关于$\mathbb{R}$³中Bonnet曲面的研究最早始于Bonnet，他在文献[1]中证明了常平均曲率曲面总是存在保持平均曲率的非平凡的等距变换。Chern^[2]利用活动标架法得到了非常平均曲率Bonnet曲面的充要条件，并指出非常平均曲率Bonnet曲面为W-曲面(下文中所涉及的Bonnet曲面均为非常平均曲率Bonnet曲面)。在此基础上，Roussos^[3]对零Gauss曲率Bonnet曲面进行了分类研究，Colares和Kenmotsu^[4]对常Gauss曲率Bonnet曲面进行了分类研究，并且得到Colares-Kenmotsu定理: 常Gauss曲率Bonnet曲面的Gauss曲率为0。Chen和Peng^[5]对Bonnet曲面进行深入分类研究，给出了Bonnet曲面的平均曲率所满足的三阶常微分方程。Peng与Lu^[6]对文献[5]中的前两类Bonnet曲面进行了进一步研究，在此基础上Wang和Wu^[7]给出了Gauss曲率不恒为0的Bonnet曲面的存在性定理。本文将对文献[5]中给出的微分方程求解，从而计算出常Gauss曲率Bonnet曲面的Gauss曲率值，这与文献[4]中的结果是一致的，即

定理A   常Gauss曲率Bonnet曲面Gauss曲率为0。

为方便讨论，本文涉及的Bonnet曲面均无脐点，且dH≠0。

1 预备知识

设M为$\mathbb{R}$³中无脐点的光滑曲面。M上存在单位主方向标架场{x, e₁, e₂, e₃}，其中x∈M，e₃为法向量，e₁、e₂为曲面的主方向。记曲面的主曲率为a、c (a>c)，高斯曲率为K，平均曲率为H，即K=ac，$H=\frac{a+c}{2}$。标架运动方程为

$\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} x=\omega_1 e_1+\omega_2 e_2 ,\\ \mathrm{~d} e_1=\omega_{12} e_2+\omega_{13} e_3, \\ \mathrm{~d} e_2=-\omega_{12} e_1+\omega_{23} e_3, \\ \mathrm{~d} e_3=-\omega_{13} e_1-\omega_{23} e_2. \end{array}\right.$

其中ω₁, ω₂为e₁, e₂的对偶1-形式，则ω₁₃=aω₁，ω₂₃=cω₂，ω₁₂为曲面的联络形式，设ω₁₂=hω₁+kω₂。上述1- 形式满足结构方程

$\begin{cases}\mathrm{d} \omega_1=\omega_{12} \wedge \omega_2, & \\ \mathrm{~d} \omega_2=\omega_1 \wedge \omega_{12}, & \\ \mathrm{~d} \omega_{12}=-K \omega_1 \wedge \omega_2 & \text { (Gauss 方程), } \\ \mathrm{d} \omega_{13}=\omega_{12} \wedge \omega_{23} & \text { (Codazzi 方程) }, \\ \mathrm{d} \omega_{23}=\omega_{13} \wedge \omega_{12} & \text { (Codazzi 方程). }\end{cases}$

由Codazzi方程，

$\begin{aligned} & {\left[\mathrm{d} a-(a-c) h \omega_2\right] \wedge \omega_1=0, } \\ & {\left[\mathrm{~d} a-(a-c) k \omega_1\right] \wedge \omega_2=0 .} \end{aligned}$

不妨设

$2 \mathrm{~d} H=\mathrm{d}(a+c)=(a-c)\left(u \omega_1+v \omega_2\right),$

(1)

则

$\begin{aligned} & \frac{\mathrm{d} a}{a-c}=(u-k) \omega_1+h \omega_2, \\ & \frac{\mathrm{d} c}{a-c}=k \omega_1+(v-h) \omega_2 . \end{aligned}$

因此，

$\operatorname{dlog}(a-c)=(u-2 k) \omega_1-(v-2 h) \omega_2,$

(2)

并且$|\nabla H|^2=|\mathrm{d} H|^2=\left(H^2-K\right)\left(u^2+v^2\right)$.

定义1-形式

$\begin{aligned} & \theta_1=u \omega_1+v \omega_2, \theta_2=-v \omega_1+u \omega_2, \\ & \alpha_1=u \omega_1-v \omega_2, \alpha_2=v \omega_1+u \omega_2 . \end{aligned}$

定义*算子

$* \omega_1=\omega_2, * \omega_2=-\omega_1,$

则

$\begin{aligned} & * \theta_1=\theta_2, * \theta_2=-\theta_1, \\ & * \alpha_1=\alpha_2, * \alpha_2=-\alpha_1. \end{aligned}$

于是式(1)和式(2)可以改写为

$\begin{gathered} 2 \mathrm{~d} H=(a-c) \theta_1, \\ \mathrm{~d} \log (a-c)=\alpha_1+2 * \omega_{12} . \end{gathered}$

由于dH≠0，定义度量

$\begin{aligned} \mathrm{d} s_{-1}^2=\theta_1^2+\theta_2^2= & \alpha_1^2+\alpha_2^2=\left(u^2+v^2\right)\left(\omega_1^2+\omega_2^2\right) \\ & =\frac{|\nabla H|^2}{H^2-K} \mathrm{~d} s^2, \end{aligned}$

其中ds²为M上的诱导度量。

Chern在文献[2]中证明曲面M为Bonnet曲面的充要条件为

$\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} \alpha_1=0 , \\ \mathrm{~d} \alpha_2=\alpha_1 \wedge \alpha_2 . \end{array}\right.$

此时易知ds_-1²的Gauss曲率为-1，同时作者还指出Bonnet曲面必为W-曲面，即dH∧dK=0。Chen和Peng在文献[5]中进一步证明M为W-曲面等价于dθ₁=0，并得到如下定理：

定理1.1^[5]   若M为Bonnet曲面，则

1) 度量

$\mathrm{d} s_0^2=\frac{\left(H^2-K\right)^2}{|\nabla H|^2} \mathrm{~d} s^2$

的Gauss曲率为0，

2) $|\nabla H|$和ΔH都是H的函数。

Chen和Peng在文献[5]中指出可选取M上的等温坐标(u, v)，有

$\mathrm{d} s_0^2=\mathrm{d} u^2+\mathrm{d} v^2,$

此时H仅为u的函数，即H=H(u)。这样就得到如下各式：

$\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} s_{-1}^2=F^2 \mathrm{~d} s_0^2=F^2\left(\mathrm{~d} u^2+\mathrm{d} v^2\right), \\ \mathrm{d} s^2=\frac{|\nabla H|^2}{\left(H^2-K\right)^2} \mathrm{~d} s_0^2=\frac{|\nabla H|^2}{\left(H^2-K\right)^2}\left(\mathrm{~d} u^2+\mathrm{d} v^2\right). \end{array}\right.$

(3)

其中$F^2=\frac{|\nabla H|^4}{\left(H^2-K\right)^3}$。引入ds₀²的梯度算子Δ ₀和Laplace算子Δ₀，则由式(3)有

$\left|\nabla_0 H\right|^2=|\nabla H|^2 \frac{|\nabla H|^2}{\left(H^2-K\right)^2},$

(4)

$\Delta_0 \ln F=F^2.$

(5)

式(5)可改写为

$(\ln F)^{\prime \prime}=F^2.$

(6)

由定理1.1及M为W-曲面, 可知$\left|\nabla_0 H\right|$和Δ₀H仍然是H的函数。将式(4)改写为

$H^{\prime 2}=|\nabla H|^2 \frac{|\nabla H|^2}{\left(H^2-K\right)^2}=F^2\left(H^2-K\right) .$

这样就得到关于Bonnet曲面Gauss曲率满足的微分方程

$K=H^2-\frac{H^{\prime 2}}{F^2}.$

在等温坐标下，曲面的第一基本型为

$\mathrm{d} s^2=\mathrm{e}^{2 \varphi}\left(\mathrm{d} u^2+\mathrm{d} v^2\right),$

(7)

其中$\mathrm{e}^{2 \varphi}=\frac{|\nabla H|^2}{\left(H^2-K\right)^2} \text { 。令 } \tilde{\omega}_1=\mathrm{e}^{\varphi} \mathrm{d} u, \widetilde{\omega}_2=\mathrm{e}^{\varphi} \mathrm{d} v \text {, 则 }\widetilde{\omega}_{12}=* \mathrm{~d} \varphi=\varphi^{\prime} \mathrm{d} v_{\text {。}} \text { 设 }$

$\begin{gathered} {\left[\begin{array}{c} \widetilde{\omega}_1 \\ \widetilde{\omega}_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \omega_1 \\ \omega_2 \end{array}\right], } \\ {\left[\begin{array}{c} \widetilde{e}_1 \\ \widetilde{e}_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} e_1 \\ e_2 \end{array}\right], } \\ \left\{\begin{array}{l} \widetilde{\omega}_{13}=-\left(\mathrm{d} e_3, \tilde{e}_1\right)=h_{11} \widetilde{\omega}_1+h_{12} \widetilde{\omega}_2, \\ \widetilde{\omega}_{23}=-\left(\mathrm{d} e_3, \tilde{e}_2\right)=h_{21} \widetilde{\omega}_1+h_{22} \widetilde{\omega}_2 . \end{array}\right. \end{gathered}$

经过简单计算可得

$\left\{\begin{array}{l} h_{11}=H+G \cos 2 \theta, \\ h_{12}=h_{21}=G \sin 2 \theta, \\ h_{22}=H-G \cos 2 \theta . \end{array}\right.$

其中$G=\frac{a-c}{2}$。关于标架$\left\{\widetilde{\omega}_1, \widetilde{\omega}_2\right\}$的Codazzi方程为

$\left\{\begin{array}{l} h_{112}=h_{121}, \\ h_{212}=h_{221}. \end{array}\right.$

(8)

其中协变导数h_ijk (i, j, k=1, 2)由

$\sum\limits_k h_{i j k} \widetilde{\omega}_k=\mathrm{d} h_{i j}+\sum\limits_k h_{k i} \widetilde{\omega}_{k j}+\sum\limits_k h_{k j} \widetilde{\omega}_{k i}$

确定。直接计算h₁₁₂, h₁₂₁, h₂₁₂, h₂₂₁并代入式(8)，得到

$\left\{\begin{array}{l} 2 \theta_u^{\prime}=\mp F \sin 2 \theta, \\ 2 \theta_v^{\prime}=\pm F \sin 2 \theta-(\ln F)^{\prime} \end{array}\right.$

(9)

事实上可简单验证式(9)的可积性条件即为式(6)。解式(6)，得到

$F=\pm\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{u+t}, \\ \frac{\lambda}{\sin \lambda(u+t)}' \\ \frac{\lambda}{\sinh \lambda(u+t)}. \end{array}\right.$

(10)

这里t, λ(λ≠0)为任意常数。将式(10)代入式(9)中，有

$\tan \theta=\pm\left\{\begin{array}{l} \left(\frac{v+s}{u+t}\right)^{\pm 1}, \text { 当 } F=\pm \frac{1}{u+t}, \\ \tanh \frac{\lambda v+s}{2}\left(\cot \frac{\lambda(u+t)}{2}\right)^{\pm 1} \text { 或 } \\ \operatorname{coth} \frac{\lambda v+s}{2}\left(\cot \frac{\lambda(u+t)}{2}\right)^{\pm 1}, \\ \text { 当 } F=\pm \frac{\lambda}{\sin \lambda(u+t)}, \\ \pm \tan \frac{\lambda v+s}{2}\left(\operatorname{coth} \frac{\lambda(u+t)}{2}\right)^{\pm 1}, \\ \text { 当 } F=\pm \frac{\lambda}{\sinh \lambda(u+t)} . \end{array}\right.$

其中s为任意常数。再由式(7)，K=-φ″e^-2φ得到

$\left(\ln \frac{H^{\prime}}{F^2}\right){ }^{\prime \prime} \frac{H^{\prime}}{F^2}=2\left(H^2-\frac{H^2}{F^2}\right).$

(11)

这样就得到Bonnet曲面的平均曲率H所满足的微分方程。反之，由文献[7]也可以利用式(11)和式(9)的解构造满足条件的Bonnet曲面。这样就得到如下定理：

定理1.2^[5-7]   若M为Bonnet曲面, 则存在等温坐标(u, v)，使得M的平均曲率H仅为u的函数，且M的Gauss曲率K和平均曲率H满足方程组

$\left\{\begin{array}{l} K=H^2-\frac{H^{\prime 2}}{F^2}, \\ \left.\left(\ln \frac{H^{\prime}}{F^2}\right)\right)^{\prime \prime} \frac{H^{\prime}}{F^2}=2\left(H^2-\frac{H^{\prime 2}}{F^2}\right) . \end{array}\right.$

(12)

其中

$F=\pm\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{u+t}, \\ \frac{\lambda}{\sin \lambda(u+t)}, \\ \frac{\lambda}{\sinh \lambda(u+t)} . \end{array}\right.$

λ, t为常数，且λ≠0。

2 定理A的证明

本节将在Bonnet曲面M的Gauss曲率K为常值时，对定理1.2中的方程组进行求解，得到若K为常值且K不为0，式(12)无解。

首先设K>0，由

$K=H^2-\frac{H^{\prime 2}}{F^2},$

$\left(\frac{\sqrt{K}}{H}\right)^2+\left(\frac{H^{\prime}}{F H}\right)^2=1.$

令

$\left\{\begin{array}{l} \sin \beta=\frac{\sqrt{K}}{H}, \\ \cos \beta=\frac{H^{\prime}}{F H}. \end{array}\right.$

(13)

其中β为关于u的函数。由式(13)，

$H^{\prime}=\left(\frac{\sqrt{K}}{\sin \beta}\right)^{\prime}=-\frac{\sqrt{K} \cos \beta}{\sin ^2 \beta} \beta^{\prime}=F \sqrt{K} \cot \beta,$

(14)

于是

$\frac{\beta^{\prime}}{\sin \beta}=-F \text {. }$

(15)

对式(15)左边积分有

$\left(\ln \tan ^2 \frac{\beta}{2}\right)^{\prime}=-2 F.$

(16)

设K < 0，由

$K=H^2-\frac{H^{\prime 2}}{F^2},$

有$\left(\frac{H F}{H^{\prime}}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{-K} F}{H^{\prime}}\right)^2=1$.

此时令

$\left\{\begin{array}{l} \sin \tilde{\beta}=\frac{\sqrt{-K} F}{H^{\prime}}, \\ \cos \tilde{\beta}=\frac{H F}{H^{\prime}} . \end{array}\right.$

(17)

其中$\tilde{\beta}$为u的函数。于是

$H^{\prime}=\frac{H F}{\cos \tilde{\beta}}=\frac{F \sqrt{-K}}{\sin \tilde{\beta}} \text {, }$

(18)

由式(18)，$H=\sqrt{-K} \cot \tilde{\beta}$,

进一步，

$H^{\prime}=\frac{-\sqrt{-K} \tilde{\beta}^{\prime}}{\sin ^2 \tilde{\beta}},$

(19)

由式(18)和式(19)，

$\frac{\tilde{\beta}^{\prime}}{\sin \tilde{\beta}}=-F \text {, }$

进一步，

$\left(\ln \tan ^2 \frac{\tilde{\beta}}{2}\right)^{\prime}=-2 F.$

(20)

现在将利用式(14)和式(16)以及式(18)和式(20)讨论Gauss曲率K的表达式。

1) 当$F=\frac{1}{u+t}$时，由式(16)或式(20)解得

$\tan \frac{\beta}{2}=\frac{m}{u+t} \text { 或 } \tan \frac{\tilde{\beta}}{2}=\frac{\tilde{m}}{u+t} \text {, }$

这里$m(\tilde{m})$为非零实常数。利用式(14)和式(18)进一步计算，可将K>0和K < 0的情形写成比较统一的形式, m与$\tilde{m}$不加区别：

$\left\{\begin{array}{l} H^{\prime}=\frac{\sqrt{\pm K}\left[(u+t)^2 \mp m^2\right]}{2 m(u+t)^2}, \\ H^{\prime \prime}=\frac{\pm \sqrt{\pm K} m}{(u+t)^3}, \\ \frac{H^{\prime \prime}}{H^{\prime}}=\frac{2 m^2}{(u+t)\left[\pm(u+t)^2-m^2\right]}, \\ \frac{H^{\prime}}{F^2}=\frac{\sqrt{\pm K}\left[(u+t)^2 \mp m^2\right]}{2 m}, \\ \frac{F^{\prime}}{F}=\frac{-1}{u+t}. \end{array}\right.$

(21)

注意到式(12)中二式又可以写成

$\left(\frac{H^{\prime \prime}}{H^{\prime}}-\frac{2 F^{\prime}}{F}\right)^{\prime} \frac{H^{\prime}}{F^2}=2 K .$

(22)

将式(21)中的结果代入到式(22)中得到

$\frac{\sqrt{\pm K}\left[m^2 \pm(u+t)^2\right]}{m\left[m^2 \mp(u+t)^2\right]}=2 K .$

这样就得到了Gauss曲率K的表达式，这与假设K为常值矛盾。

2) 当$F=\frac{\lambda}{\sin (\lambda u+t)}=\frac{\lambda}{\sin \gamma}$时，这里γ=λu+t, γ′=λ, 由式(16)或式(20)解得

$\tan \frac{\beta}{2}=m \cot \frac{\gamma}{2} \text { 或 } \tan \frac{\tilde{\beta}}{2}=\tilde{m} \cot \frac{\gamma}{2} \text {, }$

其中$m(\tilde{m})$为非零实常数。进一步，由式(14)和式(18)得

$\left\{\begin{array}{l} H^{\prime}=\frac{\lambda \sqrt{\pm K}\left(1 \mp m^2 \cot ^2 \frac{\gamma}{2}\right)}{4 m \cos ^2 \frac{\gamma}{2}}, \\ H^{\prime \prime}=\frac{\lambda^2 \sqrt{\pm K}}{4 m}\left(\frac{\sin \frac{\gamma}{2}}{\cos ^3 \frac{\gamma}{2}} \pm \frac{m^2 \cos \frac{\gamma}{2}}{\sin ^3 \frac{\gamma}{2}}\right), \\ \frac{H^{\prime \prime}}{H^{\prime}}=\frac{\lambda\left(\tan ^4 \frac{\gamma}{2} \pm m^2\right)}{\tan ^3 \frac{\gamma}{2} \mp m^2 \tan \frac{\gamma}{2}}, \\ \frac{H^{\prime}}{F^2}=\frac{\sqrt{\pm K}}{\lambda m}\left(\sin ^2 \frac{\gamma}{2} \mp m^2 \cos ^2 \frac{\gamma}{2}\right), \\ \frac{F^{\prime}}{F}=-\lambda \cot \gamma. \end{array}\right.$

(23)

将式(23)中的结果代入到式(22)中有

$\frac{\lambda \sqrt{\pm K}\left(1 \pm m^2\right)\left(\tan ^2 \frac{\gamma}{2} \pm m^2\right)}{-2 m\left(\tan ^2 \frac{\gamma}{2} \mp m^2\right)}=2 K.$

这与假设K为常值矛盾。

3) 当$F=\frac{\lambda}{\sinh (\lambda u+t)}=\frac{\lambda}{\sinh \gamma}$时，其中γ=λu+t，γ′=λ, 由式(16)或式(20)解得

$\tan \frac{\beta}{2}=m \operatorname{coth} \frac{\gamma}{2} \text { 或 } \tan \frac{\tilde{\beta}}{2}=\tilde{m} \operatorname{coth} \frac{\gamma}{2} \text {, }$

其中$m(\tilde{m})$为非零实常数。进一步，由式(14)和式(18)得

$\left\{\begin{array}{l} H^{\prime}=\frac{\lambda \sqrt{\pm K}\left[\left(1 \mp m^2\right) \cosh \gamma-\left(1 \pm m^2\right)\right]}{2 m \sinh ^2 \gamma}, \\ H^{\prime \prime}= \\ \frac{\lambda^2 \sqrt{\pm K}\left[\left(1 \mp m^2\right)\left(1+\cosh ^2 \gamma\right)-2\left(1 \pm m^2\right) \cosh \gamma\right]}{-2 m \sinh ^3 \gamma}, \\ \frac{H^{\prime}}{H^{\prime}}=\frac{\lambda\left[\left(1 \mp m^2\right)\left(1+\cosh ^2 \gamma\right)-2\left(1 \pm m^2\right) \cosh \gamma\right]}{-\sinh \gamma\left[\left(1 \mp m^2\right) \cosh \gamma-\left(1 \pm m^2\right)\right]}, \\ \frac{H^{\prime}}{F^2}=\frac{\sqrt{\pm K}\left[\left(1 \mp m^2\right) \cosh \gamma-\left(1 \pm m^2\right)\right]}{2 \lambda m}, \\ \frac{F^{\prime}}{F}=-\lambda \operatorname{coth} \gamma . \end{array}\right.$

(24)

将式(24)中的结果代入到式(22)中得

$\frac{\lambda \sqrt{\pm K}\left(1 \mp m^2\right)\left[\left(1 \mp m^2\right)-\left(1 \pm m^2\right) \cosh \gamma\right]}{2 m\left[\left(1 \mp m^2\right) \cosh \gamma-\left(1 \pm m^2\right)\right]}=2 K .$

这与K为常值矛盾。

4) 当$F=-\frac{1}{u+t}$时，由式(16)或式(20)解得

$\tan \frac{\beta}{2}=m(u+t) \text { 或 } \tan \frac{\tilde{\beta}}{2}=\tilde{m}(u+t) \text {, }$

其中$m(\tilde{m})$为非零实常数。再由式(14)和式(18)有

$\left\{\begin{array}{l} H^{\prime}=\frac{\sqrt{\pm K}\left[\pm m^2(u+t)^2-1\right]}{2 m(u+t)^2}, \\ H^{\prime \prime}=\frac{\sqrt{\pm K}}{m(u+t)^3}, \\ \frac{H^{\prime \prime}}{H^{\prime}}=\frac{2}{(u+t)\left[\pm m^2(u+t)^2-1\right]}, \\ \frac{H^{\prime}}{F^2}=\frac{\sqrt{\pm K}\left[\pm m^2(u+t)^2-1\right]}{2 m}, \\ \frac{F^{\prime}}{F}=\frac{-1}{u+t} . \end{array}\right.$

(25)

将式(25)中的结果代入到式(22)中有

$\frac{\pm \sqrt{\pm K} m\left[\mp m^2(u+t)^2-1\right]}{\pm m^2(u+t)^2-1}=2 K .$

这与K为常数矛盾。

5) 当$F=\frac{-\lambda}{\sin (\lambda u+t)}=\frac{-\lambda}{\sin \gamma}$时, 这里γ=λu+t, γ′=λ, 由式(16)或式(20) 解得

$\tan \frac{\beta}{2}=m \tan \frac{\gamma}{2} \text { 或 } \tan \frac{\tilde{\beta}}{2}=\tilde{m} \tan \frac{\gamma}{2} \text {, }$

$m(\tilde{m})$为非零实常数。再由式(14)和式(18)有

$\left\{\begin{array}{l} H^{\prime}=\frac{-\lambda \sqrt{\pm K}\left(1 \mp m^2 \tan ^2 \frac{\gamma}{2}\right)}{4 m \sin ^2 \frac{\gamma}{2}}, \\ H^{\prime \prime}=\frac{\lambda^2 \sqrt{\pm K}}{4 m}\left(\frac{\cos \frac{\gamma}{2}}{\sin ^3 \frac{\gamma}{2}} \pm \frac{m^2 \sin \frac{\gamma}{2}}{\cos ^3 \frac{\gamma}{2}}\right), \\ \frac{H^{\prime \prime}}{H^{\prime}}=\frac{-\lambda\left(1 \pm m^2 \tan ^4 \frac{\gamma}{2}\right)}{\tan \frac{\gamma}{2} \mp m^2 \tan ^3 \frac{\gamma}{2}}, \\ \frac{H^{\prime}}{F^2}=\frac{-\sqrt{\pm K}}{\lambda m}\left(\cos ^2 \frac{\gamma}{2} \mp m^2 \sin ^2 \frac{\gamma}{2}\right), \\ \frac{F^{\prime}}{F}=-\lambda \cot \gamma . \end{array}\right.$

(26)

将式(26)中的结果代入到式(22)中有

$\frac{\lambda \sqrt{\pm K}\left(1 \pm m^2\right)\left(1 \pm m^2 \tan ^2 \frac{\gamma}{2}\right)}{2 m\left(1 \mp m^2 \tan ^2 \frac{\gamma}{2}\right)}=2 K.$

这与K为常值矛盾。

6) 当$F=\frac{-\lambda}{\sinh (\lambda u+t)}=\frac{-\lambda}{\sinh \gamma}$时，其中γ=λu+t，γ′=λ，由式(16)或式(20) 有

$\tan \frac{\beta}{2}=m \tanh \frac{\gamma}{2} \text { 或 } \tan \frac{\tilde{\beta}}{2}=\tilde{m} \tanh \frac{\gamma}{2} \text {, }$

$m(\tilde{m})$为非零实常数。再由式(14)和式(18)有

$\left\{\begin{array}{l} H^{\prime}=\frac{-\lambda \sqrt{\pm K}\left[\left(1 \mp m^2\right) \cosh \gamma+\left(1 \pm m^2\right)\right]}{2 m \sinh ^2 \gamma}, \\ H^{\prime \prime}=\frac{\lambda^2 \sqrt{\pm K}\left[\left(1 \mp m^2\right)\left(1+\cosh ^2 \gamma\right)+2\left(1 \pm m^2\right) \cosh \gamma\right]}{2 m \sinh ^3 \gamma}, \\ \frac{H^{\prime \prime}}{H^{\prime}}=\frac{\lambda\left[\left(1 \mp m^2\right)\left(1+\cosh ^2 \gamma\right)+2\left(1 \pm m^2\right) \cosh \gamma\right]}{-\sinh \gamma\left[\left(1 \mp m^2\right) \cosh \gamma+\left(1 \pm m^2\right)\right]}, \\ \frac{H^{\prime}}{F^2}=\frac{\sqrt{\pm K}\left[\left(1 \mp m^2\right) \cosh \gamma+\left(1 \pm m^2\right)\right]}{-2 m \lambda} , \\ \frac{F^{\prime}}{F}=-\lambda \operatorname{coth} \gamma. \end{array}\right.$

(27)

将式(27)中的结果代入到式(22)中有

$\frac{\lambda \sqrt{\pm K}\left(1 \mp m^2\right)\left[\left(1 \mp m^2\right)+\left(1 \pm m^2\right) \cosh \gamma\right]}{-2 m\left[\left(1 \mp m^2\right) \cosh \gamma+\left(1 \pm m^2\right)\right]}=2 K .$

与K为常值矛盾。

综上可知，若Bonnet曲面Gauss曲率K为常值，则只能为0。这样就完成了定理A的证明。

现在考虑零Gauss曲率Bonnet曲面的平均曲率，此时式(12) 为

$H^2-\frac{H^{\prime 2}}{F^2}=0,$

(28)

$\left(\ln \frac{H^{\prime}}{F^2}\right){ }^{\prime \prime} \frac{H^{\prime}}{F^2}=0 .$

(29)

由式(28)有

$\left(\ln H^2\right)^{\prime}=2 F.$

(30)

当$F=\frac{\pm 1}{u+t}$时，由式(30)解得

$H=m(u+t)^{\pm 1}.$

m≠0为常数。考虑到式(29)成立，则有H=$\frac{m}{u+t}$。

当$F=\frac{\pm \lambda}{\sin \gamma}$时，由式(30)有

$H=m \tan ^{\pm 1} \frac{\gamma}{2}.$

m≠0为常数，H不能使式(29)式成立。

当$F=\frac{\pm \lambda}{\sinh \gamma}$时，式(30)解得

$H=m \tanh ^{\pm 1} \frac{\gamma}{2}.$

m≠0为常数，H不能使式(29)式成立。

综上所述，得到如下结论：

M为Bonnet曲面，则存在等温坐标(u, v)使M的Gauss曲率K和平均曲率H均为u的函数，M上的度量有如下形式：

$\begin{aligned} \mathrm{d} s^2 & =\frac{\left(H^2-K\right)^2}{|\nabla H|^2} \mathrm{~d} s_0^2, \\ \mathrm{~d} s_0^2 & =\mathrm{d} u^2+\mathrm{d} v^2 . \end{aligned}$

并且K, H满足方程

$\left\{\begin{array}{l} K=H^2-\frac{H^{\prime 2}}{F^2}, \\ \left(\ln \frac{H^{\prime}}{F^2}\right){ }^{\prime \prime} \frac{H^{\prime}}{F^2}=2\left(H^2-\frac{H^{\prime 2}}{F^2}\right). \end{array}\right.$

其中

$F=\pm\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{u+t}, \\ \frac{\lambda}{\sin \lambda(u+t)}, \\ \frac{\lambda}{\sinh \lambda(u+t)}. \end{array}\right.$

λ, t为常数，λ≠0。若M的Gauss曲率K为常值，则K=0，且平均曲率$H=\frac{m}{u+t}$，m≠0为任意常数。若曲面的Gauss曲率为非零常数，则不存在非平凡的保持平均曲率的等距变换，即其上保持平均曲率的等距变换只能是刚体运动。