大规模天线阵列的低轨卫星多波束系统，本文提出一种DPD结构，基于多波束场景对传统预失真模型进行改进，增加带内互调项和带间互调项，解决了多波束干扰问题。通过仿真对比，所提多波束预失真结构在系统性能上优于基于单通道复用预失真结构，在复杂度上优于传统多通道预失真结构，实现了性能和复杂度的折中，为星上实现多波束、克服非线性提供一种可行方案。

1 阵列DPD模型 1.1 阵列发射信号模型

发射信号经过数字波束成形器调制得到各通道输入信号，经过每个通道的PA得到输出信号，再经由发射天线发出，如图 1所示。

假设发射端采用P个均匀分布的线性阵列，阵元间距d取半波长。输入信号设为s_p(n)(p=1, 2, …, P)，第p个阵元的波束成形权值为α_p，则每个通道上经过波束成形后的信号为

$ s_p(n)=\alpha_p x(n) . $

(1)

以记忆多项式模型^[19]的PA为例进行分析，则第p个通道经过PA放大后的输出y_p(n)为

$ y_p(n)=\sum\limits_{m=0}^M \sum\limits_{k=1}^K a_{m k}^p s_p(n-m)\left|s_p(n-m)\right|^{k-1}, $

(2)

式中：M和K分别为记忆深度和多项式阶数，a_mk^p为第p个通道的非线性模型参数。将式(1)所示输入信号代入式(2)可得

$ \begin{aligned} & y_p(n)= \\ & \mathrm{e}^{\mathrm{j}(p-1) \beta} \sum\limits_{m=0}^M \sum\limits_{k=1}^K b_{m k}^p x(n-m)|x(n-m)|^{k-1}, \end{aligned} $

(3)

式中阵列权值的相位为(p-1)β，即arg(α_p)=(p-1)β。当阵元p、阶数k以及记忆深度m确定时，b_mk^p=a_mk^p|α_p|^k为常数。

1.2 阵列接收信号模型

在接收端，接收天线对P个通道的信号进行合成，当波束指向θ时，接收信号可表示为

$ \begin{aligned} & y_R(n)= \\ & \sum\limits_{p=1}^P \mathrm{e}^{\mathrm{j}(p-1) \psi} \sum\limits_{m=0}^M \sum\limits_{k=1}^K b_{m k}^p x(n-m)|x(n-m)|^{k-1}, \end{aligned} $

(4)

式中: $\psi=\frac{2 \mathsf{π}}{\lambda} d \sin \theta-\beta$。对式(4)交换求和顺序可得接收信号模型

$ y_R(n)=\sum\limits_{m=0}^M \sum\limits_{k=1}^K c_{m k} x(n-m)|x(n-m)|^{k-1}, $

(5)

$ c_{m k}=\sum\limits_{p=1}^P \mathrm{e}^{\mathrm{j}(p-1) \psi} b_{m k}^p . $

(6)

对比式(4)所示的标准记忆多项式模型，可以将接收信号视为新的记忆多项式模型，c_mk为新的模型参数。

由式(5)可得，在接收端可以将波束成形和PA的非线性特性视为一个非线性系统。在主波束方向，阵列权值必然与接收方向相匹配，此时有$\beta=\frac{2 \mathsf{π}}{\lambda} d \sin \theta$。因此，对于c_mk，当接收方向与阵列权值相匹配时，阵列的指向并不影响整个非线性系统的模型参数，因此可以根据某一确定的波束指向来学习模型参数。

2 面向多波束的预失真结构

预失真模型的参数提取主要分为直接学习结构和间接学习结构。直接学习结构先拟合PA模型，对其进行逆运算后得到预失真参数，对于有记忆系统会引入额外误差^[20]。间接学习结构通过误差信号拟合后逆模型，前逆模型由后逆模型拷贝得到，无需计算逆函数，计算量较小但易受噪声干扰^[21]。本节将基于间接学习结构设计面向多波束的DPD结构。

2.1 面向多波束的传统预失真结构

在阵列预失真模型的基础上，建立面向多波束的传统预失真结构，各波束根据接收信号模型估计反馈信号，学习各波束预失真参数，如图 2所示。

假设波束数量为L，z_l(n)为预失真处理后的第l路信号，y_Rl(n)为第l路波束接收信号(其中，l=1, 2, …, L)。该结构基本思想是根据波束成形原理从阵列信号中恢复各个波束信号$\tilde{y}_{\mathrm{R}_l}(n)$，由后逆模型进一步估计输入信号$\tilde{z}(n)$，最后得到误差信号为

$ e(n)=z(n)-\tilde{z}(n) . $

(7)

若G表示功放增益和阵列叠加增益，α表示预失真参数列矢量，u_k(·)为k阶非线性模型项，则接收估计信号对应的静态非线性函数行矢量$\tilde{\boldsymbol{y}}_{\mathrm{R}_l}$和后逆模型所估计的误差信号$\tilde{z}(n)$为

$ \tilde{\boldsymbol{y}}_{\mathrm{R}_l}=\left[u_1\left(\frac{\tilde{y}_{\mathrm{R}_l}}{G}\right), u_2\left(\frac{\tilde{y}_{\mathrm{R}_l}}{G}\right), \cdots, u_K\left(\frac{\tilde{y}_{\mathrm{R}_l}}{G}\right)\right], $

(8)

$ \tilde{z}(n)=\tilde{\boldsymbol{y}}_{\mathrm{R}_l} \cdot \boldsymbol{\alpha} . $

(9)

2.2 面向多波束的改进预失真结构

图 2所示的预失真结构本质是传统预失真方法在波束层面的沿用，然而多波束模型在计算静态非线性函数时，会重复计算模型项，致使结构上存在冗余。此外，在计算多波束间的互调影响时，各波束独立计算也不合理，因此面向多波束场景的预失真结构需要重新设计。

传统预失真中式(5)仅考虑了单波束信号的互调产物，对于多波束信号还应额外考虑两部分互调产物^[22]，即多波束信号间的带内互调产物和带间互调产物。对于多波束间的带内互调产物可以表示为

$ \begin{gathered} y_{\mathrm{R}_l}(n)=\sum\limits_{m=0}^M \sum\limits_{k_1=0}^{K-1} \sum\limits_{k_2=0}^{k_1} \cdots \sum\limits_{k_L=0}^{k_{L-1}} c_{l m k} x_l(n-m) \\ \left|x_1(n-m)\right|^{k_1-k_2} \cdots\left|x_L(n-m)\right|^{k_L}, \end{gathered} $

(10)

式中：带内互调项为各波束信号幅值乘积形式，K为可能出现的最大阶数；k_l表示l到L项的阶数之和，有K≥k₁≥k₂≥…≥k_L。

式(10)涵盖了单波束的带内互调产物和多波束信号间的带内互调产物，实际计算结构的实现也较为简单。对于4波束而言，在最大阶数K=3时仅需24M次乘法即可得到模型项，此时的预失真模型的性能已经逼近较高阶数下的传统模型性能。

对于多波束信号间的带间互调产物，用带间3阶互调失真(third-order intermodulation distortion，IMD3)描述，IMD3是影响邻信道功率比(adjacent channel power ratio，ACPR)的主要因素之一，以x₁(n)和x₂(n)为例，2信号带间的3阶互调项包括

$ \boldsymbol{x}_{\mathrm{IM} 3}=\left[x_1^*(n) x_2^2(n), x_2^*(n) x_1^2(n)\right], $

(11)

若f₁和f₂表示信号x₁(n)和x₂(n)的频率，则x₁^*(n)x₂²(n)代表的是频率2f₂-f₁处的互调分量。对于多波束信号，用x_IM3表示各波束间产生的3阶互调项。包含带内互调产物在内，最终的预失真模型表示为

$ \begin{gathered} y_{\mathrm{R}_l}(n)=\sum\limits_{m=0}^M \sum\limits_{k=1}^{K_i} c_{l m k} x_l(n-m) \cdot u_k(n-m)+ \\ \boldsymbol{x}_{\mathrm{IM} 3} \cdot \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{IM} 3} \end{gathered} $

(12)

$ u_k(n)=\left|x_1(n)\right|^{k_1-k_2} \cdots\left|x_{L-1}(n)\right|^{k_{L-1}-k_L}\left|x_L(n)\right|^{k_L} . $

(13)

式(12)中：u_k(·)表示多波束条件下可能的互调模型项，K_i为带内互调产物的项数，α_IM3为带间3阶互调项的系数列矢量。式(13)中的u_k(n)与l无关，即对于各波束模型项相同，参数学习阶段仅提取各波束的模型参数。

若各波束间的频带间隔较小，不易滤除，则对任意一个波束而言，其他波束的带内互调产物会作为带外互调产物被保留，未被预失真补偿，从而产生多波束干扰。因此，可添加其他波束的带外互调项作为预失真模型的延伸

$ \begin{gathered} y_{\mathrm{R}}(n)=\sum\limits_{l=0}^L \sum\limits_{m=0}^M \sum\limits_{k=1}^{K_i} c_{l m k} x_l(n-m) \cdot u_k(n-m)+ \\ \boldsymbol{x}_{\mathrm{IM} 3} \cdot \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{IM} 3} . \end{gathered} $

(14)

此时的预失真模型补偿了多波束干扰，且对于各波束具有完全相同的预失真模型项，仅提取的预失真参数不同。在建立多波束预失真模型的前提下，各波束使用统一的预失真结构，如图 3所示。

本学习结构基本思想是补偿了多波束干扰，统一多波束模型项，根据常规波束成形原理得到估计接收信号$\tilde{y}_{\mathrm{R}}(n)$。$\tilde{y}_{\mathrm{R}}(n)$通过后逆模型进一步估计输入信号$\tilde{z}(n)$，由误差信号e(n)学习参数模型。

误差信号学习参数模型的方法并不唯一，以最小均方算法为例，推导本模型中的预失真参数更新公式。考虑到误差信号表达式为

$ e(n)=z(n)-\tilde{\boldsymbol{y}}_{\mathrm{R}} \cdot \boldsymbol{\alpha}_{K M}, $

(15)

式中：$\tilde{\boldsymbol{y}}_{\mathrm{R}}$为矩阵结构的多项式函数，α_KM为由预失真参数组成的列矢量，被减去的估计信号$\tilde{z}(n)$表示为矩阵乘法形式。

若e是包括了N个误差样本构成的列矢量，为了找到一组α_KM使得输出信号更加接近输入信号，根据均方误差准则构建代价函数

$ J=\boldsymbol{e}^{\mathrm{H}} \cdot \boldsymbol{e}, $

(16)

考虑瞬时梯度矢量和参数迭代式：

$ \nabla \boldsymbol{J}=\frac{\partial J}{\partial \boldsymbol{\alpha}_{K M}}, $

(17)

$ \boldsymbol{\alpha}_{K M}(n+1)=\boldsymbol{\alpha}_{K M}(n)-\mu \nabla \boldsymbol{J}, $

(18)

应用魏廷格导数(wirtinger derivative)，可以得到梯度矢量

$ \nabla \boldsymbol{J}=\boldsymbol{R}_{x x} \boldsymbol{\alpha}_{K M}-\boldsymbol{r}, $

(19)

$ \boldsymbol{R}_{x x}=\boldsymbol{Y}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{Y}_{\mathrm{R}}, $

(20)

$ \boldsymbol{r}=\boldsymbol{Y}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{z}, $

(21)

式(19)中的R_xx为接收信号的自相关矩阵，r为发射信号和接收信号的互相关矢量；式(20)中的Y_R为N个接收估计信号样本组成的非线性函数矩阵。根据上述梯度计算公式，可以得到步长迭代公式

$ \boldsymbol{\alpha}_{K M}(n+1)=\boldsymbol{\alpha}_{K M}(n)+\mu \boldsymbol{Y}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{e} . $

(22)

2.3 复杂度分析

本节对所提DPD结构的计算复杂度进行分析，并与传统多通道预失真结构进行比较。假设K_m表示所提出方法的等效阶数，N表示样本的估计数量，K表示多通道预失真的阶数，P为天线数量，L为波束数量。用浮点运算(floating point operations，FLOPs)次数衡量复杂度，复数乘法需要6次浮点计算，复数加法需要2次浮点计算。类似地，在矩阵运算中复数乘积累加计算(multiply and accumulate，MAC)需要8次浮点计算，实数MAC需要2次浮点计算。预失真主要分为线性化阶段和学习阶段，线性化阶段表达式为

$ z(n)=\boldsymbol{x}_u(n) \cdot \boldsymbol{\alpha}, $

(23)

其中：x_u(n)为预失真模型项[u₁(x), u₂(x), …, u_K(x)]，即各阶非线性基函数。传统多通道预失真按P路通道计算，生成K维多项式模型x_u(n)需要K-1次复实数间乘法，产生的复杂度为2P(K-1)。所提方法波束间共用模型项x_u(n)，计算与传统算法相似，需要K_m-L次复实数间乘法，产生的复杂度为2(K_m-L)。预失真处理阶段x_u(n)· α包含1×K维矢量与K×1维矢量乘法，所提方法与传统方法按照L个波束、P路通道计算，复杂度分别为L(8K_m-2)和P(8K-2)。

学习阶段根据反馈信号计算模型项，按式(15) 应用后逆模型处理后减去前逆模型输出可得误差信号，并根据式(22)更新预失真参数。假设Z为N个样本的前逆模型输出，则可得N个样本的误差信号表达式

$ \boldsymbol{e}=\boldsymbol{Z}-\boldsymbol{Y}_{\mathrm{R}} \cdot \boldsymbol{\alpha}_{K M} . $

(24)

模型项Y_R计算与线性化阶段的处理大致相同，但均取N个样本计算。后逆模型处理式Y_R· α_KM表示预失真处理，N个样本下复杂度为NP(8K-2)。假设传统多通道预失真的各通道使用最小均方算法学习参数，式(24)中误差信号生成包括一次N维矩阵减法，式(22) 更新参数包括一次K×N维矩阵与N维矢量复数乘法，一次K维矩阵实复数间数乘，一次K维矩阵复数加法，按P路通道计算，与后逆模型处理合计复杂度为16NPK+6PK。所提方法参数更新按L维度计算，复杂度为16NLK_m+6LK_m。综上，2种预失真方法复杂度的分析如表 1所示。

3 仿真结果与分析

本文基于相控阵天线选取单波束场景和多波束场景分别进行仿真实验，对比不采用预失真结构、采用传统多通道预失真结构以及采用本文所提面向多波束预失真结构的实验结果，进一步论证所提结构的优势。

Saleh模型^[23]是1981年提出的基于双参数公式的行波管放大器(traveling-wave tube amplifier，TWTA)模型，被广泛应用于卫星通信系统的相关研究中。由输入信号幅值所决定的Saleh模型可以表示为

$ \mathrm{A}[r(n)]=\frac{\alpha_1 r(n)}{1+\beta_1 r(n)^2}, $

(25)

$ \mathit{Φ}[r(n)]=\frac{\alpha_2 r(n)^2}{1+\beta_2 r(n)^2} . $

(26)

式中：[α₁, β₁]表征功放幅值输入输出曲线的特性，[α₂, β₂]表征功放相位输入输出曲线的特性。Saleh模型的经典AM/AM曲线和AM/PM曲线如图 4所示。

Saleh模型更适用于近似TWTA放大器的非线性失真情况，图 4中的幅值曲线对应的线性放大倍数为20lg α₁=6.68 dB，本仿真取经典参数α₁=2.158 7，β₁=1.151 7，α₂=4.003 3, β₂=9.104 0。

滚降系数决定了频带的利用率，越小的滚降系数可以得到越陡峭的载波波形，满足更高带宽的业务需求。在DVB-S2标准通信技术^[24]中可以选用滚降系数：0.35、0.25、0.20，本仿真实验选用滚降系数0.25作为频带仿真条件。其他具体仿真参数如表 2所示。

对于接收信号，重点关注误差矢量幅度(error vector magnitude，EVM)和ACPR。其中，EVM表征接收信号的整体质量，由于仿真未增加额外噪声单元，也无其他失真影响，EVM可以近似作为非线性失真的综合表征参数；ACPR表征带外失真的严重程度，衡量功率泄漏到相邻信道的比例。传统DPD结构与本文所提结构的单波束仿真结果如表 3所示。

由表 3可得，在单波束场景下，本文所提结构能够很好地抑制带内的互调分量，且抑制带外失真的效果也比较明显。EVM和ACPR实验数据与多通道预失真结构具有相同数量级且均优于单通道复用结构。接收处信号的功率谱密度如图 5所示。带外功率泄漏的情况在使用预失真结构后有明显改善，且本文所提结构和传统多通道预失真方法结构均能达到50 dBc以上的抑制带外失真能力。

多波束实验场景和单波束大致相同，采用4路子信道输入信号，各子信道占用250 MHz带宽，总带宽1 GHz。子信道信号由各波束发送至接收端，波束1对应频率最低的子信道，其余波束顺序排列。实验中加入了改进后的多波束预失真算法，仿真结果如表 4所示。

表 4为不同方法下波束1的EVM数据和其左右邻信道的ACPR数据。所提方法左邻信道ACPR指标与传统多通道预失真方法有6 dB的差距，来源于所提方法与传统多通道预失真方法的性能差距。所提方法简化了整个相控阵非线性系统的线性化过程，性能实质上不如传统多通道预失真，但对多波束干扰做出了优化，因此补偿后的右邻信道ACPR指标优于传统多通道预失真。本文所提结构在EVM上已经接近传统多通道预失真，表明其线性化能力已达到预期水准。左右邻信道的ACPR也较为均衡，受相邻子信道的影响相比传统多通道预失真较小。波束1的接收信号功率谱密度如图 6所示。

与其他几种预失真算法相比，可以看到改进后的多波束预失真算法已经逼近传统多通道预失真算法的性能，在一侧的ACPR抑制能力上有一定优势。单通道复用DPD算法虽然在ACPR方面与其他算法近似，但EVM较大，这表示该算法在抑制子信道间产生的带内互调失真方面有所不足。

图 7为多波束情况下，各波束的接收信号功率谱。传统多通道预失真虽然降低了ACPR，但无法完全解决多波束带来的干扰问题，如图 7(a)所示。面向多波束预失真基本补偿了其他波束在目标波束接收方向上的干扰信号，很好地解决了非线性、互调失真和多波束干扰问题，如图 7(b)所示。

基于表 2所用仿真实验参数并结合表 1所示的复杂度分析可得，传统多通道预失真结构在线性化阶段和学习阶段的浮点运算数分别为1.18 MFLOP和2.53 MFLOP，本文提出的面向多波束预失真结构的浮点运算数分别为0.39 MFLOP和0.77 MFLOP，在线性化阶段和学习阶段减少的复杂度分别为66.9 % 和69.6 %，总的计算复杂度减少约68.7 %。随着天线规模的大幅增加，复杂度的优势会更加显著。

4 结论

基于数字相控阵的多波束技术是低轨卫星通信系统的关键技术之一，为解决多波束带来的峰均比问题和波束间干扰问题，本文提出一种面向多波束的数字预失真架构。通过引入互调模型，重新定义了面向多波束的预失真模型和结构，有效解决了非线性、互调失真和多波束干扰问题。在多波束场景下，通过仿真对比，本文所提结构较已有数字预失真结构在提供近似的性能的同时，计算复杂度减少约68.7 %，实现了复杂度和性能的均衡。传统预失真结构的复杂度会随着阵列规模的扩大而增加，本文所提面向多波束的预失真结构其计算复杂度取决于波束数量，与阵列规模无关，节约了大量的计算资源，为星上实现多波束、克服非线性提供了一种可行方案。