西北大学学报自然科学版  2017, Vol. 47 Issue (4): 487-491  DOI: 10.16152/j.cnki.xdxbzr.2017-04-004

数理科学

引用本文 

郑恒伟, 陈小亮, 陈世嵬. 金属/陶瓷功能梯度材料(FGM)板的安定区域分析[J]. 西北大学学报自然科学版, 2017, 47(4): 487-491. DOI: 10.16152/j.cnki.xdxbzr.2017-04-004.
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ZHENG Hengwei, CHEN Xiaoliang, CHEN Shiwei. Shakedown analysis of metal/ceramic functionallygraded material (FGM) plate[J]. Journal of Northwest University(Natural Science Edition), 2017, 47(4): 487-491. DOI: 10.16152/j.cnki.xdxbzr.2017-04-004.
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基金项目

国家自然科学基金资助项目(11602042);重庆市科委基础与前沿研究基金资助项目(cstc2015jcyjA0955);重庆市博士后特别资助基金资助项目(Xm2016034);重庆科技学院校内基金资助项目(CK2016B16)

作者简介

郑恒伟,女,江苏沛县人,博士后,从事功能梯度材料板安定性研究,复合材料细观力学、金属腐蚀与断裂研究。

文章历史

收稿日期:2017-01-14
金属/陶瓷功能梯度材料(FGM)板的安定区域分析
郑恒伟1,2,3, 陈小亮1, 陈世嵬1     
1. 重庆科技学院 力学系, 重庆 401331
2. 重庆材料研究院, 重庆 400707
3. 清华大学 航天航空学院, 北京 100084
摘要:安定性对受到热机械载荷作用下的金属/陶瓷功能梯度材料板的设计与分析非常重要。对受到常机械载荷和循环温度作用下的由弹塑性金属材料和陶瓷相材料构成的功能梯度材料(FGM)板进行安定性分析, 其中板的材料热物参数空间变化采用指数函数模型描述。首先给出温度变化在FGM板厚度方向的分布函数, 根据平面应力状态, 分别给出机械应力和热应力纯弹性解, 然后基于静力安定定理推导出了安定分析理论模型, 并对具体的FGM板进行了安定性分析。结果表明相同组分材料且各组分材料总体积含量相同条件下的复合材料, 组分材料沿板厚度方向连续梯度变化可提高板的安定性。
关键词热机械载荷    安定性分析    金属/陶瓷功能梯度材料板    
Shakedown analysis of metal/ceramic functionallygraded material (FGM) plate
ZHENG Hengwei1,2,3, CHEN Xiaoliang1, CHEN Shiwei1     
1. Department of Engineering Mechanics, Chongqing University of Science & Technology, Chongqing 401331, China;
2. Chongqing Material Research Institute, Chongqing 400707, China;
3. School of Aerospace Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: Shakedown is an important problem in the design and analysis of functionally graded structures subjected to cyclic thermal and mechanical loadings. The static shakedown of a functionally graded material plate subjected to constant mechanical load and cyclic temperature change was analyzed with the approach proposed by the authors previously. The functionally graded material plate is composed of elastoplastic metallic matrix reinforced by elastic ceramic particles, with the effective mechanical properties varying continuously along the thickness of plate by an exponential function and temperature vary linearly along the thickness by a linear function. Based on theory of static shakedown analysis, shakedown analysis model is obtained with purely elastic solution of mechanical stress and thermal stress. The results show that a proper continuously graded distribution of material properties can efficiently improve the shakedown capability of the functionally graded material plate.
Key words: thermal-mechanical loading    shakedown analysis    functionally graded material plate    

航空、航天、能源等热防护系统因受到复杂的高温和机械载荷作用而对材料和结构提出苛刻要求, 需采用各种途径挖掘材料的潜力, 其中梯度设计和安定分析都是充分利用材料承载能力的有效手段, 功能梯度材料作为一种新型的先进材料应运而生[1-2]。功能梯度材料(FGM)是一种先进的复合材料, 其各相材料分布、细观结构以及力学性能均在空间上连续梯度变化, 该材料提出最初应用目标即为航天飞机热防护系统和发动机热端部件[3]。金属/陶瓷功能梯度材料是最为常见使用最为广泛的梯度材料, 在导热系数达到设计要求的前提下, 它能克服多层热防护材料之间的层间缺陷及小块材料之间连接困难的不足, 缓和热应力集中现象[4]。FGM现已被广泛应用到生物、机械和光电等各个领域如[5-6]。迄今为止, 对FGM的力学问题研究主要集中在弹性解、等效材料热物参数细观力学模型、弯曲、屈曲、振动和断裂等[7-8]。但是其中的金属相材料性能与温度相关[9], 并且具有热弹塑性特性和循环载荷作用的材料疲劳破坏特性, 无论从制备条件还是从安全使用上考虑, 研究整个结构弹塑性响应非常必要。安定分析作为塑性力学分析重要分支, 可避免一般弹塑性分析[10]时对复杂加载历史的跟踪而直接获得结构极限承载能力, 已逐渐成为近代工程强度设计规范中塑性失效准则的重要判据[11-12]。本文提出采用安定性分析理论对金属/陶瓷FGM板的进行安定分析并获得板的极限承载能力。

本文基于作者前期工作基础[13]和经典安定性理论, 首先推导出金属/陶瓷FGM板安定性分析理论模型, 然后基于所建理论模型分别对606Al/Al2O3 FGM板和Al/SiC FGM进行安定性分析, 得到板的安定区域, 最后给出几点讨论。

1 安定性分析理论模型 1.1 问题的提出

首先简单介绍一下结构的静力安定性理论。若物体或结构在具有一定范围的变值载荷作用下, 除初始阶段产生一定塑性变形并出现一个残余应力分布外, 不管载荷在此范围内如何变化, 物体或结构中不再出现新的塑性变形, 则称结构所处的状态为安定状态; 反之称为非安定状态。如图 1所示FGM板, 受到如图所示的常机械载荷和循环温度载荷作用, 且令其εy=0, 此类问题与Bree板[14](Bree提出均匀材料板的安定分析理论, 采用此方法分析的板被称为Bree板)类似, 可采用Bree所提出的安定性分析思路对功能梯度材料板进行安定性分析。

图 1 功能梯度材料板 Fig. 1 Functionally Graded Material plate
1.2 热物参数空间分布描述模型及温度空间分布函数

FGM热物参数空间分布描述模型一般有幂函数模型和指数函数模型, 本文采用指数函数模型[15], 即

(1a)

这里我们分别采用MhM0表示板上下表面处的等效热物参数, 即Mh=M(h/2)和M0=M(-h/2), 分别代入式(1a)可得a=M0 (Mh/M0)1/2, b=ln(Mh/M0)/h, 则式(1a)可表示为

(1b)

若将M分别换成Eασy, m分别表示为mEmαmy, 可以得到

(2)

这里, E(z),α(z)和σy0(z)分别表示杨氏模量、热膨胀系数和屈服应力的空间分布, 这里不考虑温度对材料热物参数的影响。其他的材料参数如泊松比ν和强化参数d视为常数。

板在某周期前半周期nΔt < t < (n+0.5)Δt (n=0, 1, 2, …)时所受循环温度载荷变化为板上表面的θ0线性变化到下表面的θ0θ(z), 忽略热传导的影响, 即Δθ(z)表示为

(3)

板在某周期后半周期(n+0.5)Δt < t < (n+1)Δt (n=0, 1, 2, …)时Δθ=0,即Δθ(z)=0。

1.3 机械应力和热应力的纯弹性解

本文所分析的板为平面应力问题且无剪切应力, 则应力应变关系为

(4a)
(4b)

考虑到εy=0, εx=ε0,则有

(5)

当只有机械载荷Px作用即Δθ(z)=0时的机械应力σp, 由应力边界条件并将式(2)和式(3)代入式(15), 可得

(6)

其中, γE=E(h/2)/E(-h/2)。

当只有温度载荷Δθ(z)作用即Px=0时的热应力σθ, 采用同样的方法可得

(7a)

这里

(7b)
1.4 热机械载荷作用下金属/陶瓷FGM板安定性分析理论模型

结构的安定性分析可以确定结构极限承载能力, 即确定结构所受载荷的安定区域范围和结构安定—破坏时所能承受的载荷边界。这里首先给出板处于弹性区域即未发生初始屈服时的理论模型, 然后再给出板处于安定性区域即板发生屈服但并未达到极限承载能力时的理论模型。这里由于机械应力σp与温度和时间无关且σp≥0恒正, 所以根据σθ≤0和σθ≥0即分别对应fθ≤0和fθ≥0时, 将板分为两部分进行考虑。

1) 弹性区域理论模型

(8a)
(8b)

2) 静力安定区域理论模型

假设板中存在与时间、温度无关的残余应力场ρx(z)和强化参数d, 若使局部发生屈服响应的板不再发生塑性变形, 即其应力分布满足以下条件

(9a)
(9b)

这里循环温度载荷仅作用在前半周期nΔtt≤ (n+0.5)Δt内, 且σy(z)=y0(z)。此时, 我们称为板为静力安定的。静力安定性分析又分为两种情况:一种是板在循环载荷作用下经过塑性变形在某个方向发生累积而达到累积破坏, 即对应安定—塑性累积破坏边界; 另一种情况为板在循环载荷作用下在某两个方向出现循环塑性变形而最终发生塑性循环破坏, 即对应安定—塑性循环破坏边界。这两种情况对应的理论模型为:

(a) 安定—塑性累积破坏

由于机械应力σp为正应力, 而热应力σθfθ≥0时为σθ≥0, 在fθ≤0时为负σθ≤0, 则可以确定板中应力极限值首先达到σy, 即板处于安定状态至发生累积破坏的区域条件为

(10)

(b) 安定—循环破坏

由于在任何一个周期内机械应力σp和残余应力ρx(z)均与温度和时间无关, 而在前半周期Δθ≠0和后半周期Δθ=0, 若发循环塑性变形, 板中存在某处的应力在整个周期内两次达到强度极限且分别为σy和-σy, 即分别联立9(a)第1式、9(b)第1式和9(a)第2式、9(b)第2式,可得到板处于安定状态至发生循环破坏的区域条件为

(11)
2 金属/陶瓷FGM板安定分析算例 2.1 606Al/Al2O3 FGM板及其等效均匀复合材料板安定区域分析与比较

首先给出板上下边界处的等效热物参数[16], 即

(12)

将式(12)中的参数分别代入式(2), 即可得到606Al/Al2O3 FGM板热物参数空间分布, 继而代入式(6)和(7)即可得到606Al/Al2O3 FGM板相应的机械应力σp和热应力σθ分布, 结合式(8),(10)和(11), 编程计算, 即可得到606Al/Al2O3 FGM板相应的纯弹性区域边界和安定区域边界, 图 2实线表示的即为606Al/Al2O3 FGM板的纯弹性区域边界和安定区域边界。

图 2 606Al/Al2O3 FGM板及其等效均匀复合材料板安定区域图 Fig. 2 Shakedown area of Al/Al2O3 FGM plate and the equivalent homogeneous material

为了将606Al/Al2O3FGM板与其等效均匀材料板(材料组分、体积含量和板几何结构均相同的一般复合材料板)的安定区域进行比较, 采用同样的方法本文也得到了等效均匀材料板的弹性区域边界和安定区域边界, 图 2中采用虚线表示, 从图 2中可见, 606Al/Al2O3FGM板的纯弹性区域和安定区域均比其等效均匀材料板纯弹性区域和安定区域大, 说明板的材料采用梯度设计可以提高其安定性。其中等效均匀材料板的等效热物参数计算模型

(13a)
(13b)
(13c)

具体求得结果为E=79.5GPa, α=15.6×10-6K-1, σy0=246.63MPa, 应力分布为

(14)
2.2 Al/SiC FGM板及其等效均匀复合材料板安定区域分析与比较

采用同样的方法分别对Al/SiC FGM板及其等效均匀复合材料板进行了安定分析。Al/SiC FGM上下边界处的等效热物参数[19], 即

(15)

同样的, 将式(15)中的参数分别代入式(2), 即可得到FGM板热物参数空间分布, 继而代入式(6)和(7)即可得到Al/SiC FGM板的机械应力σp和热应力σθ分布, 结合式(8),(10)和(11), 编程计算, 即可得到Al/SiC FGM板的纯弹性区域边界以及板安定区域边界, 图 3中实线表示的即为Al/SiC FGM板的纯弹性区域边界和安定区域边界。

图 3 Al/SiC FGM板及其等效均匀复合材料板安定区域图 Fig. 3 Shakedown area of Al/SiC FGM plate and the equivalent homogeneous material

同样的, 根据式(14)求得了Al/SiC FGM板等效均匀材料的热物参数为E=91.4GPa, α=19.3×10-6K-1, σy0=117.6MPa, 其应力分布为仍由式(14)给出, 经过计算得到等效均匀材料板的纯弹性区域边界和安定区域边界, 在图 3中的由虚线表示。从图 3中可见, Al/SiC FGM板的纯弹性区域和安定区域均大于其相应的等效均匀材料板纯弹性区域和安定区域, 进一步说明采用梯度设计板的材料分布, 可以提高其安定性。

3 结论

本文对受到循环热机械载荷作用下的金属/陶瓷功能梯度材料板(FGM板)及其等效均匀材料板进行了安定分析和结果比较。文中FGM板材料热物参数空间分布采用指数函数模型描述, 等效均匀材料板材料热物参数各向同性。从文中606Al/Al2O3FGM板和Al/SiC FGM板的安定区域计算分析结果图可以看出, FGM板的安定区域相对大于其等效材料均匀板的安定区域, 这说明了材料的梯度设计可以提高其安定性, 同时也说明了对FGM板进行安定分析的重要性。

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