在第5代移动通信系统中，大规模多输入多输出(massive multi-input multi-output, massive MIMO)是提高系统容量和频谱利用率的关键技术^[1]。massive MIMO技术的优点依赖于其大规模的天线。在传统的全数字编码结构中，每条天线都与一条射频链路相连，大规模天线就意味着大规模的射频链路。考虑到系统的能量消耗、硬件成本以及系统复杂度，传统的全数字结构并不适用于massive MIMO系统^[2]。混合波束成形技术通过在射频链路后加入模拟预编码模块，能够以较少数目的射频链路与大规模天线相连，很好地规避了传统全数字编码结构中射频链路与发射天线之间一一对应的硬件限制。文献[3]证明了混合波束成形结构能够实现接近于全数字编码结构的频谱效率。因此，混合波束成形结构是实现massive MIMO技术的一种可行结构，对未来通信技术的发展具有重大意义。

正交频分复用(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)技术也能显著提高系统的频谱效率。在OFDM系统中，峰均功率比(peak-to-average power ratio, PAPR)是限制系统性能的主要因素之一。发射天线端信号的PAPR过高会使信号产生非线性失真，造成明显的频谱扩展干扰与带内信号畸变，导致整个系统的性能下降。为降低全数字编码结构的PAPR，现有文献提出了大量不同的解决方法，技术包括幅度削波(clipping)^[4]、削波和滤波^[5-6]、编码^[7]、音频保留^[8]或音频注入^[9]、选择性映射(selective mapping，SLM)^[10-12]、部分传输序列^[13-14]以及交织^[15]等等。这些技术通过对数模转换器(digital-to-analog converter, DAC)输入端信号或者离散傅里叶逆变换(inverse discrete Fourier transform, IDFT)前的频域信号进行处理，从而降低射偏链路上信号的PAPR。由于结构上的差异，以上适用于全数字编码结构的技术能否直接用于混合波束成形结构这一问题有待进一步研究。目前为止，还没有文献考虑到混合波束成形结构中PAPR降低这一问题。

混合波束成形技术有2种主流结构：部分连接结构和全连接结构^[16]。在部分连接结构中，每根天线通过移相器与一条射频链路相连，天线端信号由对应的某条射频链路端信号改变相位得到。因此，发射天线端信号的能量与对应射频链路端信号能量相等，发射天线端信号的PAPR也就与射频链路端信号的PAPR相等。只要降低射频链路端信号的PAPR，就同时降低了发射天线端信号的PAPR。因此，现有的PAPR降低方法都能有效应用于部分连接混合波束成形结构中，实现发射天线端信号PAPR的降低。而在全连接结构中，每根天线通过移相器与所有射频链路相连，天线端信号是由所有射频链路端信号相位旋转后的求和，天线端信号的PAPR不等于射频链路端信号的PAPR。因此，无法通过降低射频链路端信号的PAPR来降低发射天线端信号的PAPR。现有的PAPR降低方法都无法有效地直接运用于全连接结构中。如何降低全连接结构中天线端信号的PAPR对于全连接结构付诸实际应用至关重要。

针对全连接混合波束成形结构中发射天线端信号的PAPR降低这一问题，本文提出一个改进选择性映射算法。此外，还推导出全连接结构中发射天线端信号PAPR的理论值上界和下界。相比于以传统SLM和clipping算法为例的现有PAPR降低方法，改进SLM算法能够更加显著地降低全连接结构中发射天线端信号的PAPR。仿真结果表明，本文中的理论结果能很好地预测出全连接结构中发射天线端信号PAPR的一个区间。

1 系统建模

如图 1所示为基于OFDM的多输入单输出(multiple-input single-output, MISO)系统框架^{[2, 17]}。本文假设基站具有N_t根发射天线，同时服务K个单天线用户。基站端为每个用户分配一条独立的数据流，每条数据流包含N个子载波的数据，射频链路数与数据流数相同。假设子载波数大于发射天线数, 即N>N_t。

发射的原始信号表示为：$\boldsymbol{S}=\left[\boldsymbol{S}_1, \boldsymbol{S}_2, \cdots, \boldsymbol{S}_{\mathrm{N}}\right]$\in \mathbb{C}^{K \times N}$，其中n=1, 2, …, N为子载波的序引，$\boldsymbol{S}_n=$\left[s_{1 n}, s_{2 n}, \cdots, s_{K_n}\right]^{\mathrm{T}} \in \mathbb{C}^{K \times 1}$为第n个子载波上的信号，$\mathbb{C}$表示复数域。对于每个S_n，系统都有一个对应的数字预编码$\boldsymbol{D}_n \in \mathbb{C}^{K \times K}$。经过数字预编码后的频域信号$\boldsymbol{X} \in \mathbb{C}^{K \times N}$再经过IDFT转换为时域信号$\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{K \times N}$。时域信号经过射频链路后传输到一个统一的模拟预编码$\boldsymbol{F} \in \mathbb{C}^{N_{\mathrm{t}} \times K}$。其中，$\boldsymbol{F}(m, k)=$\mathrm{e}^{\mathrm{j} \theta \boldsymbol{mk}}$。发射天线端的信号表示为$\boldsymbol{y} \in \mathbb{C}^{N_1 \times N}$。

原始信号经过数字预编码后，第k条射频链路、第n个子载波上的频域信号为

$ \boldsymbol{X}(k, n)=\boldsymbol{D}_n(k, :) \boldsymbol{S}_n . $

(1)

通过对频域信号X (k, n)进行IDFT得到时域信号x (k, i)，表示如下

$ \boldsymbol{x}(k, i)=\sum\limits_{n=1}^N \boldsymbol{X}(k, n) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \frac{2 \pi i n}{N}}, i=1, \cdots, N . $

(2)

时域信号再经过模拟预编码后得到发射天线端的信号。第m条天线、第n个子载波上的信号可以表示为

$ \boldsymbol{y}(m, n)=\boldsymbol{F}(m, :) \boldsymbol{x}(:, n)=\sum\limits_{k=1}^K \boldsymbol{x}(k, n) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \theta_{m k}} $

(3)

系统中，射频链路端信号的PAPR定义为所有射频链路端信号峰值功率与平均功率之比的最大值

$ \mathrm{PAPR}_{\mathrm{rf}}=\max _{1 \leqslant k \leqslant K}\left\{\frac{\max _{1 \leqslant n \leqslant N}|\boldsymbol{x}(k, n)|^2}{\mathbb{E}\left\{|\boldsymbol{x}(k, n)|^2\right\}}\right\} . $

(4)

其中，$\mathbb{E}$表示均值。

同理，天线端信号的PAPR定义为所有天线端信号峰值功率与平均功率之比的最大值

$ \operatorname{PAPR}_{\mathrm{tx}}=\max _{1 \leqslant m \leqslant N_t}\left\{\frac{\max _{1 \leqslant n \leqslant N}|\boldsymbol{y}(m, n)|^2}{\mathbb{E}\left\{|\boldsymbol{y}(m, n)|^2\right\}}\right\} . $

(5)

本文使用PAPR超过某阈值z₀的互补累计密度函数(complementary cumulative density function, CCDF)评估系统表现。

在实际OFDM系统中，制约发射机性能的主要是功率放大器(power amplifier, PA)输入端信号的PAPR，即式(5)中的PAPR_tx。传统的PAPR降低方法实际上降低的是式(4)中的PAPR_rf。以clipping算法为例，由于无法直接对模拟域信号进行处理，clipping算法实际上是通过对DAC输入端信号进行限幅处理，从而实现PAPR_rf的降低。在全数字编码结构中，DAC输入端信号的PAPR等于PA输入端信号的PAPR，即PAPR_rf=PAPR_tx，因此传统PAPR降低方法能实现PAPR_tx的降低。但是在全连接混合波束成形结构中，由式(4)和式(5)可知，PAPR_rf≠PAPR_tx。应用于全数字编码结构的PAPR降低算法无法有效地降低全连接结构中的PAPR_tx。

2 算法描述 2.1 传统SLM算法

传统SLM算法的原理如图 2所示，其具体步骤是：首先将原始信号S与U个独立的相位旋转矩阵$ \boldsymbol{P}^{(u)} \in \mathbb{C}^{K \times N}$进行对应元素相乘，得到U组经过不同相位旋转后的信号S^(u)，即$\boldsymbol{S}^{(u)}=$\mathbf{S} \odot \boldsymbol{P}^{(u)}$。其中，⊙表示哈达玛(Hadamard)乘积，$\boldsymbol{P}^{(u)}(k, n)=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \beta_{k n}}, \beta_{k n} \in[0, 2 \pi)$且彼此独立。这些信号通过数字预编码和IDFT后得到U组不同的射频链路端信号x ^(u)。其中，数字预编码和IDFT的计算分别依据式(1)和式(2)。之后根据式(4)计算得到每组射频链路端信号的$\operatorname{PAPR}_{\mathrm{rf}}^{(u)}$，选择其中具有最小PAPR的序列$\hat{u}=$\underset{1 \leqslant u \leqslant U}{\operatorname{argmin}}\left\{\operatorname{PAPR}_{\mathrm{rt}}^{(u)}\right\}$。最后，该序列的射频链路信号经过模拟预编码后发送。

2.2 改进SLM算法

在混合波束成形结构中，PA位于模拟预编码之后，为避免PA进入非线性工作区域，需要尽量降低PAPR_tx。然而传统SLM算法基于PAPR_rf挑选相位旋转矩阵，无法有效地降低PAPR_tx。为解决这一问题，我们改变了传统SLM算法中计算信号PAPR的位置，转变为计算PAPR_tx。图 3给出了改进SLM算法降低全连接结构中PAPR_tx的原理结构图。区别于传统SLM算法根据式(4)对链路端信号x^(u)进行选择，改进SLM算法根据式(5)选择天线端信号y ^(u)中具有最小PAPR_tx的序列进行发送，即发送的序列索引为$\hat{u}=$\underset{1 \leqslant u \leqslant U}{\operatorname{argmin}}\left\{\mathrm{PAPR}_{\mathrm{tx}}^{(u)}\right\}$。

2.3 性能分析

接下来，对使用改进SLM算法下PAPR_tx的理论值进行推导，进一步区分传统SLM算法和改进SLM算法的差异。先分析不使用任何PAPR降低方法下，原始信号PAPR_rf和PAPR_tx的大小。通过推导，得到PAPR_rf的理论值，以及PAPR_tx的上界和下界。推导过程表明，全连接结构中射频链路数小于发射天线数这一特性使得原始信号的PAPR_tx大于PAPR_rf，也使得传统SLM算法无法有效降低全连接结构中的PAPR_tx。根据原始信号的理论结果，进而推导出使用改进SLM算法下PAPR_tx的上界和下界。

将数字预编码假设为等增益传输，且不同子载波的数字预编码D_n相互独立。等增益传输可以使经过数字预编码后的信号X (k, n)的能量一致，且不同子载波上的信号彼此独立。在这样的设置下，根据中心极限定理可以认为经过IDFT的信号符合均值为0、方差为1的复高斯分布^[18]，即$\boldsymbol{x}(k, i) \sim \mathcal{C N}(0, 1)$且彼此相互独立。因此，可以得到

$ P_r\left(|\boldsymbol{x}(k, i)|^2 \leqslant z_0\right)=1-\mathrm{e}^{-z_0}, $

(6)

$ \mathbb{E}\left\{|\boldsymbol{x}(k, i)|^2\right\}=1 . $

(7)

将式(6)和式(7)代入式(4), 可知

$ P_r\left\{\operatorname{PAPR}_{\mathrm{rf}}>z_0\right\}=Q_1=1-\left(1-\mathrm{e}^{-z_0}\right)^{K \times N} . $

(8)

接下来推导发射天线端信号的性质。用x_I, x_Q分别表示x (k, i)的实部和虚部，则$x_I, x_Q \sim \mathcal{N}$(0, 1 / 2)$，且彼此独立。x(k, i)经过一个与之独立的相位旋转后得到

$ \begin{gathered} \boldsymbol{x}(k, i) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \varphi}=\left(x_I \cos (\varphi)-x_Q \sin (\varphi)\right)+ \\ \mathrm{j}\left(x_I \sin (\varphi)+x_Q \cos (\varphi)\right). \end{gathered} $

(9)

令x (k, i)e^jφ的实部和虚部分别表示为m_I，m_Q, 则：

$ \mathbb{E}\left\{m_l\right\}=\mathbb{E}\left\{m_Q\right\}=0, $

(10)

$ \begin{aligned} \operatorname{Var}\left\{m_l\right\} & =\frac{1}{2}\left(\cos ^2(\varphi)+\sin ^2(\varphi)\right) \\ & =\operatorname{Var}\left\{m_Q\right\}=\frac{1}{2} \end{aligned} $

(11)

$ \mathbb{E}\left\{m_l m_Q\right\}=0 . $

(12)

其中: Var表示方差，由式(10)与式(11)可知，$m_I, m_Q \sim \mathcal{N}\left(0, \frac{1}{2}\right)$。由式(10)与式(12)可知，m_I与m_Q相互独立。因此，可以推出

$ \boldsymbol{x}(k, i) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \varphi} \sim \mathcal{C N}(0, 1) . $

(13)

其中: $\mathcal{C N}\left(0, \sigma^2\right)$表示均值为0、方差为σ²的复高斯分布。根据x(k, i)e^jφ的独立性，可以进一步推出$\boldsymbol{y}(m, n) \sim \mathcal{C N}(0, K)$。进而得到

$ P_r\left(|\boldsymbol{y}(m, n)|^2 \leqslant z_0\right)=1-\mathrm{e}^{-K z_0}, $

(14)

$ \mathbb{E}\left\{|\boldsymbol{y}(m, n)|^2\right\}=K . $

(15)

假设不同天线端信号彼此独立，则矩阵y的秩为N_t，即rank{ y }=N_t。基于该假设下，矩阵y具有彼此独立的N_t×N个元素。将式(14)和式(15)代入式(5)，PAPR_tx超过z₀的CCDF为

$ Q_2=1-\left(1-\mathrm{e}^{-z_0}\right)^{N_t \times N} . $

(16)

实际上，在混合波束成形结构中，射频链路数K小于发射天线数N_t。因此，rank{ F }≤K，则rank{ y }=rank{ Fx }≤K, 即矩阵y最多只有K行彼此独立的向量。根据文献[19]，天线之间的相关性会导致PAPR小于其理论值。因此，考虑到天线之间的相关性，全连接结构中PAPR_tx满足P_r

$ P_r\left\{\mathrm{PAPR}_{t x}>z_0\right\}<Q_2 . $

(17)

由式(17)可知，Q₂是混合波束成形结构中PAPR_tx的上界。混合波束成形结构中射频链路数小于天线数这一特性使得PAPR_tx一定小于Q₂。

计算PAPR_tx时，如果只考虑独立的K条天线上的信号，PAPR_tx将会等于PAPR_rf。考虑所有天线上的信号，不改变平均功率$\mathbb{E}\left\{|\boldsymbol{y}(m, n)|^2\right\}$的大小，而会增大天线端信号的峰值功率。因此，可以得到

$ P_r\left\{\mathrm{PAPR}_{\mathrm{tx}}>z_0\right\}>Q_1 . $

(18)

式(18)表示Q₁是混合波束成形结构PAPR_tx的下界。Q₁同时也是PAPR_rf的理论值。PAPR_tx与其下界的差异同样由混合波束成形结构的特性导致。另外，式(18)还说明在全连接混和波束成形结构中，PAPR_tx大于PAPR_rf，传统的SLM算法无法有效地降低全连接结构中的PAPR_tx。

最后，推导使用改进SLM算法下PAPR_tx的性能表现。相位旋转矩阵P^(u)彼此独立，并且P ^(u)中每一个元素的模值为1，且相互独立。因此，相位旋转矩阵P ^(u)不影响上述推导。使用改进SLM算法下，PAPR_tx超过z₀的CCDF为

$ Q_3=\left(P_r\left\{\mathrm{PAPR}_{\mathrm{tx}}>z_0\right\}\right)^U . $

(19)

根据式(17)和式(18)，可以得到

$ Q_1^U<Q_3<Q_2^U . $

(20)

3 仿真结果

本文中，仿真实验采用编码的正交相移键控(quadrature phase shift keying，QPSK)OFDM信号，子载波数目为512。信道状态矩阵具有空间相关性和频率选择性^[20]。本文采用文献[21]提出的一种低复杂度的混合预编码方案。

3.1 不使用SLM算法的PAPR性能表现

为验证理论推导的正确性，本文测试了一个MISO系统的PAPR_rf和PAPR_tx。该系统的射频链路数K=2，发射天线数N_t=8，仿真结果如图 4所示。从图中可以看出，在互补概率函数相同的情况下，PAPR_tx大于PAPR_rf，并处于理论值上界和下界之中，PAPR_rf曲线与理论值下界曲线非常接近。仿真结果很好地验证了理论推导和结论的正确性。

3.2 传统SLM算法的PAPR性能表现

为检验传统SLM算法降低全连接结构中PAPR的效果，将传统SLM算法应用在用户数为2、天线数为8的全连接结构中，相位旋转组数U=32。仿真结果如图 5所示。从图中可以看出，使用传统SLM算法能一定程度上降低PAPR_rf和PAPR_tx。当CCDF达到10^-4时，使用传统SLM算法PAPR_rf降低约3.5 dB，PAPR_rf达到了一个较小的数值；但是PAPR_tx只降低了约1 dB，且PAPR_tx依然比较大。仿真结果证明，使用传统SLM算法并不能有效地降低全连接结构中的PAPR_tx。

3.3 改进SLM算法的性能表现

为验证改进SLM算法对全连接结构中天线端信号的PAPR降低的效果，将改进SLM算法应用于同一系统，共设计了32组独立的相位旋转矩阵，即U=32。另外，还将传统的SLM算法和经典的clipping算法运用于全连接结构中作为对比。从图 6可以看出，在互补概率密度函数均为10^-4时，使用改进SLM算法使PAPR_tx达到9 dB以下，而经过clipping算法或是传统SLM算法处理后全连接结构中的PAPR_tx均大于11 dB，远大于改进SLM算法实现的PAPR_tx。这表明现有的PAPR降低方法无法有效降低全连接结构中的PAPR_tx，改进SLM算法在降低全连接结构中的PAPR_tx上取得了较好的效果。使用改进SLM算法后PAPR_tx处于理论值上界和下界之间，验证了理论推导的正确性。

为验证相位旋转组数目U对改进SLM算法表现的影响，对射频链路数K=2、发射天线数N_t=8的MISO系统进行了组数不同的相位旋转。图 7展示了不同情况下PAPR_tx的CCDF曲线。图中最右边的曲线表示的是原始信号的CCDF曲线，左边3条为使用改进SLM算法、U取不同值对应的CCDF曲线。从图中可以看出，当U≥8时，改进SLM算法能将PAPR_tx降低约3 dB。随着相位旋转组数目的增加，改进SLM算法降低PAPR_tx的效果变好。

SLM算法的旋转相位信息一般通过边信息的方式传输。在具有理想边信息的条件下，SLM算法不会影响原始信号的BER性能^[22]；然而在实际系统中往往得不到理想边信息，这时需要通过盲检测等方式解析出相位旋转信息。为验证本文提出的改进SLM算法对BER的影响，假设一个加性高斯白噪声，运用文献[23]提出的解码方案。该方案利用导频载波能量比信号载波能量高这一性质，发射端根据相位旋转组索引信息确定信号中导频载波的位置，接收端通过检测导频载波的位置解析出选取的相位旋转组索引。图 8展示了不同相位旋转组数目U对系统比特误码率的影响，其中信噪比定义为PA输入端信号能量与高斯白噪声能量之比。从图 8可以看出，比特误码率随着信噪比的增大而减小，改进SLM算法取得了与原始信号接近的比特误码率。此外，仿真结果表明U的变化对系统BER的表现几乎没有影响。

为验证本文提出的改进SLM算法是否适用于其他场景，将改进SLM算法应用于K=8、N_t=128的全连接混合波束成形系统，并检测相位旋转组数目不同对算法效果的影响。从图 9可以看出，改进SLM算法可以将系统的PAPR_tx降低约3 dB，使系统实现了一个较低的PAPR_tx，仍然取得了较好的效果。

基于以上仿真结果，得到以下结论：全连接混合波束成形结构中的PAPR_tx要大于PAPR_rf；传统SLM算法无法有效降低该结构中的PAPR_tx；本文提出的改进SLM算法能将该结构中的PAPR_tx降低约3 dB；改进SLM算法的PAPR_tx降低性能随着相位旋转组数目的增加而变好；改进SLM算法不会引起系统BER性能的恶化；相位旋转组数目U的增大虽然能提升改进SLM算法的PAPR_tx降低性能，但也会导致算法运算复杂度的增加，为接收端解码信息带来了挑战。因此，应该综合考虑PAPR_tx降低效果和比特误码率去选择系统适用的相位旋转组数。

4 结束语

全连接混合波束成形的结构特性使得其发射天线端信号的PAPR_tx大于射频链路端信号的PAPR_rf，这也导致传统的PAPR降低方法无法有效应用于全连接混合波束成形结构。针对如何降低全连接混合波束成形结构天线端信号的PAPR这一问题，本文提出一种改进SLM算法。改进SLM算法对原始输入数据进行多组独立的相位旋转，最后选择天线端信号PAPR_tx最小的时域序列进行发送。理论分析和仿真结果表明，改进后的SLM算法能有效地降低全连接混合波束成形结构中天线端信号的PAPR_tx。