有关偏微分方程解的渐近行为研究是近年来无穷维动力系统理论研究中的热点问题之一^[1-9]。本文研究了一类含线性阻尼的非线性自治g-Navier-Stokes系统解的渐近性, 其一般形式如下^[8-9]:

(1)

(2)

(3)

其中u(x, t)∈R²表示速度, p(x, t)∈R表示压力, α是阻尼系数。设在Ω上有u(x, 0)=u₀(x), v > 0, f=f(x)∈(L²(Ω))²是外力项。这里g=g(x₁, x₂)是某个实值有界光滑函数。

1 预备知识

设λ₁ > 0, λ₁∈R,

(4)

令L²(g)=(L²(Ω))², H₀¹ (g)=(H₀¹ (Ω))²; 其内积和范数分别为:(u, v)=∫_Ωu·vgdx, |·|=(·, ·)^1/2, u, v∈L²(g); , 这里u=(u₁, u₂), v=(v₁, v₂)∈H₀¹ (g)。范数‖·‖与H₀¹ (Ω)的范数等价。

设在Ω中有紧支集的C^∞函数空间为D(Ω), 在Ω}; H_g为在L²(g)中的闭包且具有L²(g)的内积和范数; V_g为在H₀¹(g)中的闭包且具有H₀¹(g)的内积和范数，于是有

(5)

定义g-Laplacian算子: , 由g-Laplacian算子，式(1)可改写为:

(6)

定义g-正交投影为P_g:L²(g)→H_g及g-Stokes算子。

将投影P_g作用于方程(6)可得式(1)的下列弱形式:设f∈V_g, u₀∈H_g，则有

(7)

因此∀v∈V_g, ∀t > 0,

(8)

(9)

其中b_g:V_g×V_g×V_g→R，且

(10)

这里。

于是式(8)和(9)等价于:

(11)

(12)

A_g和B(u)的定义参见文献[8-9]。

由文献[10-13]可知, ∀u, v∈D(A_g),

(13)

(14)

(15)

进而

(16)

由文献[14-15]可知,

(17)

命题1^[7-8]  设f∈L²(g), u₀(x)∈H_g，则存在唯一的u(x, t)∈L^∞(R⁺; H_g)∩L²(0, T; V_g)∩C(R⁺; H_g)(∀T > 0), 使得式(8), (9)成立。

2 二维自治g-Navier-Stokes系统解的渐近光滑效应

引理1  设f∈L_loc² (R, H_g), u₀(x)∈H_g, 且u(x, t)∈L^∞(R⁺, V_g)∩L_loc² (0, T, D(A_g))∩C(R⁺, V_g), u′(x, t)∈L_loc² (R_τ; H_g)(∀t > 0)是(1)的强解, 则对所有的t≥τ下面的估计成立:

(18)

这里充分小。

证 明  给式(11)两端乘以-Δu(t)，可得

用Young′s不等式可得

故

应用Poincare不等式，得

设

则有

应用Gronwall′s引理得

设

(19)

则B₁有界, ‖u‖²≤p₁², ∀u∈B₁且B₁是V_g中的有界吸收集。

定理1  设f∈H_g, 则方程(1)~(3)所对应的半群在V_g中有全局吸引子A₁满足下列条件:

1) A₁在V_g中是紧的;

2) S(t)A₁=A₁;

3) 对V_g中的任意有界集B₁, 有

证 明  方法与文献[6]证明H_g中全局吸引子的方法类似, 故略去。

引理2  设f∈H_g, 且B是H_g中的有界子集, 设u(t)=s(t)u₀是方程(1)~(3)的相应的解, u₀∈B，则存在t₀和常数C > 0，使得

证 明  将方程

两边与u_t作内积, 可得

则

故

则

从而

则

(20)

这里‖u‖²≤λ₁|A_gu|², u∈D(A_g)。

将方程两边与A_gu作内积, 可得

故

则有

两边在[t, t+1]上积分, 令

得

则

而由式(20)知

两边在[t, t+1]上积分,

取常数

则有

定理2  设f∈H_g且f充分小, 则有A₀=A₁, 这里A₀和A₁分别表示H_g和V_g中的全局吸引子。

证 明  易知A₀⊂A₁, ∀ξ∈A₀, 由上面定理1可知, 对任意t_n=n, 存在{b_n}⊂A₀, 使得S(n)b_n=ξ。由于b_n∈A₀=S(t₁)A₀, ∀t₁ > 0。则存在{c_n}⊂A₀，使得S(t₁)c_n=b_n。因为A₀在H_g中是紧的, 由引理2可得{S(t₁)c_n=b_n|t₁≥t₀}是V_g中的有界子集, 所以

由ξ的任意性可得A₁⊂A₀, 从而A₀=A₁。