对如下的二元多项式P(x, y)=(x²+1)y²+2(x²+x)y+x(x²+1), 利用双对数函数给出其Mahler测度的一些计算结果。

首先，对P(x, y)=0所定义的亏格为2的代数曲线C作变换，使其与某一亏格为0的有理曲线建立联系。

1 双有理变换φ和商映射f

首先，对曲线C: (x²+1)y²+(2x²+2x)y+x(x²+1)=0作双有理变换φ：

$\begin{gathered} x=\frac{x_1+1}{x_1-1} \leftrightarrow x_1=\frac{x+1}{x-1}, \\ y=\frac{y_1-x_1\left(x_1^2-1\right)}{\left(x_1{ }^2+1\right)\left(x_1-1\right)} \leftrightarrow \\ y_1=\frac{4\left[\left(x^2+1\right) y+x^2+x\right]}{(x-1)^3} . \end{gathered}$

化为曲线C₁, 其方程为C₁: y₁²+3x₁⁴-2x₁²-1=0。

φ是曲线C到曲线C₁之间的双有理等价。在此对应下，曲线C的自同构σ: (x, y)$\mapsto$(1/x, 1/y)对应着曲线C₁的自同构σ₁: (x₁, y₁)$\mapsto$(-x₁, y₁)。

接下来，对曲线C₁再作商映射

$\begin{gathered} f: C_{1} \rightarrow C_{1} / <\sigma_{1}>, \\ \left(x_{1}, y_{1}\right) \mapsto\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}{ }^{2}, y_{1}\right), \end{gathered}$

得到商曲线C₂=C₁/ < σ₁>, 其方程为C₂: y₂²+3x₂²-2x₂-1=0。曲线C₂是一条亏格为0的有理曲线。

2 临界点分析

考察曲线C的以y为变元的方程的2个根

$\begin{gathered} y_{ \pm}=\frac{-2 x^{2}-2 x \pm \sqrt{-4 x\left(x^{2}+x+1\right)(x-1)^{2}}}{2\left(x^{2}+1\right)}= \\ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} \cdot \\ \frac{-2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 x^{-\frac{1}{2}} \pm \sqrt{-4\left(x+\frac{1}{x}+1\right)\left(x+\frac{1}{x}-2\right)}}{2\left(x+\frac{1}{x}\right)} . \end{gathered}$

对上式作变量替换x(s)=e^2πis, s∈[-1/2, 1/2]。进而上式可化为y_±=$\mathrm{e}^{\mathrm{\pi is}} \frac{-4 \cos (\pi s) \pm \sqrt{-4(2 \cos (2 \pi s)+1)(2 \cos (2 \pi s)-2)}}{4 \cos (2 \pi s)}$。

下面考察y_±模长为1的情况，即上式中根号下的部分为零时的情况：-4(2cos(2πs)+1)(2cos(2πs)-2)=-64cos⁴(πs)+80cos²(πs)-16=0, 求解此方程可得cos(πs)=1, -1, -1/2, 1/2.考虑到参数化的取值范围是s∈[-1/2, 1/2], 所以只能有cos(πs)=1或1/2, 这分别对应着s=0或±1/3。在区间s∈[-1/2, 1/2]上观察分析上面函数的图像易知，临界点为曲线C上s取-1/3, 0, 1/3时相对应的点。

沿用前面的记号，对有理曲线C₂作如下的参数化。

$\left\{\begin{array}{l} x_{2}=\frac{t^{2}-1}{t^{2}+3}, \\ y_{2}=\frac{-4 t}{t^{2}+3} . \end{array}\right.$

由曲线C和曲线C₂之间的关系易知：x₂=$\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}=-\frac{1}{\tan ^{2}(\pi s)}=\frac{t^{2}-1}{t^{2}+3}$。当$s= \pm \frac{1}{3}$ 时，由$\frac{t^{2}-1}{t^{2}+3}= \pm \frac{1}{3}$解得t=0; 当s=0时，$\lim\limits _{s \rightarrow 0} x_{2} \rightarrow-\infty$, 这对应着t²+3=0, 即$t= \pm \sqrt{3} \mathrm{i}$. 通过代入原曲线C的方程可知，这对应着原曲线C的一个奇点(1, -1)。

3 Mahler测度的双对数表达式

二元多项式的Mahler测度因与L函数特殊值有关而成为研究的热点。想计算一个多元多项式的Mahler测度十分困难，甚至对于一般的二元多项式也并不容易。对于一些特定的二元多项式，有一些方法可以计算其Mahler测度，本文研究的多项式P(x, y)=(x²+1)y²+2(x²+x)y+x(x²+1)便是其中之一。

我们研究的这个多项式来自于文献[1]中给出的一族多项式P_k(x, y)=(x²+1)y²+(kx²+kx)y+x(x²+1)在k=2时的情形，此时根据他们的结果，可以猜测$m(P)=\frac{5}{2} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right)$成立。本文利用双对数函数计算上面二元多项式P(x, y)的Mahler测度，并证明上面的等式成立。

由第1节和第2节的分析知，将此多项式所定义的亏格为2的曲线C与一条亏格为0的有理曲线C₂建立了联系。由于曲线C₂的亏格为0，其整K₂群是挠的，故无法借助于其K₂群来建立它的Mahler测度与L函数特殊值之间的关系，这也是本文研究的多项式P(x, y)与绝大多数研究情形的不同之处。对于一般情形的研究，可以参考文献[2-4]。

下面简单介绍Mahler测度和双对数函数的定义。

一个n变元非零多项式$P \in \mathbb{C}\left[x_{1}^{ \pm 1}, \cdots, x_{n}^{ \pm 1}\right]$的Mahler测度定义为

$m(P):=\frac{1}{(2 \pi \mathrm{i})^{n}} \int_{\mathbb{T}^{n}} \log \left|P\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\right| \frac{\mathrm{d} x_{1}}{x_{1}} \cdots \frac{\mathrm{d} x_{n}}{x_{n}},$

$\mathbb{T}^{n}: =\left\{\left(z_{1}, \cdots, z_{n}\right) \in \mathbb{C}^{n}: \left|z_{1}\right|=\cdots=\left|z_{n}\right|=1\right\}$, 它是$n$ 维环面。对于本文研究的这个特定二元多项式$P(x, y) \in \mathbb{Q}(x, y)$ 的Mahler测度，根据文献[3]中的讨论，其可写成如下形式：$m(P)=$ $\frac{1}{2 \pi} \int_{\gamma} \eta(x, y)$，这里$\eta(x, y): =\log |y| \operatorname{darg} x-\log$ $|x| \operatorname{darg} y$ 是一个微分$1-$ 形式，$x, y \in \mathbb{Q}(C)$ 视为曲线$C$ 的有理函数域中的函数。这里$\gamma=$ $\{(x, y) \in C: |x|=1, |y| \geqslant 1\}$ 也称为Deninger路径。实际上，设由多项式$P(x, y)=0$ 定义的代数曲线$C$ 的完备非奇异模型为$\tilde{C}_{\text {。}}$ 将$M(\tilde{C})$ 看作由$\tilde{C}$ 上的全体实亚纯微分1-形式所组成的$\mathbb{Q}$ 向量空间时，$\eta$ 可视为映射：$\eta: \wedge_{\mathbb{Q}}^{2}(C)^{*} \otimes \mathbb{Q} \rightarrow$ $M(\tilde{C})$，对$\eta$ 详细的解释见文献[3]。

定义Bloch-Wigner双对数为

$\begin{aligned} D(z) & :=\log |z| \arg (1-z)-\operatorname{Im}\left(\int_{0}^{z} \frac{\log (1-t)}{t} \mathrm{~d} t\right) \\ & =\log |z| \arg (1-z)+\operatorname{Im}\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n^{2}}\right), \end{aligned}$

可将其看作定义在$\mathbb{C} \cup\{\infty\}$ 上的实值连续函数，详细解释见文献[2]。本文更多用到的是模长为1的情形：$D\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)=-\int_{0}^{\theta} \log \left|1-\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\right| \mathrm{d} t=$ $\operatorname{Im}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} n \theta}}{n^{2}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n \theta)}{n^{2}}$。由定义易知，Bloch-Wigner双对数和微分$\eta$ 之间有如下关系式

$\begin{equation*} \mathrm{d} D(z)=\eta(z, 1-z) . \end{equation*}$

(1)

本文后面的计算中使用了一些常用的双对数恒等式，这些恒等式及其证明详见文献[2, 5]。由第1节中的变换φ及文献[2]中的讨论知

$\begin{gathered} m(P)=-\frac{1}{2 \pi} \int\limits_{\gamma} \eta(x, y)= \\ -\frac{1}{2 \pi} \int\limits_{\varphi^{\circ} \gamma} \eta\left(x\left(x_{1}, y_{1}\right), y\left(x_{1}, y_{1}\right)\right)= \\ -\frac{1}{4 \pi} \int\limits_{\varphi^{\circ} \gamma}\left(\eta\left(x\left(x_{1}, y_{1}\right), y\left(x_{1}, y_{1}\right)\right)+\right. \\ \left.\eta\left(\sigma x\left(x_{1}, y_{1}\right), \sigma y\left(x_{1}, y_{1}\right)\right)\right), \end{gathered}$

其中γ是上面定义的Deninger路径。

回忆有理曲线C₂参数化，根据文献[2]中的方法，可找到有理函数a, b:

$\left\{\begin{aligned} a\left(x_{1}, y_{1}\right) & =-\frac{x_{1}{ }^{2}-y_{1}-1}{x_{1}{ }^{2}+y_{1}-1}=-\frac{x_{2}-y_{2}-1}{x_{2}+y_{2}-1} \\ & =\frac{t-1}{t+1}, \\ b\left(x_{1}, y_{1}\right) & =-\frac{2\left(x_{1}{ }^{2}+1\right)}{x_{1}{ }^{2}+y_{1}-1}=-\frac{2\left(x_{2}+1\right)}{x_{2}+y_{2}-1} \\ & =\frac{t^{2}+1}{t+1}, \end{aligned}\right.$

使得$a\left(x_{1}{ }^{2}, y_{1}\right) x\left(x_{1}, y_{1}\right)+b\left(x_{1}{ }^{2}, y_{1}\right) y\left(x_{1}, y_{1}\right)=1$成立。将$a, x, y$ 视作曲线$C$ 的函数域$\mathbb{Q}(C)$ 中的函数，在$\wedge^{2} \mathbb{Q}(C)^{*} \otimes \mathbb{Q}$ 中有下面式子成立：

$\begin{gather*} (a x) \wedge(1-a x)=(a x) \wedge(b y)=\\ a \wedge b+a \wedge y+x \wedge b+x \wedge y . \end{gather*}$

(2)

将$\sigma$ 作用在式(2) 上可得

$\begin{gather*} \left(\frac{a}{x}\right) \wedge\left(1-\frac{a}{x}\right) \\ =a \wedge b-a \wedge y-x \wedge b+x \wedge y . \end{gather*}$

(3)

将式(2) 与式(3) 相加得$(a x) \wedge(1-a x)+$ $\left(\frac{a}{x}\right) \wedge\left(1-\frac{a}{x}\right)-2 a \wedge b=2 x \wedge y=x \wedge y+\sigma x$ $\Lambda \sigma y$。再结合关系式(1) 可将Mahler测度化为下面形式

$\begin{gathered} m(P)=-\frac{1}{4 \pi}\left(\epsilon_{1} \int_{\gamma} \mathrm{d} D(a x)+\epsilon_{1} \int_{\gamma} \mathrm{d} D\left(\frac{a}{x}\right)-\right. \\ \left.2 \epsilon_{2} \int_{f^{\circ} \varphi^{\circ} \gamma} \eta\left(a\left(x_{2}, y_{2}\right), b\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)\right)= \\ -\frac{1}{4 \pi}\left(\begin{array}{l} \left.\epsilon_{1} \int_{\gamma} \mathrm{d} D(a x)+\epsilon_{1} \int_{\gamma} \mathrm{d} D\left(\frac{a}{x}\right)-\right. \\ 2 \epsilon_{2} \int_{f^{\circ} \varphi^{\circ} \gamma} \eta\left(\frac{t-1}{t+1}, \frac{t^{2}+1}{t+1}\right) \end{array}\right), \end{gathered}$

其中：$\epsilon_{k}=1$ 或$-1, k=1, 2$, 后面将确定$\epsilon_{k}$ 的值。

记积分

$\begin{gathered} I_{1}:=-\frac{\epsilon_{1}}{4 \pi}\left(\int_{\gamma} \mathrm{d} D(a x)+\int_{\gamma} \mathrm{d} D\left(\frac{a}{x}\right)\right), \\ I_{2}:=\frac{\epsilon_{2}}{2 \pi} \int_{f^{\circ} \varphi^{\circ} \gamma} \eta\left(\frac{t-1}{t+1}, \frac{t^{2}+1}{t+1}\right), \end{gathered}$

那么可以将Mahler测度m(P)写成两个部分即I₁与I₂的和：m(P)=I₁+I₂。为进一步将Mahler测度表示成一些双对数函数值的线性和，只需要将I₁和I₂分别表示成一些双对数函数值的线性和即可。由Stokes公式知，I₁已经是一些Bloch-Wigner双对数函数值的线性和的形式，只需要分析Deninger路径的端点处的双对数函数值即可，这对应着第4节的结果；利用一些双对数关系可将I₂表达成双对数函数的线性和的形式，这对应着第5节的结果。

4 计算积分I₁

记$\Delta(x)=-4 x\left(x^{2}+x+1\right)(x-1)^{2}$, 考察$\sqrt{\Delta(x)}$。取连接3次本原单位根$\zeta_{3}$ 和其共轭$\bar{\zeta}_{3}$的线段作为割线，这也对应着沿正实轴取连接0到无穷远点的射线作为割线，由于$\Delta\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{3} \mathrm{i}}\right)=-8$, 可取$\sqrt{-8}=2 \sqrt{2} \mathrm{i}$ 所定义的解析分支进行计算。通过简单分析可得，积分的Deninger路径正对应于参数化$x(s)=\mathrm{e}^{2 \pi \mathrm{i} s}$ 中取值$s \in[-1 / 3, 1 / 3]$ 的这段。

回忆之前的参数替换x(s)=e^2πis及有理函数a的表达式，由Stokes公式得

$\begin{aligned} \int_{\gamma} \mathrm{d} D(a x)= & \left.D(a x)\right|_{s=\frac{1}{3}}-\lim _{s \rightarrow 0^{+}} D(a x)+ \\ & \lim _{s \rightarrow 0^{-}} D(a x)-\left.D(a x)\right|_{s=-\frac{1}{3}} \\ = & 2 D\left(-\zeta_{3}\right)-2 D\left(\zeta_{6}\right), \\ \int_{\gamma} \mathrm{d} D\left(\frac{a}{x}\right)= & \left.D\left(\frac{a}{x}\right)\right|_{s=\frac{1}{3}}-\lim _{s \rightarrow 0^{+}} D\left(\frac{a}{x}\right)+ \\ & \lim _{s \rightarrow 0^{-}} D\left(\frac{a}{x}\right)-\left.D\left(\frac{a}{x}\right)\right|_{s=-\frac{1}{3}} \\ = & 2 D\left(-\bar{\zeta}_{3}\right)-2 D\left(\zeta_{6}\right) . \end{aligned}$

代入$I_{1}$ 中得

$\begin{gathered} I_{1}=-\frac{\epsilon_{1}}{4 \pi}\left(\int_{\gamma} \mathrm{d} D(a x)+\int_{\gamma} \mathrm{d} D\left(\frac{a}{x}\right)\right)= \\ -\frac{\epsilon_{1}}{4 \pi}\left(2 D\left(-\zeta_{3}\right)+2 D\left(-\bar{\zeta}_{3}\right)-4 D\left(\zeta_{6}\right)\right)=\frac{\epsilon_{1}}{\pi} D\left(\zeta_{6}\right) . \end{gathered}$

由双对数函数的定义以及狄利克雷特征$\chi_{-3}$的定义

$\chi_{-3}(n):=\left\{\begin{aligned} 0, && n \equiv 0 \bmod 3 \\ 1, && n \equiv 1 \bmod 3 ; \\ -1, && n \equiv-1 \bmod 3 \end{aligned}\right.$

可得$D\left(\zeta_{3}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left(\frac{2 n \pi}{3}\right)}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \chi_{-3}(n)}{n^{2}}=$ $\frac{\sqrt{3}}{2} L\left(\chi_{-3}, 2\right)=\frac{2 \pi}{3} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right)$。除此之外，本原单位根$\zeta_{3}$ 和$\zeta_{6}$ 的双对数之间有关系式$2 D\left(\zeta_{6}\right)=$ $3 D\left(\zeta_{3}\right)$ 成立。综上可得

$\begin{aligned} I_{1}= & \frac{\epsilon_{1}}{\pi} D\left(\zeta_{6}\right)=\frac{\epsilon_{1}}{\pi} \cdot \frac{3}{2} D\left(\zeta_{3}\right)= \\ & \frac{3 \epsilon_{1}}{2 \pi} \cdot \frac{2 \pi}{3} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right) \\ = & \epsilon_{1} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right), \end{aligned}$

这里$\epsilon_{1}= \pm 1$ 与第3节中相同。

5 计算积分I₂

本节处理积分I₂，利用双对数恒等关系式将I₂表达成Bloch-Wigner双对数函数值之和的形式。

沿用之前的记号，对I₂考察下面的等式

$\begin{gather*} \frac{t-1}{t+1} \wedge \frac{t^{2}+1}{t+1}= \\-(t+1) \wedge(t-1)-\left(t^{2}+1\right) \wedge \frac{t-1}{t+1}. \end{gather*}$

由$(t+1)^{2}-(t-1)^{2}=2 t$ 可得$\frac{t^{2}+1}{2 t}+$ $\left(-\frac{(t-1)^{2}}{2 t}\right)=1$, 所以

$\begin{gather*} \frac{t^{2}+1}{2 t} \wedge\left(1-\frac{t^{2}+1}{2 t}\right)=\frac{t^{2}+1}{2 t} \wedge \\ \left(-\frac{(t-1)^{2}}{2 t}\right)=2\left(t^{2}+1\right) \wedge(t-1)- \\ \left(t^{2}+1\right) \wedge t-2 t \wedge(t-1) . \end{gather*}$

(4)

由$\left(t^{2}+1\right)-(t+1)^{2}=-2 t$ 可得$\left(-\frac{t^{2}+1}{2 t}\right)+$ $\frac{(t+1)^{2}}{2 t}=1$, 所以

$\begin{gathered} \left(-\frac{t^{2}+1}{2 t}\right) \wedge\left(1+\frac{t^{2}+1}{2 t}\right)=\left(-\frac{t^{2}+1}{2 t}\right) \wedge \\\left(\frac{(t+1)^{2}}{2 t}\right)=2\left(t^{2}+1\right) \wedge(t+1)-\left(t^{2}+1\right) \wedge\\ t-2 t \wedge(t+1) . \end{gathered}$

(5)

用式(4) 减去式(5) 得

$\begin{gathered} \frac{t^{2}+1}{2 t} \wedge\left(1-\frac{t^{2}+1}{2 t}\right)-\left(-\frac{t^{2}+1}{2 t}\right) \wedge \\ \left(1+\frac{t^{2}+1}{2 t}\right)=2\left(t^{2}+1\right) \wedge \frac{t-1}{t+1}-2 t \wedge \\ (t-1)+2 t \wedge(t+1). \end{gathered}$

移项可得

$\begin{gathered} & 2\left(t^{2}+1\right) \wedge \frac{t-1}{t+1}=\frac{t^{2}+1}{2 t} \wedge\left(1-\frac{t^{2}+1}{2 t}\right)- \\ & \left(-\frac{t^{2}+1}{2 t}\right) \wedge\left(1+\frac{t^{2}+1}{2 t}\right)+ \\ & 2 t \wedge(t-1)-2 t \wedge(t+1) \text {. } \end{gathered}$

(6)

利用Bloch-Wigner双对数和微分$\eta$ 的关系式(1)以及恒等式

$\begin{gathered} (t-a) \wedge(t-b)=\left(\frac{t-a}{b-a}\right) \wedge\left(1-\frac{t-a}{b-a}\right)+ \\ (t-a) \wedge(a-b)-(t-b) \wedge(b-a) . \end{gathered}$

可将式(6) 写成如下形式

$\begin{gathered} 2 \eta\left(t^{2}+1, \frac{t-1}{t+1}\right)=\mathrm{d} D\left(\frac{t^{2}+1}{2 t}\right)-\mathrm{d} D\left(-\frac{t^{2}+1}{2 t}\right)+ \\ 2 \mathrm{d} D\left(\frac{t}{1}\right)-2 \mathrm{d} D\left(\frac{t}{-1}\right) . \end{gathered}$

上式两边关于路径$f^{\circ} \varphi^{\circ} \gamma$ 求积分

$\begin{aligned} & 2 \int_{f^{\circ} \varphi^{\circ} \gamma} \eta\left(t^{2}+1, \frac{t-1}{t+1}\right)=\int_{f^{\circ} \varphi^{\circ} \gamma}\left(\mathrm{d} D\left(\frac{t^{2}+1}{2 t}\right)-\right. \\ & \left.\mathrm{d} D\left(-\frac{t^{2}+1}{2 t}\right)+2 \mathrm{d} D\left(\frac{t}{1}\right)-2 \mathrm{d} D\left(\frac{t}{-1}\right)\right) . \end{aligned}$

由Stokes公式可得

$\begin{gathered} 2 \int_{f^{\circ} \varphi^{\circ} \gamma} \eta\left(t^{2}+1, \frac{t-1}{t+1}\right)= \\ 2 \epsilon_{2}\left(D\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{i}\right)-D\left(-\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{i}\right)\right)+ \\ 2 \epsilon_{2}(2 D(\sqrt{3} \mathrm{i})-2 D(-\sqrt{3} \mathrm{i}))= \\ 6 \epsilon_{2}\left(D\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{i}\right)+D(\sqrt{3} \mathrm{i})\right) . \end{gathered}$

利用文献[5]中双对数的Kummer恒等关系式$D(z)=\frac{1}{2}\left(D\left(\frac{z}{\bar{z}}\right)+D\left(\frac{1-1 / z}{1-1 / \bar{z}}\right)+D\left(\frac{1 /(1-z)}{1 /(1-\bar{z})}\right)\right)$可将$D\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{i}\right), D(\sqrt{3} \mathrm{i})$ 化为本原单位根$\zeta_{3}, \zeta_{6}$ 的双对数：$D\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{i}\right)=\frac{1}{2}\left(D\left(\zeta_{6}\right)+D\left(\zeta_{3}\right)\right), D(\sqrt{3} \mathrm{i})=$ $\frac{1}{2}\left(D\left(\zeta_{6}\right)+D\left(\zeta_{3}\right)\right)$, 再结合关系式$2 D\left(\zeta_{6}\right)=$ $3 D\left(\zeta_{3}\right)$ 推得$D\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{i}\right)+D(\sqrt{3} \mathrm{i})=D\left(\zeta_{6}\right)+D\left(\zeta_{3}\right)=$ $\frac{5}{2} D\left(\zeta_{3}\right)$, 代入原积分得

$\int_{f^{\circ} \varphi^{\circ} \gamma} \eta\left(t^{2}+1, \frac{t-1}{t+1}\right)=\frac{15}{2} \epsilon_{2} D\left(\zeta_{3}\right) .$

由等式$(t-1) \wedge(t+1)=\left(\frac{t-1}{-1-1}\right) \wedge$ $\left(1-\frac{t-1}{-1-1}\right)+(t-1) \wedge(1-(-1))-(t+1)$ $\wedge(-1-1)$ 和关系式$D\left(\frac{1}{z}\right)=D(\bar{z})=-D(z)=$ $D(1-z)$ 易得

$\begin{gathered} \int_{f^{\circ} \varphi^{\circ} \gamma} \eta(t-1, t+1)=2 \epsilon_{2} D\left(\frac{1-\sqrt{3} \mathrm{i}}{2}\right)= \\ 2 \epsilon_{2} D\left(\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{3} \mathrm{i}}\right)=-2 \epsilon_{2} D\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{3} \mathrm{i}}\right)= \\ -2 \epsilon_{2} D\left(\zeta_{6}\right)=-3 \epsilon_{2} D\left(\zeta_{3}\right) . \end{gathered}$

通过上面一系列的化简，现在可以将$I_{2}$ 化为本原单位根$\zeta_{3}$ 的双对数值的有理系数倍，即

$\begin{gathered} I_{2}=\frac{\epsilon_{2}}{2 \pi} \int_{f^{\circ} \varphi^{\circ} \gamma} \eta\left(\frac{t-1}{t+1}, \frac{t^{2}+1}{t+1}\right)= \\ -\frac{\epsilon_{2}}{2 \pi} \int_{f^{\circ} \varphi^{\circ} \gamma} \eta(t-1, t+1)- \\ \frac{\epsilon_{2}}{2 \pi} \int_{f^{\circ} \varphi^{\circ} \gamma} \eta\left(t^{2}+1, \frac{t-1}{t+1}\right)=\\\frac{\epsilon_{2}}{2 \pi}\left(3 D\left(\zeta_{3}\right)-\frac{15}{2} D\left(\zeta_{3}\right)\right)=-\frac{\epsilon_{2}}{2 \pi} \cdot \frac{9}{2} D\left(\zeta_{3}\right). \end{gathered}$

再将$D\left(\zeta_{3}\right)=\frac{2 \pi}{3} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right)$ 代入上式即得

$I_{2}=-\frac{3}{2} \epsilon_{2} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right),$

这里$\epsilon_{2}= \pm 1$ 与第3节中相同。

6 对计算结果的解释

通过第4节和第5节的计算，我们发现积分I₁和积分I₂的值都是χ_-3的L函数特殊值L′(χ_-3, -1)的有理系数倍。

实际上，这种联系绝非偶然。根据文献[1]的数值结果，我们计算的这个多项式P(x, y)的Mahler测度在数值上等于文献[6]所给出的m(x+y+1)的2.5倍，这启发我们存在这样一个Mahler测度的关系式

$\begin{equation*} m(P)=\frac{5}{2} m(x+y+1)=\frac{5}{2} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right) . \end{equation*}$

(7)

第4节和第5节的计算结果表明$m(P)=I_{1}+$ $I_{2}=\epsilon_{1} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right)-\frac{3}{2} \epsilon_{2} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right)$, 这里$\epsilon_{1}= \pm 1, \epsilon_{2}= \pm 1$。对$\epsilon_{1}, \epsilon_{2}$ 的符号分情况讨论：

$\begin{gathered} I_{1}+I_{2}=\epsilon_{1} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right)-\frac{3}{2} \epsilon_{2} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right)=\\ \left\{\begin{array}{l} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right)-\frac{3}{2} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right), \\ -L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right)-\frac{3}{2} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right), \\ L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right)+\frac{3}{2} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right), \\ -L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right)+\frac{3}{2} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right), \end{array}\right. \end{gathered}$

$\left\{\begin{array}{l} -\frac{1}{2} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right), \\ -\frac{5}{2} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right), \\ \frac{5}{2} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right) \\ \frac{1}{2} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right) . \end{array}\right.$

结合式(7), 可以确定$\epsilon_{1}, \epsilon_{2}$ 的值为

$\epsilon_{1}=1, \epsilon_{2}=-1,$

由此即得

$\begin{gathered} m(P)=I_{1}+I_{2}=L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right)-\frac{3}{2} \cdot \\(-1) L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right)=\frac{5}{2} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right) \text {. } \end{gathered}$

至此已经计算出了多项式P(x, y)的Mahler测度m(P)= $\frac{5}{2} L^{\prime}\left(\chi_{-3}, -1\right)$。