辐射损伤研究中某些效应指标与剂量的关系, 需要有相应的数学模型作定量描述。为了提高工作效率和研究水平, 本文介绍了用于描述辐射剂量与效应关系的12个数学模型, 并设计了计算机处理程序, 供从事放射毒理、辐射防护和剂量一效应研究方面的科技人员选用。

一 数学模型

辐射损伤随机效应危险度的获得, 多数是从高剂量高剤量率照射条件下, 根据剂量一效应模型外推而来的。就目前所知, 根据原子弹受害者、临床X线照射以及摄入大量核素人群的辐射流行病学调查, 以及大量动物实验资料, 辐射剂量一效应模型按不同LET, 不同剂量率大致可分以下几种模型^[1-3].

1 线性无域模型

这种模型多在高LET低剂量率照射时可出现, 其模型形式为:

(1)

式中, E为某效应指标值, D为吸收剂量(Gy), 下同; a, b为模型待定系数, 其量纲分别为Gy⁰和Gy^-1。当D=0时, E=a (本底值), E与D呈线性相关, 故可以线性外推。α粒子和中子辐射所致的剂量一效应关系可用此模型描述。

2 幂函数模型

该模型的表达式为

(2)

式中, a、b均为无量纲的待定系数。该模型在双对数坐标上绘图为一条直线, 当D=1时, E=a。

3 线性平方模型

低LET低剂量率照射时可能出现, 其模型形式为:

(3)

式中b, c为待定系数, 其量纲分别为Gy^-1和Gy^-2。当D=0时, E=0。低剂量时, 线性项起主导作用, 剂量较高时平方项起主导作用。Co-60γ线致人外周血淋巴细胞染色体畸变着丝点, 双十环发生率与剂量的关系, 可用该模型描述。

4 有截距的线性平方模型

低LET高剂量率照射时可出现, 模型表达式为:

(4)

该模型与线性平方模型类似, 只是在Y坐标轴上有一个截距(本底值)a。当D=0时, E=a, 例如, Co-60γ线致人外周血淋巴细胞染色体畸变研究中, 畸变细胞率或总畸变率与剂量的关系, 均可用该模型模拟。

5 指数模型

低LET高剂量率照射所致的剂量一效应关系, 可用该模型描述:

(5)

式中a、λ为待定参数。当D=0时; E=a, 即本底值, 当λ为负值时; 效应指标值随剂量的增加而降低; 当λ为正值时, 属相反.由λ值可计算效应值的半增剂量d_增或半减剂量d_减。d_增或d_减=0.693/λ

6 修正的指数模型

低LET高剂量率照射所致的剂量一效应关系, 也可用该模型描述:

(6)

式中a、b和λ为待定参数。当D=0, E=a+b, 此为本底值; 当λ为负值且D趋于无穷大时, 则E趋于a。由λ值亦可计算d_增或d_减。

7 S型(实际阈值)模型

低LET高剂量率照射时出现的效应遵循该模型, 其表达式为:

(7)

由该模型知, 在低剂量时, 线性项起主导作用, 效应与剂量呈线性相关; 高剂量时, 平方项起主导作用, 效应与剂量曲线陡直上升; 剂量再高时, 由于细胞死亡或失去分裂功能, 效应反而降低, 这时指数项exp (-λD)逐渐起重要作用, 致癌效应多属此模型。

8 实际阈值模型

低LET高剂量率照射时亦可用下述模型描述:

(8)

该模型与式(7)基本相同, 只是细胞死亡或失去分裂功能的由两项指数式确定。

9 凸向下模型

高LET高剂量率照射时可出现下列模型形式的效应

(9)

式中, b、c和λ均为待定系数, λ为随剂量D的增大而使效应降低的递减常数, 此式说明, 当照射剂量较低时其效应主要由剂量平方项贡献, 随着剂量的增高部分细胞被杀死, 损伤效应降低, 此时由指数项表现出来。

10 无阈值线性修正模型

该模型可用于描述低LET高剂量率照射时的剂量一效应曲线, 其式为:

(10)

由模型知, 在低剂量时, 线性项起主导作用, 效应与剂量呈线性相关, 呈无阈值型。由10式求极值, 可获得效应达到最大值时的剂量为:

(11)

过剂量Do后, 剂量再增高, 由于细胞死亡或失去分裂功能, 效应反而降低, 降低幅度由指数项exp(-λD)确定。

11 无阈值线性平方修正模型

该模型可用于描述低LET高剂量率照射时的剂量一效应曲线, 即:

(12)

该模型, 在低剂量时, 二次线性平方项起主导作用, 效应与剂量呈无阈型, 与上述模型类似。只是当剂量较高时, 由于细胞死亡或失去分裂功能, 效应有所降低, 用指数项exp (-λD)确定效应降低的份额。

12 Logistic S型模型, 其形式如下

(13)

式中, Emax、a和λ为待定参数。当剂量D→0时, E=Emax/(1+a); 当D→∞时, E=Emax。

除上述模型外还有一些其他模型, 也可用来描述辐射剂量效应的关系。例如, 文献^[4]列出的20个模型。在辐射剂量损伤效应研究中, 某些血液学指标或生化指标与照后时间的关系, 例如急性放射病血细胞时间动态变化表达式^[5-6]。

二 计算方法及程序设计 1 计算方法

上述辐射剂量一效应模型, 其计算方法, 均由计算机自动给出初值再采用阻尼最小二乘法进行迭代运算^[7], 要求迭代精度为5‰以下给出模型待定参数的解。模型初值的确定方法列在表 1中。

2 程序设计

根据上述模型和计算方法的要求, 具体设计并编制了计算机程序。该程序用BASIC语言编写并编译成目标文件, 配有汉字显示和输出, 可在IBM-PC/XT、AT及其兼容机上在25行中文系统下直接运行。工作过程如下:在中文系统下运行"JXMX.EXE"文件, 屏幕上显程序名称, 按任意键回车后, 按屏幕提示输入有关信息或数据, 输入结束, 屏幕上显示出数学模型供选择, 输入模型代码, 计算机即开始计算, 计算结果显示在屏幕上, 根据需可将屏幕显示结果打印下来。一次计算结束, 计算机回到数学模型菜单, 如果还耍用其他模型进行计算, 则重新输入模型代码, 计算机重复上述过程。若不计算, 则可退出程序。

三 应用及讨论

本实验室研究课题"⁶⁰Coγ线辐射体外诱发人胚肺细胞转化及形态计量学研究"工作中, 应用MIAS-300图象分析系统测试了人胚肺细胞在两种剂量率作用下, 转化细胞核的形态计量学参数(见表 2), 应用本文所介绍的数学模型及计算机程序, 分析各参数与照射剂量的关系及两种剂量率所致效应的差别。将表 2中数据输入计算机, 分别用表 1所列的1、4、6、7、10和11等6个模型作曲线拟合, 结果说明, 有截距平方项模型(即模型4)的拟合效果为最好。因此, 用该模型描述细胞核各参数与剂量的依赖关系, 即:

(14)

式中, E为细胞核形态计量学参数值, D为照射剂量(Gy), a, b和c为待定系数。各参数的拟合结果列在表 3。表中的R为参数与剂量的相关系数, Q为残差平方和, 用这两个参数反映曲线拟合的优度。从表中看出, 各参数与剂量的相关系数均在0.963以上, 呈正相关, 有显著的函数依赖关系, 且髙剂量率组的系数较低剂量率组的大, 联系到表 2所列数据经统计学处理, 除核浆比有2个剂量点组间无显著差异外, 其余各参数各剂量点组均值间都有非常显著的差异(P < 0.001)。表 3还列出了各参数值增大50%所需的剂量, 从中看出:高剂量率组(Ⅱ3.04Gy/min)的参数值增大50%所需的剂量比低剂量率组(Ⅰ 1.51Gy/min)大约低10%, 说明剂量率效应不可忽视。因此, 在做细胞的放射性生物学损伤研究时, 应考虑到剂量率的影响。