自动化学报  2018, Vol. 44 Issue (9): 1648-1661   PDF    
不完全量测下基于事件触发机制的面目标跟踪系统CRLB
石杰1,2, 李银伢1, 戚国庆1, 盛安冬1     
1. 南京理工大学自动化学院 南京 210094;
2. 南瑞集团有限公司(国网电力科学研究院有限公司) 南京 211000
摘要: 面目标跟踪系统状态估计问题中,附加的强非线性面目标扩展测量会增加系统的通信量和估计中心的计算量.为此,基于工程应用,提出一种不完全量测下的事件触发机制来控制面目标测量传输.从理论上推导了事件触发机制下面目标跟踪系统的理想(枚举)克拉美罗下界(Cramer-Rao lower bound,CRLB)和统计意义下的CRLB,该统计意义CRLB为理想CRLB的下界,计算复杂度远小于理想CRLB,便于工程应用.典型测试航路下的仿真结果表明:不完全量测下,面目标跟踪系统CRLB明显小于传统质点目标跟踪系统CRLB;同时,利用所提事件触发机制,可在大幅减少面目标跟踪系统通信量的同时保证系统的最优估计性能.
关键词: 不完全量测     面目标     事件触发机制     Cramer-Rao下界    
CRLB for the Event Triggered Area Target Tracking System With Intermittent Observations
SHI Jie1,2, LI Yin-Ya1, QI Guo-Qing1, SHENG An-Dong1     
1. School of Automation, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094;
2. NARI Group Corporation(State Grid Electric Power Research Institute), Nanjing 211000
Manuscript received : December 2, 2016, accepted: August 2, 2017.
Foundation Item: Supported by National Natural Science Foundation of China (61273076, 61773210, 61871221)
Author brief: SHI Jie Engineer at NARI Group Corporation of Nanjing. He received his Ph. D. degree from the School of Automation, Nanjing University of Science and Technology in 2017. His research interest covers information fusion and event-triggered estimation algorithm;
QI Guo-Qing Associate professor at the School of Automation, Nanjing University of Science and Technology. His main research interest is multisensor information fusion;
SHENG An-Dong Professor at the School of Automation, Nanjing University of Science and Technology. His research interest covers multi-source information fusion and the nonlinear estimation theory and its applications.
Corresponding author. LI Yin-Ya Associate professor at the School of Automation, Nanjing University of Science and Technology. His research interest covers nonlinear estimation theory and applications. Corresponding author of this paper.
Recommended by Associate Editor PAN Quan
Abstract: In area target tracking systems, communication cost and computational burden are increased by additional nonlinear extended area target measurements. Hence, based on practical engineering, an event triggered transmission mechanism with intermittent observations is proposed. We theoretically derive the ideal (enumeration) Cramer-Rao lower bound (CRLB) and the statistical CRLB of the event triggered area target tracking system. The proposed statistical CRLB, which can be readily implemented in practical applications, is a lower bound of the ideal CRLB. Finally, simulation experiments in typical test routes demonstrate that, with intermittent observations, the CRLB of the area target tracking system is significantly smaller than that of the traditional particle target tracking system. Moreover, by using the proposed event triggered transmission mechanism, the communication cost can be significantly reduced while the optimal estimation performance is slightly affected.
Key words: Intermittent observations     area target     event triggered mechanism     Cramer-Rao lower bound (CRLB)    

舰船目标跟踪在舰船对抗、海岸线防御、反恐等领域具有重要意义.传统雷达通常仅提供目标的方位和距离测量[1], 估计中心只能利用这些有限的测量信息进行目标航迹滤波.然而, 随着电子技术的发展, 将舰船目标建模为椭圆形面目标, 高分辨雷达除了得到传统质点位置测量以外, 还可以获得基于面目标的扩展测量.相关研究表明, 面目标的扩展测量信息可以被用于提高跟踪系统的估计精度[2-6].

在实际目标跟踪系统中, 探测雷达和估计中心一般分开部署, 并通过无线网络通信进行信息交互[7].在工程应用时, 较多的通信次数会增加通信资源的消耗[8], 同时, 考虑到面目标扩展测量与目标状态之间的强非线性[6], 强非线性测量的引入会使得估计中心的计算负荷增加.此外, 在现实战争环境下, 通信数据量的减小可降低探测单元被对方锁定的概率, 提高隐蔽性和保密性.因此, 在保证系统估计精度指标的前提下, 研究如何减少系统通信量问题受到了学者们的广泛关注[9-13].其中, 事件触发(Event triggered, ET)下的估计算法可以利用较少的通信资源实现要求的估计精度. 2012年, Battistelli等[9]研究了离散时间集中式传感器网络中测量数据和局部估计值的事件触发机制, 给出了相应的估计算法.之后, You等[10]分别研究了可控事件触发机制和不可控随机事件触发机制下的估计算法. Shi等[11]在完全量测条件下, 将未满足触发条件的数据等效为传输丢失的数据, 基于此得到Kalman滤波算法形式的事件触发估计器, 给出了通信频度期望的上下界.赵国荣等[12]针对带宽限制的无线传感器网络, 提出了一种基于数据驱动传输策略的带宽受限下分布式融合估计器.文献[13]综合分析了测量驱动、方差驱动、相关采样等事件触发策略下系统的估计性能和通信量, 为工程应用中事件触发策略的选择提供了参考. Yu等[14]研究了丢包及时延条件下主从多智能体系统的事件触发控制问题.文献[15]基于函数观测器设计了线性系统的事件触发控制器.

上述工作都是针对完全量测下基于事件触发机制的状态估计问题研究, 在实际目标跟踪中, 一个较为普遍的现象是在跟踪系统中存在测量数据随机丢失使得探测概率往往小于1[16-17].即由于障碍物遮挡、探测设备故障、高噪声环境等因素导致跟踪系统出现不完全量测现象.因此, 研究不完全量测条件下基于事件触发的跟踪系统估计性能问题更具有工程应用价值.为了避免采用不同滤波方法带来的影响, 引入在二阶误差性能指标意义下的估计误差方差克拉美罗下界(Cramer-Rao lower bound, CRLB)[18].在基于CRLB的跟踪系统估计性能研究中, Boers等[19]研究了不完全量测下跟踪系统枚举CRLB与信息缩减因子CRLB之间的关系. Zhong等[20]分析了完全量测条件下的面目标跟踪系统CRLB问题, 说明面目标扩展测量可用于提高跟踪系统估计性能. Anastasio等[21]分析了不完全量测下多基雷达跟踪系统的CRLB, 分别给出了只存在测距、存在测距和Doppler频率测量以及只存在Doppler频率测量三种条件下的CRLB.以上研究成果为进一步研究不完全量测下基于事件触发机制的面目标跟踪系统CRLB奠定了基础.

本文在不完全量测下面目标跟踪系统中引入事件触发传输机制, 从理论上分析了基于面目标跟踪系统的事件触发机制, 进而给出了事件触发机制下面目标跟踪系统的理想(枚举) CRLB与统计意义CRLB, 并比较了两者的关系.典型航路下的仿真实验结果表明:不完全量测下, 面目标跟踪系统CRLB明显小于传统质点目标跟踪系统CRLB; 在保证系统最优估计性能的前提下, 利用所提事件触发机制可显著降低面目标跟踪系统的通信量.

1 问题描述

不完全量测下面目标跟踪系统可描述为[6]

$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{x}}}_k =&\ F_k {\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k-1}+{\mathit{\boldsymbol{w}}}_{k-1}\\ {\mathit{\boldsymbol{z}}}_k =&\ \left[ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{z}}}_k^{{\rm{p}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{z}}}_k^{{\rm{e}}} \end{array} \right] =h_k({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k) + {\mathit{\boldsymbol{v}}}_k=\\ &\ \left[ \begin{array}{l} d_k^{{\rm{p}}} I&& 0\\ 0&& d_k^{{\rm{e}}} I \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} h_k^{{\rm{p}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)\\ h_k^{{\rm{e}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k) \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{v}}}_k^{{\rm{p}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{v}}}_k^{{\rm{e}}} \end{array} \right] \end{array} $ (1)

其中,

$ \begin{align} \begin{cases} h_k^{{\rm{p}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k) =[r_k\ \ \theta_k]^{{\rm{T}}}, ~~~h_k^{{\rm{e}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k) =[L(\phi_k)\ \ W(\phi_k)]^{{\rm{T}}} \\ r_k=\sqrt{x_k^2+y_k^2}, ~~~ \theta_k=\arctan\left(\dfrac{y_k}{x_k}\right)\\ \phi_k=\arctan \left(\dfrac{\dot{x}_k y_k-\dot{y}_k x_k}{\dot{x}_k x_k+\dot{y}_k y_k}\right)\\ L(\phi_k)=l_k \sqrt{\cos^2 \phi_k +\gamma_k^2\sin^2 \phi_k}\\ W(\phi_k)=l_k \sqrt{\sin^2 \phi_k +\gamma_k^2\cos^2 \phi_k}\\ {\mathit{\boldsymbol{v}}}_k^{{\rm{p}}}=[\tilde{r}_k\ \ \tilde{\theta}_k]^{{\rm{T}}}, ~~~{\mathit{\boldsymbol{v}}}_k^{{\rm{e}}}=[\tilde{L}(\phi_k)\ \ \tilde{W}(\phi_k)]^{{\rm{T}}} \end{cases} \end{align} $ (2)

式中, ${\mathit{\boldsymbol{x}}}_k\in {\boldsymbol{\rm{R}}}^{n}$$k$采样时刻的目标状态; $F_k\in {\boldsymbol{\rm{R}}}^{n \times n}$为状态转移矩阵; ${\mathit{\boldsymbol{w}}}_k\in {\boldsymbol{\rm{R}}}^{n}$为零均值, 方差为$Q_k$的高斯白噪声. $l_k$, $\gamma_k$分别为目标主轴长度及其长宽比, 即目标尺寸参数. $r_k$, $\theta_k$分别为目标的斜距离和方位角(传统测量)真实值; $L(\phi_k), W(\phi_k)$分别为面目标顺向距离和横向距离(面目标扩展测量)真实值. $\tilde{r}_k$, $\tilde{\theta}_k$$\tilde{L}(\phi_k)$, $\tilde{W}(\phi_k)$分别为相应测量误差, 为不相关零均值高斯白噪声序列. ${\mathit{\boldsymbol{v}}}_k^{{\rm{p}}}\in {\boldsymbol{\rm{R}}}^{2}$为零均值, 方差为$R_k^{{\rm{p}}}=\mathrm{diag}\{\sigma_r^2, \sigma_\theta^2\}$的高斯白噪声. ${\mathit{\boldsymbol{v}}}_k^{{\rm{e}}}$ $\in {\boldsymbol{\rm{R}}}^{2}$为零均值, 方差为${R}_k^{{\rm{e}}}=\mathrm{diag}\{\sigma_L^2, \sigma_W^2\}$的高斯白噪声.

图 1给出了面目标跟踪系统测量示意图.

图 1 面目标测量模型 Figure 1 Area target measurement model

$d_k^i$表示$k$采样时刻面目标跟踪系统测量通道$i$ $(i$ $= {\rm{p}}, {\rm{e}})$是否有测量数据, $d_k^{i}$服从Bernoulli分布, 其概率分布为$p\{d_k^i=1\}=\lambda_i$, $p\{d_k^i=0\}=1- \lambda_i$, 且$d_{k_1}^i$$d_{k_2}^j$ $(k_1\neq k_2$, $i, j={\rm{p}}, {\rm{e}})$之间相互独立.

参考文献[6], 在实际应用时, 对于非合作目标, 其尺寸参数$l_k, \gamma_k$可由机器视觉测量方法获取.令${\mathit{\boldsymbol{s}}}_k^{\rm{m}}$ $= [l_k^{\rm{m}}\ \ \gamma_k^{\rm{m}}]^{{\rm{T}}}$为测量值, ${\mathit{\boldsymbol{s}}}_k=[l_k\ \ \gamma_k]^{{\rm{T}}}$为真值, $ \tilde{\mathit{\boldsymbol{s}}}_k$ $=$ $[w_k^l\ \ w_k^\gamma]^{{\rm{T}}}$为测量误差, 其为零均值, 方差为$P_k^s=$ $\mathrm{diag}\{\sigma_l^2$, $\sigma_\gamma^2\}$的高斯白噪声向量.基于Taylor展开并忽略高次项, 则测量方程变换为

$ \begin{align} {\mathit{\boldsymbol{z}}}_k =\left[ \begin{array}{l} d_k^{{\rm{p}}} I&& 0\\ 0&& d_k^{{\rm{e}}} I \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} h_k^{{\rm{p}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)\\ h_k^{{\rm{e}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k, {\mathit{\boldsymbol{s}}}_k^{\rm{m}}) \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{v}}}_k^{{\rm{p}}}\\ \hat{{\mathit{\boldsymbol{v}}}}_k^{{\rm{e}}} \end{array} \right] \end{align} $ (3)

式中, $\hat{{\mathit{\boldsymbol{v}}}}_k^{{\rm{e}}}=\pmb v_k^{{\rm{e}}}-h_k^s\tilde{\mathit{\boldsymbol{s}}}_k+ \frac{1}{2}\sum\nolimits_{i=1}^{2}{\mathit{\boldsymbol{e}}}_i\tilde{\mathit{\boldsymbol{s}}}^{\rm T}_kh_{k, i}^{ss}\tilde{\mathit{\boldsymbol{s}}}_k$, 其均值${\mathit{\boldsymbol{\mu}}}_k^{{\rm{e}}}$以及方差$\hat{R}_k^{{\rm{e}}}$分别为

$ \begin{align} {\mathit{\boldsymbol{\mu}}}_k^{{\rm{e}}} =&\ \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{2} \pmb e_i \mathrm{tr} \left[h_{k, i}^{ss} P_k^{s}\right]\\ \hat{R}_k^{{\rm{e}}} =&\ R_{k}^{{\rm{e}}}\, +h_k^{s} P_k^{s} (h_k^s)^{{\rm{T}}}\, +\\ &\ \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{2}\sum\limits_{j=1}^{2} {\mathit{\boldsymbol{e}}}_i {\mathit{\boldsymbol{e}}}^{\rm T}_j \mathrm{tr}\left[h_{k, i}^{ss} P_k^{s} h_{k, j}^{ss} P_k^{s}\right] \end{align} $ (4)

其中, ${{\mathit{\boldsymbol{e}}}}_i$为第$i$个元素为1其余元素为0的二维向量, $h_k^s=[\nabla_{{\mathit{\boldsymbol{s}}}_k} [h_k^{{\rm{e}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k, {\mathit{\boldsymbol{s}}}_k)]^{{\rm{T}}}]^{{\rm{T}}}$为Jacobi矩阵, $h_{k, i}^{ss}$ $=$ $[\nabla_{{\mathit{\boldsymbol{s}}}_k} \nabla_{{\mathit{\boldsymbol{s}}}_k} h_{k, i}^{{\rm{e}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k, {\mathit{\boldsymbol{s}}}_k)]^{{\rm{T}}}$为Hessian矩阵.

不完全量测下数据探测情况$d_k^i$ $(i={\rm{p}}, {\rm{e}})$与测量噪声${\mathit{\boldsymbol{v}}}_k$满足

$ \begin{align} p\{{\mathit{\boldsymbol{v}}}_k| d_k^{{\rm{p}}}, d_k^{{\rm{e}}}\}\sim \begin{cases} {\rm N}\left({\mathit{\boldsymbol{\mu}}}_k, \mathrm{diag}\{R_k^{{\rm{p}}}, \hat{R}_k^{{\rm{e}}}\}\right), \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mbox{若} \ d_{k}^{{\rm{p}}}=1, ~d_{k}^{{\rm{e}}}=1 \\[1.5mm] {\rm N}\left(0, \mathrm{diag}\{R_k^{{\rm{p}}}, \sigma^2 I\}\right), \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mbox{若} \ d_{k}^{{\rm{p}}}=1, ~d_{k}^{{\rm{e}}}=0\\[1.5mm] {\rm N}\left({\mathit{\boldsymbol{\mu}}}_k, \mathrm{diag}\{\sigma^2 I, \hat{R}_k^{{\rm{e}}}\}\right), \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mbox{若} \ d_{k}^{{\rm{p}}}=0, ~d_{k}^{{\rm{e}}}=1\\[1.5mm] {\rm N}\left(0, \sigma^2 I \right), \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mbox{若} \ d_{k}^{{\rm{p}}}=0, ~d_{k}^{{\rm{e}}}=0 \end{cases} \end{align} $ (5)

其中, $I$为适维单位阵. ${\mathit{\boldsymbol{\mu}}}_k=[0_{2\times1}^{\rm{T}} \ \ ({\mathit{\boldsymbol{\mu}}}_k^{{\rm{e}}})^{{\rm{T}}}]^{{\rm{T}}}$.当跟踪系统测量数据丢失时, $\sigma^2 \rightarrow \infty$.

2 事件触发机制下的面目标跟踪系统CRLB 2.1 面目标跟踪系统的事件触发机制

以面目标跟踪系统测量信息核心数据发送协议为例, 相关协议内容如表 1所示.从协议中易知, 传统质点目标跟踪系统的数据通信量为4字节, 面目标跟踪系统的数据通信量为8字节.因此, 与传统质点目标跟踪系统相比, 面目标跟踪系统大幅增加了系统的通信量.这对面目标跟踪系统的通信能力以及实时性提出了较高的要求.为此, 本节探索一种基于事件触发机制的面目标跟踪系统, 即在保证系统最优估计性能的前提下显著减少系统的通信量, 同时也提高了跟踪系统的实时性.

表 1 面目标跟踪系统测量信息核心数据发送协议 Table 1 The core data transmission protocol of the area target tracking system

$k$采样时刻高分辨率雷达测量为${\mathit{\boldsymbol{z}}}_k$, 对传统测量${\mathit{\boldsymbol{z}}}_k^{{\rm{p}}}$和面目标扩展测量${\mathit{\boldsymbol{z}}}_k^{{\rm{e}}}$是否发送到估计中心分别设置触发条件进行判断.利用二元变量$l_k^i$ $(i={\rm p}$, ${\rm e})$表示测量分量是否发送到估计中心.当$l_k^i=1$时, 表示发送测量, 反之, 不发送.对应的测量触发机制为

$ \begin{align} l_k^i=\begin{cases} \begin{cases} 0,&\mbox{若} \ G_i ({\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k)\in \Psi_{M_k^i, \delta_i}\\ 1,&\mbox{若} \ G_i ({\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k)\notin \Psi_{M_k^i, \delta_i}\\ \end{cases}, &d_k^i=1\\ 0,&d_k^i=0 \end{cases} \end{align} $ (6)

其中, $\Psi_{M_k^i, \delta_i}= \{ {\mathit{\boldsymbol{\varsigma}}}|{\mathit{\boldsymbol{\varsigma}}}^{{\rm{T}}}M_k^i{\mathit{\boldsymbol{\varsigma}}}\leq \delta_i\}$为一向量集合. $G_{\rm{p}}$ $=$ $\mathrm{diag}\{I_{2\times 2}, 0_{2 \times 2}\}$, $G_{\rm{e}}=\mathrm{diag}\{0_{2 \times 2}, I_{2\times 2}\}$. $M_k^i$为待设计矩阵, $\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k$为待设计向量. $\delta_i$为可调整的触发阈值.

定义触发频度$\alpha_i={P}\{l_k^i=1\}$, 则有[9]

$ {P}\{l_k^i=0\}=\int_{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k+\Psi_{M_k^i, \delta_i}} p_{{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k}({\mathit{\boldsymbol{\zeta}}}){\rm d} {\mathit{\boldsymbol{\zeta}}}=1-\alpha_i $ (7)

式中, $p_{{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k}({\mathit{\boldsymbol{\zeta}}})$${\mathit{\boldsymbol{z}}}_k$的先验概率密度函数.

注 1.  借鉴文献[9]提出的方法设计向量$\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k$和矩阵$M_k^i$:令${\mathit{\boldsymbol{z}}}^k=\{{\mathit{\boldsymbol{z}}}_j, j=1, 2, \cdots, k\}$, 则向量$\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k$和矩阵$M_k^i$

$ \begin{align*} \begin{cases} \tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k={\rm{E}}\left[{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k|\pmb z^{k-1}\right]\\ (M_k^i)^{-1}=G_i\dfrac{{\rm{E}}\left [({\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k)({\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k)^{\rm{T}}|{\mathit{\boldsymbol{z}}}^{k-1} \right ]}{\mathrm{tr}\left \{{\rm{E}}\left [({\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k)({\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k)^{\rm{T}}|{\mathit{\boldsymbol{z}}}^{k-1}\right ]\right\}} \end{cases} \end{align*} $

定理 1.  考虑不完全量测下面目标跟踪系统(1)以及事件触发机制(6). $k$采样时刻, 有测量${\mathit{\boldsymbol{z}}}_k^{i}$未发送至估计中心时, 可相当于测量${\mathit{\boldsymbol{y}}}_k$发送至估计中心.

$ \begin{align} {\mathit{\boldsymbol{y}}}_k =&\ D_k\left [{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-( {I}-S_k){\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_k\right ]=\\ &\ D_k\left [ h_k ({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)+ {\mathit{\boldsymbol{v}}}_k-( {I}-S_k){\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_k\right ] \end{align} $ (8)

其中, $ D_k=\mathrm{diag}\{d_k^{{\rm{p}}} {I}, d_k^{{\rm{e}}} {I}\}$, $S_k= \mathrm{diag}\{l_k^{{\rm{p}}} {I}$, $l_k^{{\rm{e}}}{I}\} $, ${\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_k $在集合$\Psi_{M_k^i, \delta_i}$中满足均匀分布, 且与${\mathit{\boldsymbol{x}}}_k$, ${\mathit{\boldsymbol{v}}}_k$不相关.

证明.  首先考虑完全量测条件下的事件触发机制, $k$采样时刻有$d_k^{{\rm{p}}}=d_k^{{\rm{e}}}=1$, 则有

$ {\mathit{\boldsymbol{y}}}_k=h_k ({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)+ {\mathit{\boldsymbol{v}}}_k-(I-S_k){\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_k $ (9)

假设测量${\mathit{\boldsymbol{z}}}_k^{i}$未发送至估计中心, 则可根据Bayes公式得到目标状态的后验概率密度函数

$ \begin{align} &p_{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_k|l_k^i}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k|0) \propto \\ &\qquad \int_{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k+\Psi_{M_k^i, \delta_i}}p_{{\mathit{\boldsymbol{v}}}_k} \left[{\mathit{\boldsymbol{\zeta}}}-h_k({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)\right]{\rm d} {\mathit{\boldsymbol{\zeta}}} p_{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_k} ({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k) \end{align} $ (10)

式中, $ p_{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_k|l_k^i}(\cdot|\cdot)$为条件概率密度函数, $p_{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_k}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)$为目标状态${\mathit{\boldsymbol{x}}}_k$的先验概率密度分布.

${\mathit{\boldsymbol{\beta}}}_k={\mathit{\boldsymbol{v}}}_k$, ${\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k=(I-S_k){\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_k$, 考虑到${\mathit{\boldsymbol{\beta}}}_k$, ${\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k$均为$m=4$维独立随机向量, 进一步可得

$ \begin{align} p_{{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}_k-{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k}({\mathit{\boldsymbol{\beta}}}_k) =&\, \int_{{\boldsymbol{\rm{R}}}^{m}}p_{{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k}({\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k)p_{{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}_k}({\mathit{\boldsymbol{\beta}}}_k+{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k) {\rm{d}} {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k\propto \\ &\, \int_{\Psi_{M_k^i, \delta_i}} p_{{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}_k}({\mathit{\boldsymbol{\beta}}}_k+{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k) {\rm{d}} {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k \end{align} $ (11)

根据式(9)和式(11), 得

$ \begin{align*} &p_{{\mathit{\boldsymbol{y}}}_k|{\mathit{\boldsymbol{x}}}_k}({\mathit{\boldsymbol{y}}}_k|{\mathit{\boldsymbol{x}}}_k) =p_{{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}_k-{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k}\left [{\mathit{\boldsymbol{y}}}_k-h_k({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)\right ]\propto \\ &\qquad \int_{\Psi_{M_k^i, \delta_i}} p_{{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}_k}\left [{\mathit{\boldsymbol{y}}}_k-h_k({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)+{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k\right ] {\rm d} {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k \end{align*} $

由Bayes公式可得

$ \begin{align*} &p_{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_k|{\mathit{\boldsymbol{y}}}_k}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k|{\mathit{\boldsymbol{y}}}_k)\propto\\ &\qquad \int_{\Psi_{M_k^i, \delta_i}} p_{{\mathit{\boldsymbol{\beta}}}_k}\left[{\mathit{\boldsymbol{y}}}_k-h_k({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)+{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k\right] {\rm d}{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k p_{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_k} ({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k) \end{align*} $

根据式(10), 并令${\mathit{\boldsymbol{\zeta}}}={\mathit{\boldsymbol{y}}}_k+{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k$, 可得

$ p_{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_k|l_k^i}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k|0)=p_{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_k|{\mathit{\boldsymbol{y}}}_k}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k|{\mathit{\boldsymbol{y}}}_k) $ (12)

由式(12)可知, 当测量${\mathit{\boldsymbol{z}}}_k^{i}$未发送至估计中心时, 相当于测量${\mathit{\boldsymbol{y}}}_k={\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-({I}-S_k){\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_k$发送至估计中心.

进一步, 考虑面目标跟踪系统的不完全量测现象.由式(6)可知, 当$d_k^i=0$时, 意味着测量分量丢失, 即不发送任何数据至估计中心, 等价于${\mathit{\boldsymbol{y}}}_k=$$ D_k [{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-(I-S_k){\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_k ]$发送至估计中心, 其中, $D_k=$ $\mathrm{diag}\{d_k^{\rm{p}} {I}$, $d_k^{\rm{e}} {I}\}$.

不失一般性, 考虑到${\mathit{\boldsymbol{\xi}}}_k$在集合$\Psi_{M_k^i, \delta_i}$中满足均匀分布.在不完全量测下, 等价测量${\mathit{\boldsymbol{y}}}_k$的测量噪声协方差为

$ \begin{align} &{\rm{E}}\left[({\mathit{\boldsymbol{\beta}}}_k-{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k) ({\mathit{\boldsymbol{\beta}}}_k-{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k)^{\rm{T}}\right ]=\\ &\qquad {\rm{E}}\left({\mathit{\boldsymbol{\beta}}}_k {\mathit{\boldsymbol{\beta}}}_k^{\rm{T}}\right)+{\rm{E}} \left({\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}}_k^{\rm{T}}\right)=\\ &\qquad D_kR_k+(I-S_k)\frac{\delta_i}{4}(M_k^i)^{-1}+(I-D_k)\sigma^2I \end{align} $ (13)

其中, $R_k=\mathrm{diag}\{R_k^{{\rm{p}}}, \hat{R}_k^{{\rm{e}}}\}$.

2.2 事件触发机制下的面目标跟踪系统CRLB

$k$采样时刻面目标跟踪系统的测量集为${\mathit{\boldsymbol{z}}}^k=$ $\{{\mathit{\boldsymbol{z}}}_i^{{\rm{p}}}$, ${\mathit{\boldsymbol{z}}}_i^{{\rm{e}}}\}_{i=1}^k$.目标状态${\mathit{\boldsymbol{x}}}_k$的无偏估计为$\hat{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{k|k}$, 其协方差矩阵为$P_{k|k}$, 该矩阵的下界记为CRLB, 满足

$ P_{k|k}={\rm{E}}\left[(\hat{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{k|k}-{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k})(\hat{{\mathit{\boldsymbol{x}}}}_{k|k}-{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k})^{{\rm{T}}}\right] \geq J_k^{-1} $ (14)

其中, $J_k$为Fisher信息矩阵(Fisher information matrix, FIM), 其迭代公式为[18]

$ J_k=D_k^{22}-D_k^{21}\left(J_{k-1}\, +D_k^{11}\right )^{-1} D_k^{12} $ (15)

式中,

$ \begin{align} D_k^{11} =&\ {\rm{E}}\Big[-\Delta_{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k-1}}^{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k-1}} \ln p ({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k|{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k-1})\Big]\\ D_k^{12} =&\ {\rm{E}}\Big[-\Delta_{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k-1}}^{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k}} \ln p ({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k|{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k-1})\Big]\\ D_k^{21} =&\ {\rm{E}}\Big[-\Delta_{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k}}^{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k-1}} \ln p ({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k|{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k-1})\Big]\\ D_k^{22} =&\ {\rm{E}}\Big[-\Delta_{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k}}^{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k}} \ln p ({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k|{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k-1})\Big]\, +\\ &\ {\rm{E}}\Big[-\Delta_{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_k}^{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_k} \ln p ({\mathit{\boldsymbol{z}}}_k|{\mathit{\boldsymbol{x}}}_k, d_k^{{\rm{p}}}, d_k^{{\rm{e}}}, l_k^{{\rm{p}}}, l_k^{{\rm{e}}})\Big] \end{align} $ (16)

其中, $\Delta_{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k-1}}^{{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k}}(\cdot)$表示向量值函数$(\cdot)$先对向量${\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k-1}$求偏导, 再对${\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k}$求偏导.

考虑到目标初始运动状态以及系统噪声均服从高斯分布, 则可得

$ \begin{align} & - \ln p ({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k|{\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k-1})=\\ &\ \ \ \ c_1+\frac{1}{2}\left ({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k-F_k {\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k-1}\right )^{{\rm{T}}} Q_{k-1}^{-1} \left({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k-F_k {\mathit{\boldsymbol{x}}}_{k-1}\right)-\\ &\ \ \ \ \ln p \left({\mathit{\boldsymbol{z}}}_k|{\mathit{\boldsymbol{x}}}_k, d_k^{{\rm{p}}}, d_k^{{\rm{e}}}, l_k^{{\rm{p}}}, l_k^{{\rm{e}}}\right )=\\ &\ \ \ \begin{cases} c_2 +\frac{1}{2}\left[{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-h_k({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)-{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}_k\right]^ {{\rm{T}}}\left(R_k^{1}\right)^{-1}\times\\ \quad \left[{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-h_k({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)-{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}_k\right ], \qquad\, \mbox{若} \ d_k^{{\rm{p}}}=1, ~d_k^{{\rm{e}}}=1\\ c_3 +\frac{1}{2}\left[{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-h_k({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)\right]^{{\rm{T}}}\left(R_k^{2}\right)^{-1}\left[{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-h_k({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)\right], \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \mbox{若}\ d_k^{{\rm{p}}}=1, ~d_k^{{\rm{e}}}=0 \\ c_4 +\frac{1}{2}\left[{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-h_k({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)-{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}_k\right]^ {{\rm{T}}}\left(R_k^{3}\right)^{-1}\times\\ \quad \left[{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-h_k({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)-{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}_k\right], \qquad\, \mbox{若}\ d_k^{{\rm{p}}}=0, ~d_k^{{\rm{e}}}=1\\ c_5 +\frac{1}{2}\left[{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-h_k({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)\right]^{{\rm{T}}}\left(R_k^{4}\right)^{-1}\left[{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-h_k({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)\right], \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \mbox{若}\ d_k^{{\rm{p}}}=0, ~d_k^{{\rm{e}}}=0 \end{cases} \end{align} $ (17)

其中, $c_1$ $\sim$ $c_5$为常数, $I$为适维单位阵, ${\mathit{\boldsymbol{\mu}}}_k=[0_{2\times1}^{\rm{T}}$ $({\mathit{\boldsymbol{\mu}}}_k^{{\rm{e}}})^{{\rm{T}}}]^{{\rm{T}}}$

$ \begin{align*} &R_k^1=\left[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &R_k^{{\rm{p}}}+(1-l_k^{{\rm{p}}})\frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4}\big(M_k^{{\rm{p}}}\big)^{-1} \ \ \ \ \ 0 \\ &0 \ \ \ \ \ \ \hat{R}_k^{{\rm{e}}}+(1-l_k^{{\rm{e}}})\frac{\delta_{{\rm{e}}}}{4}\big(M_k^{{\rm{e}}}\big)^{-1} \end{aligned} \end{array} \right]\\ &R_k^2=\left[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &R_k^{{\rm{p}}}+(1-l_k^{{\rm{p}}})\frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4}\big(M_k^{{\rm{p}}}\big)^{-1} \ \ \ \ \ 0 \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sigma^2 I \end{aligned} \end{array} \right]\\ &R_k^3=\left[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &\sigma^2 I \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \\ &0 \ \ \ \ \ \ \hat{R}_k^{{\rm{e}}}\, +(1-l_k^{{\rm{e}}})\frac{\delta_{{\rm{e}}}}{4}\big(M_k^{{\rm{e}}}\big)^{-1} \end{aligned} \end{array} \right]\\ &R_k^4=\sigma^2 I \end{align*} $

式(17)可简化为

$ \begin{align*} &- \ln p ({\mathit{\boldsymbol{z}}}_k|{\mathit{\boldsymbol{x}}}_k, d_k^{{\rm{p}}}, d_k^{{\rm{e}}}, l_k^{{\rm{p}}}, l_k^{{\rm{e}}})=\\ & \qquad c_6(d_k^{{\rm{p}}}, d_k^{{\rm{e}}}, l_k^{{\rm{p}}}, l_k^{{\rm{e}}})+\frac{1}{2}\left[{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-h_k({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)-d_k^{{\rm{e}}}{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}_k\right]^{{\rm{T}}}\times\\ & \qquad R_k^{-1} \left[{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-h_k({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)-d_k^{{\rm{e}}}{\mathit{\boldsymbol{\mu}}}_k\right] \end{align*} $

其中,

$ \begin{align*} &R_k^{-1}=\\ &\ \ \Big \{d_k^{{\rm{p}}} d_k^{{\rm{e}}} \mathrm{diag} \big \{R_k^{{\rm{p}}}+(1-l_k^{{\rm{p}}}) \frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4}(M_k^{{\rm{p}}})^{-1}, \hat{R}_k^{{\rm{e}}}\, +\\ & \ \ (1-l_k^{{\rm{e}}})\frac{\delta_{{\rm{e}}}}{4}(M_k^ {{\rm{e}}})^{-1}\big \}+d_k^{{\rm{p}}}(1-d_k^{{\rm{e}}}) \mathrm{diag}\big\{R_k^{{\rm{p}}}\, +\\ &\ \ (1-l_k^{{\rm{p}}})\frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4} (M_k^{{\rm{p}}})^{-1}, \sigma^2 I\big\}+(1-d_k^{{\rm{p}}}) d_k^{{\rm{e}}}\, \times\\ &\ \ \mathrm{diag}\big\{\sigma^2 I, \hat{R}_k^{{\rm{e}}} +(1-l_k^{{\rm{e}}})\frac{\delta_{{\rm{e}}}}{4}(M_k^{{\rm{e}}})^{-1}\big\}+(1-d_k^{{\rm{p}}})\, \times\\ &\ \ (1-d_k^{{\rm{e}}})\sigma^2 I \Big \}^{-1} \end{align*} $

$c_6(d_k^{{\rm{p}}}, d_k^{{\rm{e}}}, l_k^{{\rm{p}}}, l_k^{{\rm{e}}})$为随$d_k^{{\rm{p}}}$, $d_k^{{\rm{e}}}$, $l_k^{{\rm{p}}}$, $l_k^{{\rm{e}}}$的取值而变化的常数, 且$\sigma^{2} \rightarrow \infty $.

综上, 式(16)中各项的取值分别为

$ \begin{align} D_k^{11} =&\ F_k^{{\rm{T}}} Q_{k-1}^{-1} F_k \\ D_k^{12} =& -F_k^{{\rm{T}}} Q_{k-1}^{-1} \\ D_k^{21} =& - Q_{k-1}^{-1} F_k\\ D_k^{22} =&\ Q_{k-1}^{-1}+\lim\limits_{\sigma^2\rightarrow \infty}{\rm{E}}(H_k^{{\rm{T}}}R_k^{-1}H_k)=\\ &\ Q_{k-1}^{-1}+ d_k^{{\rm{p}}} d_k^{{\rm{e}}} {\rm{E}} \Big\{ \big[(H_k^{{\rm{p}}})^{{\rm{T}}} \ \ (H_k^{{\rm{e}}})^{{\rm{T}}}\big]\, \times\\ &\ (R_k^{{\rm{p}}, {\rm{e}}})^{-1}\big[(H_k^{{\rm{p}}})^{{\rm{T}}}\ \ (H_k^{{\rm{e}}})^{{\rm{T}}}\big ]^{{\rm{T}}}\Big\}\, +\\ &\ d_k^{{\rm{p}}} (1-d_k^{{\rm{e}}}) {\rm{E}} \big[(H_k^{{\rm{p}}})^{{\rm{T}}}(\bar{R}_k^{{\rm{p}}})^{-1} H_k^{{\rm{p}}}\big] \, +\\ &\ (1-d_k^{{\rm{p}}}) d_k^{{\rm{e}}} {\rm{E}}\big[(H_k^{{\rm{e}}})^{{\rm{T}}}(\bar{R}_k^{{\rm{e}}})^{-1} H_k^{{\rm{e}}}\big] \end{align} $ (18)

其中,

$ \begin{align*} &H_k^{{\rm{p}}}=\left[\frac{\partial\big [h_k^{{\rm{p}}} ({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)\big ]^{{\rm{T}}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{x}}}_k}\right]^{{\rm{T}}} \\& H_k^{{\rm{e}}}=\left[\frac{\partial\big [h_k^{{\rm{e}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)\big]^{{\rm{T}}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{x}}}_k}\right]^{{\rm{T}}}\\ &R_k^{{\rm{p}}, {\rm{e}}}=\mathrm{diag} \big \{ \bar{R}_k^{{\rm{p}}}, \bar{R}_k^{{\rm{e}}}\big \}\\ &\bar{R}_k^{\mathrm{P}}=R_k^{{\rm{p}}}\, +\big(1-l_k^{{\rm{p}}}\big)\frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4} \big (M_k^{{\rm{p}}}\big )^{-1}\\ &\bar{R}_k^{{\rm{e}}}=\hat{R}_k^{{\rm{e}}}\, +\big(1-l_k^{{\rm{e}}}\big)\frac{\delta_{{\rm{e}}}}{4} \big(M_k^{{\rm{e}}}\big)^{-1} \end{align*} $

进一步整理式(18), 可得

$ \begin{align} D_k^{22}=&\ Q_{k-1}^{-1}\, +\\ &\ d_k^{{\rm{p}}} l_k^{{\rm{p}}} {\rm{E}} \big [(H_k^{{\rm{p}}})^{{\rm{T}}}(R_k^{{\rm{p}}})^{-1} H_k^{{\rm{p}}}\big ]+d_k^{{\rm{p}}}(1-l_k^{{\rm{p}}})\, \times\\ &\ {\rm{E}} \Big \{(H_k^{{\rm{p}}})^{{\rm{T}}}\big [R_k^{{\rm{p}}} +\frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4}(M_k^{{\rm{p}}})^{-1}\big ]^{-1} H_k^{{\rm{p}}}\Big \}\, + \\ &\ d_k^{{\rm{e}}} l_k^{{\rm{e}}} {\rm{E}} \big [(H_k^{{\rm{e}}})^ {{\rm{T}}}(\hat{R}_k^{{\rm{e}}})^{-1} H_k^{{\rm{e}}}\big ]+ d_k^{{\rm{e}}} (1-l_k^{{\rm{e}}})\, \times\\ &\ {\rm{E}}\Big \{ (H_k^{{\rm{e}}})^{{\rm{T}}}\big[\hat{R}_k^{{\rm{e}}} +\frac{\delta_{{\rm{e}}}}{4}(M_k^{{\rm{e}}})^{-1}\big ]^{-1} H_k^{{\rm{e}}}\Big \} \end{align} $ (19)

将式(18)和式(19)代入式(15)整理可得

$ \begin{align} J_k=&\ Q_{k-1}^{-1}-Q_{k-1}^{-1} F_k \big(J_{k-1}+F_k^{{\rm{T}}} Q_{k-1}^{-1} F_k \big)^{-1} \, \times\\ &\ F_k^{{\rm{T}}} Q_{k-1}^{-1}+d_k^{{\rm{p}}}l_k^{{\rm{p}}}\ {\rm{E}} \big[(H_k^{{\rm{p}}})^{{\rm{T}}}(R_k^{{\rm{p}}})^{-1} H_k^{{\rm{p}}}\big]+ d_k^{{\rm{p}}}\, \times\\ &\ (1-l_k^{{\rm{p}}}){\rm{E}} \Big \{(H_k^{{\rm{p}}})^{{\rm{T}}} \big[R_k^{{\rm{p}}}+\frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4}(M_k^{{\rm{p}}})^ {-1}\big]^{-1} H_k^{{\rm{p}}}\Big\}\, + \\ &\ d_k^{{\rm{e}}} l_k^{{\rm{e}}} {\rm{E}}\big[(H_k^{{\rm{e}}})^ {{\rm{T}}}(\hat{R}_k^{{\rm{e}}})^{-1} H_k^{{\rm{e}}}\big]+ d_k^{{\rm{e}}} (1-l_k^{{\rm{e}}})\, \times\\ &\ {\rm{E}}\Big \{(H_k^{{\rm{e}}})^{{\rm{T}}}\big[\hat{R}_k^{{\rm{e}}}+ \frac{\delta_{{\rm{e}}}}{4}(M_k^{{\rm{e}}})^{-1}\big]^{-1} H_k^{{\rm{e}}}\Big\} \end{align} $ (20)

理想(枚举) CRLB的FIM递推式为

$ \begin{align} J_k(S_k^i)=&\ Q_{k-1}^{-1}-\\ &\ Q_{k-1}^{-1} F_k \big(J_{k-1}+F_k^{{\rm{T}}} Q_{k-1}^{-1} F_k \big)^{-1} F_k^{{\rm{T}}} Q_{k-1}^{-1}\, +\\ &\ d_k^{{\rm{p}}}\big(S_k^i\big)l_k^{{\rm{p}}}\big(S_k^i\big)\ {\rm{E}} \big[(H_k^{{\rm{p}}})^{{\rm{T}}}(R_k^{{\rm{p}}})^{-1} H_k^{{\rm{p}}}\big]\, +\\ &\ d_k^{{\rm{p}}}(S_k^i)[1-l_k^{{\rm{p}}}(S_k^i)]\, \times\\ &\ {\rm{E}}\Big\{ (H_k^{{\rm{p}}})^{{\rm{T}}}\big[R_k^{{\rm{p}}}+\frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4}(M_k^{{\rm{p}}})^{-1}\big]^{-1}H_k^{{\rm{p}}}\Big\}\, + \\ &\ d_k^{{\rm{e}}}\big(S_k^{i}\big)l_k^{{\rm{e}}}\big(S_k^{i}\big){\rm{E}}\big[(H_k^{{\rm{e}}})^{{\rm{T}}}(\hat{R}_k^{{\rm{e}}})^{-1} H_k^{{\rm{e}}}\big]\, + \\ &\ d_k^{{\rm{e}}}\big(S_k^{i}\big)[1-l_k^{{\rm{e}}}\big(S_k^{i}\big)]\, \times\\ &\ {\rm{E}}\Big\{ (H_k^{{\rm{e}}})^{{\rm{T}}}\big[\hat{R}_k^{{\rm{e}}}+\frac{\delta_{{\rm{e}}}}{4}\big(M_k^{{\rm{e}}}\big)^{-1}\big]^{-1}H_k^{{\rm{e}}}\Big\} \end{align} $ (21)

可得理想CRLB为

$ \begin{align} &C_k(\mathrm{ENUM}) := {\rm{E}}_{S_k^i}\big[J_k(S_k^i)^{-1}\big]=\\ &\qquad \sum\limits_{i=1}^{2^{4k}}\big[J_k(S_k^i)^{-1}\big] P \big(S_k^i\big) \end{align} $ (22)

其中, $S_k^i$$k$采样时刻$d_k^{{\rm{p}}}$, $d_k^{{\rm{e}}}$, $l_k^{{\rm{p}}}$, $l_k^{{\rm{e}}}$构成的第$i$个探测/触发序列, 共$2^{4k}$个序列. $ P (S_k^i)$为第$i$个序列所占的权重.

理想CRLB为枚举CRLB, 即计算出所有可能出现的探测/触发序列$d_k^{{\rm{p}}}$, $d_k^{{\rm{e}}}$, $l_k^{{\rm{p}}}$, $l_k^{{\rm{e}}}$所对应的CRLB, 并结合各探测/触发序列发生的概率加权得到枚举CRLB.由式(22)易知, 理想CRLB的计算量随着采样时刻的增加呈指数增长, 故理想CRLB的计算方法不利于实际工程设计.为此, 下一节将探索一种计算量小且便于工程应用的CRLB计算方法, 即统计意义下的CRLB.

2.3 统计意义下的CRLB

引理1 (Sherman-Morrison-Woodbury矩阵引理).对于方阵$A$, $B$, $D$, $E$, 若$A$$B$可逆, 且$(A+DBE)$可逆, 则

$ \begin{aligned} &(A+DBE)^{-1}=\\ &\qquad A^{-1}-A^{-1}D (B^{-1}\, +E A^{-1} D)^{-1}EA^{-1} \end{aligned} $

根据引理1, 并基于式(20)给出统计意义下的FIM $\bar{J}_k$

$ \begin{align} \bar{J}_k=&\ (Q_{k-1}+F_k\bar{J}_{k-1}^{-1}F_k^{{\rm{T}}})^{-1}\, +\\ &\ \lambda_{{\rm{p}}} \alpha_{{\rm{p}}} {\rm{E}}\big [(H_k^{{\rm{p}}})^{{\rm{T}}} \big (R_k^{{\rm{p}}}\big)^{-1} \times H_k^{{\rm{p}}}\big ]+\lambda_{{\rm{p}}} (1-\alpha_{{\rm{p}}})\, \times\\ & \ {\rm{E}} \Big \{(H_k^{{\rm{p}}})^ {{\rm{T}}}\big [R_k^{{\rm{p}}}+\frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4}\times\big (M_k^{{\rm{p}}}\big)^{-1}\big]^{-1} H_k^{{\rm{p}}} \Big \}\, +\\ &\ \lambda_{{\rm{e}}} \alpha_{{\rm{e}}} {\rm{E}}\big [(H_k^{{\rm{e}}})^{{\rm{T}}} (\hat{R}_k^{{\rm{e}}})^{-1}\times H_k^{{\rm{e}}}\big ]+\lambda_{{\rm{e}}} (1-\alpha_{{\rm{e}}})\, \times\\ & \ {\rm{E}} \Big\{ (H_k^{{\rm{e}}})^{{\rm{T}}}\big [\hat{R}_k^{{\rm{e}}}\, + \frac{\delta_{{\rm{e}}}}{4}\times \big(M_k^{{\rm{e}}}\big)^{-1}\big]^{-1} H_k^{{\rm{e}}}\Big \} \end{align} $ (23)

综上, 不完全量测下基于事件触发机制的面目标跟踪系统CRLB的计算流程如下:

步骤 1.  计算向量$\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k$和矩阵$M_k^i$ $(i={\rm p}, {\rm e}$; $k=$ $1$, $2, \cdots, N)$, $N$为总采样周期数.

$ \begin{align*} &\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k={\rm{E}}\big [{\mathit{\boldsymbol{z}}}_k|{\mathit{\boldsymbol{z}}}^{k-1}\big ]\\ &M_k^i=\left \{G_i\frac{{\rm{E}}\big [({\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k)({\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k)^{\rm{T}}|{\mathit{\boldsymbol{z}}}^{k-1} \big ]}{\mathrm{tr}\left \{{\rm{E}}\big [({\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k)({\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k)^{\rm{T}}|{\mathit{\boldsymbol{z}}}^{k-1}\big ]\right\}}\right\}^{-1} \end{align*} $

步骤 2.  利用触发阈值$\delta_i$ $(i={\rm p}, {\rm e})$计算触发频度$\alpha_i$ $(i={\rm p}, {\rm e})$.

$ \begin{align*} & \alpha_i=\mathrm{P}\{l_k^i=1\}, \quad k=1, 2, \cdots, N\\ & l_k^i= \begin{cases} \begin{cases} 0,&\mbox{若} \ G_i ({\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k)\in \Psi_{M_k^i, \delta_i}\\ 1,&\mbox{若} \ G_i ({\mathit{\boldsymbol{z}}}_k-\tilde{{\mathit{\boldsymbol{z}}}}_k)\notin \Psi_{M_k^i, \delta_i} \end{cases},&d_k^i=1\\ 0,&d_k^i=0 \end{cases} \end{align*} $

步骤 3.  初始化统计意义CRLB $\bar{C}_0$, 状态转移矩阵$F_k$, 状态误差方差$Q_{k-1}$以及探测概率$\lambda_i$ $(i=$ ${\rm p}$, ${\rm e})$.

步骤 4.  计算Jacobi矩阵$h_k^{s}$和Hessian矩阵$h_{k, i}^{ss}$ $(i=1, 2)$.

$ \begin{align*} &h_k^s=\big[\nabla_{{\mathit{\boldsymbol{s}}}_k} [h_k^{{\rm{e}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k, {\mathit{\boldsymbol{s}}}_k)]^{{\rm{T}}}\big]^{{\rm{T}}}\\ &h_{k, i}^{ss}=\big[\nabla_{{\mathit{\boldsymbol{s}}}_k} \nabla_{{\mathit{\boldsymbol{s}}}_k} h_{k, i}^{{\rm{e}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k, {\mathit{\boldsymbol{s}}}_k)\big]^{{\rm{T}}} \end{align*} $

步骤 5.  计算面目标扩展测量误差方差$\hat{R}_k^{{\rm{e}}}$.

$ \begin{align*} \hat{R}_k^{{\rm{e}}}=&\ R_{k}^{{\rm{e}}}\, +h_k^{s} P_k^{s} (h_k^s)^{{\rm{T}}}\, +\\&\ \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{2}\sum\limits_{j=1}^{2} {\mathit{\boldsymbol{e}}}_i \pmb e^{\rm T}_j \mathrm{tr}\left[h_{k, i}^{ss} P_k^{s} h_{k, j}^{ss} P_k^{s}\right] \end{align*} $

步骤 6.  计算测量矩阵$H_k^{{\rm{p}}}$$H_k^{{\rm{e}}}$.

$ \begin{align*} H_k^{{\rm{p}}}=\left[\frac{\partial\big [h_k^{{\rm{p}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)\big ]^{{\rm{T}}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{x}}}_k}\right]^{{\rm{T}}}, \quad H_k^{{\rm{e}}}=\left[\frac{\partial\big [h_k^{{\rm{e}}}({\mathit{\boldsymbol{x}}}_k)\big]^{{\rm{T}}}}{\partial {\mathit{\boldsymbol{x}}}_k}\right]^{{\rm{T}}} \end{align*} $

步骤 7.  计算$k$采样时刻系统统计意义CRLB $\bar{C}_k$.

$ \begin{align*} \bar{C}_k=&\ \bar{J}_k^{-1}\\ \bar{J}_k=&\ (Q_{k-1}+F_k\bar{J}_{k-1}^{-1}F_k^{{\rm{T}}})^{-1}\, +\\ &\ \lambda_{{\rm{p}}} \alpha_{{\rm{p}}} {\rm{E}}\big [(H_k^{{\rm{p}}})^{{\rm{T}}} \big (R_k^{{\rm{p}}}\big)^{-1} \times H_k^{{\rm{p}}}\big ]\, +\\ &\ \lambda_{{\rm{p}}} (1-\alpha_{{\rm{p}}}) {\rm{E}} \Big \{(H_k^{{\rm{p}}})^{{\rm{T}}}\big [R_k^{{\rm{p}}}+ \frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4}\, \times\\ &\ \big(M_k^{{\rm{p}}}\big)^{-1}\big]^{-1} H_k^{{\rm{p}}} \Big \}+ \lambda_{{\rm{e}}} \alpha_{{\rm{e}}} {\rm{E}} \big [(H_k^{{\rm{e}}})^{{\rm{T}}}\, \times\\ &\ (\hat{R}_k^{{\rm{e}}})^{-1} H_k^{{\rm{e}}}\big ]+\lambda_{{\rm{e}}} (1-\alpha_{{\rm{e}}}) {\rm{E}}\Big\{ (H_k^{{\rm{e}}})^{{\rm{T}}}\big [\hat{R}_k^{{\rm{e}}}\, +\\ &\ \frac{\delta_{{\rm{e}}}}{4}\big(M_k^{{\rm{e}}}\big)^{-1}\big]^{-1} H_k^{{\rm{e}}}\Big \} \end{align*} $

步骤 8.  令$k=k+1$, 重复步骤4 $\sim$ 7.

引理 2[22].  对于矩阵$A$, $B$, $C$, 若$A>B$, $A$, $B$为对称阵且$C$非奇异, 则

$ C^{{\rm{T}}}AC>C^{{\rm{T}}}BC $

引理 3[23].  若$A$为一随机正定矩阵, 则有

$ {\rm{E}} \big[A^{-1}\big] \geq \big({\rm{E}} [A]\big )^{-1} $

特殊地, 当$A$为常数时等号成立.

引理 4[22].  若矩阵$A$, $B$可逆, 且满足$A>B>0$, $A$, $B$为对称阵, 则有

$ B^{-1}>A^{-1} $

定理 2.  在相同前提下, 不完全量测下基于事件触发机制的面目标跟踪统计意义下的CRLB为理想(枚举) CRLB的下界.即对于$\forall k>1$, $k \in s{\boldsymbol{\rm{N}}}$, 都有

$ C_k (\mathrm{ENUM}) > C_{\lambda_{{\rm{p}}}, \alpha_{{\rm{p}}}, \lambda_{{\rm{e}}}, \alpha_{{\rm{e}}}, k} $ (24)

证明.  首先给出证明所需前提:

前提 1.  目标的初始先验误差方差下界$C_0>0$, 则有$\bar{J}_k>0$, $J_k(S_k^i)>0$恒成立.

前提 2.  目标理想CRLB和统计意义CRLB的初始值满足

$ C_0 (\mathrm{ENUM}) = C_{\lambda_{{\rm{p}}}, \alpha_{{\rm{p}}}, \lambda_{{\rm{e}}}, \alpha_{{\rm{e}}}, 0} $

${\rm{E}}_{S_0^i}[J_0(S_0^i)]=\bar{J}_0=C_0^{-1}$.

利用数学归纳法将定理转换为证明:

$\exists k$, 使得

$ \begin{align} \begin{cases} C_k(\mathrm{ENUM})> C_{\lambda_{{\rm{p}}}, \alpha_{{\rm{p}}}, \lambda_{{\rm{e}}}, \alpha_{{\rm{e}}}, k}\\ {\rm{E}}_{S_k^{i}} \big [J_k(S_k^i)\big ]<\bar{J}_k \end{cases} \end{align} $ (25)

成立, 则

$ \begin{align} \begin{cases} C_{k+1}(\mathrm{ENUM})> C_{\lambda_{{\rm{p}}}, \alpha_{{\rm{p}}}, \lambda_{{\rm{e}}}, \alpha_{{\rm{e}}}, k+1}\\ {\rm{E}}_{S_{k+1}^{i}}\big [J_{k+1}(S_{k+1}^i)\big ]<\bar{J}_{k+1} \end{cases} \end{align} $ (26)

成立.

就目标跟踪系统而言, $\forall k\geq1$, $k\in {\boldsymbol{\rm{N}}} $, 都有$F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_k^{-1}$ $>$ $0$.根据引理2, 对于任意的探测触发序列$S_k^i$都有

$ \begin{align*} &\big(F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1}\big)^{{\rm{T}}}\big[J_{k}\big(S_k^i\big)+F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1} F_{k+1}\big]^{-1}\, \times\\ &\qquad F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1}>0 \end{align*} $

根据引理3, 可得

$ \begin{align} & {\rm{E}}_{S_k^i} \Big \{\big(F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1}\big)^ {{\rm{T}}}\big[J_{k}\big(S_k^i\big)+F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1} F_{k+1}\big]^{-1}\, \times\\ &\qquad F_{k+1}^{{\rm{T}}} Q_{k}^{-1}\Big \} > \big(F_{k+1}^ {{\rm{T}}}Q_{k}^{-1}\big)^{{\rm{T}}}\times \Big\{ {\rm{E}}_{S_k^i}\big[J_{k}\big(S_k^i\big)\big]\, +\\ &\qquad F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1} F_{k+1}\Big\}^{-1} F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1} \end{align} $ (27)

利用式(25), 并结合引理4有

$ \begin{align} & \Big \{ {\rm{E}}_{S_k^i} \big[J_{k}(S_k^i)\big]+F_{k+1}^{{\rm{T}}} Q_{k}^{-1} F_{k+1}\Big \}^{-1}>\\ &\qquad \big(\bar{J}_k+F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1}F_{k+1}\big)^{-1} \end{align} $ (28)

结合引理2及式(27)和式(28), 可得

$ \begin{align} &{\rm{E}}_{S_k^i} \Big\{\big(F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1}\big)^{{\rm{T}}}\big[J_{k}(S_k^i)+F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1} F_{k+1}\big]^{-1}\, \times\\ &\qquad F_{k+1}^{{\rm{T}}} Q_{k}^{-1}\Big \} > \big(F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1}\big)^{{\rm{T}}}\big(\bar{J}_k+F_{k+1}^{{\rm{T}}}\, \times\\ &\qquad Q_{k}^{-1}F_{k+1}\big)^{-1} F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1} \end{align} $ (29)

考虑到

$ \begin{align} & {\rm{E}}_{S_{k+1}^i}\Big[D_{k+1}^{22}\big(S_{k+1}^i\big)\Big]= Q_{k}^{-1}\, + {\rm{E}}_{S_{k+1}^i}\, \times\\ &\qquad \Big\{ d_{k+1}^{{\rm{p}}} \big(S_{k+1}^i\big) l_{k+1}^{{\rm{p}}}\big(S_{k+1}^i\big) (H_{k+1}^{{\rm{p}}})^{{\rm{T}}}(R_{k+1}^{{\rm{p}}})^{-1} \, \times\\ &\qquad H_{k+1}^{{\rm{p}}}+d_{k+1}^{{\rm{p}}}\big(S_{k+1}^i\big) \big[1-l_{k+1}^{{\rm{p}}}\big(S_{k+1}^i\big)\big]\big(H_{k+1}^{{\rm{p}}} \big)^{{\rm{T}}}\, \times\\ &\qquad \big [R_{k+1}^{{\rm{p}}}+\frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4} \big(M_{k+1}^{{\rm{p}}}\big)^{-1}\big]^{-1} H_{k+1}^{{\rm{p}}}+ d_{k+1}^{{\rm{e}}}\big(S_{k+1}^i\big)\, \times\\ &\qquad l_{k+1}^{{\rm{e}}}\big(S_{k+1}^i\big) (H_{k+1}^{{\rm{e}}})^{{\rm{T}}}(\hat{R}_{k+1}^{{\rm{e}}})^{-1}H_{k+1}^ {{\rm{e}}}\, +\\ &\qquad d_{k+1}^{{\rm{e}}}(S_{k+1}^i)\big[1-l_{k+1}^{{\rm{e}}}(S_{k+1}^i)\big](H_{k+1}^ {{\rm{e}}})^{{\rm{T}}}\, \times\\ &\qquad \big [ \hat{R}_{k+1}^{{\rm{e}}}+\frac{\delta_{{\rm{e}}}}{4} (M_{k+1}^{{\rm{e}}})^{-1}\big ]^{-1} H_{k+1}^{{\rm{e}}}\Big \}=\\ &\qquad D_{\lambda_{{\rm{p}}}, \alpha_{{\rm{p}}}, \lambda_{{\rm{e}}}, \alpha_{{\rm{e}}}, k+1}^{22} \end{align} $ (30)

综合式(29)和式(30), 有

$ \begin{align*} &{\rm{E}}_{S_{k+1}^i}\big [J_{k+1}(S_{k+1}^i)\big ]=\\ &\qquad {\rm{E}}_{S_{k+1}^i}\big [D_{k+1}^{22}(S_{k+1}^i)\big ]- {\rm{E}}_{S_{k}^i}\Big \{\big (F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1}\big )^ {{\rm{T}}}\, \times\\ &\qquad \big [J_k(S_k^i)+F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1}F_{k+1}\big ]^{-1} F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1}\Big \}<\\ &\qquad D_{\lambda_{{\rm{p}}}, \alpha_{{\rm{p}}}, \lambda_{{\rm{e}}}, \alpha_{{\rm{e}}}, k+1}^{22}-\big (F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1} \big )^{{\rm{T}}}\big (\bar{J}_k+F_{k+1}^{{\rm{T}}}\, \times\\ &\qquad Q_{k}^{-1}F_{k+1}\big )^{-1}F_{k+1}^{{\rm{T}}}Q_{k}^{-1}=\bar{J}_{k+1} \end{align*} $

因此, 易得

$ \begin{align*} & C_{k+1}(\mathrm{ENUM})= {\rm{E}}_{S_{k+1}^{i}}\big[J_{k+1}(S_{k+1}^i)^{-1}\big]>\\ &\qquad \Big\{{\rm{E}}_{S_{k+1}^{i}}\big[J_{k+1}(S_{k+1}^i)\big]\Big\}^{-1}>\\ &\qquad \bar{J}_{k+1}^{-1}=C_{\lambda_{{\rm{p}}}, \alpha_{{\rm{p}}}, \lambda_{{\rm{e}}}, \alpha_{{\rm{e}}}, k+1} \end{align*} $

注 2.  参照定理2易知, 统计意义下的CRLB是过优的, 即统计意义下的CRLB是理想CRLB的下界.原因在于统计意义下CRLB未考虑数据丢失以及事件未触发发生的序列位置.但是, 对比式(22)和式(23)易知, 统计意义下的CRLB的计算复杂度远低于理想CRLB, 且为递推形式, 便于应用.故在实际工程中, 可利用统计意义下的CRLB对不完全量测下基于事件触发机制的面目标跟踪系统最优估计性能进行评估.

定理 3.  在相同探测概率下, 对于任意采样时刻$k$, 不完全量测下基于事件触发机制的面目标跟踪系统CRLB大于传统的不完全量测下面目标跟踪系统CRLB.即当$0<\lambda_i<1$, $0<\alpha_i<1$ $(i={\rm p}, {\rm e})$时, 下列不等式恒成立

$ \begin{align} &\Big \{\lambda_{{\rm{p}}}\alpha_{{\rm{p}}}(R_k^{{\rm{p}}})^{-1}\, +\lambda_{{\rm{p}}}(1-\alpha_{{\rm{p}}})\big[R_k^{{\rm{p}}}\, +\frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4} \, \times\\ &\qquad (M_k^{{\rm{p}}})^{-1}\big]^{-1}\Big \}^{-1}>\big [\lambda_{{\rm{p}}}(R_k^{{\rm{p}}})^{-1}\big ]^{-1}\\ &\Big \{\lambda_{{\rm{e}}}\alpha_{{\rm{e}}}(\hat{R}_k^{{\rm{e}}})^{-1}\, +\lambda_{{\rm{e}}}(1-\alpha_{{\rm{e}}})\big[\hat{R}_k^{{\rm{e}}}\, +\frac{\delta_{{\rm{e}}}}{4}\, \times\\ &\qquad (M_k^{{\rm{e}}})^{-1}\big ]^{-1}\Big \}^{-1} >\big [\lambda_{{\rm{e}}}(\hat{R}_k^{{\rm{e}}})^{-1}\big ]^{-1} \end{align} $ (31)

证明.  对于面目标跟踪系统而言, 满足$R_k^{{\rm{p}}}>0$, $(M_k^{{\rm{p}}})^{-1}$ $>$ $0$, 以及$\hat{R}_k^{{\rm{e}}}>0$, $(M_k^{{\rm{e}}})^{-1}>0$, 则

$ \begin{align*} &\lambda_{{\rm{p}}}\alpha_{{\rm{p}}}\big(R_k^{{\rm{p}}}\big)^{-1}\, +\lambda_{{\rm{p}}}(1-\alpha_{{\rm{p}}})\big[R_k^{{\rm{p}}}\, +\frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4}(M_k^{{\rm{p}}})^{-1}\big]^{-1}>0\\ &\lambda_{{\rm{e}}}\alpha_{{\rm{e}}}\big(\hat{R}_k^{{\rm{e}}}\big)^{-1}\, +\lambda_{{\rm{e}}}(1-\alpha_{{\rm{e}}})\big[\hat{R}_k^{{\rm{e}}}\, +\frac{\delta_{{\rm{e}}}}{4}(M_k^{{\rm{e}}})^{-1}\big]^{-1}>0 \end{align*} $

考虑到

$ \begin{align*} & I-\Big \{\lambda_{{\rm{p}}}\alpha_{{\rm{p}}}\big(R_k^ {{\rm{p}}}\big)^{-1}+\lambda_{{\rm{p}}}(1-\alpha_{{\rm{p}}}) \big[R_k^{{\rm{p}}}\, +\\ &\qquad \frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4}\times(M_k^{{\rm{p}}})^{-1}\big]^ {-1}\Big \} \frac{R_k^{{\rm{p}}}}{\lambda_{{\rm{p}}}}=(1-\alpha_{{\rm{p}}}) I\, -\\ &\qquad (1-\alpha_{{\rm{p}}})\big[R_k^{{\rm{p}}}+\frac{\delta_{{\rm{p}}}} {4}(M_k^{{\rm{p}}})^{-1}\big]^{-1}R_k^{{\rm{p}}}>\\ &\qquad (1-\alpha_{{\rm{p}}})I- (1-\alpha_{{\rm{p}}})\big[R_k^{{\rm{p}}}\, +\frac{\delta_{{\rm{p}}}} {4}(M_k^{{\rm{p}}})^{-1}\big]^{-1}\, \times\\ &\qquad \big[R_k^{{\rm{p}}}\, +\frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4}(M_k^{{\rm{p}}})^{-1}\big]=0 \end{align*} $

则有

$ \begin{align} &\Big \{\lambda_{{\rm{p}}}\alpha_{{\rm{p}}}(R_k^{{\rm{p}}})^{-1}+ \lambda_{{\rm{p}}}(1-\alpha_{{\rm{p}}})\big[R_k^{{\rm{p}}}+ \frac{\delta_{{\rm{p}}}}{4} \, \times\\ &\qquad (M_k^{{\rm{p}}})^{-1}\big]^{-1}\Big \}^{-1}>\big [\lambda_{{\rm{p}}}(R_k^{{\rm{p}}})^{-1}\big ]^{-1} \end{align} $ (32)

同理可得

$ \begin{align} &\Big \{\lambda_{{\rm{e}}}\alpha_{{\rm{e}}}(\hat{R}_k^{{\rm{e}}})^{-1}+\lambda_{{\rm{e}}}(1-\alpha_{{\rm{e}}})\big[\hat{R}_k^{{\rm{e}}}+\frac{\delta_{{\rm{e}}}}{4}\, \times\\ &\qquad (M_k^{{\rm{e}}})^{-1}\big ]^{-1}\Big \}^{-1} >\big [\lambda_{{\rm{e}}}(\hat{R}_k^{{\rm{e}}})^{-1}\big ]^{-1} \end{align} $ (33)

综合式(32)和式(33)可得式(31).

注 3.  由定理3可知, 引入事件触发机制后, 面目标跟踪系统的CRLB会有所增加, 但同时会大幅减少跟踪系统的通信量.本文旨在保证系统最优估计性能的前提下, 显著减少系统的通信量.

3 算例与分析

为了更清楚地说明不完全量测下基于事件触发机制的面目标跟踪系统估计性能, 这里考虑四种典型目标运动场景, 即匀速直线运动(CV)、匀加速直线运动(CA)、匀速圆周运动(CT)以及Singer模型机动, 分别给出不同面目标扩展测量探测概率和不同触发频度下的面目标跟踪系统CRLB.

面目标跟踪系统测量周期$T=0.2\, \mathrm{s}$.面目标长度$l=50\, {\rm{m}}$, 长宽比$\gamma=0.2$[6].尺寸参数误差$\sigma_l$ $=0.5\, {\rm{m}}$, $\sigma_{\gamma}=0.01$.跟踪系统传统位置测量精度为$\sigma_r=5\, {\rm{m}}$, $\sigma_{\theta}=0.3^{\circ}$.面目标扩展测量精度为$\sigma_{L}=$ $\sigma_{W}$ $=0.5\, {\rm{m}}$.传统位置测量通道探测概率为$\lambda_{{\rm{p}}}=$ $0.8$.不同运动模型参数见文献[1].过程噪声强度$q_{\rm{CV}}$ $=$ $q_{\rm{CA}}=q_\mathrm{CT}=0.01$. Singer模型机动时, 机动频率$\alpha=1/20$.

定义目标位置和速度方向上的CRLB分别为

$ C_k^{\mathrm{posi}}=\sqrt{C_k^x+C_k^y}\\ C_k^{\mathrm{velo}}=\sqrt{C_k^{\dot{x}}\, +C_k^{\dot{y}}} $ (34)

式中, $C_k^x$, $C_k^y$$C_k^{\dot{x}}$, $C_k^{\dot{y}}$分别为$x$, $y$方向上位置和速度的CRLB.

为了对比不同条件下跟踪系统CRLB, 定义位置和速度方向上平均CRLB分别为

$ C_{\mathrm{av}}^{\mathrm{posi}}=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^{N} C_{k}^{\mathrm{posi}}\\ C_{\mathrm{av}}^{\mathrm{velo}}=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^{N} C_{k}^{\mathrm{velo}} $ (35)

式中, $N$为仿真实验中采样周期总数.

场景 1.  匀速直线航路(CV)

目标的初始状态以及CRLB初始值分别为

$ \begin{align*} {\mathit{\boldsymbol{x}}}_0^{{\rm{CV}}}=&\ [13\, 000\, {\rm{m}}, 10\, \mathrm{m/s}, 14\, 000\, {\rm{m}}, 11\, \mathrm{m/s}]^{{\rm{T}}}\\ C_0^{{\rm{CV}}}=&\ \mathrm{diag}\{(100\, {\rm{m}})^2, (10\, \mathrm{m/s})^2, (100\, {\rm{m}})^2, \\&\ (10\, \mathrm{m/s})^2\} \end{align*} $

1) 面目标跟踪系统CRLB

${\rm{CV}}$运动模型下, 图 2给出了传统位置测量通道探测概率$\lambda_{{\rm{p}}}=0.8$时, 不同面目标扩展测量通道探测概率$\lambda_{\rm e}$下CRLB变化曲线.当$\lambda_{{\rm{e}}}=0.0$时, 其物理意义为传统质点目标跟踪系统.

图 2 CRLB与面目标扩展测量通道探测概率$\lambda_{{\rm{e}}}$的关系 Figure 2 The relationship between the CRLB and the detection probability $\lambda_{{\rm{e}}}$ of extended area target measurements

2) 基于事件触发机制的面目标跟踪系统CRLB

在CV运动模型下, 图 3给出了传统位置测量通道和面目标扩展测量通道的触发频度$\alpha_i$ $(i={\rm p}, {\rm e})$与触发阈值$\delta$之间的关系.为了说明所提事件触发机制对跟踪系统CRLB的影响, 在双通道探测概率分别为$\lambda_{{\rm{p}}}=0.8$, $\lambda_{{\rm{e}}}=0.9$的条件下, 图 4给出了双通道不同触发频度下面目标跟踪系统CRLB, 双通道触发频度$\alpha_{{\rm{p}}}$, $\alpha_{{\rm{e}}}$设定如下: $\alpha_{{\rm{p}}}=1.0$, $\alpha_{{\rm{e}}}=1.0$; $\alpha_{{\rm{p}}}$ $=0.8$, $\alpha_{{\rm{e}}}=0.6$; $\alpha_{{\rm{p}}}=0.6$, $\alpha_{{\rm{e}}}=0.4$.

图 3 双探测通道触发频度$\alpha_i$ $(i={\rm p}, {\rm e})$与触发阈值$\delta$的关系 Figure 3 The relationship between the triggered frequency $\alpha_i$ $(i={\rm p}, {\rm e})$ and the triggered threshold $\delta$
图 4 不同触发频度下面目标跟踪系统CRLB Figure 4 The CRLB of the area target tracking system with different triggered frequencies

场景 2.  匀加速直线航路(CA)

目标的初始状态以及CRLB初始值分别为

$ \begin{align*} {\mathit{\boldsymbol{x}}}_0^{{\rm{CA}}}=&\ \big[13\, 000\, {\rm{m}}, 10\, \mathrm{m/s}, 14\, 000\, {\rm{m}}, 11\, \mathrm{m/s}, \\ &\ 0.1\, \mathrm{m/s^2}, 0.11\, \mathrm{m/s^2}\big]^{{\rm{T}}}\end{align*} $
$ \begin{align*} C_0^{{\rm{CA}}}=&\ \mathrm{diag}\big \{(100\, {\rm{m}})^2, (10\, \mathrm{m/s})^2, (100\, {\rm{m}})^2, \\ &\ (10\, \mathrm{m/s})^2, (1\, \mathrm{m/s^2})^2, (1\, \mathrm{m/s^2})^2\big \} \end{align*} $

1) 面目标跟踪系统CRLB

在CA运动模型下, 图 5给出了传统位置测量通道探测概率$\lambda_{\rm{p}}=0.8$时, 不同面目标扩展测量通道探测概率$\lambda_{\rm{e}}$下CRLB变化曲线.当$\lambda_{{\rm{e}}}=0.0$时, 其物理意义为传统质点目标跟踪系统.

图 5 CRLB与面目标扩展测量通道探测概率$\lambda_{{\rm{e}}}$的关系 Figure 5 The relationship between the CRLB and the detection probability $\lambda_{{\rm{e}}}$ of extended area target measurements

2) 基于事件触发机制的面目标跟踪系统CRLB

在CA运动模型下, 图 6给出了传统位置测量通道和面目标扩展测量通道的触发频度$\alpha_i$ $(i={\rm p}, {\rm e})$与触发阈值$\delta$之间的关系.在双测量通道探测概率分别为$\lambda_{{\rm{p}}}=0.8$, $\lambda_{{\rm{e}}}=0.9$的条件下, 图 7给出了不同触发频度下跟踪系统CRLB.

图 6 双探测通道触发频度$\alpha_i$ $(i={\rm p}, {\rm e})$与触发阈值$\delta$的关系 Figure 6 The relationship between the triggered frequency $\alpha_i$ $(i={\rm p}, {\rm e})$ and the triggered threshold $\delta$
图 7 不同触发频度下面目标跟踪系统CRLB Figure 7 The CRLB of the area target tracking system with different triggered frequencies

场景 3.  匀速圆周航路(CT)

转弯角速度$w=1^{\circ}/\mathrm{s}$, 目标的初始状态以及CRLB初始值分别为

$ \begin{align*} {\mathit{\boldsymbol{x}}}_0^{\mathrm{CT}}=&\ [12\, 000\, {\rm{m}}, 10\, \mathrm{m/s}, 12\, 000\, {\rm{m}}, 11\, \mathrm{m/s}]^{{\rm{T}}}\\ C_0^{\mathrm{CT}}=&\ \mathrm{diag}\{(100\, {\rm{m}})^2, (10\, \mathrm{m/s})^2, (100\, {\rm{m}})^2, \\&\ (10\, \mathrm{m/s})^2\} \end{align*} $

1) 面目标跟踪系统CRLB

在CT运动模型下, 图 8给出了传统位置测量通道探测概率$\lambda_{{\rm{p}}}=0.8$时, 不同面目标扩展测量通道探测概率$\lambda_{{\rm{e}}}$下CRLB变化曲线.当$\lambda_{{\rm{e}}}=0.0$时, 其物理意义为传统质点目标跟踪系统.

图 8 CRLB与面目标扩展测量通道探测概率$\lambda_{{\rm{e}}}$的关系 Figure 8 The relationship between the CRLB and the detection probability $\lambda_{{\rm{e}}}$ of extended area target measurements

2) 基于事件触发机制的面目标跟踪系统CRLB

在CT运动模型下, 图 9给出了传统位置测量通道和面目标扩展测量通道的触发频度$\alpha_i$ $(i={\rm p}, {\rm e})$与触发阈值$\delta$之间的关系.在双测量通道探测概率分别设定为$\lambda_{{\rm{p}}}=0.8$, $\lambda_{{\rm{e}}}=0.9$的条件下, 图 10给出了不同触发频度下跟踪系统CRLB.

图 9 双探测通道触发频度$\alpha_i$ $(i={\rm p}, {\rm e})$与触发阈值$\delta$的关系 Figure 9 The relationship between the triggered frequency $\alpha_i$ $(i={\rm p}, {\rm e})$ and the triggered threshold $\delta$
图 10 不同触发频度下面目标跟踪系统CRLB Figure 10 The CRLB of the area target tracking system with different triggered frequencies

场景 4.  Singer模型机动航路(Singer)

目标的初始状态以及CRLB初始值分别为

$ \begin{align*} {\mathit{\boldsymbol{x}}}_0^{\mathrm{Singer}}=&\ \big[13\, 000\, {\rm{m}}, 10\, \mathrm{m/s}, 14\, 000\, {\rm{m}}, 11\, \mathrm{m/s}, \\ &\ 0.1\, \mathrm{m/s^2}, 0.11\, \mathrm{m/s^2}\big]^{{\rm{T}}}\\ C_0^{\mathrm{Singer}}=&\ \mathrm{diag}\big \{(100\, {\rm{m}})^2, (10\, \mathrm{m/s})^2, (100\, {\rm{m}})^2, \\ &\ (10\, \mathrm{m/s})^2, (1\, \mathrm{m/s^2})^2, (1\, \mathrm{m/s^2})^2\big \} \end{align*} $

1) 面目标跟踪系统CRLB

在Singer机动模型下, 图 11给出了传统位置测量通道探测概率$\lambda_{\rm{p}}=0.8$时, 不同面目标扩展测量通道探测概率$\lambda_{\rm{e}}$下CRLB变化曲线.

图 11 CRLB与面目标扩展测量通道探测概率$\lambda_{{\rm{e}}}$的关系 Figure 11 The relationship between the CRLB and the detection probability $\lambda_{{\rm{e}}}$ of extended area target measurements

2) 基于事件触发机制的面目标跟踪系统CRLB

在Singer机动模型下, 图 12给出了传统位置测量通道和面目标扩展测量通道的触发频度$\alpha_i$ $(i={\rm p}, {\rm e})$与触发阈值$\delta$之间的关系.在双测量通道探测概率分别为$\lambda_{{\rm{p}}}=0.8$, $\lambda_{{\rm{e}}}=0.9$的条件下, 图 13给出了不同触发频度下跟踪系统CRLB.

图 12 双探测通道触发频度$\alpha_i(i={\rm p}, {\rm e})$与触发阈值$\delta$的关系 Figure 12 The relationship between the triggered frequency $\alpha_i(i={\rm p}, {\rm e})$ and the triggered threshold $\delta$
图 13 不同触发频度下面目标跟踪系统CRLB Figure 13 The CRLB of the area target tracking system with different triggered frequencies

为了明确给出事件触发机制下面目标跟踪系统通信量(触发频度)与CRLB之间的关系, 表 2给出了不同触发频度下基于事件触发机制的面目标跟踪系统平均CRLB对比.

表 2 不同触发频度下基于事件触发机制的面目标跟踪系统平均CRLB Table 2 Comparison of average CRLBs of the event triggered area target tracking system with different triggered probabilities

图 2 $\sim$ 13以及表 2可得如下结论:

1) 从图 2, 5, 8, 11可以看出, 面目标扩展测量通道探测概率越大, 不完全量测下面目标跟踪系统的CRLB越小, 即跟踪系统最优估计性能越好.同时, 当$\lambda_{\rm{p}}=0.8$, $\lambda_{\rm{e}}=0$时, 其物理意义为不完全量测下传统质点目标跟踪系统, 即跟踪系统只存在传统位置测量, 此时跟踪系统CRLB较其他三种情况更大, 说明不完全量测下面目标扩展测量可用于改善跟踪系统的估计性能.从上述图中易得, 当$\lambda_{\rm{e}}=1.0$时, 较之传统质点目标跟踪系统, 面目标跟踪系统位置方向上平均CRLB降低$30.6\, \%$, 速度方向上平均CRLB降低$36.8\, \%$.

2) 从图 3, 6, 9, 12可以看出, 触发频度$\alpha_i (i={\rm{p}}, {\rm{e}})$随着触发阈值$\delta$的增大而降低.就其本质而言, 事件触发机制会触发对估计精度影响较大的测量数据, 即测量中包含更多的有用信息.传统测量通道的测量值$\pmb z_k^{{\rm{p}}}$仅与目标位置$x_k$, $y_k$相关, 面目标扩展测量通道的测量值${\mathit{\boldsymbol{z}}}_k^{{\rm{e}}}$不仅与目标位置$x_k$, $y_k$相关, 且与目标速度$\dot{x}_k$, $\dot{y}_k$相关.当目标做匀速运动(CV, CT)时, 由于目标速度变化缓慢, 面目标扩展测量${\mathit{\boldsymbol{z}}}_k^{{\rm{e}}}$更易触发, 故在图 3图 9中, $\alpha_{{\rm{p}}}$相比$\alpha_{{\rm{e}}}$减少更多.当目标做匀加速运动(CA)和Singer模型机动时, 目标速度变化较快, 且与目标加速度相关.因此, 相比于传统测量${\mathit{\boldsymbol{z}}}_k^{{\rm{p}}}$, 面目标扩展测量${\mathit{\boldsymbol{z}}}_k^{{\rm{e}}}$较难触发, 故图 6图 12$\alpha_{{\rm{p}}}$$\alpha_{{\rm{e}}}$减小变少.

3) 从图 4, 7, 10, 13可以看出, 随着双测量通道触发频度的降低, 不完全量测下面目标跟踪系统的CRLB略有增加, 即面目标跟踪系统的最优估计性能有所降低. 表 2中, 当$\alpha_{{\rm{p}}}=1.0$, $\alpha_{{\rm{e}}}=1.0$时, 其物理意义为未引入事件触发机制的面目标跟踪系统.同时, 考虑引入事件触发机制的面目标跟踪系统.当$\alpha_{{\rm{p}}}=0.8$, $\alpha_{{\rm{e}}}=0.6$时, 跟踪系统位置方向上平均CRLB增加$2.5\, \%$, 速度方向上平均CRLB增加$4.0\, \%$.当$\alpha_{{\rm{p}}}=0.6$, $\alpha_{{\rm{e}}}=0.4$时, 跟踪系统位置方向上平均CRLB增加$7.1\, \%$, 速度方向上平均CRLB增加$9.7\, \%$.

最后, 为了进一步说明探测概率对事件触发机制下面目标跟踪系统CRLB的影响, 在触发频度$\alpha_{{\rm{p}}}$ $=$ $0.5$, $\alpha_{{\rm{e}}}=0.5$下, 表 3给出了不同探测概率下基于事件触发机制的面目标跟踪系统CRLB.从表 3可以看出, 随着双通道探测概率$\lambda_i$ $(i={\rm{p}}, {\rm{e}})$的提高, 跟踪系统CRLB减小, 即跟踪系统达到的最优估计性能变好.

表 3 不同探测概率下基于事件触发机制的面目标跟踪系统平均CRLB Table 3 Comparison of average CRLBs of the event triggered area target tracking system with different detection probabilities

综上所述, 四种航路仿真结果表明, 在不完全量测下面目标跟踪系统中引入所提事件触发机制后, 通过选择合适的触发频度$\alpha_i$ $(i={\rm{p}}, {\rm{e}})$, 在系统最优估计性能略微下降的前提下, 可显著减少系统的通信量, 为工程实际中的跟踪系统设计提供了理论依据.

4 结论

基于实际应用考虑, 为了减少面目标跟踪系统中的通信消耗和估计中心的计算量, 在不完全量测条件下, 首先通过理论分析给出了双通道面目标测量下的事件触发机制.其次, 推导出事件触发机制下的面目标跟踪系统理想CRLB, 进一步给出了适合工程实际应用的统计意义下的CRLB.最后, 从理论上证明了统计意义CRLB是理想CRLB的下界.仿真实验结果表明,利用所提事件触发机制, 可在显著减少面目标跟踪系统通信量的同时保证系统的最优估计性能.

值得一提的是, 本文给出的不完全量测下基于事件触发机制的面目标跟踪系统CRLB既可以用来设计工程系统, 又可以根据跟踪系统的性能指标来反向设计跟踪系统应具备的最低探测概率以及触发频度, 这可为相关工程应用提供有益的参考.

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