在对核电站的监督监测过程中, 气载流出物的分析是一项重要内容^[1]。因此, 在谱仪分析中, 空气样品中放射性核素浓度的计算十分重要。1993年出版了国标《空气中碘-131的取样与测定》(GB/T14584-93)(以下简称国标), 但这仅针对碘- 131一种放射性核素, 不能对空气中的其他放射性核素进行计算。为了对空气中多种放射性核素进行计算, 卫生部门于2000年制订行标《空气中放射性核素的γ能谱分析方法》(WS/T184 -99)(以下简称行标)。可以说行标中的公式是一个普适公式, 应能推导出国标中碘-131的计算方法, 但这两个标准之间却存在矛盾之处, 计算结果不一致。笔者对其进行分析, 通过合理假设, 利用微积分方法, 给出正确结果。

1 公式分析 1.1 国家标准计算公式的分析

(1)

式中:A:空气中碘-131的浓度, Bq/m³; Cs:计数时间内样品的净计数; η_col:收集效率; η_cou:计数效率; q_e:平均流量, m³/min; λ:碘-131的衰变常数, 5.987 ×10^-5 min^-1; t₁:取样时间, min; t₂:取样结束至计数开始之间经过的时间, min; t₃:计数时间, min。

由量纲分析知, 公式中左式为Bq/m³=计数/(s·m³), 而公式右式的量纲为:计数·min/m³, 明显公式两边量纲不一致, 说明该公式中的系数应是一个带量纲的系数, 但这一点国标中没有说明, 易引起误解。

1.2 行业标准计算公式的分析

行标中的公式是普适公式, 适用于空气中所有放射性核素的计算。由于行标使用的符号与国标中不一致, 为明了起见, 下式使用了与国标一致的符号系统。

(2)

式中:S_p:核素射线全能峰净计数率, cps¹³¹I; P:核素射线中某能量的分支比, 对于¹³¹I为0.812^[2]; V:采气总体积, m³; R₁ =1-e^-λt₁, λ放射性核素衰变常数, min^-1, t₁采样开始至结束时间, min, R₁即为采样时间衰变校正; R₂=1-e^-λt₂, t₂采样结束至测样开始时间, min, R₂即为存放时间衰变校正; R₃=1-e^-λt₃, t₃测样开始至结束时间, min, R₃即为测量时间衰变校正; 其余公式符号同式(1)。由量纲分析可知, 该公式两边量纲是一致的, 均为Bq/m³。

1.3 综合分析

对比两个公式, 有着相当大的区别, 式(1)是以气体采样平均流量为分母, 样品的净计数为分子, 式(2)以采样体积为分母。以样品净计数率为分子。从两个公式的形式来分析, 无法从式(2)推导出式(1)的常数项。参照其它国标中有关谱仪的计算公式^[2~5], 通常,

(3)

C为计数率, W为样品质量或体积等, 初步判断, 似乎国标中公式有误。但是, 行标中公式也值得商榷。当把公式(2)应用于长半衰期核素, 也即当λ趋近于0时, R₁和R₃的极限趋近于零, 从面导致式(2)趋近于无穷大。即对于长半衰期核素, 利用行标公式计算, 会得到一个接近于无穷大的结果, 这显然是不正确的。由以上分析可知, 这两个标准中的公式, 存在着相互矛盾之处。因此, 有必要将空气中放射性核素浓度的计算公式进行重新推导, 得出正确的结果, 防止错误使用, 是十分必要的。

2 公式推导 2.1 推导假设理想情况的假设, 有两点:

(1) 在采样时间内, 空气中某种放射性核素浓度恒定。这个假设是合理的, 实质是把空气环境看做一个无限大的污染源, 采样器与环境空气相比, 完全可以视为一个点。这样, 尽管采样器的抽滤使得局部某种放射性核素浓度有变化, 但此变化是可以忽略的;

(2) 含某种放射性核素的介质, 不管颗粒大小, 在空气中近似均匀分布。这个近似也是合理的, 与抽样时间相比, 可以认为放射性核素在此之前经历了一个较长时间的扩散过程, 最终形成了一个均匀分布。

2.2 采样结束时刻活度

由于上述假设, 得到如下微分方程:

(4)

N为t时刻在采样器中收集到的含放射性核素的介质粒子数; 在这公式里, 所有变量均取国际单位。λ的国际单位s^-1, q_e也取国际单位m³/s, 其余参数同式(1)。取国际单位制的原因是在推导过程中可省去单位变换带来的混乱。

此方程是一个可分离变量的微分方程^[6], 考虑到t=0时刻, 采样器中收集到的含放射性核素的介质料子数为0, 则解为:

(5)

则可以认为当采集了t₁(s)时间后, 采样器中某放射性核素的活度为:

(6)

2.3 样品存放后的活度

通常样品采集后, 不能立刻测量。这对于长半衰期的核素不会有影响, 但对于短半衰期核素, 例如碘-131核素, 半衰期只有8天左右, 因此必须对存放期间的活度衰变进行修正。设存放了t₂(单位为s)时间后才进行测量, 测开始进行测量时的活度为:

(7)

2.4 样品测量时的活度修正

对于短半衰期核, 测量期间样品的衰变不能忽略。则在测量的任意时刻, 谱仪上得到的微分计数为:

(8)

P为某放射性核素某能量的发射几率, 对于碘-131核素364.5keV射线, 其值为0.812^[2]; 则对式(8)的积分(测量总时间为t₃(s))即等于我们在谱仪特征峰中得到的计数。

(9)

由此得到空气中碘-131的浓度为:

(10)

在推导过程中, 均使用国际单位, 所以公式左方量纲为BQ/m³=计数/(S·m³), 公式右方量纲为:计数/(S·m³), 量纲是一致的在国标(GB/T14584-93)中, λ的单位min^-1, q_e的单位m³/min, 则进行单位转换后, 由式(10)可得结果:

(11)

其中常数60是分-秒转化的系数, 量纲为(s/min)。

式(1)中的系数应是一个带量纲的常数, 其形式为:

(12)

量纲为:(S·min)^-1

把碘-131的λ=5.987 ×10^-5min^-1和P=0.812代入式(12), 得到系数7.36 ×10^-11。考虑到不同资料中分枝比的误差, 这个结果与国标《空气中碘-131的取样与测定》(GB/T14584-93)中的结果是一致的。由式(10)和式(2)对比可知, R₁=(1-e^-λt₁)/λ, R₂=e^-λt₂, R₃=(1-e^-λt₃)/λ, 对于长半衰期核素, 当趋近于0时, R₂的极限为1, R和R₃的极限为0/0型^[7], 利用罗毕达法则计算分别为t₁和t₃, 则式(10)可转化为未进行衰变修正的公式:

(13)

这和长半衰期放射性核素的计算公式^[2~5]在形式上是一致的。

3 实际数据对比

下面给出一组模拟数据及计算结果, 见表 1。

由以上数据可知, 对于碘-131的计算, 使用国标公式与行标公式的计算相差10³量级, 这个差别将随着和t₁和t₃的变化而有改变。对于长半衰期核素的计算, 例如钍-232, 用笔者推导的公式的计算结果与没进行衰变修正的公式计算结果一致。而行标的计算结果高达1023量级, 这正是由于行标中R₁和R₃的修正不恰当造成的。

4 结论

由以上推导及验证可知, 行标中的公式, 对采样时间和测量时间的衰变修正是值得商榷的。国标公式针对碘-131的计算虽然正确, 但公式中的系数是一个带量纲的系数, 这在国标中没有说明, 易引起误解。希望在重新修订标准时, 一定要把各参数的意义讲解清楚, 才不致于让使用者混淆。