1 引言和主要结果

1886年，Hölder^[1]研究了Euler gamma函数Γ的代数微分无关性问题，证明了对一切z∈C，有

$P\left(\Gamma(z), \Gamma^{\prime}(z), \cdots, \Gamma^{(n)}(z)\right) \equiv 0, $

式中：Γ是Euler gamma函数；P(w₀, w₁, …, w_n)表示所有系数a(z)为复数域中多项式的关于w₀, w₁, …, w_n的多变量非平凡多项式。后来，Bank和Kaufman^[2]证明了若上述P(w₀, w₁, …, w_n)的所有系数a(z)放宽为当| z | =r→∞时，Nevanlinna特征函数满足T(r, a)=o(T(r, Γ))的亚纯函数系数时，对一切z∈C，

$P\left(\Gamma(z), \Gamma^{\prime}(z), \cdots, \Gamma^{(n)}(z)\right) \equiv 0 $

也成立。1901年，Hilbert^[3]提出了23个著名问题，他在第18个问题中猜想：Riemann zeta函数ζ不满足任何系数为复数域中多项式的非平凡代数微分方程。1920年，Ostrowski^[4]证实了这个猜想，证明了Riemann zeta函数ζ不是任意给定的系数为复数域中多项式的非平凡代数微分方程的解。

我们知道Riemann zeta函数ζ与Euler gamma函数Γ满足下述函数方程^[5]：

$\zeta(1-s)=2^{1-s} \mathsf{π}^{-s} \cos \left(\frac{1}{2} \mathsf{π}s\right) \Gamma(s) \zeta(s) 。$

针对上述方程，人们自然提出下述问题：

问题1   是否存在1个非平凡代数微分方程使得Riemann zeta函数ζ和Euler gamma函数Γ满足该代数微分方程？

2007年，Markus^[6]研究了该问题，证明了Euler gamma函数Γ和复合函数ζ(sin(2πz))不满足任意给定的系数为Euler gamma函数Γ及其导函数的多项式的非平凡代数微分方程。Markus^[6]猜想：Riemann zeta函数ζ及其导函数和Euler gamma函数Γ及其导函数不满足非平凡代数微分方程，即对一切z∈C，有

$ P\left(\zeta, \zeta^{\prime}, \cdots, \zeta^{(m)}, \Gamma, \Gamma^{\prime}, \cdots, \Gamma^{(n)}\right)(z) \equiv 0, $

式中：m, n是2个非负整数；P(u₀, u₁, …, u_m, , v₀, v₁, …, v_n)是关于u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, …, v_n的系数是复数域中多项式的多变量多项式。问题1引起了国内外许多复分析专家和解析数论专家的广泛关注^[7-12]。

为了便于下面的叙述，我们首先介绍下述定义：

定义1^[10]   设L_δ表示包含零函数在内的所有单值函数f: C→C∪{∞}的集合，并且对任意f∈L_δ满足：存在Riemann zeta函数ζ的无限多个非平凡零点

$ z_n=\frac{1}{2}+\mathrm{i} y_n \in\left\{z \in \mathbf{C}: \operatorname{Re} z=\frac{1}{2}\right\}, n \in \mathbf{N}, $

使得{| f(z_n) |}有正的下界，并且当n→∞时，有$\left|f\left(z_n\right)\right| \cdot \mathrm{e}^{-\delta\left|y_n\right|}=o(1)$，其中δ是某个正数。

定义2^[10]   设I=(i₀, i₁, …, i_n)是1个多重指标，且记| I | =i₀+i₁+…+i_n。1个以u₀, u₁, …, u_n为变量，以某个函数集合S中的元素为系数函数的多变量多项式可以表示为

$ P\left(u_0, u_1, \cdots, u_n\right)=\sum\limits_{I \in \Lambda} a_I(z) u_0^{i_0} u_1^{i_1} \cdots u_n^{i_n}, $

式中：a_I∈S；I∈Λ，这里Λ是某个多重指标集。若对于2个判别的多重指标I_i, I_j∈Λ，有$\left|I_i\right| \neq\left|I_j\right|$，则称多项式P(u₀, u₁, …, u_n)是以S中的元素为系数函数，关于变量u₀, u₁, …, u_n的可分辨多项式，该多项式简称S-可分辨多项式。

2010年，Li和Ye^[8]研究了上述猜想，证明了定理1。

定理1^[8]   假设m是任意非负整数，P(u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, v₂)是关于u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, v₂的多变量多项式, 其系数是复数域中的多项式。若对一切z∈C，有

$ P\left(\zeta(z), \zeta^{\prime}(z), \cdots, \zeta^{(m)}(z), \Gamma(z), \Gamma^{\prime}(z), \Gamma^{\prime \prime}(z)\right) \equiv 0, $

则

$ P\left(u_0, u_1, \cdots, u_m, v_0, v_1, v_2\right) \equiv 0 \text { 。} $

2016年，Li和Ye^[10]进一步研究了上述猜想，证明了定理2。

定理2^[10]   设$P\left(z, u_0, u_1, \cdots, u_n, v\right)=\sum\limits_{k=0}^m P_k\left(z, u_0\right.$, u₁, …, u_n)v^k，其中P_k(z, u₀, u₁, …, u_n)是L_δ-可分辨多项式且不全为0，其中$0 \leqslant k \leqslant m, 0 < \delta < \frac{\mathsf{π}}{2}$，则对一切z∈C，有

$ P\left(z, \Gamma(z), \Gamma^{\prime}(z), \cdots, \Gamma^{(n)}(z), \zeta(z)\right) \equiv 0, $

其中P(z, u₀, u₁, …, u_n, v)是L_δ-可分辨多项式。

下面介绍本文用到的几个符号和定义：设n是非负整数，Λ是1个指标集，$\varLambda=\left\{\widetilde{\lambda} \mid \widetilde{\lambda}=\left(\lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_n\right)\right.$, 其中λ_i是非负整数，0≤i≤n}，$\varLambda_p=\{\widetilde{\lambda} \in \varLambda: |\widetilde{\lambda}|$=λ₀+λ₁+…+λ_n=p}，$\left|\widetilde{\lambda}^*\right|=\lambda_1+2 \lambda_2+\cdots+n \lambda_n, \widetilde{\lambda} \in$Λ，其中p是1个非负常数。

定义3^[12]   设k是1个非负整数，$\tilde{\lambda} \in \varLambda$是1个多重指标满足$|\widetilde{\lambda}|=k$。1个以v₀, v₁, …, v_n为变量的k次多项式P_k(u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, …, v_n)可以写成

$ \begin{aligned} & P_k\left(u_0, u_1, \cdots, u_m, v_0, v_1, \cdots, v_n\right)= \\ & \sum\limits_{\widetilde{\lambda} \in \Lambda_k} a_\widetilde{\lambda}\left(u_0, u_1, \cdots, u_m\right) v_0^{\lambda_0} v_1^{\lambda_1} \cdots v_n^{\lambda_n}, \end{aligned} $

其中系数$a_{\tilde{\lambda}}\left(u_0, u_1, \cdots, u_m\right)$是复数域中关于变量u₀, u₁, …, u_m的多项式。若对于两个判别的多重指标$\widetilde{\lambda_i}，\widetilde{\lambda_j} \in \varLambda_k$ 满足$\left|\widetilde{\lambda_i}\right|=\left|\widetilde{\lambda_j}\right|=k$ 且$\left|\widetilde{\lambda_i}{ }^*\right| \neq\left|\widetilde{\lambda_j}{ }^*\right|$，则称P_k(u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, …, v_n)是关于变量v₀, v₁, …, v_n的k次可分辨多项式。

最近，针对上述Markus猜想，Chen和Wang^[12]证明了定理3。

定理3^[12]   设P(u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, …, v_n)=$\sum\limits_{k=0}^N P_k\left(u_0, u_1, \cdots, u_m, v_0, v_1, \cdots, v_n\right)$，其中P_k(u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, …, v_n)是关于变量v₀, v₁, …, v_n的k次可分辨多项式且不全恒等于0，则对一切z∈C，有

$ P\left(\zeta, \zeta^{\prime}, \cdots, \zeta^{(m)}, \Gamma, \Gamma^{\prime}, \cdots, \Gamma^{(n)}\right)(z) \equiv 0。$

下面我们给出L-函数类$\tilde{S}$的定义。

定义4^[13]   我们记$\tilde{S}$表示满足下面5个公理的Dirichlet级数$L(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^s}$构成的集合，其中s=σ+it，a(1)=1：

(Ⅰ)对任意ε>0，a(n)$\ll n^{\varepsilon}$。

(Ⅱ)存在实数σ_L使得在半平面σ>(σ_L) (σ_L < 1)上，L(s)是解析连续的，L(s)的极点s=1除外。

(Ⅲ)存在1个常数μ_L≥0，使得对任意固定的σ>σ_L和任意的ε>0，有

$ L(\sigma+i t) \ll|t|^{\mu_L+\varepsilon}, |t| \rightarrow \infty \text { 。} $

(Ⅳ)存在正整数m和对任意的素数p，存在复数α_j(p)，其中1≤j≤m，使得

$ L(s)=\prod\limits_p \prod\limits_{j=1}^m\left(1-\frac{\alpha_j(p)}{p^s}\right)^{-1}, $

其中α_j(p)被称为p处的局部根。

(Ⅴ)存在正常数k，使得

$ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\pi(x)} \sum\limits_{p \leqslant x}|a(p)|^2=k, $

其中π(x)是小于x的素数的个数。

注1  由于ζ∈$\tilde{S}$，所以$\tilde{S}$是非空的。$\tilde{S}$还包含Dirichlet-L函数^[13]和Dedekind-ζ函数等^[13]。

针对上述Markus猜想，人们自然提出下述问题：

问题2   对于任意给定的L∈$\tilde{S}$和一切z∈C是否有

$ P\left(L, L^{\prime}, \cdots, L^{(m)}, \Gamma, \Gamma^{\prime}, \cdots, \Gamma^{(n)}\right)(z) \equiv 0, $

其中m, n是非负整数，P(u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, …, v_n)是关于变量u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, …, v_n的多变量非平凡多项式，其系数是复数域中的多项式？

本文将研究问题2，为了叙述本文要证明的定理，我们介绍下述定义：

定义5   设I=(i₀, i₁, …, i_n)是1个多重指标，且记 | I | =i₀+i₁+…+i_n。1个以v₀, v₁, …, v_n为变量的多项式P(u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, …, v_n)可以表示为

$ \begin{aligned} & P\left(u_0, u_1, \cdots, u_m, v_0, v_1, \cdots, v_n\right)= \\ & \sum\limits_{I \in \Lambda} a_I\left(u_0, u_1, \cdots, u_m\right) v_0^{i_0} v_1^{i_1} \cdots v_n^{i_n}, \end{aligned} $

式中：Λ是1个多重指标集；系数a_I(u₀, u₁, …, u_m)是复数域中关于变量u₀, u₁, …, u_m的多项式。若对于2个判别的多重指标I_i, I_j∈Λ，有| I_i | ≠ | I_j |，则称P(u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, …, v_n)是关于变量v₀, v₁, …, v_n的可分辨多项式。

本文研究了问题2, 证明了定理4。

定理4   设P(u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, …, v_n)是关于变量v₀, v₁, …, v_n的非平凡可分辨多项式，其系数是复数域中关于u₀, u₁, …, u_m的多项式。若对一切z∈C，有

$ P\left(L, L^{\prime}, \cdots, L^{(m)}, \Gamma, \Gamma^{\prime}, \cdots, \Gamma^{(n)}\right)(z) \equiv 0, $

其中L∈$\tilde{S}$，则

$ P\left(u_0, u_1, \cdots, u_m, v_0, v_1, \cdots, v_n\right) \equiv 0 \text { 。} $

由定理4可得推论1。

推论1   设P(u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, …, v_n)是关于v₀, v₁, …, v_n的非平凡可分辨多项式，其系数是复数域中关于u₀, u₁, …, u_m的多项式。如果对一切z∈C，有

$ P\left(\zeta, \zeta^{\prime}, \cdots, \zeta^{(m)}, \Gamma, \Gamma^{\prime}, \cdots, \Gamma^{(n)}\right)(z) \equiv 0, $

则

$ P\left(u_0, u_1, \cdots, u_m, v_0, v_1, \cdots, v_n\right) \equiv 0 \text { 。} $

2 几个引理

下面介绍证明本文的主要结果所用到的2个引理，它们来自文献[13]。

引理1^[13]   设$L \in \widetilde{S}, s=\sigma+i t, \sigma \in\left(\max \left\{\frac{1}{2}, 1-\frac{1}{d_L}\right\}\right)$是一个固定的常数，其中$d_L=\frac{1+2 \mu_L}{1-\sigma_L}, \sigma_L$ 和$\mu_L$是公理(Ⅱ)和(Ⅲ)中的数，则集合

$ \left\{\left(L(s), L^{\prime}(s), \cdots, L^{(n-1)}(s)\right): t \in \mathbf{R}\right\} $

在Cⁿ中处处稠密。

引理2^[13]   设$L \in \widetilde{S}, \hat{z}=\left(z_0, z_1, \cdots, z_{n-1}\right) \in \mathbf{C}^n$，并且$F_0(\hat{z}), F_1(\hat{z}), \cdots, F_n(\hat{z})$是不全恒为0的连续函数，则存在z∈C，使得

$ \sum\limits_{k=0}^N z^k F_k\left(L(z), L^{\prime}(z), \cdots, L^{(n-1)}(z)\right) \equiv 0 \text { 。} $

特别的，L∈$\tilde{S}$不满足任何代数微分方程。

3 定理4的证明

由于P(u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, …, v_n)是关于v₀, v₁, …, v_n的非平凡可分辨多项式，以下假设多重指标集中含有t+1个多重指标I₀, I₁, …, I_t，并假设t+1个指标按模递增的顺序排列，不妨设 | I₀ | < | I₁ | < … < | I_t |。于是P(u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, …, v_n)可表示成如下的形式：

$ \begin{gathered} P\left(u_0, u_1, \cdots, u_m, v_0, v_1, \cdots, v_n\right)= \\ \sum\limits_{j=0}^t a_{I_j}\left(u_0, u_1, \cdots, u_m\right) v_0^{i_{j, 0}} v_1^{i_{j, 1}} \cdots v_n^{i_{j, n}}= \\ a_{I_0}\left(u_0, u_1, \cdots, u_m\right) v_0^{i_{0, 0}} v_1^{i_{0, 1}} \cdots v_n^{i_{0, n}}+ \\ a_{I_1}\left(u_0, u_1, \cdots, u_m\right) v_0^{i_{1, 0}} v_1^{i_{1, 1}} \cdots v_n^{i_{1, n}}+\cdots+\\ a_{I_t}\left(u_0, u_1, \cdots, u_m\right) v_0^{i_{t, 0}} v_1^{i_{t, 1}} \cdots v_n^{i_{t, n}}, \end{gathered} $

(1)

其中I_j=(i_{j, 0}, i_{j, 1}, …, i_{j, n})，且对任意0≤j≤t，有$\left|I_j\right|=\sum\limits_{k=0}^n i_{j, k}$，而a_Ij(u₀, u₁, …, u_m)是复数域中关于u₀, u₁, …, u_m的多项式。以下假设L(z), L′(z), …, L^(m)(z)和Γ(z), Γ′(z), …, Γ⁽ⁿ⁾(z)满足

$ P\left(u_0, u_1, \cdots, u_m, v_0, v_1, \cdots, v_n\right) \equiv 0, $

那么对一切z∈C，有

$ \begin{gathered} P\left(L, L^{\prime}, \cdots, L^{(m)}, \Gamma, \Gamma^{\prime}, \cdots, \Gamma^{(n)}\right)(z)= \\ a_{I_0}\left(L(z), L^{\prime}(z), \cdots, L^{(m)}(z)\right) \times \\ \Gamma(z)^{i_{0, 0}}\left(\Gamma^{\prime}(z)\right)^{i_{0, 1}} \cdots\left(\Gamma^{(n)}(z)\right)^{i_{0, n}}+ \\ a_{I_1}\left(L(z), L^{\prime}(z), \cdots, L^{(m)}(z)\right) \times \\ \Gamma(z)^{i_{1, 0}}\left(\Gamma^{\prime}(z)\right)^{i_{1, 1}} \cdots\left(\Gamma^{(n)}(z)\right)^{i_{1, n}}+\cdots+ \\ a_{I_t}\left(L(z), L^{\prime}(z), \cdots, L^{(m)}(z)\right) \times \\ \Gamma(z)^{i_{t, 0}}\left(\Gamma^{\prime}(z)\right)^{i_{t, 1}} \cdots\left(\Gamma^{(n)}(z)\right)^{i_{t, n}} \equiv 0 。\end{gathered} $

(2)

下面证明：对任意0≤j≤t和z∈C，有

$ a_{I_j}\left(L(z), L^{\prime}(z), \cdots, L^{(m)}(z)\right) \equiv 0 \text { 。} $

(3)

由引理2可得a_Ij(u₀, u₁, …, u_m)≡0，因此P(u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, …, v_n)≡0，于是定理4结论成立。

为此，我们首先证明对一切z∈C，有

$ a_{I_0}\left(L(z), L^{\prime}(z), \cdots, L^{(m)}(z)\right) \equiv 0 \text { 。} $

事实上，若存在某个z_{0, I0}∈C，使得

$ a_{I_0}\left(L\left(z_{0, I_0}\right), L^{\prime}\left(z_{0, I_0}\right), \cdots, L^{(m)}\left(z_{0, I_0}\right)\right) \neq 0, $

(4)

则可得矛盾。

将(2)式中第一个等号右边的第一项移到第二个等号右边，两边再除以Γ^|I₀|(z)可得：

$ \begin{gathered} -a_{I_0}\left(L(z), L^{\prime}(z), \cdots, L^{(m)}(z)\right) \times \\ \left(\frac{\Gamma^{\prime}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{0, 1}}\left(\frac{\Gamma^{\prime \prime}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{0, 2}} \cdots\left(\frac{\Gamma^{(n)}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{0, n}}= \\ a_{I_1}\left(L(z), L^{\prime}(z), \cdots, L^{(m)}(z)\right) \times \\ \left(\frac{\Gamma^{\prime}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{1, 1}}\left(\frac{\Gamma^{\prime \prime}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{1, 2}} \cdots\left(\frac{\Gamma^{(n)}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{1, n}} \Gamma^{\left|I_1\right|-\left|I_0\right|}(z)+ \\ \cdots+a_{I_t}\left(L(z), L^{\prime}(z), \cdots, L^{(m)}(z)\right) \times \\ \left(\frac{\Gamma^{\prime}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{t, 1}}\left(\frac{\Gamma^{\prime \prime}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{t, 2}} \cdots\left(\frac{\Gamma^{(n)}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{t, n}} \Gamma^{\left|I_t\right|-\left|I_0\right|}(z) 。\end{gathered} $

(5)

假设a_I0(u₀, u₁, …, u_m)≡0，则由(4) 式和多项式a_I0(u₀, u₁, …, u_m)在C^m+1中的连续性可知，存在正数ε₀和C^m+1中的1个点

$ w_{I_0}=\left(L\left(z_{0, I_0}\right), L^{\prime}\left(z_{0, I_0}\right), \cdots, L^{(m)}\left(z_{0, I_0}\right)\right) $

的某邻域Ω_I0，使得

$ \left|a_{I_0}\left(u_0, u_1, \cdots, u_m\right)\right| \geqslant \varepsilon_0 $

(6)

对所有$u=\left(u_0, u_1, \cdots, u_m\right) \in \Omega_{I_o} \subset \mathbf{C}^{m+1}$一致成立。此外，对任意1≤j≤t，由于多项式a_Ij(u₀, u₁, …, u_m)在Ω_Io内一致有界，于是存在常数C₀>1，使得对一切u=(u₀, u₁, …, u_m)∈Ω_Io，有

$ \left|a_{I_j}\left(u_0, u_1, \cdots, u_m\right)\right| \leqslant C_0 \text { 。} $

(7)

由引理1可知，存在实数序列{y_l}，使得当l→∞时，有y_l→∞，并且$\left(L\left(z_l\right), L^{\prime}\left(z_l\right), \cdots, L^{(m)}\left(z_l\right)\right) \in \varOmega_{I_0}$，其中$z_l=\sigma+\mathrm{i} y_l, \sigma \in\left(\max \left\{\frac{1}{2}, 1-\frac{1}{d_L}\right\}, 1\right)$是一个固定的常数。于是，对充分大的正整数l，有

$ \left|a_{I_0}\left(L\left(z_l\right), L^{\prime}\left(z_l\right), \cdots, L^{(m)}\left(z_l\right)\right)\right| \geqslant \varepsilon_0, $

(8)

和

$ \left|a_{I_j}\left(L\left(z_l\right), L^{\prime}\left(z_l\right), \cdots, L^{(m)}\left(z_l\right)\right)\right| \leqslant C_0, 1 \leqslant j \leqslant t。$

(9)

下面在(5)—(9) 式的基础上导出矛盾。

首先，由Stirling公式^[14]可知：

对于固定的实数σ∈(－∞, +∞)，当y→±∞时，有

$ |\Gamma(\sigma+\mathrm{i} y)| \sim \sqrt{2 \mathsf{π}} \mathrm{e}^{-\frac{\mathsf{π}}{2}|y|}|y|^{\sigma-\frac{1}{2}} 。$

(10)

另外，由文献[10]可知：对∀ε>0，当z∈C\{z: argz－π≤ε}时有

$ \Gamma^{(q)}(z)=(1+o(1))(\log z)^q \Gamma(z) \text { 。} $

(11)

由(8)和(11) 式可知，当l→∞时，有

$ \begin{gathered} \left\lvert\, -a_{I_0}\left(L\left(z_l\right), L^{\prime}\left(z_l\right), \cdots, L^{(m)}\left(z_l\right)\right)\left(\frac{\Gamma^{\prime}\left(z_l\right)}{\Gamma\left(z_l\right)}\right)^{i_{0, 1}} \times\right. \\ \left.\left(\frac{\Gamma^{\prime \prime}\left(z_l\right)}{\Gamma\left(z_l\right)}\right)^{i_{0, 2}} \cdots\left(\frac{\Gamma^{(n)}\left(z_l\right)}{\Gamma\left(z_l\right)}\right)^{i_{0, n}} \right\rvert\, \geqslant \\ \varepsilon_0|1+o(1)|\left|\log z_l\right|^{\sum\limits_{k=1}^n k i_{0, k}} \rightarrow \infty。\end{gathered} $

(12)

另一方面，结合(9)—(11) 式可知：当l→∞时，对所有1≤j≤t，有

$ \begin{aligned} & \left\lvert\, a_{I_j}\left(L\left(z_l\right), L^{\prime}\left(z_l\right), \cdots, L^{(m)}\left(z_l\right)\right)\left(\frac{\Gamma^{\prime}\left(z_l\right)}{\Gamma\left(z_l\right)}\right)^{i_{j, 1}} \times\right. \\ & \left.\left(\frac{\Gamma^{\prime \prime}\left(z_l\right)}{\Gamma\left(z_l\right)}\right)^{i_{j, 2}} \cdots\left(\frac{\Gamma^{(n)}\left(z_l\right)}{\Gamma\left(z_l\right)}\right)^{i_{j, n}} \Gamma^{\left|I_j\right|-\left|I_0\right|}\left(z_l\right) \right\rvert\, \leqslant \\ & C_0|1+o(1)|\left|\log z_l\right|^{\sum\limits_{k=1}^n k i_{j, k}}(\sqrt{2 \mathsf{π}})^{\left(\left|I_j\right|-\left|I_0\right|\right)} \times \\ & \quad\left|y_l\right|^{\left(\sigma-\frac{1}{2}\right)\left(\left|I_j\right|-\left|I_0\right|\right)} \mathrm{e}^{-\frac{\mathsf{π}}{2}\left|y_l\right|\left(\left|I_j\right|-\left|I_0\right|\right)} \rightarrow 0 。\end{aligned} $

(13)

由(13) 式可知，当l→∞时，(5) 式右端趋于0。从而，当l→∞时, (5) 式左端

$ a_{I_0}\left(L\left(z_l\right), L^{\prime}\left(z_l\right), \cdots, L^{(m)}\left(z_l\right)\right) \rightarrow 0, $

(14)

这与(8) 式矛盾。于是，对一切z∈C，有a_I0(L(z), L′(z), …, L^(m)(z))≡0，这与引理2的结论矛盾，由此a_I0（u₀, u₁, …, u_m）≡0得证。因此，(5) 式变成

$ \begin{gathered} -a_{I_1}\left(L(z), L^{\prime}(z), \cdots, L^{(m)}(z)\right) \times \\ \left(\frac{\Gamma^{\prime}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{1, 1}}\left(\frac{\Gamma^{\prime \prime}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{1, 2}} \cdots\left(\frac{\Gamma^{(n)}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{1, n}}= \\ \quad a_{I_2}\left(L(z), L^{\prime}(z), \cdots, L^{(m)}(z)\right) \times\\ \left(\frac{\Gamma^{\prime}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{2, 1}}\left(\frac{\Gamma^{\prime \prime}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{2, 2}} \cdots\left(\frac{\Gamma^{(n)}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{2, n}} \Gamma^{\left|I_2\right|-\left|I_1\right|}(z)+ \\ \cdots+a_{I_t}\left(L(z), L^{\prime}(z), \cdots, L^{(m)}(z)\right) \times \\ \left(\frac{\Gamma^{\prime}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{t, 1}}\left(\frac{\Gamma^{\prime \prime}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{t, 2}} \cdots\left(\frac{\Gamma^{(n)}(z)}{\Gamma(z)}\right)^{i_{t, n}} \Gamma^{\left|I_t\right|-\left|I_1\right|}(z)。\end{gathered} $

(15)

类似的，假设存在z_{0, I1}∈C，使得a_I1(L(z_{0, I1}), L′(z_{0, I1}), …, L^(m)(z_{0, I1}))≠0，则类似于上述推导过程由(15) 式可得矛盾，于是对一切z∈C，有a_I1(L(z), L′(z), …, L^(m)(z))≡0，这也与引理2的结论矛盾，所以a_I1(u₀, u₁, …, u_m)≡0。

以下重复上述过程可得，对所有的0≤j≤t，有a_Ij(u₀, u₁, …, u_m)≡0，于是由(1) 式得P(u₀, u₁, …, u_m, v₀, v₁, …, v_n)≡0，定理4得证。