本文考虑一类含时空系数的半线性阻尼σ-发展型微分不等式

$ \begin{gathered} u_{t t}+(-\Delta)^\delta u_t+(-\Delta)^\sigma u \geqslant a(x, t)|u|^q, \\ (x, t) \in {\mathbf R}^N \times {\mathbf R}_{+}, \end{gathered} $

(1)

满足初始条件

$ \left(u, u_t\right)(x, 0)=\left(u_0, u_1\right)(x), x \in {\mathbf R}^N, $

(2)

其中N≥1, δ∈N, σ∈N\{0}, q＞1, 时空系数a∈L_loc¹(R^N× R₊; R₊)且存在常数C＞0, α, β∈R使得

$ a(x, t) \geqslant C(1+|x|)^\alpha(1+t)^\beta, \forall(x, t) \in {\mathbf R}^N \times {\mathbf R}_{+} {。} $

(3)

阻尼σ-发展型微分方程及不等式(1)可描述黏弹性理论、电流理论、量子理论等许多领域中的物理现象，如受黏性影响的均匀弦的横向振动^[1]、缆索悬挂的一维梁的振动现象^[2]、在弹塑性杆的纵向振动中弹塑性微观结构的描述^[3]等。

迄今为止，关于半线性波动方程及不等式柯西问题解的适定性、整体解的存在性与非存在性、解的渐近行为、爆破现象、爆破速率、生命跨度的估计等研究已有许多进展和成果，如在调和分析理论框架内研究问题解的L^p-L^q衰减估计^[4-5]、变分理论框架内研究初值的分类对整体解的存在性和非整体存在性的影响^[6-8]、试验函数理论框架内研究整体解的非存在性(也称Liouville型定理)及生命跨度的估计^[9-17]等。本文的目的是建立阻尼σ-发展型微分不等式(1)柯西问题的整体弱解的非存在性的充分条件、先验估计及局部弱解的生命跨度估计值，特别是在不给初始值的紧支性的假设下双曲型波动方程Kato型或Fujita型临界指标相关的结论。关于不含阻尼的σ-发展型微分方程及不等式的研究方面

$ u_{t t}+(-\Delta)^\sigma u \geqslant a(x, t)|u|^q, (x, t) \in {\mathbf R}^N \times(0, \infty) { 。} $

John^[18-19]首次考虑了含乘幂型源项的经典波动方程

$ u_{t t}-\Delta u=|u|^q, (x, t) \in {\mathbf R}^N \times {\mathbf R}_{+}。$

(4)

他在文献[18]中证明了当N=3时，如果1＜q＜1+$ \sqrt{2}$, 则对u₀, u₁∈C₀^∞(R³), 非平凡“小”初值解在有限时刻爆破，这与大部分文献中给出的“大”初值解的爆破不同；如果q＞1+$ \sqrt{2}$, 则“小”初值解整体存在。之后，Glassey^[20]证明了在三维空间中临界指标q=1+$ \sqrt{2}$也属于爆破情形。关于高维情形，Strauss^[21]预测到了问题(4)的整体解的存在性的临界指标为下列方程的较大的根

$ (N-1) q^2-(N+1) q-2=0 { 。} $

(5)

注意到N=1时问题(4)没有整体解。紧接着，Sideris^[22]证明了当N≥4, 1＜q＜q^*(N)时，对任意小初值解的非存在性，其中q^*为方程(5)的正根。对于临界情形q=q^*(N), Zhou^[13]给出了当N≥4时整体解的非存在性。值得注意的是，在更一般的假设下Kato^[23]也考虑了方程(4)的柯西问题，通过另一种完全不同的方法获得了稍微不同的临界指标q_KC: =(N+1)/(N-1)(称为Kato临界指标)，然而仍需初始值为紧支集的假设。特别是，Pohozaev和Veron^[9]研究了双曲型微分不等式

$ u_{t t}-\Delta u \geqslant|u|^{q}, (x, t) \in {\mathbf R}^{N} \times {\mathbf R}_{+}, $

且导出了当初值u₀=0, $ \int_{{\mathbf R}^{N}} u_{1}(x) \mathrm{d} x \geqslant 0$, N=1或N＞1且1＜q≤q_KC时整体弱解的非存在性结论，这是对初值无需假设为紧支集的开创性研究。

关于阻尼σ-发展型微分方程及不等式柯西问题的研究方面

$ \begin{gathered} u_{t t}+(-\Delta)^{\delta} u_{t}+(-\Delta)^{\sigma} u \geqslant a(x, t)|u|^{q}, \\ (x, t) \in {\mathbf R}^{N} \times(0, \infty)。\end{gathered} $

Li和Zhou^[24]，Todorova和Yordanov^[25]，Zhang^[10](低维情形N=1, 2)；Lai和Zhou^[16]，Ikeda和Sobajima^[17](高维情形N≥4)考虑了含线性弱阻尼项(δ=0)的半线性波动方程Cauchy问题

$ u_{t t}-\Delta u+u_{t}=|u|^{q}, (x, t) \in {\mathbf R}^{N} \times(0, \infty), $

且给出了临界指标为Fujita型指标q_FC: =1+2/N。同时，导出了局部弱解的生命跨度的最优上界估计，即当临界情形q=q_FC时，T(ε)≤exp(Cε^-2/N); 当次临界情形1＜q＜q_FC时，T(ε)≤Cε^{-2(p-1)/[2-N(p-1)]}其中u(x, 0)=εu₀(x), u_t(x, 0)=εu₁(x)。Ikehata和Takeda^[14]研究了同时含有强弱阻尼项的半线性波动方程的柯西问题

$ u_{t t}-\Delta u+u_{t}-\Delta u_{t}=|u|^{q}, (x, t) \in {\mathbf R}^{N} \times(0, \infty), $

其中N≥1。他们利用试验函数法得到了当1＜q≤q_FC, $ \int_{{\mathbf R}^{N}} u_{i}(x) \mathrm{d} x>0$, i=0, 1时整体解的非存在性，且利用位势井方法得到了当q＞q_FC时小初值整体解的存在性结果。D′Abbicco和Ebert^[15]考虑了含有乘幂型源项的阻尼σ-发展型微分方程的柯西问题

$ u_{t t}+(-\Delta)^{\delta} u_{t}+(-\Delta)^{\sigma} u=|u|^{q}, (x, t) \in {\mathbf R}^{N} \times(0, \infty), $

其中δ∈N\{0}。在初值满足u₀=0, $ \int_{{\mathbf R}^{N}} u_{i}(x) \mathrm{d} x> 0$, 的条件下得到了临界指标为q_c=1+2σ/[N-min{2δ, σ}]其中包括Kato型及Fujita型临界指标。同时，对次临界情形得到了解的生命跨度的估计为

$ T \leqslant C \varepsilon^{-\frac{\kappa}{2 \sigma q^{\prime}-N-\kappa}}, q^{\prime}=q /(q-1), \mu \kappa=2-\min \{2 \delta, \sigma\} 。$

综上所述，含时空系数的半线性阻尼σ-发展型微分不等式柯西问题(1)—(2)整体弱解的非存在性及生命跨度的估计研究还未得到展开。主要难点在于(Ⅰ)不等式(1)右端含有时空系数；(Ⅱ)不等式(1)左端含有σ-阶多重调和算子及δ-阶多重强(弱)阻尼算子；(Ⅲ)找出适当的参数范围，使其正好出现Kato型或Fujita型临界指标；(Ⅳ)初始值紧支性能否去掉等。由此启发，本文将改进由Mitidieri和Pohozaev^[11-12]开发的试验函数方法，得到精细的先验估计值，并以此为依据导出不等式柯西问题(1)—(2)的整体弱解的非存在性定理及局部弱解的生命跨度估计且其结果表明，涵盖现有的文献给出的Kato型或Fujita型临界指标及生命跨度估计值。此方法有无需初始迹、无需讨论径向解和无需给无穷远处的行为等优点。更详细的结论见下文。

定理1  令N≥1, σ∈N \{0}, δ∈N, a∈L_loc¹(R^N× R₊; R₊)满足(3)式且其中指数满足

$ \alpha+2 \sigma+\beta(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})>0 \text { 。} $

如果u₀∈W^{2δ, 1}(R^N), u₁∈L¹(R^N)满足

$ \begin{equation*} \int_{{\mathbf R}^{N}} u_{1}(x)+(-\Delta)^{\delta} u_{0}(x) \mathrm{d} x>0, \end{equation*} $

(6)

并且下列条件之一成立

(Ⅰ)

$ \begin{equation*} N \leqslant \min \{2 \delta, \sigma\}, q>1, \end{equation*} $

(7)

(Ⅱ)

$ \begin{gather*} N>\min \{2 \delta, \sigma\}, \\ 1<q \leqslant 1+\frac{\alpha+2 \sigma+\beta(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})}{N-\min \{2 \delta, \sigma\}}, \end{gather*} $

(8)

则柯西问题(1)—(2)无整体弱解。

进一步，对任意q满足(7)或(8)式的次临界值，存在常数C＞0使得柯西问题(1)—(2)局部弱解的最大存在时间T满足

$ T \leqslant C \varepsilon^{\frac{\kappa}{2 \sigma q^{\prime}+(\sigma+\beta \kappa)\left(q^{\prime}-1\right)-N-\kappa}}, \kappa=2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\} 。$

对任意q满足(8)式的临界值，存在常数C＞0使得柯西问题(1)—(2)局部弱解的最大存在时间T满足

$ T \leqslant \exp \left(C \varepsilon^{-(q-1)}\right), $

其中初值取u₀=εf, u₁=εg, ∀g∈L¹(R^N), ∀f∈W^{2δ, 1}(R^N)满足(6)式，ε∈(0, 1), 且ξ(s)是q的共轭指数。

定理2  令N≥1, σ∈N\{0}, δ∈N, a∈L_loc¹(R^N× R₊; R₊)满足(3)式且其中指数满足

$ \alpha+2 \sigma+\beta(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})>0 \text { 。} $

如果u₀∈W^{2δ, 1}(R^N), u₁∈L¹(R^N)并且存在ε∈(0, 1), 正常数μ使得

$ \begin{equation*} \mathop {{\rm{liminf}} }\limits_{R \to \infty } \left[\int_{B_{R}} u_{1}(x)+(-\Delta)^{\delta} u_{0}(x) \mathrm{d} x\right] \geqslant \varepsilon R^{N-\mu}, \end{equation*} $

(9)

并且下列条件之一成立

(Ⅰ)

$ \begin{equation*} \mu \leqslant \min \{2 \delta, \sigma\}, q>1, \end{equation*} $

(10)

(Ⅱ)

$ \begin{array}{c} \mu>\min \{2 \delta, \sigma\},\\ 1<q<1+\frac{\alpha+2 \sigma+\beta(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})}{\mu-\min \{2 \delta, \sigma\}}, \end{array} $

(11)

则柯西问题(1)—(2)无整体弱解。

进一步，存在与ε无关的常数C＞0使得对任意q和μ满足(10)或(11)式，柯西问题(1)—(2)局部弱解的最大存在时间T满足

$ T \leqslant C \varepsilon^{-\frac{\kappa}{2 \sigma q^{\prime}+(\alpha+\beta \kappa)\left(q^{\prime}-1\right)-\mu-\kappa}}, \kappa=2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\}, $

其中q′是q的共轭指数。

注1  事实上，如果min{2δ, σ}＜μ＜N, 则q在定理2中的上界大于在定理1中的上界，即

$ \begin{aligned} & 1+\frac{\alpha+2 \sigma+\beta(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})}{N-\min \{2 \delta, \sigma\}}< \\ & 1+\frac{\alpha+2 \sigma+\beta(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})}{\mu-\min \{2 \delta, \sigma\}}。\end{aligned} $

因此，此种意义下定理2的结论优于定理1的结论。

本文的剩余部分结构如下：在第1节中介绍预备知识。主要结论的详细证明过程在第2节中给出。

在整文中用c, C, C_i(i=1, 2, …)表示常见的正常数且其在不同的行或不同的表达式中可能不同。

1 预备知识

本节中引入弱解的定义，试验函数的构造技巧。

首先给出柯西问题(1)—(2)的弱解的定义。

定义1  若函数u∈L_loc^q(R^N× R₊)满足a(x, t)|u|^q∈ L_loc¹(R^N× R₊)且

$ \begin{align*} \int_{0}^{\infty} & \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \varphi \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+\int_{{\mathbf R}^{N}} u_{1} \varphi(x, 0) \mathrm{d} x \leqslant \\ \int_{0}^{\infty} & \int_{{\mathbf R}^{N}} u \varphi_{t t}-u(-\Delta)^{\delta} \varphi_{t}+u(-\Delta)^{\sigma} \varphi \mathrm{d} x \mathrm{~d} t+ \\ & \int_{{\mathbf R}^{N}} u_{0}\left(\varphi_{t}(x, 0)-(-\Delta)^{\delta} \varphi(x, 0)\right) \mathrm{d} x, \end{align*} $

(12)

其中∀φ∈C₀^∞(R^N× R₊)为非负函数，则称u是柯西问题(1)—(2)的一个整体弱解。

令T＞0，如果对任意非负函数φ∈C₀^∞(R^N×[0, T]), 不等式(12)成立，则u∈L_loc^q(R^N×[0, T]称为柯西问题(1)—(2)的一个局部弱解。

下面，介绍截断函数。定义ξ∈C₀^∞(R₊)为

$ 0 \leqslant \xi(s) \leqslant 1, \quad \forall s \geqslant 0 ; \xi(s)=1, 0 \leqslant s \leqslant 1 ; $

ξ(s)单调递减，1＜s≤2; ξ(s)=0, s＞2; 且存在正常数C＞0, 使得

$ \left|\xi^{\prime}(s)\right| \leqslant C, \quad \forall s \geqslant 0。$

在 R^N×R₊上定义试验函数

$ \varphi_{R}(x, t):=\left[\xi\left(\frac{|x|^{2}+t^{2 / \gamma}}{R^{2}}\right)\right]^{2(\delta+\sigma+1) q^{\prime}}, \forall R>0, $

其中γ＞0待定，q′是q的共轭指数，则φ_R(x, t)∈C₀^∞(R^N× R₊)。

同时，引入如下截断函数(无需光滑)且其在临界情形中讨论生命跨度估计时有应用:

$ \xi^{*}(s):=\left\{\begin{array}{lr} 0, & 0 \leqslant s \leqslant 1 \\ \xi(s), & s>1 \end{array}\right. $

及

$ \varphi_{R}^{*}(x, t):=\left[\xi^{*}\left(\frac{|x|^{2}+t^{2 / \gamma}}{R^{2}}\right)\right]^{2(\delta+\sigma+1) q^{\prime}}, \forall R>0 。$

2 主要结论的证明

本节中给出定理1和2的详细证明过程。

定理1的证明: 利用反证技巧，假设柯西问题(1)—(2)存在一个整体弱解。在弱解定义(12)中取试验函数φ=φ_R(x, t)可得到

$ \begin{array}{c} \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+\int_{{\mathbf R}^{N}} u_{1} \varphi_{R}(x, 0) \mathrm{d} x \leqslant\\ \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}} u\left(\varphi_{R}\right)_{t t}-u(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)_{t}+u(-\Delta)^{\sigma} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+\\ \int_{{\mathbf R}^{N}} u_{0}\left(\left(\varphi_{R}\right)_{t}(x, 0)-(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)(x, 0)\right) \mathrm{d} x=\\ \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}} u\left(\varphi_{R}\right)_{t t}-u(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)_{t}+u(-\Delta)^{\sigma} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t-\\ \int_{{\mathbf R}^{\mathrm{N}}} u_{0}(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)(x, 0) \mathrm{d} x, \end{array} $

其中用到了截断函数的性质(φ_R)_t(x, 0)=0。利用分部积分可得到

$ \begin{gather*} \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|{ }^{q} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+ \\ \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(u_{1}+(-\Delta)^{\delta} u_{0}\right) \varphi_{R}(x, 0) \mathrm{d} x \leqslant \\ \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}} u\left(\varphi_{R}\right)_{t t}-u(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)_{t}+ \\ u(-\Delta)^{\delta} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t \leqslant \\ \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}}|u|\left(\left|\left(\varphi_{R}\right)_{t t}\right|+\left|(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)_{t}\right|+\right. \\ \left.\left|(-\Delta)^{\sigma} \varphi_{R}\right|\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} t 。\end{gather*} $

(13)

由条件q＞1, 对上式右端利用带参数$ \frac{1}{2}$的Young′s不等式导出

$ \begin{gather*} \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}}|u|\left(\left|\left(\varphi_{R}\right)_{t t}\right|+\left|(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)_{t}\right|+\right. \\ \left.\left|(-\Delta)^{\sigma} \varphi_{R}\right|\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} t \leqslant \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+ \\ C \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(a(x, t) \varphi_{R}\right)^{-\frac{1}{q-1}} \times\left(\left|\left(\varphi_{R}\right)_{t t}\right|+\right. \\ \left.\left|(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)_{t}\right|+\left|(-\Delta)^{\sigma} \varphi_{R}\right|\right)^{q^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} t , \end{gather*} $

(14)

其中q′是q的共轭指数。

将上式代入到(13)式右端并整理得到

$ \begin{gather*} \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+ \\ \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(u_{1}+(-\Delta)^{\delta} u_{0}\right) \varphi_{R}(x, 0) \mathrm{d} x \leqslant \\ C \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(a(x, t) \varphi_{R}\right)^{-\frac{1}{q-1}} \times \\ \left(\left|\left(\varphi_{R}\right)_{t t}\right|+\left|(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)_{t}\right|+\left|(-\Delta)^{\sigma} \varphi_{R}\right|\right)^{q^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} t, \leqslant \\ C \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(a(x, t) \varphi_{R}\right)^{-\frac{1}{q-1}}\left|\left(\varphi_{R}\right)_{t t}\right|^{q^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} t+ \\ C \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(a(x, t) \varphi_{R}\right)^{-\frac{1}{q-1}}\left|(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)_{t}\right|^{q^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} t+ \\ C \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(a(x, t) \varphi_{R}\right)^{-\frac{1}{q-1}}\left|(-\Delta)^{\sigma} \varphi_{R}\right|^{q^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} t 。\end{gather*} $

(15)

根据截断函数φ_R(x, t)的定义易知，(φ_R)_tt, (-Δ)^δ(φ_R)_t, (-Δ)^σφ_R的支集都属于

$ \left\{(x, t): R^{2} \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant 2 R^{2}\right\} 。$

因此，在集合{(x, t): R²≤|x|²+t^2/γ≤2R²}中有

$ \left|\left(\varphi_{R}\right)_{t t}\right| \leqslant C R^{-2 \gamma}\left(\varphi_{R}\right)^{1-\frac{1}{(\delta+\sigma+1) q'}}, $

(16)

$ \left|(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)_{t}\right| \leqslant C R^{-\gamma-2 \delta}\left(\varphi_{R}\right)^{1-\frac{2 \delta+1}{2(\delta+\sigma+1) q'}}, $

(17)

$ \left|(-\Delta)^{\sigma} \varphi_{R}\right| \leqslant C R^{-2 \sigma}\left(\varphi_{R}\right)^{1-\frac{\sigma}{(\delta+\sigma+1) q'}} 。$

(18)

对(15)式右端的第一项，利用(16)式及条件(3)可得

$ \begin{gather*} \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(a(x, t) \varphi_{R}\right)^{-\frac{1}{q-1}}\left|\left(\varphi_{R}\right)_{t t}\right|^{q^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} t \leqslant \\ \iint_{R^{2} \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant 2 R^{2}}(1+|x|)^{-\frac{\alpha}{q-1}}(1+t)^{-\frac{\beta}{q-1}} \times \\ \varphi_{R}^{1-\frac{1}{\delta+\sigma+1}} R^{-2 \gamma q^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} t \leqslant \\ \iint_{R^{2} \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant 2 R^{2}}(1+|x|)^{-\frac{\alpha}{q-1}}(1+t)^{-\frac{\beta}{q-1}} R^{-2 \gamma q^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} t, \end{gather*} $

(19)

其中用到了由$ 1-\frac{1}{\delta+\sigma+1}>0$得到的$ \varphi_{R}{ }^{1-\frac{1}{\delta+\sigma+1}} \leqslant 1$。

利用尺度变换$ \widetilde{x}:=\frac{x}{R}, \widetilde{t}:=\frac{t}{R^{\gamma}}$得到

$ \begin{gather*} \iint_{R^{2} \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant 2 R^{2}}(1+|x|)^{-\frac{\alpha}{q-1}}(1+t)^{-\frac{\beta}{q-1}} R^{-2 \gamma q^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} t \leqslant \\ C R^{N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \gamma q^{\prime}} \iint_{1 \leqslant\ \ \ \ \ \ \ { }^{2}+\widetilde{\tau}^{2 / \gamma} \leqslant 2}(1+|\widetilde{x}|)^{-\frac{\alpha}{q-1}} \times \\ (1+\widetilde{t})^{-\frac{\beta}{q-1}} \mathrm{~d} \widetilde{x} \mathrm{~d} \widetilde{t} \leqslant C R^{N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \gamma q^{\prime}} 。\end{gather*} $

(20)

结合不等式(19)和(20)可得

$ \begin{gather*} \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(a(x, t) \xi_{R} \eta_{R}\right)^{-\frac{1}{q-1}}\left|\left(\varphi_{R}\right)_{t t}\right|^{q^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} t \leqslant \\ C R^{N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \gamma q^{\prime}} 。\end{gather*} $

(21)

类似地，对(15)式右端的第二项，利用(17)，(3)式及尺度变换得到

$ \begin{gather*} \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(a(x, t) \xi_{R} \eta_{R}\right)^{-\frac{1}{q-1}}\left|(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)_{t}\right|^{q^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} t \leqslant \\ C R^{N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-(\gamma+2 \delta) q^{\prime}} \end{gather*} $

(22)

对(15)式右端的第三项，利用(18)，(3)式及尺度变换得到

$ \begin{gather*} \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(a(x, t) \varphi_{R}\right)^{-\frac{1}{q-1}}\left|(-\Delta)^{\sigma} \varphi_{R}\right|^{q^{\prime}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} t \leqslant \\ C R^{N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}} 。\end{gather*} $

(23)

将(21)—(23)式代入到(15)式并整理得到

$ \begin{array}{c} \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+ \\ \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(u_{1}+(-\Delta)^{\delta} u_{0}\right) \varphi_{R}(x, 0) \mathrm{d} x \leqslant \\ C \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(a(x, t) \varphi_{R}\right)^{-\frac{1}{q-1}} \times \\ \left(\left|\left(\varphi_{R}\right)_{t t}\right|+\left|(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)_{t}\right|+\left|(-\Delta)^{\sigma} \varphi_{R}\right|\right)^{q \prime} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t \leqslant\\ C\left(R^{N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \gamma q^{\prime}}+R^{N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-(\gamma+2 \delta) q^{\prime}}+R^{N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}}\right) 。\end{array} $

(24)

为了找到非存在性结果的临界指数，需要求(24)式右端的三项的指数均小于零且找出其中的最大指数。注意到，三个指数的形式为

$ N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}+f_{i}(\gamma) q^{\prime}, i=1, 2, 3, $

其中

$ f_{1}(\gamma)=-2 \gamma, f_{2}(\gamma)=-\gamma-2 \delta, f_{3}(\gamma)=-2 \sigma 。$

因此，只需找到三个函数f_i(γ)(i=1, 2, 3)的最大值即可。令前述三个函数的交点分别为

$ \begin{gathered} f_{1}\left(\gamma_{1}\right)=f_{2}\left(\gamma_{1}\right), \gamma_{1}=2 \delta ,\\ f_{1}\left(\gamma_{2}\right)=f_{3}\left(\gamma_{2}\right), \gamma_{2}=\sigma ,\\ f_{2}\left(\gamma_{3}\right)=f_{3}\left(\gamma_{3}\right), \gamma_{3}=2 \sigma-2 \delta 。\end{gathered} $

实际上，这三条直线有如下两种不同的相交情形：

情形1: 2δ≥σ。

如图 1所示，最大值由两个函数组成，即当0＜γ≤σ时，最大函数为f₁; 当γ≥σ时，最大函数为f₃。

情形2: 2δ＜σ。

如图 2所示，最大值由三个函数组成，即当0＜γ≤2δ时，最大函数为f₁; 当2δ≤γ≤2σ-2δ时，最大函数为f₂; 当γ≥2σ-2δ时，最大的函数为f₃。

现在，固定γ=max {2σ-2δ, σ}=2σ-min{2δ, σ}, 则由上述讨论易知，最大函数为f₃。由此可得

$ \begin{gather*} \iint_{0 \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant R^{2}} a(x, t)|u|^{q} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+ \\ \int_{0 \leqslant|x|^{2} \leqslant R^{2}} u_{1}+(-\Delta)^{\delta} u_{0} \mathrm{~d} x \leqslant \\ \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+ \\ \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(u_{1}+(-\Delta)^{\delta} u_{0}\right) \varphi_{R}(x, 0) \mathrm{d} x \leqslant \\ C \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(a(x, t) \varphi_{R}\right)^{-\frac{1}{q-1}} \times \\ \left(\left|\left(\varphi_{R}\right)_{t t}\right|+\left|(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)_{t}\right|+\right. \\ \left.\left|(-\Delta)^{\delta} \varphi_{R}\right|\right)^{q \prime} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t \leqslant C R^{N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}} 。\end{gather*} $

(25)

如果N≤min{2δ, σ}, 则由

$ \alpha+2 \sigma+\beta(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})>0 $

可知，(25)式右端的指数满足

$ \begin{gathered} N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}<N+2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\}+ \\ \frac{2 \sigma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}=N-\min \{2 \delta, \sigma\} \leqslant 0, \end{gathered} $

且取极限R→∞得到

$ \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+\int_{{\mathbf R}^{N}} u_{1}+(-\Delta)^{\delta} u_{0} \mathrm{~d} x \leqslant 0, $

这与条件(6)导致矛盾。

如果N＞min{2δ, σ}且严格不等式

$ q<1+\frac{\alpha+2 \sigma+\beta(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})}{N-\min \{2 \delta, \sigma\}} $

成立，则(25)式右端的指数

$ \begin{gathered} N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}= \\ \frac{(N-\min \{2 \delta, \sigma\}) q}{q-1}= \\ \frac{N+\alpha+(1+\beta)(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})}{q-1}<0, \end{gathered} $

且取极限R→∞得到

$ \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+\int_{{\mathbf R}^{N}} u_{1}+(-\Delta)^{\delta} u_{0} \mathrm{~d} x \leqslant 0, $

这与条件(6)导致矛盾。

如果N＞min{2δ, σ}且等式

$ q=1+\frac{\alpha+2 \sigma+\beta(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})}{N-\min \{2 \delta, \sigma\}} $

成立，则对不等式(25)取极限R→∞得到

$ \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+\int_{{\mathbf R}^{N}} u_{1}+(-\Delta)^{\delta} u_{0} \mathrm{~d} x<\infty, $

及

$ \begin{equation*} \iint_{R^{2} \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant 2 R^{2}} a(x, t)|u|^{q} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t \rightarrow 0 。\end{equation*} $

(26)

对不等式(13)的右端用指数为q和q′的Hölder不等式可得到

$ \begin{gather*} \iint_{R^{2} \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant 2 R^{2}}|u|\left(\left|\left(\varphi_{R}\right)_{t t}\right|+\left|(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)_{t}\right|+\right. \\ \left.\left|(-\Delta)^{\sigma} \varphi_{R}\right|\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} t \leqslant \\ \left(\iint_{R^{2} \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant 2 R^{2}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{q}} \times \\ \left(\iint_{R^{2} \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant 2 R^{2}}\left(a(x, t) \varphi_{R}\right)^{-\frac{1}{q-1}} \times\right. \\ \left.\left(\left|\left(\varphi_{R}\right)_{t t}\right|+\left|(-\Delta)^{\delta}\left(\varphi_{R}\right)_{t}\right|+\left|(-\Delta)^{\sigma} \varphi_{R}\right|\right)^{q \prime} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{q}} 。\end{gather*} $

(27)

将(27)式代入到(13)式的右端且利用不等式(25)可导出

$ \begin{gather*} \iint_{0 \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant R^{2}} a(x, t)|u|^{q} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+ \\ \int_{0 \leqslant|x|^{2} \leqslant R^{2}} u_{1}+(-\Delta)^{\delta} u_{0} \mathrm{~d} x \leqslant \\ \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+ \\ \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(u_{1}+(-\Delta)^{\delta} u_{0}\right) \varphi_{R}(x, 0) \mathrm{d} x \leqslant \\ \left(\iint_{R^{2} \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant 2 R^{2}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{q}} \times \\ \left(\iint_{R^{2} \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant 2 R^{2}}\left(a(x, t) \varphi_{R}\right)^{-\frac{1}{q-1}} \times\right. \\ C R^{\left(N+\gamma \frac{a+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}\right) \frac{1}{q}}\left(\iint_{R^{2} \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant 2 R^{2}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{q}} \leqslant \\ C R^{\left(N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}\right) \frac{1}{q}}\left(\iint_{R^{2} \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant 2 R^{2}} a(x, t)|u|^{q} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{q}} 。\end{gather*} $

(28)

由$ q=1+\frac{\alpha+2 \sigma+\beta(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})}{N-\min \{2 \delta, \sigma\}}$和(26)式, 对上式取极限R→∞得到

$ \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+\int_{{\mathbf R}^{N}} u_{1}+(-\Delta)^{\delta} u_{0} \mathrm{~d} x \leqslant 0, $

这与条件(6)相矛盾。

下面导出局部弱解的生命跨度估计。显然，对任意固定的满足条件(6)的f∈W^{2δ, 1}(R^N)和g∈L¹(R^N), 存在R₁＞0使得

$ \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(g+(-\Delta)^{\delta} f\right) \varphi_{R}(x, 0) \mathrm{d} x \geqslant c>0, \forall R \geqslant R_{1}, $

(29)

其中c为正常数。现在，假设u是 R^N× [0, T]上的局部弱解且T≥2R₁^γ, 并取$ R=\left(\frac{T}{2}\right)^{\frac{1}{\gamma}}$。

当满足条件(7)或(8)的次临界值时。类似于(25)式的推导过程，由假设u₀=εf, u₁=εg及(29)式推出

$ \begin{gathered} 0 \leqslant \iint_{0 \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant R^{2}} a(x, t)|u|^{q} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t \leqslant \\ C R^{N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}}-\varepsilon \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(g+(-\Delta)^{\delta} f\right) \varphi_{R}(x, 0) \mathrm{d} x \leqslant \\ C T^{\frac{N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}}{\gamma}}-c \varepsilon, \end{gathered} $

其中γ=2σ-min{2δ, σ}。由此可得，局部弱解的生命跨度估计为

$ T \leqslant C \varepsilon^{-\frac{\gamma}{2 \sigma q^{\prime}+(\alpha+\beta \gamma)\left(q^{\prime}-1\right)-N-\gamma}}, \gamma=2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\} 。$

当满足(8)式的临界值时，即

$ \begin{gathered} N>\min \{2 \delta, \sigma\}, \\ q=1+\frac{\alpha+2 \sigma+\beta(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})}{N-\min \{2 \delta, \sigma\}}, \end{gathered} $

由(28)式和φ_R^*的支集得到

$ \begin{gathered} \int_{0}^{T} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t+ \\ \int_{{\mathbf R}^{N}}\left(u_{1}+(-\Delta)^{\delta} u_{0}\right) \varphi_{R}(x, 0) \mathrm{d} x \leqslant \\ C R^{\left(N+\gamma \frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}\right) \frac{1}{q}}\left(\iint_{R^{2} \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant 2 R^{2}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{q}}= \\ C\left(\iint_{R^{2} \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant 2 R^{2}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{q}}= \\ C\left(\iint_{R^{2} \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant 2 R^{2}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R}^{*} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{q}}= \\ C\left(\int_{0}^{T} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R}^{*} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{q}}。\end{gathered} $

再由假设u₀=εf, u₁=εg及(29)式可得

$ \begin{gather*} c \varepsilon+\int_{0}^{T} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t \leqslant \\ C\left(\int_{0}^{T} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R}^{*} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{q}}, \quad \forall R \geqslant R_{1} 。\end{gather*} $

(30)

定义

$ Y(R):=\int_{0}^{R} y(r) r^{-1} \mathrm{~d} r, y(r):=\int_{0}^{T} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{r}^{*} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t 。$

(31)

则可得到

$ \begin{gather*}\int_{0}^{R} y(r) r^{-1} \mathrm{~d} r=\int_{0}^{R}\left(\int_{0}^{T} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R}^{*} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t\right) r^{-1} \mathrm{~d} r=\\ \int_{0}^{T} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \times \\ \left(\int_{0}^{R}\left[\xi^{*}\left(\frac{|x|^{2}+t^{2 / \gamma}}{r^{2}}\right)\right]^{2(\delta+\sigma+1) q^{\prime}} r^{-1} \mathrm{~d} r\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} t= \\ \int_{0}^{T} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \times \\ \left(\int_{\frac{\sqrt{|x|^{2}+t^{2 / \gamma}}}{R}}^{\infty}\left[\xi^{*}\left(s^{2}\right)\right]^{2(\delta+\sigma+1) q^{\prime}} s^{-1} \mathrm{~d} s\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} t 。\end{gather*} $

(32)

现在可断言如下不等式成立：

$ \begin{gather*} \int_{\theta}^{\infty}\left[\xi^{*}\left(s^{2}\right)\right]^{2(\delta+\sigma+1) q^{\prime}} s^{-1} \mathrm{~d} s \leqslant \\ \log 2\left[\xi\left(\theta^{2}\right)\right]^{2(\delta+\sigma+1) q^{\prime}}, \theta \geqslant 0 \text { 。} \end{gather*} $

(33)

事实上，如果$ \theta \geqslant \sqrt{2}$, 则

$ \int_{\theta}^{\infty}\left[\xi^{*}\left(s^{2}\right)\right]^{2(\delta+\sigma+1) q^{\prime}} s^{-1} \mathrm{~d} s=0 。$

如果0≤θ＜$ \sqrt{2}$, 则

$ \begin{gathered} \int_{\theta}^{\infty}\left[\xi^{*}\left(s^{2}\right)\right]^{2(\delta+\sigma+1) q^{\prime}} s^{-1} \mathrm{~d} s= \\ \int_{\max \{1, \theta\}}^{2}\left[\xi\left(s^{2}\right)\right]^{2(\delta+\sigma+1) q^{\prime}} s^{-1} \mathrm{~d} s \leqslant \\ {\left[\xi\left(\theta^{2}\right)\right]^{2(\delta+\sigma+1) q^{\prime}} \int_{1}^{2} s^{-1} \mathrm{~d} s=\log 2\left[\xi\left(\theta^{2}\right)\right]^{2(\delta+\sigma+1) q^{\prime}} 。} \end{gathered} $

结合(32)和(33)式并整理可得

$ \begin{gather*} Y(R)=\int_{0}^{T} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \times \\ \left(\int_{\frac{\sqrt{|x|^{2}+t^{2 / \gamma}}}{R}}^{\infty}\left[\xi^{*}\left(s^{2}\right)\right]^{2(\delta+\sigma+1) q^{\prime}} s^{-1} \mathrm{~d} s\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} t \leqslant \\ \log 2 \int_{0}^{T} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \varphi_{R} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t , \end{gather*} $

(34)

由(31)和(34)式，可将(30)式改写为

$ \begin{equation*} \left(c \varepsilon+\frac{Y(R)}{\log 2}\right)^{q} \leqslant C R Y^{\prime}(R), \quad \forall R \geqslant R_{1}, \end{equation*} $

(35)

且取

$ Y(R)=Z(\rho)=Z\left(\int_{0}^{R} r^{-1} \mathrm{~d} r\right), \forall R \geqslant R_{1} 。$

进而得到

$ \begin{equation*} Y^{\prime}(R)=Z^{\prime}(\rho) R \text { 。} \end{equation*} $

(36)

由(35)和(36)式可导出

$ \begin{array}{c} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \rho}(c \varepsilon \log 2+Z(\rho))^{1-q}=(1-q)(c \varepsilon \log 2+Z(\rho))^{-q} Z^{\prime}(\rho)=\\ (1-q)(c \varepsilon \log 2+Z(\rho))^{-q} R Y^{\prime}(R) \leqslant C(1-q)(\log 2)^{-q} 。\end{array} $

将上式对ρ在$ \left[\int_{0}^{R_{0}} r^{-1} \mathrm{~d} r, \int_{0}^{R} r^{-1} \mathrm{~d} r\right]$上积分可得

$ \begin{gathered} (c \varepsilon \log 2+Y(R))^{1-q}-\left(c \varepsilon \log 2+Y\left(R_{0}\right)\right)^{1-q} \leqslant \\ C(1-q)(\log 2)^{-q} \int_{R_{0}}^{R} r^{-1} \mathrm{~d} r。\end{gathered} $

进而可得

$ \begin{gathered} C(q-1)(\log 2)^{-1}\left(\log R-\log R_{0}\right) \leqslant \\ \left(c \varepsilon+\frac{Y\left(R_{0}\right)}{\log 2}\right)^{1-q} \leqslant(c \varepsilon)^{1-q} 。\end{gathered} $

由上式及假设$ R=\left(\frac{T}{2}\right)^{\frac{1}{\gamma}}$可得

$ \begin{gathered} T=2 R^{\gamma} \leqslant 2 \exp \left(\gamma\left(\log R_{0}+\frac{\log 2}{C(q-1)}(c \varepsilon)^{1-q}\right)\right) \leqslant \\ \exp \left(C \varepsilon^{-(q-1)}\right)。\end{gathered} $

注2  实际上，定理1中的假设σ≠0是有必要的。如果σ=0, 则定理1中的条件

$ \alpha+2 \sigma+\beta(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})>0 $

变为α＞0。这就说明α的取值范围变小。同时，注意到σ=0时，定理1的证明过程中(24)式右端三项指数全为负且其最大值为

$ N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}。$

但是，当α+βγ≤0时易知

$ N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1} \geqslant N+\gamma>0 \text {, } $

且不满足负的条件；当α+βγ＞0时，既然满足负指数条件，即

$ N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}<0 \Leftrightarrow 1<q<1+\frac{\alpha+\beta \gamma}{N+\gamma}, $

且类似于定理1的证明过程，临界情形$ q=1+\frac{\alpha+\beta \gamma}{N+\gamma}$也成立，因此q的范围为

$ 1<q \leqslant 1+\frac{\alpha+\beta \gamma}{N+\gamma}, $

但是上式中的参数γ, 取满足条件α+βγ＞0的任意正数都可，因此参数γ的值无法确定。特别是，若取β=$ \frac{\alpha}{N}$, 则上式可化简为

$ 1<q \leqslant 1+\frac{\alpha+\frac{\alpha \gamma}{N}}{N+\gamma}=1+\frac{\alpha\left(1+\frac{\gamma}{N}\right)}{N\left(1+\frac{\gamma}{N}\right)}=1+\frac{\alpha}{N}, $

这就说明参数γ不出现且与定理1的结果是重合的。

定理2的证明: 利用反证技巧，假设柯西问题(1)—(2)存在一个整体弱解。

由条件(9)知，存在常数R₂＞0使得

$ \begin{gather*} \int_{0 \leqslant|x|^{2} \leqslant R^{2}} u_{1}(x)+(-\Delta)^{\delta} u_{0}(x) \mathrm{d} x \geqslant \\ \varepsilon R^{N-\mu}, \quad \forall R \geqslant R_{2} 。\end{gather*}$

(37)

结合(37)和(25)式得到

$ \begin{gather*} \iint_{0 \leqslant|x|^{2}+t^{2 / \gamma} \leqslant R^{2}} a(x, t)|u|^{q} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t \leqslant \\ C R^{N+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}}-\varepsilon R^{N-\mu}= \\ R^{N-\mu}\left(C R^{\mu+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}}-\varepsilon\right), \quad \forall R \geqslant R_{2}, \end{gather*} $

(38)

其中γ=2σ-min{2δ, σ}。

如果μ≤min{2δ, σ}, 则由

$ \alpha+2 \sigma+\beta(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})>0 $

可以得到

$ \begin{gathered} \mu+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}<\mu+2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\}+ \\ \frac{2 \sigma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}=\mu-\min \{2 \delta, \sigma\} \leqslant 0。\end{gathered} $

对不等式(38)取极限R→∞得到

$ \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{\mathrm{N}}} a(x, t)|u|^{q} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t<0, $

这与a(x, t)|u|^q≥0相矛盾。

如果μ＞min{2δ, σ}且

$ q<1+\frac{\alpha+2 \sigma+\beta(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})}{\mu-\min \{2 \delta, \sigma\}}, $

则通过直接计算可得

$ \begin{gathered} \mu+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}=\frac{(\mu-\min \{2 \delta, \sigma\}) q}{q-1}- \\ \frac{\mu+\alpha+(1+\beta)(2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\})}{q-1}<0 。\end{gathered} $

对不等式(37)取极限R→∞得到

$ \int_{0}^{\infty} \int_{{\mathbf R}^{N}} a(x, t)|u|^{q} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t<0, $

这与a(x, t)|u|^q≥0导致矛盾。

下面导出局部弱解的生命跨度估计。假设u是 R^N× [0, T]上的局部弱解，T≥2R₂^γ, 则取$ R=\left(\frac{T}{2}\right)^{\frac{1}{\gamma}}$且类似于(38)式的推导过程可导出

$ \begin{array}{c} 0 \leqslant \int_{0}^{R^{\gamma}} \int_{B_{R}} a(x, t)|u|^{q} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} t \leqslant \\ R^{N-\mu}\left(C R^{\mu+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}}-\varepsilon\right)=T^{\frac{N-\mu}{\gamma}}\left(C T^{\frac{\mu+\gamma-\frac{\alpha+\beta \gamma}{q-1}-2 \sigma q^{\prime}}{\gamma}}-c \varepsilon\right), \end{array} $

其中γ=2σ-min{2δ, σ}。由此可得，局部弱解的生命跨度的上界估计值为

$ T \leqslant C \varepsilon^{-\frac{\gamma}{2 \sigma q^{\prime}+(\alpha+\beta \gamma)\left(q^{\prime}-1\right)-\mu-\gamma}}, \gamma=2 \sigma-\min \{2 \delta, \sigma\} 。$