2026, Vol. 56
2. 中国海洋大学海底建设与保护山东省工程研究中心，山东 青岛 266100
静力触探试验（Cone penetration test，CPT）作为一种原位测试技术，在海洋岩土勘察中得到广泛应用[1-2]。CPT可实时获取锥尖贯入阻力、侧壁摩阻力和孔隙水压力等随贯入深度的变化，为土体分层、强度和变形评估提供可靠依据[3]。例如，利用锥尖阻力确定黏土的不排水强度su，进而用于海洋地基承载力、管线稳定性与边坡安全系数计算[4-6]。当锥尖周围的黏土处于不排水条件时，锥尖阻力和su关系为[3]
| $ {s_{\rm{u}}} = \frac{{{q_{\rm{t}}} - {\sigma _{{\rm{v0}}}}}}{{{N_{{\rm{kt}}}}}}。$ | (1) |
式中：qt为修正锥尖阻力，且
归一化贯入速率V常用来表征CPT探头周围土的排水程度[11]：
| $ V{\rm{ }} = \frac{{vD}}{{{c_{\rm{v}}}}}。$ | (2) |
式中：v为贯入速率；D为探头直径；cv为固结系数。Randolph[12]建议V> 30时不排水，V＜0.01时接近完全排水，0.01≤V≤30时部分排水。DeJong等[13]提出了部分排水条件下修正锥尖阻力qt的表达式：
| $ \frac{{{q_{\rm{t}}} - {\sigma _{{\rm{v0}}}}}}{{{q_{{\rm{t, un}}}} - {\sigma _{{\rm{v0}}}}}} = 1 + {\rm{ }}\frac{{\left( {{q_{\rm{t}}} - {\sigma _{{\rm{v0}}}}} \right)/\left( {{q_{{\rm{t, un}}}} - {\sigma _{{\rm{v0}}}}} \right) - 1}}{{1 + {{(V/{V_{{\rm{50}}}})}^d}}}。$ | (3) |
式中：qt, un为不排水条件下的修正锥尖阻力；V50为排水程度50%时对应的归一化贯入速率；d为形状系数。Zhang等[14]根据大变形有限元模拟，建议取V50=3和d=1.2。参数取值适合超固结比不超过5的粉质黏土或黏质粉土。式（3）的意义在于，一旦确定了部分排水的V和对应的qt值，即可推测不排水条件下的qt, un，进而由式（1）估计su，具体流程参考文献[15]。该方法虽能用于渗透系数比典型黏土高1 ~ 2个数量级的粉质黏土或黏质粉土，但其参数拟合依赖大量的大变形模拟，不仅计算成本高，而且需预先标定不排水条件下的Nkt。
近年来，深度学习方法在岩土参数反演中展现出良好的应用前景[16-17]。纯数据驱动神经网络虽然具有较好拟合能力，但需要大量训练数据，且预测结果可能违背物理规律[18]。最近发展起来的物理信息神经网络（Physics informed neural networks，PINNs）有效克服了上述局限[19]。PINNs将物理方程嵌入神经网络的损失函数，融合数据驱动与物理约束，从而有效降低对训练数据量的依赖。PINNs已用于渗流、固结和本构模型的参数反演[20-22]。然而，目前针对不排水强度的预测仍主要依靠纯数据驱动方法，需要大量准确可靠的数据。例如，Abu-Farsakh等[23]的人工神经网络需要150组以上的CPT数据；Zhang等[17]采用XGBoost模型和随机森林方法，模型训练依赖384个土样的参数。海洋岩土工程中很多勘察数据稀缺且获取成本高，导致模型泛化能力受限。此外，纯数据驱动模型缺乏物理可解释性，预测结果可能不符合力学原理。一种可能的解决方案是将孔扩张控制方程作为物理约束，绕过Nkt标定，直接从CPT锥尖阻力数据获取不排水强度。
孔扩张理论广泛用于CPT数据解译[24]。文献[25-27]基于临界状态与状态参数描述的本构模型，推导了排水与不排水条件下的孔扩张解析解或半解析解，为贯入阻力与孔压响应的理论分析提供基础。对于不排水贯入，已有研究采用了不同形式的临界状态类本构模型，根据本构模型推导的su和孔扩张得到的有效锥尖阻力，确定锥尖系数[28]。基于有效应力形式的孔扩张理论，还可分析部分排水条件下的探头贯入过程，考察贯入速度与土体固结系数对锥尖阻力和超静孔压的影响[29]。
本文提出了一种基于PINNs的黏性土不排水强度反演方法，采用球孔扩张理论模拟CPT贯入过程。将弹塑性控制方程嵌入神经网络损失函数。将不排水强度su作为反演参数直接纳入屈服条件，无需额外引入锥尖系数Nkt。结合部分排水理论，将方法适用范围拓展至部分排水条件。通过对比理论解、离心机试验和现场测试，验证所提方法对不同土体类型和排水条件下的适用性。
1 CPT贯入的球孔扩张理论球孔扩张理论假定锥尖附近的局部应力场为球对称形式，以球孔保持形状的渐进扩张代替实际锥形探头的贯入过程，但忽略探头在浅表层土与深层土中贯入的差别，如图 1（a）所示。孔扩张分析采用理想化探头模型，探头面积比α = 1，此时修正锥尖阻力qt等于锥尖阻力qc，因此以下统一采用qc表示。初始半径为a0的球孔在内压作用下扩张至半径a，周围土体的应力状态分为两个区域：内部塑性区（a≤r≤c）和外部弹性区（c＜r≤b）。其中，r为径向坐标，a、b和c分别为扩孔半径、弹性区半径和塑性区半径，p0为远场初始应力（见图 1（b））。在球对称塑性区内，采用Tresca准则描述土体的屈服行为。锥尖阻力由孔壁的极限压力plim和“探头-土”界面的摩擦力组成[24]：
|
图 1 CPT贯入球孔扩张理论模型 Fig. 1 Theoreticalspherical cavity expansion model for CPT penetration |
| $ {q_c} = {p_{{\rm{lim}}}} + \sqrt 3 {s_{\rm{u}}}。$ | (4) |
该关系适用于正常固结或轻度超固结黏性土的不排水贯入过程，锥尖局部应力场可近似为球对称的情形。除孔壁极限压力外，孔扩张分析还需确定塑性区半径c[30]：
| $ {\left( {\frac{c}{a}} \right)^{m + 1}} = \frac{{G{\rm{ }}\sqrt {m{\rm{ }} + 2} }}{{{q_{\rm{p}}}}}。$ | (5) |
式中：m为状态参数，球孔扩张时m=2；G为剪切模量；qp为弹塑性边界处的偏应力，计算方法参考文献[30]。
假定土体为均质且各向同性的连续介质，忽略体力作用。规定压应力为正，球对称条件下力平衡方程为
| $ \begin{array}{*{20}{l}} {2\left( {{\sigma _r} - {\sigma _\theta }} \right) + r\frac{{d{\sigma _r}}}{{dr}}{\rm{ }} = 0} \end{array}。$ | (6) |
式中：σr和σθ分别为径向和环向应力。小应变条件下的应变与位移关系为
| $ \begin{array}{*{20}{l}} {{\varepsilon _r} = {\rm{ }} - \frac{{{\rm{d}}u}}{{{\rm{d}}r}}, {\varepsilon _\theta } = {\rm{ }} - } \end{array}\frac{u}{r}。$ | (7) |
式中：u为径向位移；εr和εθ分别为径向和环向主应变。
弹性区土体为线弹性材料，应力应变关系为
| $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _{r, {\rm{e}}}}}\\ {{\varepsilon _{\theta , {\rm{e}}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{E}}&{ - \frac{{2\nu }}{E}{\rm{ }}}\\ { - \frac{\nu }{E}}&{\frac{{1 - \nu }}{E}} \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _{r, {\rm{e}}}}}\\ {{\sigma _{\theta , {\rm{e}}}}} \end{array}} \right]。$ | (8) |
式中：εr, e和θ, eε分别为弹性区径向和环向主应变；σr, e和σθ, e分别为弹性区径向和环向应力；E为杨氏模量；ν为泊松比。联立式（7）和（8），得到弹性区相容方程：
| $ {\sigma _{r, {\rm{e}}}} - {\sigma _{\theta , {\rm{e}}}} = r\frac{{{\rm{d}}{\sigma _{\theta , {\rm{e}}}}}}{{{\rm{d}}r}}。$ | (9) |
描述弹性区状态仅需上述2个应力分量。塑性区土体为Tresca材料，在弹性区和塑性区边界（r = c）处，弹性区应力刚好达到屈服状态：
| $ {\sigma _{r, {\rm{e}}}} - {\sigma _{\theta , {\rm{e}}}} = 2{s_{\rm{u}}}。$ | (10) |
在弹性区外边界（r = b）处，径向应力等于远场初始应力：
| $ {\sigma _{r, {\rm{e}}}} = {p_0} = \frac{{\left( {1 + 2{K_0}} \right){\sigma _{v0}}}}{3}{\rm{ }}。$ | (11) |
式中K0为静止土压力系数。塑性区中r = c处的应力需满足连续性条件：
| $ \begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma _{r, {\rm{p}}}} = {\sigma _{r, {\rm{e}}}}, {\sigma _{\theta , {\mathop{\rm p}\nolimits} }} = {\sigma _{\theta , {\rm{e}}}}} \end{array}。$ | (12) |
式中σr, p和σθ, p分别为塑性区径向和环向应力。当r = a时，塑性区的边界条件为
| $ \begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma _{r, {\rm{p}}}} = {p_{{\rm{lim}}}}} \end{array}。$ | (13) |
PINNs采用非线性逼近表征连续场变量[19]。对于任意输入变量x，神经网络输出表示为
| $ \hat{y}(x) = N\left(x;\boldsymbol{\theta}\right)。$ | (14) |
式中：
| $ \boldsymbol{\theta}_{k+1}=\boldsymbol{\theta}_k-\eta\nabla_{\boldsymbol{\theta}} L_{\text{tot}}。$ | (15) |
式中：η为学习率；k为迭代次数;
由于弹性区和塑性区具有不同的控制方程和约束条件，采用图 2所示的双网络架构进行求解。构建两个独立的全连接深度神经网络，对于弹性区和塑性区，网络输入均为径向坐标r，输出为弹性区径向应力σr, e、塑性区径向应力σr, p、弹性区环向应力σθ, e和塑性区环向应力σθ, p。两个网络通过弹塑性边界（r=c）处的应力连续性条件进行耦合。正问题求解时，可先训练弹性区网络至收敛，再将边界应力传递至塑性区，进行塑性区网络训练。反问题求解时，将孔壁极限压力plim作为观测数据，由于su同时影响弹塑性区边界和塑性区内的屈服条件，反演su时需从两个网络的损失函数中获取梯度信息，因此必须同时训练两个网络。
|
图 2 PINNs反演不排水强度流程 Fig. 2 Procedure for inverting undrained strength using PINNs |
反演中待优化的总损失Ltot由弹性区损失Ltot, e和塑性区损失Ltot, p组成。Ltot, e包含平衡方程、相容方程和边界条件三部分的损失(Lf, e、Lc, e、Lb, e)：
| $ \begin{array}{*{20}{l}} {{L_{{\rm{tot, e}}}} = {L_{{\rm{f, e}}}} + {L_{{\rm{c, e}}}} + {L_{{\rm{b, e}}}}} \end{array}。$ | (16) |
这三部分损失的具体形式为
| $ \begin{array}{*{20}{c}} {{L_{{\rm{f, e}}}} = \frac{{{\lambda _{{\rm{f, e}}}}}}{{{n_{\rm{e}}}}}{{\left\| {2\left( {{\sigma _{r, {\rm{e}}}} - {\sigma _{\theta , {\rm{e}}}}} \right) + r\frac{{{\rm{d}}{\sigma _{r, {\rm{e}}}}}}{{{\rm{d}}r}}} \right\|}^2}}，\\ {{L_{c, {\rm{e}}}} = \frac{{{\lambda _{c, {\rm{e}}}}}}{{{n_{\rm{e}}}}}{{\left\| {\left( {{\sigma _{r, {\rm{e}}}} - {\sigma _{\theta , {\rm{e}}}}} \right) - r\frac{{{\rm{d}}{\sigma _{\theta , {\rm{e}}}}}}{{{\rm{d}}r}}} \right\|}^2}}，\\ {{L_{{\rm{b}}, {\rm{e}}}} = \frac{{{\lambda _{{\rm{b}}, {\rm{e}}}}}}{{{n_{\rm{b}}}}}{{\left\| {\left( {{\sigma _{r, {\rm{e}}}}(c) - {\sigma _{\theta , {\rm{e}}}}(c)} \right) - 2{s_{\rm{u}}}{\rm{ }}} \right\|}^2} + }\\ {\frac{{{\lambda _{b, {\rm{e}}}}}}{{{n_{\rm{b}}}}}{{\left\| {{\sigma _{r, {\rm{e}}}}(b) - {p_0}} \right\|}^2}}。\end{array} $ | (17) |
式中：弹性区边界条件包括r = c处的式（10）和r = b处的式（11）；ne和nb分别为弹性区计算域和边界条件对应的残差点数量；λf, e、λc, e和λb, e分别为平衡方程、相容方程和边界条件的损失权重系数。塑性区损失Ltot, p包含平衡方程、屈服条件、边界条件和观测数据四部分损失（Lf, p、Ly, p、Lb, p和Ld, p）：
| $ \begin{array}{*{20}{l}} {{L_{{\rm{tot, p}}}} = {L_{{\rm{f, p}}}} + {L_{{\rm{y, p}}}} + {L_{{\rm{b, p}}}} + {L_{{\rm{d, p}}}}} \end{array}。$ | (18) |
其中各损失函数的具体形式分别为
| $ \begin{array}{*{20}{l}} {{L_{{\rm{f, p}}}} = \frac{{{\lambda _{{\rm{f, p}}}}}}{{{n_{\rm{p}}}}}{\rm{ }}{{\left\| {2\left( {{\sigma _{r, {\rm{p}}}} - {\sigma _{\theta , {\rm{p}}}}} \right) + r\frac{{{\rm{d}}{\sigma _{r, {\rm{e}}}}}}{{{\rm{d}}r}}} \right\|}^2}}，\\ {{L_{{\rm{y, p}}}} = {{\left\| {\frac{{{\lambda _{{\rm{y, p}}}}}}{{{n_{\rm{p}}}}}\left( {{\sigma _{r, {\rm{e}}}} - {\sigma _{\theta , {\rm{e}}}}} \right) - 2{s_{\rm{u}}}} \right\|}^2}}，\\ {{L_{{\rm{b, p}}}} = {{\left\| {\frac{{{\lambda _{{\rm{b, p}}}}}}{{{n_{\rm{b}}}}}{\sigma _{r, {\rm{p}}}}(c) - {\sigma _{r, {\rm{e}}}}(c){\rm{ }}} \right\|}^2} + }\\ {\frac{{{\lambda _{{\rm{b, p}}}}}}{{{n_{\rm{b}}}}}{{\left\| {{\sigma _{\theta , {\rm{p}}}}(c) - {\sigma _{\theta , {\rm{e}}}}(c){\rm{ }}} \right\|}^2}}，\\ {{L_{{\rm{d, p}}}} = \frac{{{\lambda _{{\rm{d, p}}}}}}{{{n_{\rm{d}}}}}{{\left\| {{\sigma _{r, {\rm{p}}}}(a) - {p_{{\rm{lim}}}}} \right\|}^2}}。\end{array} $ | (19) |
式中：np、nb和nd分别为塑性区计算域、边界条件和观测数据对应的残差点数量；λf, p、λy, p、λb, p和λd, p分别为平衡方程塑性区屈服条件、边界条件和观测数据的损失权重系数。通过最小化上述总损失函数，可同时优化网络参数和待反演的不排水强度su。各损失项中的变量符号及其组成形式在图 2中同步标注，以便与式（16）—（19）对照。
2.3 所用土体性质采用UWA高岭土[31]、Malaysian高岭土[32]、Burswood黏土[33]和Ballina黏土[34]四种黏性土验证所提方法的适用性，基本物理力学参数如表 1所示。对于涉及部分排水条件的UWA高岭土和Burswood黏土，二者固结系数（cv, U和cv, B，单位：m2/a）可分别表示为[14, 34]
| $ \begin{array}{*{20}{l}} {{c_{{\rm{v, U}}}} = \sqrt {1 + 14{{\sigma '}_{\rm{v}}}/{p_{\rm{a}}}} }，\end{array} $ | (20) |
| $ {\begin{array}{*{20}{l}} {{c_{{\rm{v, B}}}} = 1.56\left( {{{\sigma '}_v}/{p_a}} \right)} \end{array}^{0.824}}。$ | (21) |
式中：
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表 1 所用土体物理力学指标 Table 1 Physical and mechanical property of the soil used |
以正常固结的UWA高岭土为例，确定PINNs的超参数设置，并对比孔扩张理论解和离心机中的CPT，展示反演效果。
3.1 PINNs超参数设置PINNs的表现很大程度上取决于超参数的合理配置[35]。为定量评估PINNs的求解精度，采用相对二范数L2的误差
| $ \varepsilon_{L_2}=\frac{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (y_i-\hat{y}_i)^2}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (y_i)^2}}。$ | (22) |
式中
采用全连接前馈神经网络架构，以双曲正切函数tanh为激活函数，用Adam优化器进行参数更新。通过敏感性分析评估网络结构参数隐含层层数和神经元数量对求解精度与计算效率的影响。图 3（a）展示了固定隐含层层数为5时神经元数量对性能的影响，L2误差随神经元数量增加先降低后升高。在神经元数量大于15时，L2误差均小于0.15%，而训练时间随神经元数量近似线性增长。图 3（b）展示了固定神经元数量为20时隐含层层数的影响，L2误差同样呈现先降后升的趋势，在隐含层层数为2~5时，L2误差均小于0.2%。综合考虑求解精度与效率，选取隐含层数为5、每层神经元数量为20的结构作为最优网络结构。
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图 3 网络结构对PINNs性能的影响 Fig. 3 Effect of network architecture on PINNs performance |
其余训练参数根据试算结果确定。各边界条件取1个残差点，在弹性区和塑性区内均匀布置残差点，每个区域各取20 000个残差点。学习率设为0.005，训练次数为10 000次。各损失权重系数均取1。权重选取依据如下：经试算，各损失项在训练过程中量级相近，不存在某一项主导梯度更新的情形。因此采用等权重设置，既能保证各约束项的均衡贡献，又可避免引入额外的权重调参过程，简化了训练流程。Guo[37]建议弹性区半径b一般为塑性区半径c的5 ~ 10倍。为检验b的取值对计算结果的影响，取相同的土体参数和残差点设置。利用PINNs求解得到不同b值的径向应力，如图 4所示。随着b的增大，径向应力逐步逼近理论解。当b≥ 3c时，PINNs与理论解在整个计算域内基本重合，表明此时弹性区范围已足够大，可忽略计算域边界对应力场的影响。后续反演计算取b = 5c。基于PyTorch 2.5.1环境开发程序，在配备NVIDIA RTX 4060 Ti显卡的台式机上运行，单次反演计算时间为120~160 s。
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(b: 弹性区半径; c: 塑性区半径.b: Elastic zone radius; c: Plastic zone radius.) 图 4 不同b的PINNs解与球孔扩张理论解 Fig. 4 PINNssolutions and spherical cavity expansion analytical solutions for different b |
为验证PINNs在求解孔扩张问题中的准确性，将PINNs计算结果与Yu[24]提出的球孔扩张理论解进行对比。采用UWA高岭土在贯入深度z = 8 m处的材料参数，计算得归一化贯入速率V = 114.2。由于V>30，表明贯入过程处于不排水条件下[12]。根据式（5）和式（11），计算得到塑性区半径与孔半径之比c/a = 4.8、远场初始压力p0 = 93.5 kPa。
图 5展示了两种方法得到的径向应力σr和环向应力σθ沿径向的分布，图中竖直虚线表示弹性区与塑性区的分界面。在整个计算域内，PINNs计算的应力值与理论解高度吻合。特别是在塑性区与弹性区的交界面处，PINNs准确捕捉了应力梯度的突变，体现了土体从塑性状态向弹性状态过渡时的力学响应。在远场边界处，应力分量σr和σθ均趋近于远场初始压力p0，满足无穷远处应力为p0的物理约束。上述研究证明了本研究开发的PINNs程序的可靠性。
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(σr: 径向应力radial stress; σθ: 环向应力Circumferential stress.σr: radial stress; σθ: Circumferential stress.) 图 5 PINNs计算结果与球孔扩张理论解对比 Fig. 5 Comparison between PINNs solutions and spherical cavity expansion analytical solutions |
(σr: 径向应力radial stress; σθ: 环向应力Circumferential stress.)
3.3 与离心机试验的对比利用UWA高岭土的离心机试验进行不排水强度su的反演分析[38]。试验的离心加速度为110g，模型探头直径D = 10mm。使用贯入速率为0.15 mm/s、贯入深度为7.3D（对应原型贯入深度约8 m）条件下的锥尖阻力数据进行反演。该条件下的归一化贯入速率V=17.1，据此判断贯入过程中土体为部分排水条件。反演中PINNs的物理约束仍采用不排水球孔扩张控制方程。为使观测数据满足不排水孔扩张的物理假设，根据式（3），由实测锥尖阻力推算不排水贯入时的锥尖阻力，再由式（4）转换为孔壁极限压力plim，作为观测数据项加入塑性区损失函数，PINNs反演得到su。
PINNs反演过程中的损失函数演化特征和参数收敛情况如图 6所示。图 6（a）的损失函数变化曲线表明，训练过程中，弹性区损失、塑性区损失和总损失均呈快速下降趋势，损失值在对数坐标下降低约5个数量级，神经网络快速逼近物理约束条件。随着训练次数的增加，损失函数出现不同程度的振荡，表明网络参数接近最优解，正通过局部探索寻找更精确的参数组合。反演中将不排水强度su作为可训练参数，可根据合理范围假定初始猜测值，例如本例中取su = 25 kPa。不排水强度su训练迭代次数的变化曲线如图 6（b）所示，训练初期，su从初始猜测值（su = 25 kPa）略微上升后快速下降。6 000次迭代后su的变化明显放缓，逐渐收敛到约10.4 kPa。这一收敛过程对应损失函数的振荡阶段，进一步证实了网络在该阶段进行的是参数精细调整。反演得到su = 10.4 kPa，与根据实测的CPT锥尖阻力与Nkt计算得到测量值10.5 kPa非常接近，其中Nkt=9.8[39]。为检验初始值对最终反演结果的影响，分别将初始值设置为15、25和35 kPa。如图 6（b）所示，不同初始值下的su均收敛至约为10.5 kPa，初始值主要影响收敛过程与所需训练迭代次数。
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图 6 PINNs反演结果 Fig. 6 Inversion results by PINNs |
以上分析表明，本文提出的PINNs方法能够合理确定UWA高岭土的不排水强度，本章针对表 1中其余三种土进一步考察方法的普适性。所用公开试验数据来自Malaysian高岭土的离心机试验[32]、Burswood黏土的现场试验[33]和Ballina黏土的现场试验[40]，试验涵盖不排水和部分排水条件。（1）Malaysian高岭土：选取贯入速率v = 3 mm/s且深度比z/D在10 ~ 20之间的6组锥尖阻力数据，根据式（2）计算得V > 30，表明全部处于不排水条件。（2）Burswood黏土：选取贯入速率v = 20、4、2和0.002 mm/s且深度比z/D在140~293之间的9组锥尖阻力数据，其中v = 20 mm/s对应V >30，属于不排水条件，其余贯入速率对应部分排水条件。（3）Ballina黏土：选取贯入速率v = 20 mm/s且深度比z/D在57 ~ 286之间的5组锥尖阻力数据，均满足不排水条件。上述三种土的Nkt取值依次为11.8[32]、11.1[7]和13.2[40]。为方便对比，添加UWA高岭土的反演结果，包括v =1，0.15，0.045 mm/s三种贯入速率下的离心机数据[38]，每种速率在深度比z/D为4~16的范围内选取7个数据点，v=1 mm/s对应不排水条件，v =0.15和0.045 mm/s对应部分排水条件。为保证反演结果具有代表性并减少试验条件对锥尖阻力的干扰，所选深度范围避开了浅表层。当探头达到埋深时，即可合理计算表征部分排水状态的归一化贯入速率V。
四种土的反演计算采用相同的网络结构与训练参数：网络包含5个隐含层，每层20个神经元；学习率为0.005；训练次数为10 000次；塑性区和弹性区各设置20 000个残差点；各损失函数权重均取1。反演得到的不同土体su与测量值如图 7所示，四种土的反演值与测量值差别基本都在-20%~20%之间，说明本文所提方法对不同土体和排水条件都有良好的适用性。
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图 7 不同土体su的反演值与测量值 Fig. 7 Inverted and measured values of su for different soils |
将球孔扩张理论与物理信息神经网络相结合，提出一种基于PINNs的黏性土不排水强度反演方法。通过将锥尖阻力转化为孔壁极限压力，建立了CPT实测数据与球孔扩张理论之间的联系。该方法可直接由锥尖阻力反演不排水强度，无需预先标定锥尖系数。进一步引入部分排水理论，将方法适用范围拓展至部分排水条件，并通过球孔扩张理论解对比、离心机试验和现场试验进行了系统验证。主要结论如下：
（1）采用5层隐含层、每层20个神经元的网络结构，可平衡求解精度与计算效率。所提方法能够准确求解弹塑性孔扩张应力场，与解析解高度吻合，尤其在弹塑性交界面处能够准确捕捉应力梯度的突变特征。
（2）对部分排水条件下UWA高岭土离心机试验数据的反演分析表明，反演得到的不排水强度与试验测量值接近，这验证了该方法在部分排水条件下的适用性。
（3）基于4种黏性土的离心机试验和现场试验数据进行适用性验证。除个别数据点外，各土体反演结果与Nkt方法得到的测量值误差均在-20% ~ 20%之间，这表明所提方法对不同土体类型均具有良好的适用性。
（4）当前方法以孔壁极限压力作为观测约束，仅适用于黏性土不排水或部分排水条件。后续工作可将原位孔压测量值纳入损失函数，通过多源观测约束提升反演精度；结合排水条件下的孔扩张控制方程，将方法推广至砂土或高渗透性粉土。
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