宇宙中的重子物质主要分布在大尺度结构之中，星系便是这结构上的重要节点。而重子物质的循环及其分布变化，亦受到星系演化的驱动和影响。在星系尺度下，星系的恒星质量可作为星系的总物质量的示踪指标，也间接指示出了引力场强度和星系能够保有及获取重子的能力。星系内的恒星形成，不但主导了如恒星诞生以及死亡等星系演化的主要活动，而且推动了金属增丰，在改变的同时为下一阶段的恒星以及星系的演化提供所需环境。研究星系的恒星质量(M_*)和恒星形成率(star formation rate，SFR)对于了解我们所在的银河系、各类星系内部的物理特性、高红移星系到近邻星系的演化过程乃至宇宙尺度上的重子分布都有着非常重要的意义。

计算星系的恒星质量常用方法，是利用星系的颜色或光谱能量分布(spectral energy distribution，SED)来估算星系的质光比(星系内恒星质量与光度的比值)，进而用观测测量的光度在进行K改正后来计算恒星质量。随着时间的累积，在给定恒星形成的初始质量函数情况下，星系中的年老星族的质量逐渐增加。这也就说明了年老且相对红的星族于星系的恒星质量来说是占相对主导地位的。

SFR的计算，对比恒星质量的计算要更为复杂及多样。如在斯隆数字巡天(Sloan Sigital Sky Survey，SDSS)的星系星表中，由于该巡天取得了大量且高质量的光学光谱数据，SFR的计算便可以结合发射线测量值来估算^[1]。而近些年，多种模拟或半经验的SED模型^[2]纷纷出现，又为SFR的计算提供了新的方向。然而，相对于恒星质量的估算，SFR与光谱及光度等观测量之间的关系受到许多复杂因素的影响。例如，主导星系内SFR的是年轻星族，而年轻星族形成历史、初始质量函数皆为不易由观测测量值所规范的变量^[3]。此外，年轻星族发出的紫外及光学蓝端的连续辐射很容易被星系内恒星形成环境中的尘埃吸收^[4]，使得利用紫外光度推算SFR的工作，极易受到尘埃消光的影响。这种种原因导致SFR的计算模型复杂，而且不同计算方法估算出的SFR可能存在显著差异。

研究大星系样本中星系特性参量，需要使用简单且结果容易判读的恒星质量及SFR估算工具。从早期常见的EZGAL模型工具^[5]到近年来逐渐取而代之的CIGALE^[6]及X-CIGALE^[7]开源软件工具，都经常在星系演化研究中被广泛地使用。以Yang等^[7]建立的X-CIGALE为例，该工具是一个以Python语言开发的星系SED分析软件库。X-CIGALE可以快速地做出SED拟合并从拟合结果估算相关星系特性参量。这个分析工具提供给用户多个恒星形成历史(star formation history，SFH)模型的参数，但这些并不完全独立的参数可能造成不同参数设置下却有简并的模拟结果。也正因如此，要得到合理而稳定的拟合模型及数据分析结果，需要人为地对参数进行合理化的设置。

为了解不同恒星质量与SFR估算方法产生结果之间的差异，本文利用SDSS计划中的正常星系的样本，结合多项天文多波段巡天数据，分别测试常见的数种不同恒星质量和SFR计算方法，从原理到结果进行相互对比。

1 数据和方法 1.1 数据

本文主要探讨对于常见的估算正常星系的恒星质量及SFR的方法之间的结果差异。由于SFR与主导紫外波段连续谱辐射的大质量恒星密切相关，紫外波段数据对SFR的计算起主导作用；而正常星系的恒星质量多为年老及小质量恒星贡献，因此这几类星族主要能量输出的红外波段数据对恒星质量的计算起主导作用。所以，我们选取研究样本的紫外波段到中红外波段的多波段测光数据，进行恒星质量及SFR的估算分析。对于每一个星系样本观测到的多波段光度均做银河系消光修正，再做后期分析。

研究目标样本上，采用来自SDSS利用光谱及测光分析建构出的正常星系星表^[8]。2010年，马克斯-普朗克天体物理研究所和约翰-霍普金斯大学(MPA-JHU)发布了该团队利用SDSS的第8次公开数据联合研究出的星系样本。在此MPA-JHU星表中，提供以谱线测量等方法所计算出的正常星系恒星质量以及SFR的数据。本文使用此星表为研究的主要样本。

在紫外波段，使用GALEX^[9]的巡天观测数据。GALEX是于2003年发射的一个空间望远镜，该项目包括对于银河系之外大面积巡天的大量紫外测光数据，其主要观测研究目标是了解星系的演化。在光学波段，此研究工作采用PanSTARSS^[10]的观测数据。PanSTARSS使用位于夏威夷哈雷阿卡拉天文台的1.8 m望远镜，完成对北天区全方位的扫描观测，并产生了g，r，i，z，y共5个完整频带的光学星体测光数据。在近红外波段，选择UKIDSS^[11]的数据。UKIDSS使用UKIRT宽场相机WFCAM进行巡天观测，其观测的深度及测光数据品质皆优于2MASS巡天的观测。对于研究中所需的中红外测光数据，选用CatWISE2020^[12]的测光数据，其中包含W1、W2两个波段。一并选取AllWISE^[13]目录中W4波段的数据，用以矫正计算紫外辐射示踪的SFR。

在对目标星系进行SED拟合分析时，结果显示其对K波段数据较为敏感，导致K波段的数据与拟合模版间存在偏差，从而影响后续恒星质量及SFR的计算。而对比缺少K波段数据前后的SED拟合结果，我们发现并没有显著的影响。因此，最终选取目标样本星系从紫外波段到中红外波段的12个波段的测光数据作为本研究的分析数据。原样本在经过多波段交叉匹配后，最终样本总星系数目为22 991，其红移范围为0~0.33。本文所使用的测光数据综合信息如表 1所示。

1.2 恒星质量估算 1.2.1 MPA-JHU样本提供的恒星质量

在MPA-JHU提供的正常星系星表中，恒星质量是基于Kauffmann等^[14]在2003年提出的方法计算得出的。该方法基于g，r，i和z等4个波段的测光光度，在与星系合成的星系模型进行比较后，估计星系的尘埃修正和恒星质量与光照比，进而得出恒星质量的最佳估计。这里，选择MPA-JHU星表中的星系整体的恒星质量，并将使用此方法计算的恒星质量称为“MPA-JHU恒星质量”。

1.2.2 Bell等(2003) 的恒星质量估算方法

Bell等^[15]通过考虑每个星系从光学波段到近红外波段的测光和星系演化模型来估计恒星的质光比，以此来计算恒星质量。其利用目标星系K-改正后的光学波段(u，g，r，i，z)的颜色，建立与星系的质光比相关的经验公式，进而利用对应波段的测光值估算此星系的恒星质量。此方法广为星系研究领域的研究人员使用。这里，将利用Bell等文章中的恒星质量估算方法得出的结果称为“Bell03恒星质量”。

1.2.3 X-CIGALE的恒星质量估算

X-CIGALE是在Code Investigating GALaxy Emission (CIGALE) 软件基础上进一步改进，并于2019年公开发布的星系多波段SED分析工具程序。X-CIGALE不仅在SED拟合过程中加入了CIGALE程序所欠缺的X射线数据，而且对相应的各个模块的星系模板也进行了更新和改进。特别是在2022年初发布的最新版本中，X-CIGALE优化并改进了活动星系核(active galactic nucleolus, AGN)、类星体以及射电星系等的SED模版，使得对这数类天体的SED拟合分析更加精准^[16]。由于使用方便，X-CIGALE近年来已经成为广泛应用的SED分析工具。X-CIGALE可以通过对目标源的多波段观测数据进行SED拟合来计算与星系SED相关的物理性质。其中计算恒星质量的方法，是利用简单星族(simple stellar populations，SSPs)模版对观测得到的SED做拟合匹配。X-CIGALE提供2个流行的SSPs库：bc03模型库和m2005^[17]模型库。本文使用bc03模型。这里，将利用X-CIGALE计算出的星系恒星质量称为“X-CIGALE恒星质量”。

1.3 SFR估算 1.3.1 MPA-JHU样本提供的SFR

MPA-JHU的数据样本采用Brinchmann等^[1]在2004年文章中所描述的方法，通过使用落在SDSS光纤孔径内的目标星系光的发射线强度来计算SFR。该方法利用一个包含理想化的HⅡ区域和单代恒星电离的弥漫气体的模型^[18]，以此模拟观测到的星系的发射线，从而计算出SFR(后文将此方法简称为“MPA-JHU方法”)。本文选取MPA-JHU星表中星系整体的SFR进行分析。需要注意的是，MPA-JHU星表样本中的SFR主要使用SDSS的光学光谱及光度观测结果，并未考虑紫外波段的数据，与本文考虑的其他SFR估算方法不同。

1.3.2 利用BC03的SFR估算

Bruzual和Charlot在2003年提出一种新的星系SED模型库，它能够根据指定的金属丰度和年龄生成星族模板，并精确研究包含全年龄范围内星系中来自恒星的吸收线强度。基于拟合SED中的紫外光度，再采用Hao等^[19]及Murphy等^[20]建立的紫外光度与SFR之间的关系式来计算SFR。此计算SFR的方法在本文后续的内容中简称为“BC03方法”。

由于BC03的SED模版未考虑星系消光的影响，其模型可能对有受到尘埃红化的星系造成拟合偏差。因此，在进行SED拟合时，同时考虑应用Fitzpatrick和Massa^[21]在2007年提出的尘埃红化模型对BC03的SED模板进行消光进而得到消光值(假设R_v=3.1)。在考虑尘埃消光后，使用最佳拟合模型的紫外光度估计SFR。这种考虑BC03的SED模版及消光改正的SFR计算方法，我们称为“BC03-ex方法”。

1.3.3 X-CIGALE的SFR估算

X-CIGALE程序可以通过拟合SED模版中的变量SFH来计算SFR(后文简称这种方法为“X-CIGALE方法”)。需要注意的是，由于SFH本身可变的因素很多，因为在星系的演化中各种因素非常复杂，这会导致显著不同的SFH却形成相似SED的简并现象存在。因此，单用星系SED来限制SFH十分困难。X-CIGALE提供了3个SFH的模块：由单指数或双指数定义的SFH、具有可选指数爆发的延迟SFH和周期性SFH。延迟性SFH可以很好地估计主序星、恒星爆发和所有红移的快速猝灭星系的SFR^[22]。所以本文选择具有可选指数爆发的延迟SFH函数“sfhdelayed”来提供一个近似线性增加的SFR模型。

X-CIGALE的SED拟合参数多而复杂，模型之间具有简并性，且并非完全独立。因此，虽然该程序在拟合计算上虽有较高的效率，但是产生的结果需要进一步考量是否唯一且合理。表 2列举了所选模型的相关参数设置。表 2中没有提及的模板参数，如尘埃消光等并不影响此研究分析的变量，均被设为X-CIGALE程序的默认值。表 2中参数的物理意义分别为：1)tau_main：主要恒星种群模型的e-倍变化时间；2)age_main：银河系中主要恒星群的年龄；3)tau_burst：晚期星爆群体模型的e-倍变化时间；4)age_burst：晚期爆发的年龄；5)f_burst：晚期星爆群体的质量分数；6)imf：初始质量函数；7)metallicity：金属丰度。

1.3.4 以紫外及红外光度估算SFR

Kennicutt等^[23]在1998年总结星系SFR的示踪指标，其中包括紫外连续谱和发射线，并归纳了利用紫外波段光度观测数据估算星系SFR的方法。2012年，Kennicutt等^[4]又考虑到SFR受星系内尘埃消光的影响，使用远红外波段25 μm的数据对紫外光度进行了改正，以优化SFR的计算。

本文为方便统一变量对比，使用远紫外波段的数据进行计算，而其矫正后公式为

$L(\mathrm{FUV})_{\text {corr }}=L(\mathrm{FUV})_{\text {obs }}+3.89 L(25 \mu \mathrm{m})$,

(1)

其中：下角标corr代表矫正后的光度，obs为观测得到的光度。而远紫外FUV波段相关的SFR的计算公式为

$\log M_*\left(M_{\odot} \mathrm{a}^{-1}\right)=\log L_x-\log C_x$,

(2)

其中logC_x为常数。这里计算SFR的方法在本文中简称为“Kennicutt方法”或“紫外及红外光度方法”。式(1)总结于IRAS 25 μm波段以及Spitzer 24 μm波段的中红外数据，而ALLWISE的W4波段的波长范围包含在IRAS 25 μm波段和Spitzer 24 μm波段的范围之中。同时Brown等^[24]2014年的文章中提到，恒星形成星系的W4波段观测星等比Spitzer的24 μm波段测光得到的亮度最少高10%。对比W4波段数据与利用Spitzer的24 μm波段数据进行红外矫正计算的SFR，偏差仅为8%。综上，本文使用W4波段数据作为合理替换。

2 结果与讨论

本节将详细讨论有关不同方法计算得来的恒星质量和SFR的结果分析。在恒星质量与SFR的比较分析中，所有标准差都使用中位数绝对偏差(median absolute deviation，MAD)计算出稳健统计标准差(σ~1.482 6×MAD)。

2.1 恒星质量

图 1显示不同恒星质量估算方法结果的相互比较。其中每个子图中的黑色实线均为1∶1对角线，蓝色虚线均为相对比的恒星质量结果之间的线性拟合结果，详细公式在后文中给出。图 1(a)和1(b)子图的横轴皆为MPA-JHU星系星表提供的恒星质量，而纵轴则分别是Bell03恒星质量估算、使用bc03模块的X-CIGALE恒星质量估算。图 1(c)则为Bell03估算结果(横轴)与X-CIGALE拟合的恒星质量估算结果(纵轴)的比较。图中每个数据点的颜色代表该星系的红移。

从图 1(a)和1(b)中，可以发现利用Bell03方法和X-CIGALE的bc03模块计算得出的恒星质量与MPA-JHU计算结果之间相差不大，但有可识别的系统偏差。如图 1(a)所示，对于Bell03模板计算的结果来说，对跨度为5个数量级的预估值下，它与MPA-JHU目录中提供的结果中位数为0.27 dex，弥散的稳健统计均标准差为0.15 dex。这表示MPA-JHU恒星质量系统性地比Bell03数值高约1.9倍，但两者相关性很高。而X-CIGALE相对MPA-JHU而言，它们之间的偏差的中值为0.065 dex，稳健统计标准差为0.16 dex(见图 1(b))，系统性偏差很小。在5个数量级的跨度下，恒星质量预估值差距仅约为16%，这表示2种预估方法结果相似。

图 1(c)，对比X-CIGALE和Bell03方法计算结果发现这2种方法之间存在系统误差，他们的偏差中值为0.21 dex，但稳健统计标准差为0.08 dex。这说明2种方法之间的结果依然有系统性差异(X-CIGALE恒星质量估计值比Bell03的值约高60%)，但要比与MPA-JHU提供的结果较为相近。

不同方法之间在计算拟合的考虑及数据权重的不同，也可能造成结果上的偏差。从图 1红移分布上可以看出，高红移与低红移均和恒星质量相关，这应该是样本选择效应造成的。但恒星质量预估差距和与红移之间的关系并不显著。

综上所述，对于恒星质量来说，不同计算方法之间的结果虽然有些许(小于2倍)系统性偏差，但差值弥散都在0.2 dex以内。这样的差值，可以做系统性的修正，而且其弥散大小在研究星系特性及星系演化的分析工作中，尚在可接受范围。通过不同恒星质量计算方法之间的对比，我们发现尽管它们考虑的限制方面等不同，不同的方法之间仍然能得出非常相似的结果。

最后依次给出3种方法之间最佳拟合的线性回归函数：a) Bell03方法与MPA-JHU星表提供的恒星质量之间的佳拟合的线性回归函数：lg(M_star^Bell03)=0.89lg(M_star^MPA-JHU)+0.89;b) X-CIGALE与MPA-JHU星表提供的恒星质量之间的佳拟合的线性回归函数：lg(M_star^X-CIGALE)=0.87lg(M_star^MPA-JHU)+1.4;c) X-CIGALE与Bell03方法计算的恒星质量之间的佳拟合的线性回归函数：lg(M_star^X-CIAGLE)=0.95lg(M_star^Bell03)+0.67。

2.2 SFR

图 2显示4种不同SFR估算方法的相互比较。每个子图横轴皆为MPA-JHU星系星表提供的SFR，而纵轴分别代表来自BC03、BC03-ex方法、X-CIGALE，以及紫外与红外光度方法所估算出SFR的结果。

如图 2所示，不同方法所估算出SFR表现出明显的相关关系，但是不同SFR计算方法的结果之间差异很大。如图 2(a)所示，BC03模板拟合方法在加入了对于SFR更为重要的紫外波段的数据后，其结果与MPA-JHU目录有显著的差异，而稳健统计标准差为0.59 dex。图上可见分布偏离了1∶1的线性关系，表明与相对MPA-JHU的SFR值相比，BC03方法系统性地高估了约0.28 dex。在这种向下平移的线性以上，有非常大量的样本因为BC03方法考虑了紫外波段的数据，而导致其预估的SFR远高于MPA-JHU星表中利用光学光度及光谱所推算出的SFR。前者可高于后者1~2个数量级。当考虑到星系消光的因素之后，如图 2(b)所示，BC03-ex方法计算的SFR比未消光的偏差稳健统计标准差达到0.93 dex，部分差距情况增大到3~4个量级以上。但这样的结果也是可以预见的。由于考虑消光情况，有受到尘埃红化的星系，在消光改正后的最佳拟合SED的蓝端光度会比无消光改正的拟合结果高，从而使得SFR计算结果增大。

如图 2(c)所示，对比X-CIGALE的估算结果与MPA-JHU星表的SFR，其间偏差的稳健统计标准差为0.34 dex。其差距的离散也表示这两种方法的SFR估算结果无法交互使用。

而从图 2(d)中，可发现Kennicutt方法的结果与MPA-JHU星表中的SFR差距的弥散减小，统计标准差下降到0.27 dex，偏差中位数只有0.076 dex，是这3种计算方法之中最为接近MPA-JHU的结果。从图 2(d)显示的分布中，可知Kennicutt方法的结果整体上比MPA-JHU方法得到的结果更大，呈现明显的非对称分布。在对角线下方的点明显被约束在0.3~0.5 dex的范围内。

图 2中数据点颜色与图 1中的相同，代表相对应的每一个星系的红移。由图 2(c)、2(d)所示，不同模型计算方法比较下，SFR的分布也受由红移变化而造成的选择效应的影响。当红移增加时，光度距离增加，可观测的空间深度增加，但由于观测的极限，只能观测到更亮的目标源。所以在图中显示出相对高红移的星系拥有相对高的SFR。这也表示使用紫外光度估计SFR的X-CIGALE方法与Kennicutt方法，皆可能会受到红移造成的偏差。在研究有较大红移覆盖的星系样本，计算SFR时也需要考虑此效应。

3 结论

本文对比几种较为常见的计算恒星质量和SFR的方法，并分析其结果的差异。分析发现，在本文所采用目前常见的计算恒星质量方法之间，虽然方法及限制条件并不相同，但得到的结果却极为相似。然而，对于SFR的估算，不同方法的结果之间相对差距很大，而且各项计算方法之间的误差程度也有所不同。不同方法计算正常星系的SFR结果之间的较大差异表明对于SFR来说，采用不同模型计算SFR的结果并没有得到很好的交叉矫正。此外，当将星系消光的条件因素考虑进去时，部分结果要比作为参考用的MPA-JHU正常星系星表给出的值高出1~2个数量级。

因此，在研究星系演化时，尤其有关SFR的分析及相互比较时，最好使用相类似的观测数据资料，以及同一种SFR估算方式。在后续的相关工作中，我们将提出一种稳健的方法。该方法利用机器学习的算法，整合不同估算手段，可以对恒星质量及SFR进行更加自洽的估算预测。