对有限交换p群G，文献[1]给出的K₂($\mathbb{Z}_{p}G$)的结构与K₂($\mathbb{Z} G$)有密切联系，而整群环的K₂群的结构在拓扑中有重要意义，具体可参看文献[2]。本文进一步考虑K₂(${{\mathbb{Z}}_{{{p}^{2}}}}G$)。通过计算Dennis-Stein符号得到K₂($\mathbb{Z}_4$C_2^r)的一组简化的生成元，用以估计其具体结构。

1 环的K₂群

设R是有单位元的交换环，n≥3，Steinberg群St(n, R)由符号x_ij(a)(a∈R, 1≤i≠j≤n)模掉如下关系后生成：

$ \begin{array}{c} x_{i j}(a) x_{i j}(b)=x_{i j}(a+b), \\ {\left[x_{i j}(a), x_{k l}(b)\right]= \begin{cases}1, & {\text { 若 }} j \neq k, i \neq l, \\ x_{i l}(a b), & {\text { 若 }} j=k, i \neq l .\end{cases} } \end{array} $

其中，[x, y]=xyx^-1y^-1。

有映射ϕ_n: St(n, R)→E(n, R), x_ij(r)↦e_ij(r)，令$S t(R)=\lim\limits _{\rightarrow} S t(n, R)$, $E(R)=\lim\limits _{\rightarrow} E(n, R)$，则有$\phi=\lim\limits _{\rightarrow} \phi_n$: St(R)→E(R)。定义K₂(R)=Ker(ϕ)，则有正合列$1 \rightarrow K_2(R) \rightarrow S t(R) \stackrel{\phi}{\rightarrow} E(R) \rightarrow 1$。

St(R)是E(R)的泛中心扩张，K₂(R)恰好是St(R)的中心。

关于K₂群更详细的内容可参看文献[3]。

2 相对K₂群

设R是有单位元的交换环，I是R的理想，(a, b)∈R×I∪I×R，且1-ab∈R^×，则Ker(K₂(R)→K₂(R/I))中含有元素

$ \begin{aligned} & \langle a, b\rangle_*:=x_{21}\left(-b(1-a b)^{-1}\right) x_{12}(-a) \cdot \\ & x_{21}(b) x_{12}\left(a(1-a b)^{-1}\right) h_{12}(1-a b)^{-1} . \end{aligned} $

其中，h₁₂(u)=x₁₂(u)x₂₁(-u^-1)x₁₂(u)x₁₂(-1) x₂₁(1)x₁₂(-1), 这种类型的元素满足如下关系式

$ \begin{aligned} & \langle a, b\rangle_*+\langle b, a\rangle_*=0, \\ & \langle a, b\rangle_*+\langle a, c\rangle_*=\langle a, b+c-a b c\rangle_*, \\ & \langle a, b c\rangle_*=\langle a b, c\rangle_*+\langle a c, b\rangle_* . \end{aligned} $

相对K₂群可给出正合列K₂(R, I)→K₂(R)→ K₂(R/I)，但是定义比较复杂，可参看文献[4]。

对根理想的情形，K₂(R, I)有较为简单的表示。

定理2.1  (参看文献[4])设R是有单位元的交换环，I是包含在R的Jacobson根中的理想，则K₂(R, I)作为交换群可由Dennis-Stein符号〈a, b〉, (a, b)∈R×I∪I×R生成，并且恰好满足关系：

$ {\rm{(DS1)}}\; \langle a, b\rangle+\langle b, a\rangle=0, \\{\rm{(DS2)}}\; \langle a, b\rangle+\langle a, c\rangle=\langle a, b+c-a b c\rangle, \\{\rm{(DS3)}}\; \langle a, b c\rangle=\langle a b, c\rangle+\langle a c, b\rangle. $

由上述的关系易得

$ \langle a, 1\rangle=\langle 1, a\rangle=0, \langle a, 0\rangle=\langle 0, a\rangle=0, $

若a∈I或b, c∈I，由(DS2)可得

$ \begin{gathered} \langle a, b+c\rangle=\langle a, b\rangle+\langle a, c\rangle+ \\ \left\langle a, [1-(b+c-a b c) a]^{-1} a b c\right\rangle, \end{gathered} $

类似地，若a, b∈I或c∈I，有

$ \begin{array}{r} \langle a+b, c\rangle=\langle a, c\rangle+\langle b, c\rangle+ \\ \left\langle[1-(a+b-a b c) c]^{-1} a b c, c\right\rangle . \end{array} $

以下设R=$\mathbb{Z}_4$C_2^r，σ为C_2^r的生成元，并设a=σ-1，则R是交换局部环，其Jacobson根是(2, a)，并且由定理2.1得K₂(R, (2))具有生成元〈x, 2y〉, x, y∈R。

定理2.2  (参看文献[4])K₂(R, (2))→K₂(R), 〈x, 2y〉↦〈x, 2y〉_*, x, y∈R为满同态。

证明  在正合列K₂(R, (2))→K₂(R)→K₂(R/(2))中，K₂(R/(2))=K₂(Z₂C_2^r)=0。□

通过计算，可以进一步得到K₂(R, (2))的一组简化的生成元。

引理2.1  对∀s≥1

$ \begin{aligned} & \left(\begin{array}{c} 2^s \\ 2^{s-1} \end{array}\right) \equiv 2 \quad(\bmod 4), \\ & \left(\begin{array}{l} 2^s \\ n \end{array}\right) \equiv 0 \quad(\bmod 4), n \neq 0, 2^{s-1}, 2^s . \end{aligned} $

证明  注意对任意素数$p, p^{s-k} \|\left(\begin{array}{c} p^s \\ n \end{array}\right)$，其中p^k‖n。□

注记2.1  在R=$\mathbb{Z}_4$C_2^r中，σ^2r=1，由二项式定理即得

$ \begin{aligned} & a^{2^r}=(\sigma-1)^{2^r}=\sigma^{2^r}+2 \sigma^{2^{r-1}}+1= \\ & 1+2 \sigma^{2^{r-1}}+1=2\left(\sigma^{2^{r-1}}+1\right)= \\ & 2\left(\sigma^{2^{r-1}}+2 \sigma^{2^{(r-1)-1}}+1\right)=2 a^{2^{r-1}} \quad(r>1), \end{aligned} $

注意a^2r=2a^2r-1在r=1时也成立。

$ \begin{gathered} 2 a^{2^r}=2 \cdot 2 a^{2^{r-1}}=0, \\ a^{3 \cdot 2^{r-1}}=a^{2^r+2^{r-1}}=a^{2^r} a^{2^{r-1}}=2 a^{2^{r-1}} a^{2^{r-1}}=2 a^{2^r}=0 . \end{gathered} $

这个注记是化简生成元的关键。

定理2.3  K₂(R, (2))是初等2群，可由〈2, 2〉, 〈a, 2〉, 〈a, 2a〉, 〈a, 2a²〉, …, 〈a, 2a^2r-1〉生成。

证明  对任一生成元，

$ \begin{aligned} \langle x, 2 y\rangle+\langle x, 2 y\rangle & =\langle x, 2 y+2 y-x \cdot 2 y \cdot 2 y\rangle= \\ & \langle x, 0\rangle=0, \end{aligned} $

故K₂(R, (2))中都是2阶元，即是初等2群。下设x₁, x₂, y₁, y₂, x, y∈R，

$ \begin{aligned} & \left\langle x_1+x_2, 2 y\right\rangle=\left\langle x_1, 2 y\right\rangle+\left\langle x_2, 2 y\right\rangle+ \\ & \left\langle\left[1-\left(x_1+x_2-x_1 x_2 \cdot 2 y\right) \cdot 2 y\right]^{-1} x_1 x_2 \cdot\right. \\ & 2 y, 2 y\rangle=\left\langle x_1, 2 y\right\rangle+\left\langle x_2, 2 y\right\rangle+ \\ & \left\langle 2\left[1-\left(x_1+x_2\right) 2 y\right]^{-1} x_1 x_2 y^2, 2\right\rangle, \\ & \langle 2 y, 2\rangle=\langle 2 y, 1+1\rangle=\langle 2 y, 1\rangle+\langle 2 y, 1\rangle+ \\ & \left\langle 2 y, [1-(1+1-2 y) 2 y]^{-1} 2 y\right\rangle= \\ & \langle 2 y, 2 y\rangle=\left\langle 2 y^2, 2\right\rangle+\langle 4 y, y\rangle= \\ & \left\langle 2 y^2, 2\right\rangle=\left\langle 2 y^4, 2\right\rangle=\cdots=\left\langle 2 y^{2^r}, 2\right\rangle, \end{aligned} $

设y=a₀+xa，则由引理2.1和注记2.1得

$ \begin{aligned} & 2 y^{2^r}=2\left(a_0+x a\right)^{2^r}= \\ & 2\left(a_0^{2^r}+2 a_0^{2^{r-1}}(x a)^{2^{r-1}}+(x a)^{2^r}\right)=2 a_0^{2^r}, \end{aligned} $

故〈2y, 2〉=〈2a₀^2r, 2〉=〈2, 2〉。

R有加法生成元1, a, a², …, a^2r-1，故拆解后得K₂(R, (2))的生成元〈2, 2〉, 〈aⁱ, 2y〉, i=1, …, 2^r-1，而i>1时，〈aⁱ, 2y〉=〈a^i-1, 2ay〉+〈a, 2a^i-1y〉，故可再简化生成元为〈2, 2〉, 〈a, 2y〉。又

$ \begin{aligned} & \left\langle a, 2\left(y_1+y_2\right)\right\rangle=\left\langle a, 2 y_1\right\rangle+\left\langle a, 2 y_2\right\rangle+ \\ & \left\langle a, \left[1-\left(2 y_1+2 y_2-2 y_1 \cdot 2 y_2 \cdot a\right) a\right]^{-1} 2 y_1 \cdot\right. \\ & \left.2 y_2 \cdot a\right\rangle=\left\langle a, 2 y_1\right\rangle+\left\langle a, 2 y_2\right\rangle, \end{aligned} $

于是，再拆解后可得生成元：〈2, 2〉, 〈a, 2〉, 〈a, 2a〉, 〈a, 2a²〉, 〈a, 2a³〉, …, 〈a, 2a^2r-1〉。□

那么，结合定理2.2即得K₂(R)具有生成元〈2, 2〉_*, 〈a, 2〉_*, 〈a, 2a〉_*, 〈a, 2a²〉_*, 〈a, 2a³〉_*, …, 〈a, 2a^2r-1〉_*。

借助注记2.1，可进一步减少K₂(R)的生成元。

引理2.2  若x是环R中的幂零元(设xⁿ=0)，则(1-x)^-1=1+x+x²+…+x^n-1。

定理2.4  在K₂(R)中，〈a, 2a^k〉_*=0, ∀k≥2^r-1，故K₂(R)可由〈2, 2〉_*, 〈a, 2〉_*, 〈a, 2a〉_*, …, 〈a, 2a^2r-1-1〉_*生成，于是K₂(R)=(C₂)^l, l≤ 2^r-1+1。

证明  〈a, 2a^k〉_*=2〈a, a^k〉_*+〈a, [1-(2a^k-a·a^k·a^k)a]^-1a·a^k·a^k〉_*=〈a, [1-(2a^k+1-a^2k+2)]^-1a^2k+1〉_*，当k≥2^r-1时，由注记2.1得(2a^k+1-a^2k+2)²=a^4k+4=0(注意到4k+4≥3·2^r-1)，故可由引理1.2得[1-(2a^k+1-a^2k+2)]^-1=1+(2a^k+1-a^2k+2)，故〈a, 2a^k〉_*=〈a, [1+(2a^k+1-a^2k+2)]a^2k+1〉_*= 〈a, a^2k+1+(2a^3k+2-a^4k+3)〉_*= 〈a, a^2k+1〉_* (注意到a^3k+2=0, a^4k+3=0)= 〈a, a^2k+1-2r+2r〉_*(注意到2k+1≥2^r+1)= 〈a, a^2r·a^2k+1-2r〉_*=〈a, 2a^2r-1·a^2k+1-2r〉_*= 〈a, 2a^2k+1-2r+2r-1〉_*=〈a, 2a^2k+1-2r-1〉_*= 〈a, 2a^2(2k+1-2r-1)+1-2^r-1〉_*(注意到2k+ 1-2^r-1>k≥2^r-1)=…= 〈a, 2a^{(k+1-2r-1)2n-1+2r-1-1}〉_*(递推得∀n≥ 1均成立)=0。(注意到a是幂零元) □

3 K₂($\mathbb{Z}_4$C₂)的情形

由文献[5]中定理2.1知，K₂($\mathbb{Z}_4$C₂)=(C₂)²，再由定理2.4得生成元：〈2, 2〉_*, 〈a, 2〉_*，于是这2个生成元恰为基底。

4 K₂($\mathbb{Z}_4$C₄)的情形

由文献[5]中定理2.2知，K₂($\mathbb{Z}_4$C₄)=(C₂)³，再由定理2.4得生成元：〈2, 2〉_*, 〈a, 2〉_*, 〈a, 2a〉_*，于是这3个生成元恰为基底。

5 K₂($\mathbb{Z}_4$C₈)的情形

由定理2.4得生成元：〈2, 2〉_*, 〈a, 2〉_*, 〈a, 2a〉_*, 〈a, 2a²〉_*, 〈a, 2a³〉_*。考虑映射K₂($\mathbb{Z}_4$C₈)→K₂($\mathbb{Z}_4$C₄), σ↦τ，其中σ, τ分别为C₈, C₄的生成元，K₂($\mathbb{Z}_4$C₈)的生成元〈2, 2〉_*, 〈a, 2〉_*, 〈a, 2a〉_*对应到K₂($\mathbb{Z}_4$C₄)的基，故〈2, 2〉_*, 〈a, 2〉_*, 〈a, 2a〉_*线性无关，于是K₂($\mathbb{Z}_4$C₈)的秩至少为3，最多为5。