文章快速检索     高级检索
  中国舰船研究  2017, Vol. 12 Issue (4): 102-109  DOI: 10.3969/j.issn.1673-3185.2017.04.016
0

引用本文 [复制中英文]

王旻昊, 李凯, 邱永康, 等. 基于傅里叶级数法的开孔板振动固有特性分析[J]. 中国舰船研究, 2017, 12(4): 102-109. DOI: 10.3969/j.issn.1673-3185.2017.04.016.
[复制中文]
WANG M H, LI K, QIU Y K, et al. Free vibration characteristics analysis of rectangular plate with rectangular opening based on Fourier series method[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2017, 12(4): 102-109. DOI: 10.3969/j.issn.1673-3185.2017.04.016.
[复制英文]

基金项目

国家自然科学基金资助项目(51379083,51579109)

作者简介

王旻昊, 男, 1992年生, 硕士生。研究方向:结构振动噪声, 机械结构静、动力学仿真分析。E-mail:710959552@qq.com
李天匀(通信作者), 男, 1969年生, 教授, 博士生导师。研究方向:结构振动噪声分析。E-mail:ltyz801@hust.edu.cn

文章历史

收稿日期: 2017-01-03
网络出版时间: 2017-07-27 10:30
基于傅里叶级数法的开孔板振动固有特性分析
王旻昊 1 , 李凯 2 , 邱永康 1 , 李天匀 1,3,4 , 朱翔 1,3     
1 华中科技大学船舶与海洋工程学院, 湖北 武汉 430074;
2 中国舰船研究设计中心, 湖北 武汉 430064;
3 船舶与海洋水动力湖北省重点实验室, 湖北 武汉 430074;
4 高新船舶与深海开发装备协同创新中心, 上海 200240
摘要:[目的] 开口板结构普遍存在于各类工程结构中,对其振动特性的研究直接关系到整体结构的减振降噪和稳定性分析。为研究针对弹性薄板在任意位置开与板平行的矩形口的自由振动特性研究问题,[方法] 通过改进傅里叶级数形式表示开口矩形板的位移容许函数,用区域划分思想将开口板沿开口延伸线划分为多个区域板,采用沿边界均匀分布的线性模拟弹簧模拟经典边界条件和区域板间连续边界条件,将边界表达为弹性势能的形式,从而将有约束问题转化为无约束问题,并结合位移连续条件和能量泛函变分方法,对未知傅里叶展开系数一次变分求极值以求解标准特征值方程。然后将得到的开口矩形板的固有频率值及其对应振型与有限元软件(ANASYS)计算结果进行对比,最后分析不同边界条件、开口尺寸和开口位置对开口板自振特性的影响。[结果] 结果验证了方法的有效性和精确性,[结论] 所得结果可为相关实际工程应用提供理论参考。
关键词任意开口位置     开口矩形板     改进傅立叶级数     能量法    
Free vibration characteristics analysis of rectangular plate with rectangular opening based on Fourier series method
WANG Minhao1 , LI Kai2 , QIU Yongkang1 , LI Tianyun1,3,4 , ZHU Xiang1,3     
1 School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China;
2 China Ship Development and Design Center, Wuhan 430064, China;
3 Hubei Key Laboratory of Naval Architecture and Ocean Engineering Hydrodynamics, Wuhan 430074, China;
4 Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai 200240, China
Abstract: Plate structures with openings are common in many engineering structures. The study of the vibration characteristics of such structures is directly related to the vibration reduction, noise reduction and stability analysis of an overall structure. This paper conducts research into the free vibration characteristics of a thin elastic plate with a rectangular opening parallel to the plate in an arbitrary position. We use the improved Fourier series to represent the displacement tolerance function of the rectangular plate with an opening. We can divide the plate into an eight zone plate to simplify the calculation. We then use linear springs, which are uniformly distributed along the boundary, to simulate the classical boundary conditions and the boundary conditions of the boundaries between the regions. According to the energy functional and variational method, we can obtain the overall energy functional. We can also obtain the generalized eigenvalue matrix equation by studying the extremum of the unknown improved Fourier series expansion coefficients. We can then obtain the natural frequencies and corresponding vibration modes of the rectangular plate with an opening by solving the equation. We then compare the calculated results with the finite element method to verify the accuracy and effectiveness of the method proposed in this paper. Finally, we research the influence of the boundary condition, opening size and opening position on the vibration characteristics of a plate with an opening. This provides a theoretical reference for practical engineering application.
Key words: arbitrary opening position    rectangular plate with an opening    improved Fourier series method    energy variational method    

知识共享许可协议
基于傅里叶级数法的开孔板振动固有特性分析王旻昊,等创作,采用知识共享署名4.0国际许可协议进行许可。
0 引言

开口矩形板结构广泛存在于各个行业中,例如汽车、航空航天、土木建筑等。在船舶领域,为提高隐身性能,方式之一是采用一体化上层建筑,雷达布置在上层建筑结构开口处。结构开口会影响其原有振动特性,存在与开口处动力设备共振的风险。所以开口矩形板的动态性能研究对船舶上层建筑结构的减振设计具有重要的理论指导意义和工程实用价值。

关于开口板结构的动态性能,国内外学者开展了大量的研究。Paramasivam[1]通过扩展网格模型对有限差分算子进行改进,研究了不同边界条件下开口对板固有频率的影响;Cho等[2]基于假定模态法,利用拉格朗日运动方程求解多自由度系统矩阵的特征值,分析了不同形状开口板的自由振动问题;Lam等[3]对含有开口或裂纹的矩形板结构的自由振动性能进行研究分析,对开口板进行分区处理,以正交多项式模拟板位移函数得出中心开口矩形板的振动频率,其为用板分区处理思想研究开口板问题提供了新的思路;李成等[4]根据非均质各向异性弹性理论,对含椭圆孔的正交各向异性板的孔边进行应力分析,提出了积分方程法求解方案;李自林等[5]利用三角形薄板广义协调元分析了复合式多层四边简支、四边固定无孔和开孔矩形薄板的自由振动,求出了前几阶频率系数并与ANSYS软件计算结果进行了对比;Reddy[6]根据Reissner-Mindlin型剪切变形理论和非线性的von Kármán应变——位移关系理论,对开口板大振幅弯曲振动进行了研究;邱昌林等[7]采用有限元与间接边界元相结合的方法,以开有圆孔、四边简支、无障板的钢制平板为对象,开展了开孔板水下振动及声辐射特性研究;Hegarty等[8]通过最小二乘配点法,对中心开圆孔的矩形板的自由振动问题进行了研究,最后得出板自由振动频率与开口尺寸之间的关系曲线;Aksu等[9]结合有限差分技术的变分原理,对含有1~2个开口矩形板的固有频率进行了预测;Tan[10]运用一种易于处理和封闭的形式,对含椭圆形开口的各向异性和正交异性板的有限宽度修正因子进行研究进而分析了其性能;张宇力等[11]选取典型船舶板架,采用ANSYS系统,对开口和不开口的板分别进行了特征值屈曲分析和极限承压屈曲分析,同时,运用便于简化处理的相当梁系法,将加筋板架近似看作由带附连翼板的交叉梁系构成,转换以后给出了一套工程近似计算方法。

上述文献中对开口板边界条件、开口尺寸和开口位置对其整体振动性能的研究较少。文献[3]中以正交多项式形式表示开口板的位移容许函数,使得最后得出结果的精度完全依赖于所选取板的假定振型与实际情况的吻合程度,不仅影响计算效率,而且其只能针对中心开口的对称结构,限制了开口位置的多样性。

Li[12]提出了任意支撑梁振动分析的改进傅里叶级数方法,并随后被拓展应用到矩形板[13]和圆柱壳[14]等结构的振动分析之中;文献[13]表明任意边界条件下板的假定振型函数可以不变地用一种改进傅里叶级数形式表示。本文将引入改进傅里叶级数方法建立任意边界条件下开口矩形板的振动分析模型,并应用区域划分思想将开口在任意位置的开口板划分为8块区域板,采用沿边界均匀分布的位移约束弹簧和转角约束弹簧模拟板的边界条件,然后运用能量泛函变分方法对结构振动问题进行求解,并与有限元仿真运算结果进行对比分析以说明文中方法的准确性,最后讨论边界条件、开口尺寸和开口位置对开口板振动特性的影响,以便为工程应用提供理论指导。

1 理论分析 1.1 开口矩形板模型描述

文中研究对象为任意位置矩形开口的矩形板,如图 1所示。开口矩形板的长度为a,宽度为b,矩形开口位于图中所示位置,其角点坐标分别为(a1b1)和(a2b2),板厚为h。考虑到开口板结构和边界的任意性,将开口板划分为8块区域板进行研究。

图 1 开口矩形板示意图 Figure 1 Rectangular plate with a rectangular opening

图 1中(1)~(12)边界及(21)~(24)边界均为对地边界,(13)~(20)为区域板间的连接边界。以上边界均可采用两类沿边界均匀分布的线性弹簧来模拟,两类线性弹簧分别为位移约束弹簧和旋转约束弹簧,通过设置这两类弹簧的刚度来模拟开口板任意边界。例如,对于对地边界,在自由边界条件下,边界位移和转角均无约束,将两类弹簧刚度均设为0,则可获得自由边界;在固支边界条件下,边界位移和转角均为0,将两类弹簧刚度都设为∞,则可模拟固支边界;在简支边界条件下,边界位移为0,转角无约束,将位移约束弹簧和转角约束弹簧的刚度值分别取0和∞,则可模拟经典简支边界;当其取0~∞时,可模拟任意弹性边界等。对于区域板间的连接边界,其位移和转角均连续,区域板间位移和转角均相对为0,故两类模拟弹簧值均设置为∞。

当模拟弹簧刚度设置为∞时,本文的取值为1×1012,由后文算例验证,当刚度取值为1×1012,一般弹性边界可完全退化为经典边界。根据以上弹簧模拟方法,可得到开口板的物理模型如图 2所示。

图 2 开口板物理模型描述图 Figure 2 Physical model of rectangular plate with an opening

根据上述物理模型针对每个单独的区域板进行单独研究,每个区域板均取独立的坐标系,区域矩形板的位移容许函数可表示为[3]

$ {w^{\left[ j \right]}}\left( {x,y,t} \right) = \left( {\sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{n = 1}^N {A_{mn}^{\left[ j \right]}\phi _m^{\left[ j \right]}\left( x \right)\psi _n^{\left[ j \right]}\left( y \right)} } } \right){{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega t}} $ (1)

式中:Amn为其未知傅里叶级数展开系数;简谐时间因子eiωt表示矩形板在不同时刻的位移函数;j=1,2,3,…,8,分别表示8块板的位移函数;MN为截断项取值;ϕm(x)为x方向的特性梁容许函数,ψn(y)为y方向的特性梁容许函数。

所假定的位移容许函数的优劣将直接影响到计算结果的准确性,因而选取合适的位移容许函数非常重要。文中引入改进傅里叶级数形式来表示开口矩形板的位移容许函数,该级数形式具有收敛性好、精度高等特点,可以满足任意边界条件,改进傅里叶级数方法可使板的位移容许函数在整个求解域内三阶导数连续且四阶导数各点均存在,可以有效克服边界处可能出现的不连续现象。根据改进傅里叶级数方法,式(1)中ϕm(x)与ψn(y)可分别表示为[13]

$ \left\{ \begin{array}{l} {\phi _m}\left( {{x^ * }} \right) = \sin \left( {m{\rm{\pi }}{x^ * }} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 < m < 5\\ {\phi _m}\left( {{x^ * }} \right) = \cos \left[ {\left( {m - 5} \right){\rm{\pi }}{x^ * }} \right]\;\;\;\;\;\;\;m \ge 5 \end{array} \right. $ (2)
$ \left\{ \begin{array}{l} {\psi _n}\left( {{y^ * }} \right) = \sin \left( {n{\rm{\pi }}{y^ * }} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 < n < 5\\ {\psi _n}\left( {{y^ * }} \right) = \cos \left[ {\left( {n - 5} \right){\rm{\pi }}{y^ * }} \right]\;\;\;\;\;\;\;n \ge 5 \end{array} \right. $ (3)

式中:x*y*为无因次坐标;m=1,2,3,…,Mn=1,2,3,…,N

1.2 含开孔板振动固有特征的能量分析

结合能量泛函变分法对开口矩形板结构进行研究,以确定式(1)中的未知系数。仅考虑弯曲变形,在无外激励力作用的情况下,开口板的能量泛函为8块区域板的总和,表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {L = \left( {V_{\rm{p}}^{\left[ 1 \right]} + V_{\rm{p}}^{\left[ 2 \right]} + \cdots + V_{\rm{p}}^{\left[ 8 \right]}} \right) + \left( {V_{\rm{s}}^{\left[ 1 \right]} + V_{\rm{s}}^{\left[ 2 \right]} + \cdots + V_{\rm{s}}^{\left[ 8 \right]}} \right) - }\\ {\left( {{T^{\left[ 1 \right]}} + {T^{\left[ 2 \right]}} + \cdots + {T^{\left[ 8 \right]}}} \right)} \end{array} $ (4)

式中:Vp[j]为每块区域板的弯曲应变能;Vs[j]为每块区域板储存在边界模拟约束弹簧中的弹性势能;T[j]为每块区域板的动能;j=1,2,3,…,8。

式(4)中区域板的弯曲应变能可表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {V_{\text{p}}^{\left[ j \right]} = } \\ {\frac{{{D_{\text{p}}}}}{2}\iint {\left[ \begin{gathered} {\left( {\frac{{{\partial ^2}{w^{\left[ j \right]}}}}{{\partial {x^2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{\partial ^2}{w^{\left[ j \right]}}}}{{\partial {y^2}}}} \right)^2} + 2\mu \left( {\frac{{{\partial ^2}{w^{\left[ j \right]}}}}{{\partial {x^2}}}} \right)\left( {\frac{{{\partial ^2}{w^{\left[ j \right]}}}}{{\partial {y^2}}}} \right) \hfill \\ + 2\left( {1 - \mu } \right){\left( {\frac{{{\partial ^2}{w^{\left[ j \right]}}}}{{\partial x\partial y}}} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right]{\text{d}}x{\text{d}}y}} \end{array} $ (5)

式中:${D_{\rm{p}}} = \frac{{E{h^3}}}{{12\left({1 -{\mu ^2}} \right)}}$,其中Eμ分别为板材料的杨氏模量和泊松比;j=1,2,3,…,8。

在任意边界条件下,8块区域板的动能可表示为

$ {T^{\left[ j \right]}} = \frac{{\rho h}}{2}\iint {{{\left( {\frac{{\partial {w^{\left[ j \right]}}}}{{\partial t}}} \right)}^2}{\text{d}}x{\text{d}}y} $ (6)

式中:ρ为板材料的密度;j=1,2,3,…,8。

储存在边界模拟约束弹簧中的弹性势能为(此处以区域板1为例,其余板同理可得):

$ \begin{array}{*{20}{c}} {V_{\rm{s}}^{\left[ 1 \right]} = \frac{1}{2}\int_{{a_1}}^{{a_2}} {\left\{ \begin{array}{l} {\left[ {{k_1}{{\left( {{w^{\left[ 1 \right]}}} \right)}^2} + {K_1}{{\left( {\frac{{\partial {w^{\left[ 1 \right]}}}}{{\partial y}}} \right)}^2}} \right]_{y = 0}}\\ + {\left[ {{k_{21}}{{\left( {{w^{\left[ 1 \right]}}} \right)}^2} + {K_{21}}{{\left( {\frac{{\partial {w^{\left[ 1 \right]}}}}{{\partial y}}} \right)}^2}} \right]_{y = {b_1}}} \end{array} \right\}{\rm{d}}x} + }\\ {\frac{1}{2}\int_0^{{b_1}} {\left\{ \begin{array}{l} {\left[ {{k_{14}}{{\left( {{w^{\left[ 1 \right]}} - {w^{\left[ 2 \right]}}} \right)}^2} + {K_{14}}{{\left( {\frac{{\partial {w^{\left[ 1 \right]}}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {w^{\left[ 2 \right]}}}}{{\partial x}}} \right)}^2}} \right]_{x = {a_1}}}\\ + {\left[ {{k_{13}}{{\left( {{w^{\left[ 1 \right]}} - {w^{\left[ 8 \right]}}} \right)}^2} + {K_{13}}{{\left( {\frac{{\partial {w^{\left[ 1 \right]}}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {w^{\left[ 8 \right]}}}}{{\partial x}}} \right)}^2}} \right]_{x = {a_2}}} \end{array} \right\}{\rm{d}}y} } \end{array} $ (7)

式中,kiKi分别表示图 1中开口板第i个边界的位移约束弹簧刚度(单位:N/m)和旋转约束弹簧刚度(单位:(N·m)/rad)。

针对式(1)中区域板的总能量泛函进行变分求极值可得:

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial L}}{{\partial A_{mn}^{\left[ 1 \right]}}} = \frac{{\partial V_{\rm{p}}^{\left[ 1 \right]}}}{{\partial A_{mn}^{\left[ 1 \right]}}} + \frac{{\partial V_{\rm{s}}^{\left[ 1 \right]}}}{{\partial A_{mn}^{\left[ 1 \right]}}} + \frac{{\partial V_{\rm{s}}^{\left[ 2 \right]}}}{{\partial A_{mn}^{\left[ 1 \right]}}} + \frac{{\partial V_{\rm{s}}^{\left[ 8 \right]}}}{{\partial A_{mn}^{\left[ 1 \right]}}} - \frac{{\partial {T^{\left[ 1 \right]}}}}{{\partial A_{mn}^{\left[ 1 \right]}}} = 0\\ \frac{{\partial L}}{{\partial A_{mn}^{\left[ j \right]}}} = \frac{{\partial V_{\rm{p}}^{\left[ j \right]}}}{{\partial A_{mn}^{\left[ j \right]}}} + \frac{{\partial V_{\rm{s}}^{\left[ {j - 1} \right]}}}{{\partial A_{mn}^{\left[ j \right]}}} + \frac{{\partial V_{\rm{s}}^{\left[ j \right]}}}{{\partial A_{mn}^{\left[ j \right]}}} + \frac{{\partial V_{\rm{s}}^{\left[ {j + 8} \right]}}}{{\partial A_{mn}^{\left[ j \right]}}} - \frac{{\partial {T^{\left[ j \right]}}}}{{\partial A_{mn}^{\left[ j \right]}}} = 0\\ \frac{{\partial L}}{{\partial A_{mn}^{\left[ 8 \right]}}} = \frac{{\partial V_{\rm{p}}^{\left[ 8 \right]}}}{{\partial A_{mn}^{\left[ 8 \right]}}} + \frac{{\partial V_{\rm{s}}^{\left[ 8 \right]}}}{{\partial A_{mn}^{\left[ 8 \right]}}} + \frac{{\partial V_{\rm{s}}^{\left[ 7 \right]}}}{{\partial A_{mn}^{\left[ 8 \right]}}} + \frac{{\partial V_{\rm{s}}^{\left[ 8 \right]}}}{{\partial A_{mn}^{\left[ 8 \right]}}} - \frac{{\partial {T^{\left[ 8 \right]}}}}{{\partial A_{mn}^{\left[ 8 \right]}}} = 0 \end{array} \right. $ (8)

式中,j=2,3,…,7。

将式(5)~式(7)代入式(8)中,可写成矩阵形式为

$ \left( {\mathit{\boldsymbol{K}} - {\omega ^2}\mathit{\boldsymbol{M}}} \right)\mathit{\boldsymbol{A}} = 0 $ (9)

式中:矩阵K表示8个区域板的总势能刚度矩阵,包括板的弯曲应变能刚度和储存在边界中的弹簧势能刚度;M表示其质量矩阵;ω为圆频率。

$ \mathit{\boldsymbol{A}} = {\left\{ {A_{mn}^{\left[ 1 \right]},A_{mn}^{\left[ 2 \right]}, \cdots ,A_{mn}^{\left[ 8 \right]}} \right\}^{\rm{T}}} $ (10)
$ \mathit{\boldsymbol{A}}_{mn}^{\left[ j \right]} = {\left[ {A_{mn}^{\left[ j \right]},A_{mn}^{\left[ j \right]}, \cdots ,A_{mn}^{\left[ j \right]},A_{m,n + 1}^{\left[ j \right]}, \cdots ,A_{MN}^{\left[ j \right]}} \right]^{\rm{T}}} $ (11)

式中,j=1,2,3,…,8。

通过求解式(9)的特征值和特征向量,即可得到开口矩形板的各阶固有频率及其对应的模态振型,至此,将开口板的自由振动问题通过能量泛函变分法处理成求解标准特征值方程。

2 数值计算与分析

本文对任意边界条件下,开口在任意位置的开口矩形板的自由振动特性进行分析计算,对比不同边界、不同开口大小和不同开口位置对开口板固有频率的影响,并与有限元软件(ANSYS)计算结果进行了对比分析,以说明本文方法的精确性。板材料参数的取值为:ρ=7 850 kg/m3μ=0.3,E=2.1×1011 Pa。

2.1 收敛性及有效性验证

首先进行收敛性分析,以验证随着式(1)中截断项MN的取值和边界模拟弹簧刚度取值的不断增大,计算结果的稳定性。在对截断项MN的取值进行对比分析中,开口板的边界条件设置为C-F边界条件,其中C代表其外边界的边界条件为固支,F代表其内孔的边界条件为自由。板的几何参数设置如下:a=8 m,b=6 m,h=0.02 m,内开口参数a1=2 m,b1=1 m,a2=5 m,b2=3 m,计算其前6阶的固有频率值(单位:Hz),并与有限元软件计算结果进行对比分析,为便于分析,这里取M=N,结果如表 1所示。

表 1 C-F边界下开口板固有频率 Table 1 Natural frequencies of rectangular plate with a rectangular opening in C-F boundary

表 1中的对比分析可知:随着截断项数MN不断增加,采用文中方法所求得的开口板固有频率逐渐趋于稳定,当M=N=12时,固有频率已不再发生变化,即认为文中方法已收敛,从而证明了改进傅里叶级数方法在计算开口板振动特性上的收敛性和稳定性。且文中方法计算所得开口板固有频率值与有限元仿真软件(ANSYS)计算结果吻合很好,后面的计算中均取截断项M=N=13。

提取前4阶固有频率对应的模态振型,并与有限元仿真软件(ANSYS)进行对比,如图 3所示。从图 3中可以看出,计算所得频率和振型与有限元方法所得结果的吻合度很高,从而证明了文中方法的正确性。

图 3 开口板前4阶振型对比图 Figure 3 Comparison of the first four order modes of rectangular plate with a rectangular opening

然后,针对边界模拟弹簧刚度取值对计算结果的影响进行分析。算例参数不变,边界条件内边为自由边界,外边位移约束弹簧刚度为K′,转角约束弹簧刚度为0,计算随着K′的增大,采用文中方法计算所得开口矩形板的固有频率的稳定性,并与有限元软件(ANSYS)计算结果进行对比分析,表 2给出前6阶固有频率(单位:Hz)结果的对比。

表 2 不同位移约束弹簧刚度K′的开口板固有频率 Table 2 Natural frequencies of rectangular plate with a rectangular opening in different K

表 2中的数据对比可以得出,位移约束弹簧刚度从0逐渐增大到1×1012 N/m时,开口板的外边边界条件从自由(F)边界演化为简支(SS)边界,证明了采用文中方法边界模拟弹簧刚度取值的收敛性。故而当边界模拟弹簧刚度为∞时,文中算例可取值为1×1012 N/m。

2.2 不同边界条件、开口尺寸和开口位置对开口板振动性能的影响分析

不同边界条件、开口尺寸和开口位置对开口板振动性能具有直接影响,对比分析其固有频率值,总结影响规律,可以为工程实际应用提供重要的理论依据。

首先,对比研究不同边界条件对开口板振动特性的影响。所取边界均为经典边界组合,包括F-F,SS-F,C-F,SS-SS和C-C这5种边界。开口板的几何参数设置如下:a=8 m,b=6 m,h=0.02 m,内开口参数a1=1 m,b1=2 m,a2=3 m,b2=4 m,计算其前6阶的固有频率值(单位:Hz),对比结果如图 4表 3所示。

图 4 不同边界下开口板前6阶固有频率对比图 Figure 4 Natural frequencies of rectangular plate with square opening in different boundaries
表 3 SS-SS边界条件下不同开口尺寸开口板固有频率表 Table 3 Natural frequencies of rectangular plate with different rectangular openings in SS-SS boundary

图 4中可以看出,随着边界约束的增大,开口板的同阶固有频率值也逐渐增大,这是因为边界约束的增大导致开口板整体刚度的上升,从而引起其固有频率值的增大。因为C-F边界与SS-SS边界约束自由度的不同,导致了SS-SS边界的首阶固有频率小于C-F边界,其余值均大于C-F边界这一现象的出现。

研究不同开口尺寸对开口板振动特性的影响。在SS-SS和F-F边界条件下,设置a=8 m,b=6 m,h=0.02 m,开口中心与板的中心重合,开口边与外边的长度比$\xi = \frac{{{a_2} -{a_1}}}{a} = \frac{{{b_2} -{b_1}}}{b}$,对比分析当ξ=0.1,0.3,0.5,0.7,0.9时,开口板前6阶的固有频率值,SS-SS和F-F边界条件下的对比结果分别如图 5图 6所示。

图 5 SS-SS边界下开口板前6阶固有频率对比图 Figure 5 Natural frequencies of rectangular plate with different rectangular openings in SS-SS boundary
图 6 F-F边界下开口板前6阶固有频率对比图 Figure 6 Natural frequencies of rectangular plate with different rectangular openings in F-F boundary

图 5图 6可知,在SS-SS边界下,开口板的前6阶固有频率值是随开口尺寸的增加而不断增大,而在F-F边界下,则是随开口尺寸的增大不断减小。开口尺寸的增加降低了结构的质量,同时也减小了结构的刚度,但因在SS-SS边界时结构固有频率以刚度影响为主,质量影响为辅,在F-F边界下,开口板边界约束小,结构刚度较小,结构刚度影响弱于质量影响,故而引起上述现象。

最后,讨论不同开口位置对开口板自由振动特性的影响。在C-F边界下,a=5 m,b=5 m,h=0.02 m,内开口大小为1 m×1 m,考虑到矩形板的对称性,文中研究开口中心沿图 7所示虚对角线移动,对比位置参数η=1,1.3,1.6,1.9,2.2,2.5这6种情况下开口板固有频率的变化,提取前3阶固有频率计算结果对比,如图 8所示。

图 7 开口位置分布描述图 Figure 7 The opening position of rectangular plate
图 8 C-F边界下开口板前3阶固有频率对比图 Figure 8 Natural frequencies of rectangular plate with different opening positions in C-F boundary

图 8可以看出,随着开口位置向开口板的中心的靠近,开口板首阶固有频率值不断增大,第2阶逐渐减小,第3阶频率值呈抛物线型。

3 结论

本文通过引入改进傅里叶级数形式表示开口板的假定振型函数,采用区域板划分的思想将开口矩形板划分为8块区域,通过边界模拟弹簧解决边界问题以及区域板之间的位移连续性问题,最后结合能量泛函变分法将开口板自由振动问题转化为一个求解标准特征值问题。求解任意边界条件下任意开口尺寸和开口位置开口板的固有频率值及其相应振型,通过算例对比,分析不同边界条件、开口尺寸和开口位置对开口板自振特性的影响并总结规律。得出以下结论:

1)随着傅里叶级数截断项以及模拟弹簧刚度值的增加,计算结果收敛性良好,数值稳定性很好。

2)文中方法对于处理任意边界条件下开口在任意位置的开口矩形板的自由振动问题具有较高的精度。

3)随着边界约束刚度的增加,开口板的同阶固有频率不断增大;在边界约束刚度较大时,振动特性以刚度影响为主,开口板的同阶固有频率随开口尺寸的增加而增大,在边界约束刚度较小时,振动特性以质量影响为主,开口板的同阶固有频率随开口尺寸的增加而减小;在C-F边界下,开口板的首阶固有频率随着开口位置向板中心的靠近而增大。

[1] PARAMASIVAM P. Free vibration of square plates with square openings[J]. Journal of Sound and Vibration, 1973, 30(2): 173-178. DOI:10.1016/S0022-460X(73)80111-7 (0)
[2] CHO D S, VLADIMIR N, CHOI T M. Approximate natural vibration analysis of rectangular plates with openings using assumed mode method[J]. International Journal of Naval Architecture and Ocean Engineering, 2013, 5(3): 478-491. DOI:10.2478/IJNAOE-2013-0147 (0)
[3] LAM K Y, HUNG K C. Vibration study on plates with stiffened openings using orthogonal polynomials and partitioning method[J]. Computers & Structures, 1990, 37(3): 295-301. (0)
[4] 李成, 郑艳萍, 王迎佳. 积分方程求解复合材料开口板的应力分布[J]. 玻璃钢/复合材料, 2007(1): 9-12.
LI C, ZHENG Y P, WANG Y J. Stress analysis of composite plate with holes by integral function[J]. Fiber Reinforced Plastics/Composites, 2007(1): 9-12. (0)
[5] 李自林, 王荣霞, 刘兴业. 用广义协调元分析复合式多层无孔和开孔矩形薄板的振动[J]. 地震工程与工程振动, 2004, 24(2): 64-68.
LI Z L, WANG R X, LIU X Y. Vibration analysis of complex layered rectangular thin plate with or without holes by generalized conforming element[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2004, 24(2): 64-68. (0)
[6] REDDY J N. Large amplitude flexural vibration of layered composite plates with cutouts[J]. Journal of Sound and Vibration, 1982, 83(1): 1-10. DOI:10.1016/S0022-460X(82)80071-0 (0)
[7] 邱昌林, 陈志刚, 邓轶, 等. 开孔平板水下振动及声辐射特性[J]. 中国舰船研究, 2013, 8(6): 75-80.
QIU C L, CHEN Z G, DENG Y, et al. The characteristics of vibration and sound radiation of underwater perforated plates[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2013, 8(6): 75-80. (0)
[8] HEGARTY R F, ARIMAN T. Elastodynamic analysis of rectangular plates with circular holes[J]. International Journal of Solids and Structures, 1975, 11(7/8): 895-906. (0)
[9] AKSU G, ALI R. Determination of dynamic characteristics of rectangular plates with cutouts using a finite difference formulation[J]. Journal of Sound and Vibration, 1976, 44(1): 147-158. DOI:10.1016/0022-460X(76)90713-6 (0)
[10] TAN S C. Finite-width correction factors for anisotropic plate containing a central opening[J]. Journal ofComposite Materials, 1988, 22(11): 1080-1097. DOI:10.1177/002199838802201105 (0)
[11] 张宇力, 曾广武, 段洪, 等. 大开口对船舶板架稳定性和极限承载力的影响[J]. 华中科技大学学报(自然科学版), 2002, 30(5): 56-58, 64.
ZHANG Y L, ZENG G W, DUAN H, et al. The effect of big placket on stability and terminal loading in marine structure[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology (Nature Science Edition), 2002, 30(5): 56-58, 64. (0)
[12] LI W L. Free vibrations of beams with general boundary conditions[J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 237(4): 709-725. DOI:10.1006/jsvi.2000.3150 (0)
[13] LI W L. Vibration analysis of rectangular plates with general elastic boundary supports[J]. Journal of Sound and Vibration, 2004, 273(3): 619-635. DOI:10.1016/S0022-460X(03)00562-5 (0)
[14] DAI L, YANG T J, DU J T, et al. An exact series solution for the vibration analysis of cylindrical shells with arbitrary boundary conditions[J]. Applied Acoustics, 2013, 74(3): 440-449. (0)