本文考虑非散度型抛物方程

$ u_t=u^m \operatorname{div}\left(|\nabla u|^{p-2} \nabla u\right)+\lambda u^q, (x, t) \in \varOmega \times\left(0, t^*\right), $

(1)

给出Dirichlet边界条件和初始条件

$ u(x, t)=0, \quad(x, t) \in \partial \varOmega \times\left(0, t^*\right), $

(2)

$ u(x, 0)=u_0(x), x \in \varOmega 。$

(3)

式中：Ω⊂R^N (N≥1)为具有光滑边界∂Ω的有界区域；m≥1, λ＞0, q＞0, p＞1, q≥m+p－1, t^*表示可能发生爆破的时间, 反之, t^*=+∞。非负初始值u₀∈C(Ω)∩W₀^{1, p}(Ω)满足适当的相容性条件。因此，由退化抛物型方程理论^[1-2]可知，问题(1)—(3)存在唯一的非负局部弱解。此外, 为了方便起见, 可假设适当的弱解是光滑的, 而不再考虑近似问题。

非散度型模型(1)与经典的散度型模型相比, 在某些情形下更接近于实际情况, 如在生物种群的动力学中^[3], 对于生物物种, 散度型扩散意味着一个物种能够以相同的概率迁移到其环境中的所有位置。然而, 如果在客观条件下考虑此问题, 种群密度会影响扩散率, 因此一种“有偏向”的扩散模型将更现实。对于非散度型扩散, 扩散率受到种群密度的调节, 随着密度大而增加, 小而减少。当1＜m＜2时, 它已出现在许多领域中物理现象的数学模型, 如无力磁场的电阻扩散^[4]、等离子体物理^[5]、曲线缩短流^[6]等。

迄今为止, 散度型非线性扩散方程解的适定性及定性性质的研究较完善^[7-10], 而非散度型扩散方程的研究较少, 其主要特征是具有阻尼扩散性质(无扩涨性质)且扩散项本身呈现奇异或退化性。20世纪70年代, Low^[4]在两个障碍物之间受约束的等离子体中描述无力磁场的阻性扩散现象时提出非散度型模型以来, 目前在(1)式中p=2情形已有许多研究成果, 如爆破现象^[11-15]、消失现象^{[3, 16]}、周期解和行波解^[17-19]等。

但是, 在(1)式中p≠2情形的研究甚少。Zhou和Yao^[20]考虑了含吸收项的非散度型方程Dirichlet初边值问题

$ u_t=u \operatorname{div}\left(|\nabla u|^{p-2} \nabla u\right)-\gamma u^p, (x, t) \in \varOmega \times(0, \infty), $

其中p＞1, γ≥0且导出了无穷远处解的衰减估计值。金春花和尹景学^[2]考虑了问题(1)—(3)且利用正则化方法、能量方法、上下解方法并结合反证技巧给出了局部适定性、解的整体存在性与爆破的临界指标及极大解的无熄灭性。

此外, 含有非局部梯度项的散度型抛物方程的研究进展, 见文献[21-22]及相关文献。

由前所述, 既然在文献[2]中给出了问题(1)—(3)解的爆破条件, 但是利用反证技巧的原因导致无法给出生命跨度界的估计值。由此启发, 本文中研究非散度型扩散模型(1)—(3)爆破解的生命跨度的估计。主要难点在于非散度型扩散项的处理及在全空间上(N≥1)上导出生命跨度的界。本文将采用直接证明方法, 即结合辅助函数法和修正微分不等式技巧等, 建立问题(1)—(3)解的新爆破规则并导出在全空间上(N≥1)爆破解的生命跨度的下界估计值。

1 爆破规则及生命跨度的上界估计

本节中建立保证问题(1)—(3)的解发生爆破的充分条件并导出生命跨度的上界。

定理1  假设u(x, t)为问题(1)—(3)的非负光滑解, m≥1, p＞1, λ＞0, 且q≥m+p－1。定义

$ \begin{equation*} \varTheta(t):=-2 \int_{\varOmega} u^{m}|\nabla u|^{p} \mathrm{~d} x+\frac{2 \lambda}{q+1} \int_{\varOmega} u^{q+1} \mathrm{~d} x, \end{equation*} $

(4)

式中Θ(0)＞0, 则问题(1)—(3)的解u(x, t)在$ \varPsi(t):=\int_{\varOmega} u^{2} \mathrm{~d} x$测度意义下有限时刻t^*发生爆破且满足

$ \begin{equation*} t^{*} \leqslant T:=\frac{2 \varPsi(0)}{\left(m^{2}-1\right) \varTheta(0)}, \forall m>1, \end{equation*} $

(5)

式中Ψ(0)＞0。若m=1, 则只发生无限时刻爆破现象, 即t^*=∞。

证明  对Ψ(t)直接求导并利用(1)式可得到

$ \begin{gathered} \varPsi^{\prime}(t)=2 \int_{\varOmega} u u_{t} \mathrm{~d} x= \\ 2 \int_{\varOmega} u^{m+1} \operatorname{div}\left(|\nabla u|^{p-2} \nabla u\right) \mathrm{d} x+2 \lambda \int_{\varOmega} u^{q+1} \mathrm{~d} x。\end{gathered} $

由Green公式, q≥m+p－1, p＞1及(4)式可导出

$ \begin{gather*}\varPsi^{\prime}(t)=-2(m+1) \int_{\varOmega} u^{m}|\nabla u|^{p} \mathrm{~d} x+2 \lambda \int_{\varOmega} u^{q+1} \mathrm{~d} x \geqslant\\ (m+1)\left[-2 \int_{\varOmega} u^{m}|\nabla u|^{p} \mathrm{~d} x+\frac{2 \lambda}{q+1} \int_{\varOmega} u^{q+1} \mathrm{~d} x\right] \geqslant \\ (m+1) \varTheta(t)。\end{gather*} $

对(4)式中定义的Θ(t)直接求导可推出

$ \begin{gather*} \varTheta^{\prime}(t)=-2 m \int_{\varOmega} u^{m-1}|\nabla u|^{p} u_{t} \mathrm{~d} x- \\ 2 p \int_{\varOmega} u^{m}|\nabla u|^{p-1} \nabla u_{t} \mathrm{~d} x+2 \lambda \int_{\varOmega} u^{q} u_{t} \mathrm{~d} x 。\end{gather*} $

(7)

对(7)右端的第二项, 利用分部积分公式及(2)式得到

$ \begin{gather*} \int_{\varOmega} u^{m}|\nabla u|^{p-1} \nabla u_{t} \mathrm{~d} x= \\ \int_{\varOmega} \operatorname{div}\left(u^{m}|\nabla u|^{p-1} u_{t}\right) \mathrm{d} x-\int_{\varOmega} \operatorname{div}\left(u^{m}|\nabla u|^{p-1}\right) u_{t} \mathrm{~d} x= \\ -\int_{\varOmega} \operatorname{div}\left(u^{m}|\nabla u|^{p-1}\right) u_{t} \mathrm{~d} x 。\end{gather*} $

(8)

将(8)式代入到(7)式并利用(1)式及p＞1, 可导出

$ \begin{gathered} \varTheta^{\prime}(t)=-2 m \int_{\varOmega} u^{m-1}|\nabla u|^{p} u_{t} \mathrm{~d} x+ \\ 2 p \int_{\varOmega} \operatorname{div}\left(u^{m}|\nabla u|^{p-1}\right) u_{t} \mathrm{~d} x+2 \lambda \int_{\varOmega} u^{q} u_{t} \mathrm{~d} x \geqslant \\ -2 m \int_{\varOmega} u^{m-1}|\nabla u|^{p} u_{t} \mathrm{~d} x+ \\ 2 \int_{\varOmega} \operatorname{div}\left(u^{m}|\nabla u|^{p-1}\right) u_{t} \mathrm{~d} x+2 \lambda \int_{\varOmega} u^{q} u_{t} \mathrm{~d} x= \\ -2 m \int_{\varOmega} u^{m-1}|\nabla u|^{p} u_{t} \mathrm{~d} x+2 \int_{\varOmega} m u^{m-1}|\nabla u|^{p} u_{t} \mathrm{~d} x+ \\ 2 \int_{\varOmega} u^{m} \operatorname{div}\left(|\nabla u|^{p-1}\right) u_{t} \mathrm{~d} x+2 \lambda \int_{\varOmega} u^{q} u_{t} \mathrm{~d} x= \\ 2 \int_{\varOmega}\left[u^{m} \operatorname{div}\left(|\nabla u|^{p-2} \nabla u\right)+\lambda u^{q}\right] u_{t} \mathrm{~d} x=2 \int_{\varOmega} u_{t}^{2} \mathrm{~d} x \geqslant 0 。\end{gathered} $

(9)

由(9)式可知, Θ(t)单调不减。又因为Θ(0)＞0, 故对∀t∈(0, t^*), Θ(t)＞0。

现在, 结合Schwarz不等式及(6)、(9)式可得到

$ \begin{gather*} (1+m) \varPsi^{\prime}(t) \varTheta(t) \leqslant\left(\varPsi^{\prime}(t)\right)^{2}=4\left(\int_{\varOmega} u u_{t} \mathrm{~d} x\right)^{2} \leqslant \\ 4 \int_{\varOmega} u^{2} \mathrm{~d} x \int_{\varOmega} u_{t}^{2} \mathrm{~d} x \leqslant 2 \varPsi(t) \varTheta^{\prime}(t) 。\end{gather*} $

(10)

对(10)式两边同乘以$ (\varPsi(t))^{-\frac{m+3}{2}}$得到

$ \frac{m+1}{2}(\varPsi(t))^{-\frac{m+3}{2}} \varPsi^{\prime}(t) \varTheta(t) \leqslant(\varPsi(t))^{-\frac{m+1}{2}} \varTheta^{\prime}(t), $

即

$ \begin{equation*} \left[\varTheta(t)(\varPsi(t))^{-\frac{m+1}{2}}\right]^{\prime} \geqslant 0。\end{equation*} $

(11)

由于对∀t∈(0, t^*), Θ(t)＞0, Θ(0)＞0, Ψ(0)＞0及(6)式可知

$ \varPsi(t)>0, \quad \forall 0 \leqslant t<t^{*} \text { 。} $

对(11)式, 从0→t积分可得到

$ \varTheta(t)(\varPsi(t))^{-\frac{m+1}{2}} \geqslant \varTheta(0)(\varPsi(0))^{-\frac{m+1}{2}}=: M>0, $

即

$ \begin{equation*} \varTheta(t) \geqslant M(\varPsi(t))^{\frac{m+1}{2}} 。\end{equation*} $

(12)

因此, 结合(6)和(12)式得到

$ \begin{equation*} \varPsi^{\prime}(t) \geqslant(1+m) \varTheta(t) \geqslant M(1+m)(\varPsi(t))^{\frac{1+m}{2}} 。\end{equation*} $

(13)

当m＞1时, 由(13)式可得到

$ \begin{equation*} \left[(\varPsi(t))^{-\frac{m-1}{2}}\right]^{\prime} \leqslant-\frac{\left(m^{2}-1\right) M}{2} 。\end{equation*} $

(14)

对(14)式, 从0→t积分得到

$ \begin{equation*} 0<(\varPsi(t))^{-\frac{m-1}{2}} \leqslant(\varPsi(0))^{-\frac{m-1}{2}}-\frac{\left(m^{2}-1\right)}{2} M t, \end{equation*} $

(15)

且由此可得, 在测度Ψ(t)测度意义下u(x, t)在有限时刻t^*发生爆破且满足

$ t^{*} \leqslant T=\frac{2 \varPsi(0)}{\left(m^{2}-1\right) \varTheta(0)} $

当m=1时, 可得到

$ \varPsi^{\prime}(t) \geqslant 2 M \varPsi(t), $

且对上式从0→t积分可推出

$ \varPsi(t) \geqslant \varPsi(0) \mathrm{e}^{2 M t}, \forall t>0, $

即解u(x, t)只发生无限时刻爆破现象，即t^*=∞。定理1证毕。

2 生命跨度的下界估计

本节中, 当问题(1)—(3)的解在有限时刻t^*发生爆破时, 在全空间上(N≥1)导出爆破时间下界估计值。

为便于描述, 当空间维数N=1时, 在下文中总是假设Ω=(0, 1)。同时，回顾文献[23]中在一维空间中成立的引理。

引理1^[23]  假设ω∈H¹(0, 1), 则对任意的δ＞0, 存在C_δ＞0, 使得

$ \begin{gather*} \|\omega\|_{L^{4}(0, 1)}^{4} \leqslant \delta\|\omega\|_{H^{1}(0, 1)}^{2}\left(\int_{0}^{1}|\omega \log \omega| \mathrm{d} x\right)+ \\ C_{\delta}\|\omega\|_{L^{1}(0, 1)}。\end{gather*} $

(16)

记(logω)⁺:=max{logω, 0}≥0, 则有

$ |\log \omega|=2(\log \omega)^{+}-\log \omega, $

及

$ (\log \omega)^{+} \leqslant \exp \left((\log \omega)^{+}\right)-1 \leqslant \omega \text { 。} $

由ωlogω≥－e^－1, ω＞0可知

$ \begin{gather*} \int_{0}^{1}|\omega \log \omega| \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \omega|\log \omega| \mathrm{d} x= \\ 2 \int_{0}^{1} \omega(\log \omega)^{+} \mathrm{d} x-\int_{0}^{1} \omega \log \omega \mathrm{~d} x \leqslant \\ 2 \int_{0}^{1} \omega^{2} \mathrm{~d} x-\int_{0}^{1} \omega \log \omega \mathrm{~d} x \leqslant \\ 2 \int_{0}^{1} \omega^{2} \mathrm{~d} x+\mathrm{e}^{-1} \leqslant E_{0} \int_{0}^{1} \omega^{2} \mathrm{~d} x , \end{gather*} $

(17)

其中E₀＞0为常数。

将(17)式代入到(16)式, 并利用Hölder不等式及Young′s不等式估计(16)式右端的最后一项可得到, 对∀δ＞0, 存在常数C_δ′＞0使得

$ \begin{gather*} \int_{0}^{1} \omega^{4} \mathrm{~d} x \leqslant E_{0} \delta\left(\int_{0}^{1} \omega^{2} \mathrm{~d} x\right)^{2}+ \\ \left(E_{0} \delta \int_{0}^{1}\left|\partial_{x} \omega\right|^{2} \mathrm{~d} x\right) \int_{0}^{1} \omega^{2} \mathrm{~d} x+C_{\delta}^{\prime} 。\end{gather*} $

(18)

同时，再回顾二维空间中成立的引理。

引理2^[24]  假设Ω⊂R²为有界区域, u为Ω上分段C¹-类函数且在边界上值为零, n≥1为任意常数, 则有如下Sobolev型不等式

$ \int_{\varOmega} u^{4 n} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{n^{2}}{2} \int_{\varOmega} u^{2(n-1)}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x \int_{\varOmega} u^{2 n} \mathrm{~d} x 。$

主要结果陈述如下。

定理2  假设u(x, t)为问题(1)—(3)的非负光滑解，且在t^*时刻发生爆破，m≥1, p＞2, λ＞0, q＞m+p-1。定义辅助函数

$ \begin{gathered} \varphi(t):=\int_{\varOmega} u^{2 n} \mathrm{~d} x , \\ n>\left\{\begin{array}{l} \max \left\{1+\frac{m}{p-2}, (N-2)(q-1)\right\}, N \geqslant 3 \\ q, N=1, 2 \end{array}\right., \end{gathered} $

则爆破时间t^*的下界为

$ t^{*} \geqslant\left\{\begin{array}{l}\int_{\varphi(0)}^{+\infty} \frac{1}{Q_{1} \zeta^{1-\frac{m+p-2}{n(p-2)}}+Q_{2} \zeta^{\frac{3 * N-2}{3 N-8}}+Q_{3}} \mathrm{~d} \zeta, N \geqslant 3 \\ \int_{\varphi(0)}^{+\infty} \frac{1}{Q_{4} \zeta^{1-\frac{m+p-2}{n(p-2)}}+Q_{5} \zeta^{\frac{n+q}{n+1}}} \mathrm{~d} \zeta, N=2 \\ \int_{\varphi(0)}^{+\infty} \frac{1}{Q_{6} \zeta+Q_{7} \zeta^{2-\frac{1}{n}}+Q_{8} \zeta^{n}} \mathrm{~d} \zeta, N=1\end{array}\right., $

其中$ \varphi(0)=\int_{\varOmega} u_{0}^{2 n} \mathrm{~d} x$, 且Q₁－Q₈为正常数并在下面的证明过程中给出。

证明  对φ(t)求导并利用(1)式及Green公式可得

$ \begin{gather*} \varphi^{\prime}(t)=2 n \int_{\varOmega} u^{2 n-1} u_{t} \mathrm{~d} x= \\ 2 n \int_{\varOmega} u^{2 n-1}\left[u^{m} \operatorname{div}\left(|\nabla u|^{p-2} \nabla u\right)+\lambda u^{q}\right] \mathrm{d} x= \\ -2 n(2 n+m-1) \int_{\varOmega} u^{2 n+m-2}|\nabla u|^{p} \mathrm{~d} x+ \\ 2 \lambda n \int_{\varOmega} u^{2 n+q-1} \mathrm{~d} x 。\end{gather*} $

(19)

由p＞2知, $ \frac{2}{p}, \frac{p-2}{p} \in(0, 1)$, 且利用Hölder不等式及Young′s不等式导出

$ \begin{gathered} \int_{\varOmega} u^{2 n-2}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x= \\ \int_{\varOmega} u^{\frac{2(2 n+m-2)}{p}}|\nabla u|^{2} u^{2 n-2-\frac{2(2 n+m-2)}{p}} \mathrm{~d} x \leqslant \\ \left(\int_{\varOmega} u^{2 n+m-2}|\nabla u|^{p} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{2}{p}}\left(\int_{\varOmega} u^{\left[2 n-2-\frac{2(2 n+m-2)}{p}\right] \frac{p}{p-2}} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{p-2}{p}} \leqslant \\ \frac{2}{p}\left(\int_{\varOmega} u^{2 n+m-2}|\nabla u|^{p} \mathrm{~d} x\right)+ \\ \frac{p-2}{p}\left(\int_{\varOmega} u^{\left[2 n-2-\frac{2(2 n+m-2)}{p}\right] \frac{p}{p-2}} \mathrm{~d} x\right)。\end{gathered} $

即

$ \begin{gather*} \int_{\varOmega} u^{2 n+m-2}|\nabla u|^{p} \mathrm{~d} x \geqslant \\ \frac{p}{2} \int_{\varOmega} u^{2 n-2}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x-\frac{p-2}{2} \int_{\varOmega} u^{2 n-2-\frac{2 m}{p-2}} \mathrm{~d} x 。\end{gather*} $

(20)

再次利用Hölder不等式可推出

$ \begin{equation*} \int_{\varOmega} u^{2 n-2-\frac{2 m}{p-2}} \mathrm{~d} x \leqslant\left(\int_{\varOmega} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{1-\frac{m+p-2}{n(p-2)}}|\varOmega|^{\frac{1+\frac{m}{p-2}}{n}} 。\end{equation*} $

(21)

将(21)式代入到(20)式并整理得

$ \begin{gather*} \int_{\varOmega} u^{2 n+m-2}|\nabla u|^{p} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{p}{2 n^{2}} \int_{\varOmega}\left|\nabla u^{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x- \\ \frac{p-2}{2}|\varOmega|^{\frac{1+\frac{m}{p-2}}{n}}\left(\int_{\varOmega} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{1-\frac{m+p-2}{n(p-2)}} 。\end{gather*} $

(22)

再将(22)式代入到(19)式可得

$ \begin{gather*} \varphi^{\prime}(t) \leqslant-\frac{p(2 n+m-1)}{n} \int_{\varOmega}\left|\nabla u^{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x+\\n(p-2)(2 n+m-1)|\varOmega|^{\frac{1+\frac{m}{p-2}}{n}}\left(\int_{\varOmega} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{1-\frac{m+p-2}{n(p-2)}}+ \\ 2 \lambda n \int_{\varOmega} u^{2 n+q-1} \mathrm{~d} x 。\end{gather*} $

(23)

情形一  N≥3。

分别利用Hölder不等式及Young′s不等式可导出

$ \begin{gather*} \int_{\varOmega} u^{2 n+q-1} \mathrm{~d} x=\int_{\varOmega} u^{\frac{n(2 N-3)}{(N-2)} \cdot \frac{(N-2)(2 n+q-1)}{n(2 N-3)}} \mathrm{d} x \leqslant \\ |\varOmega|^{1-m_{1}}\left(\int_{\varOmega} u^{\frac{n(2 N-3)}{(N-2)}} \mathrm{d} x\right)^{m_{1}} \leqslant \\ \left(1-m_{1}\right)|\varOmega|+m_{1} \int_{\varOmega} u^{\frac{n(2 N-3)}{(N-2)}} \mathrm{d} x , \end{gather*} $

(24)

及

$ \begin{gather*} \int_{\varOmega} u^{\frac{n(2 N-3)}{(N-2)}} \mathrm{d} x \leqslant\left(\int_{\varOmega} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\varOmega} u^{\frac{2 n(N-1)}{N-2}} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}} \leqslant \\ \left(\int_{\varOmega} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{3}{4}}\left(\int_{\varOmega}\left(u^{n}\right)^{\frac{2 N}{N-2}} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{4}}, \end{gather*} $

(25)

其中$ m_{1}:=\frac{(N-2)(2 n+q-1)}{n(2 N-3)} \in(0, 1)$。

接下来, 由Sobolev嵌入不等式^[25](N≥3)知

$ \begin{gather*} \left\|u^{n}\right\|_{L^{\frac{2 N}{N-2}(\varOmega)}}^{\frac{N}{2(N-2)}} \leqslant C_{s}^{\frac{N}{2(N-2)}}\left\|u^{n}\right\|_{\mathrm{w}_{0}^{1, 2}(\varOmega)}^{\frac{N}{2(N-2)}} \leqslant \\ C_{b}\left\|\nabla u^{n}\right\|_{L^{2}(\varOmega)}^{\frac{N}{2(N-2)}}, \end{gather*} $

(26)

其中$ C_{s}=\left(\frac{1}{N(N-2) {\rm{ \mathsf{ π}}}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(2^{-1} N!\Gamma^{-1}\left(\frac{N}{2}+1\right)\right)^{\frac{1}{N}}$为最佳嵌入常数,

$ C_{b}:=\left\{\begin{array}{l} 2^{\frac{1}{2}} C_{s}^{\frac{3}{2}}, N=3 \\ C_{s}^{\frac{N}{2(N-2)}}, N>3 \end{array}\right.。$

将(26)式代入到(25)式并整理可得

$ \begin{equation*} \int_{\varOmega} u^{\frac{n(2 N-3)}{(N-2)}} \mathrm{d} x \leqslant C_{b} \varphi^{\frac{3}{4}}\left(\int_{\varOmega}\left|\nabla u^{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{N}{4(N-2)}} 。\end{equation*} $

(27)

再利用Young′s不等式可推出

$ \begin{gather*} \varphi^{\frac{3}{4}}\left(\int_{\varOmega}\left|\nabla u^{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{N}{4(N-2)}}= \\ \left(\varphi^{\frac{3(N-2)}{3 N-8}}\right)^{\frac{3 N-8}{4(N-2)}}\left(\int_{\varOmega}\left|\nabla u^{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{N}{4(N-2)}} \leqslant \\ \frac{3 N-8}{4(N-2)} C_{b}^{\frac{4(N-2)}{3 N-8}} \varepsilon_{1}^{-\frac{N}{3 N-8}} \varphi^{\frac{3(N-2)}{3 N-8}}(t)+ \\ \frac{N}{4(N-2)} \varepsilon_{1} \int_{\varOmega}\left|\nabla u^{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x , \end{gather*} $

(28)

其中ε₁＞0为待定常数。

将(24)—(28)式代入到(23)式并整理可得

$ \begin{gather*} \varphi^{\prime}(t) \leqslant Q_{1} \varphi^{1-\frac{m+p-2}{n(p-2)}}+Q_{2} \varphi^{\frac{3(N-2)}{3 N-8}}(t)+Q_{3}+ \\ {\left[\frac{\lambda n N \varepsilon_{1}}{2(N-2)}-\frac{p(m+2 n-1)}{n}\right] \int_{\varOmega}\left|\nabla u^{\frac{n}{2}}\right|^{2} \mathrm{~d} x} , \end{gather*} $

(29)

其中

$ \begin{gathered} Q_{1}:=n(m+2 n-1)(p-2)|\varOmega|^{\frac{1+\frac{m}{p-2}}{n}}>0, \\ Q_{2}:=2 \lambda n m_{1} \frac{C_{b}^{\frac{4(N-2)}{3 N-8}}(3 N-8)}{4(N-2)} \varepsilon_{1}^{-\frac{N}{3 N-8}}>0, \\ Q_{3}:=2 \lambda n\left(1-m_{1}\right)|\varOmega|>0 。\end{gathered} $

取$ \varepsilon_{1}=\frac{2 p(m+2 n-1)(N-2)}{\lambda n^{2} N}>0$, 使得(29)式中梯度项系数为零, 则(29)式可改写为

$ \begin{equation*} \varphi^{\prime}(t) \leqslant Q_{1} \varphi^{1-\frac{m+p-2}{n(p-2)}}+Q_{2} \varphi^{\frac{3(N-2)}{3 N-8}}(t)+Q_{3}。\end{equation*} $

(30)

对上式从0到t积分, 有

$ t \geqslant \int_{\varphi(0)}^{\varphi(t)} \frac{1}{Q_{1} \zeta^{1-\frac{m+p-2}{n(p-2)}}+Q_{2} \zeta^{\frac{3(N-2)}{3 N-8}}+Q_{3}} \mathrm{~d} \zeta, $

对上式取极限t→t^*－得到

$ t^{*} \geqslant \int_{\varphi(0)}^{+\infty} \frac{1}{Q_{1} \zeta^{1-\frac{m+p-2}{n(p-2)}}+Q_{2} \zeta^{\frac{3(N-2)}{3 N-8}}+Q_{3}} \mathrm{~d} \zeta。$

情形二  N=2。

利用Hölder不等式可知

$ \begin{gather*} \int_{\varOmega} u^{2 n+q-1} \mathrm{~d} x \leqslant\left(\int_{\varOmega} u^{2(2 n-1)} \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\varOmega} u^{2 q} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}} \leqslant \\ \quad\left(\int_{\varOmega} u^{4 n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{n-1}{2 n}}\left(\int_{\varOmega} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2 n}}\left(\int_{\varOmega} u^{2 q} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}} 。\end{gather*} $

(31)

由引理2知

$ \begin{equation*} \int_{\varOmega} u^{4 n} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{n^{2}}{2} \int_{\varOmega} u^{2(n-1)}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x \int_{\varOmega} u^{2 n} \mathrm{~d} x。\end{equation*} $

(32)

将(32)式代入到(31)式可推出

$ \begin{gather*} \int_{\varOmega} u^{2 n+q-1} \mathrm{~d} x \leqslant\left(\frac{n^{2}}{2}\right)^{\frac{n-1}{2 n}}\left(\int_{\varOmega} u^{2(n-1)}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{n-1}{2 n}} \cdot\\ \left(\int_{\varOmega} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\varOmega} u^{2 q} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}} \leqslant \\ \frac{n(n-1)}{4} \varepsilon_{2} \int_{\varOmega} u^{2(n-1)}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x+ \\ \frac{n+1}{2 n} \varepsilon_{2}^{-\frac{n-1}{n+1}}\left(\int_{\varOmega} u^{2 n} \mathrm{~d} x \int_{\varOmega} u^{2 q} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{n}{n+1}} , \end{gather*} $

(33)

其中ε₂＞0为待定常数。

由条件n＞q可知, $ \frac{q}{n}, \frac{n-q}{n} \in(0, 1)$。再利用Hölder不等式可知

$ \begin{equation*} \int_{\varOmega} u^{2 q} \mathrm{~d} x \leqslant\left(\int_{\varOmega} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{q}{n}}|\varOmega|^{\frac{n-q}{n}} 。\end{equation*} $

(34)

因此, 将(33)、(34)式代入到(23)式并整理得

$ \begin{gather*} \varphi^{\prime}(t) \leqslant\left[\frac{\lambda n^{2}(n-1)}{2} \varepsilon_{2}-n p(m+2 n-1)\right]\cdot \\ \int_{\varOmega} u^{2(n-1)}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x+ \\ Q_{4} \varphi^{1-\frac{m+p-2}{n(p-2)}}+Q_{5} \varphi^{\frac{n+q}{n+1}} , \end{gather*} $

(35)

其中，

$ \begin{gathered} Q_{4}:=n(p-2)(m+2 n-1)|\varOmega|^{\frac{1+\frac{m}{p-2}}{n}}>0, \\ Q_{5}:=\lambda(n+1) \varepsilon_{2}^{-\frac{n-1}{n+1}}|\varOmega|^{\frac{n-q}{n+1}}>0 。\end{gathered} $

上式中取$ \varepsilon_{2}=\frac{2 p(m+2 n-1)}{\lambda n(n-1)}>0$, 使得(35)式中梯度项系数为零, 则(35)式可改写为

$ \begin{equation*} \varphi^{\prime}(t) \leqslant Q_{4} \varphi^{1-\frac{m+p-2}{n(p-2)}}+Q_{5} \varphi^{\frac{n+q}{n+1}}, \end{equation*} $

(36)

对上式从0到t积分, 有

$ t \geqslant \int_{\varphi(0)}^{\varphi(t)} \frac{1}{Q_{4} \zeta^{1-\frac{m+p-2}{n(p-2)}}+Q_{5} \zeta^{\frac{n+q}{n+1}}} \mathrm{~d} \zeta, $

对上式取极限t→t^*－得到

$ t^{*} \geqslant \int_{\varphi(0)}^{+\infty} \frac{1}{Q_{4} \zeta^{1-\frac{m+p-2}{n(p-2)}}+Q_{5} \zeta^{\frac{n+q}{n+1}}} \mathrm{~d} \zeta。$

情形三  N=1。

对于(23)式, 令ω=uⁿ且利用引理1可导出

$ \begin{gather*} \int_{\varOmega} u^{2 n+q-1} \mathrm{~d} x \leqslant \\ \left(\int_{\varOmega} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2 n}}\left(\int_{\varOmega} u^{2 q} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}}\left[\left(E_{0} \delta\right)^{\frac{n-1}{2 n}}\left(\int_{0}^{1} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{n-1}{n}}+\right. \\ \left.\left(E_{0} \delta \int_{0}^{1}\left|\partial_{x} u^{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{n-1}{2 n}}\left(\int_{0}^{1} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{n-1}{2 n}}+C_{\delta}^{\prime \frac{n-1}{2 n}}\right]= \\ \left(\int_{\varOmega} u^{2 q} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}}\left(E_{0} \delta\right)^{\frac{n-1}{2 n}}\left(\int_{0}^{1} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{2 n-1}{2 n}}+ \\ \left(\int_{\varOmega} u^{2 q} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}}\left(E_{0} \delta \int_{0}^{1}\left|\partial_{x} u^{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{n-1}{2 n}}\left(\int_{0}^{1} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}}+ \\ C_{\delta}^{\prime}{ }_{\delta}^{\frac{n-1}{2 n}}\left(\int_{\varOmega} u^{2 q} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\varOmega} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{2 n}} \leqslant \\ \frac{3}{2} \int_{\varOmega} u^{2 q} \mathrm{~d} x+\frac{1}{2}\left(E_{0} \delta\right)^{\frac{n-1}{n}}\left(\int_{0}^{1} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{2 n-1}{n}}+ \\ \frac{1}{2}\left(E_{0} \delta \int_{0}^{1}\left|\partial_{x} u^{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{n-1}{n}} \int_{0}^{1} u^{2 n} \mathrm{~d} x+ \\ \frac{1}{2} C_{\delta}^{\prime} \frac{n-1}{n}\left(\int_{\varOmega} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}} 。\end{gather*} $

(37)

对(37)式右端的第三项, 利用Young′不等式可知

$ \begin{gather*} \left(E_{0} \delta \int_{0}^{1}\left|\partial_{x} u^{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{n-1}{n}} \int_{0}^{1} u^{2 n} \mathrm{~d} x \leqslant \\ \frac{n-1}{n} \varepsilon_{3} E_{0} \delta \int_{0}^{1}\left|\partial_{x} u^{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x+\frac{1}{n} \varepsilon_{3}^{-(n-1)}\left(\int_{0}^{1} u^{2 n} \mathrm{~d} x\right)^{n} 。\end{gather*} $

(38)

将(37)、(38)式代入到(23)式并由$ \frac{(n-1)(p-2)-m}{n(p-2)}< 1, \frac{q}{n}<1, \frac{1}{n}<1$可导出

$ \begin{gathered} \varphi^{\prime}(t) \leqslant \\ {\left[\lambda(n-1) \varepsilon_{3} E_{0} \delta-\frac{p(m+2 n-1)}{n}\right] \int_{0}^{1}\left|\nabla u^{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x+} \\ \quad n(p-2)(m+2 n-1)|\varOmega|^{\frac{1+\frac{m}{p-2}}{n}} \varphi^{\frac{(n-1)(p-2)-m}{n(p-2)}}+ \\ 3 n \lambda|\varOmega|^{\frac{n-q}{n}} \varphi^{\frac{q}{n}}+n \lambda C_{\delta}^{\prime} \frac{n-1}{n} \varphi^{\frac{1}{n}}+Q_{7} \varphi^{2-\frac{1}{n}}+Q_{8} \varphi^{n} \leqslant \\ {\left[\lambda(n-1) \varepsilon_{3} E_{0} \delta-\frac{p(m+2 n-1)}{n}\right] \int_{0}^{1}\left|\nabla u^{n}\right|^{2} \mathrm{~d} x+} \\ Q_{6} \varphi+Q_{7} \varphi^{2-\frac{1}{n}}+Q_{8} \varphi^{n} , \end{gathered} $

(39)

其中

$ \begin{gathered} Q_{6}:=\left[n(p-2)(2 n+m-1)|\varOmega|^{\frac{m+p-2}{n}}+\right. \\ \left.3 n \lambda|\varOmega|^{\frac{n-q}{n}}+n \lambda C_{\delta}^{\prime \frac{n-1}{n}}\right]>0, \\ Q_{7}:=n \lambda\left(E_{0} \delta\right)^{\frac{n-1}{n}}>0, \\ Q_{8}:=\lambda \varepsilon^{-(n-1)}>0 。\end{gathered} $

上式中取$ \varepsilon_{3}=\frac{p(m+2 n-1)}{\lambda n(n-1) E_{0} \delta}>0$, 使得(39)式中梯度项系数为零, 则(39)式可改写为

$ \begin{equation*} \varphi^{\prime}(t) \leqslant Q_{6} \varphi+Q_{7} \varphi^{2-\frac{1}{n}}+Q_{8} \varphi^{n} 。\end{equation*} $

(40)

对上式从0到t积分, 有

$ t \geqslant \int_{\varphi(0)}^{\varphi(t)} \frac{1}{Q_{6} \zeta+Q_{7} \zeta^{2-\frac{1}{n}}+Q_{8} \zeta^{n}} \mathrm{~d} \zeta, $

且对上式取极限t→t^*－得到

$ t^{*} \geqslant \int_{\varphi(0)}^{+\infty} \frac{1}{Q_{6} \zeta+Q_{7} \zeta^{2-\frac{1}{n}}+Q_{8} \zeta^{n}} \mathrm{~d} \zeta。$

定理2证毕。

最后，对q=m+p－1情形，给出新的测度意义下的生命跨度的下界估计。

定理3  假设u(x, t)为问题(1)—(3)的非负光滑解且在t^*时刻发生爆破，m≥1, p＞2, q=m+p－1,

$ 0<\lambda<C(m+n-1)\left(\frac{p}{m+n+p-2}\right)^{p}, $

其中C由(43)式给出。定义函数

$ \varphi(t):=\int_{\varOmega} u^{n} \mathrm{~d} x, n \geqslant 2, $

则爆破时间t^*的下界为

$ t^{*} \geqslant \int_{\varphi(0)}^{+\infty} \frac{1}{Q_{9} \zeta^{\frac{m+n+p-2}{n}}} \mathrm{~d} \zeta, $

其中$ \phi(0)=\int_{\varOmega} u_{0}^{n} \mathrm{~d} x$且Q₉为正常数，并在下面的证明过程中给出。

证明  类似于定理2中(19)式的推导过程及q=m+p-1可得

$ \begin{gather*} \phi^{\prime}(t)=-n(m+n-1) \int_{\varOmega} u^{m+n-2}|\nabla u|^{p} \mathrm{~d} x+ \\ \lambda n \int_{\varOmega} u^{n+q-1} \mathrm{~d} x=-n(m+n-1)\left(\frac{p}{m+n+p-2}\right)^{p}\cdot \\ \int_{\varOmega}\left|\nabla u^{\frac{m+n+p-2}{p}}\right|^{p} \mathrm{~d} x+\lambda n \int_{\varOmega} u^{m+n+p-2} \mathrm{~d} x 。\end{gather*} $

(41)

由Poincare′s不等式知

$ \begin{equation*} \int_{\varOmega}\left|\nabla u^{\frac{m+n+p-2}{p}}\right|^{p} \mathrm{~d} x \geqslant C \int_{\varOmega} u^{m+n+p-2} \mathrm{~d} x, \end{equation*} $

(42)

其中C=C(n, p, Ω)。

将(42)式代入到(41)式并整理得

$ \begin{gathered} \varphi^{\prime}(t) \leqslant-C n(m+n-1)\left(\frac{p}{m+n+p-2}\right)^{p} \cdot \\ \int_{\varOmega} u^{m+n+p-2} \mathrm{~d} x+\lambda n \int_{\varOmega} u^{m+n+p-2} \mathrm{~d} x= \\ {\left[\lambda n-C n(m+n-1)\left(\frac{p}{m+n+p-2}\right)^{p}\right] \int_{\varOmega} u^{m+n+p-2} \mathrm{~d} x, } \end{gathered} $

由条件知$ \frac{n}{m+n+p-2}, \frac{m+p-2}{m+n+p-2} \in(0, 1)$, 并利用Hölder不等式可推出

$ \int_{\Omega} u^{m+n+p-2} \mathrm{~d} x \geqslant|\Omega|^{-\frac{m+p-2}{n}}\left(\int_{\Omega} u^n \mathrm{~d} x\right)^{\frac{m+n+p-2}{n}} 。$

再由$ 0<\lambda<C(m+n-1)\left(\frac{p}{m+n+p-2}\right)^{p}$可得到

$ \varphi(t) \leqslant Q_{9}\left(\int_{\varOmega} u^{n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{m+n+p-2}{n}}, $

其中

$ \begin{gathered} Q_{9}:=\left[\lambda n-C n(m+n-1)\left(\frac{p}{m+n+p-2}\right)^{p}\right] \cdot \\ |\varOmega|^{-\frac{m+p-2}{n}}>0 。\end{gathered} $

对上式从0到t积分, 有

$ t \geqslant \int_{\varphi(0)}^{\varphi(t)} \frac{1}{Q_{9} \zeta^{\frac{m+n+p-2}{n}}} \mathrm{~d} \zeta, $

对上式取极限t→t^*－得到

$ t^{*} \geqslant \int_{\varphi(0)}^{+\infty} \frac{1}{Q_{9} \zeta^{\frac{m+n+p-2}{n}}} \mathrm{~d} \zeta。$

定理3证毕。

3 结语

本文中避开反证技巧给出了问题(1)—(3)解发生爆破的新充分条件并导出的生命跨度的估计值。但是，爆破集、爆破速率的估计值方面尚未得到结果。这就是下一步的研究工作目标。