“准确度”(accuracy)是指一个量的测量结果与其真值之间的一致程度，是一个定性概念。“误差”表示测量结果与真值之间的差异。一般来说，只有极少情况下一个量的真值是可知的。因此，“误差”通常是不可测量的，人们不得不对误差进行“估算”，这个估算结果即称为不确定度，它是对被测量真值所处范围的一个估计，含有概率意义。测量不确定度是可以“定量”评定的量，通常用标准差或其倍数表示，称为标准测量不确定度或扩展测量不确定度，也可用相对标准测量不确定度或相对扩展测量不确定度表示。
天平是风洞试验中最重要的测量装置，用于测量作用在模型上的空气动力载荷（力与力矩）的大小、方向和作用点。风洞天平不确定度是一个涉及统计技术和工程经验判断的复杂问题,一直是风洞天平领域讨论和争议的话题。文献[1]对天平及其校准系统不确定度的评定方法进行了研究,文献[2, 3, 4, 5]对风洞天平的不确定度评定方法进行了研究。尽管这些文献中也涉及了天平校准系统不确定度的评定方法及案例,但并未作深入、详细的讨论,仍有许多有待进一步研究的问题,比如加载头不确定度的评定方法。
加载头是天平静态校准装置中最重要的设备之一,用于模拟天平的工作状态,对被校天平准确施加载荷,其主要功能是确保力的三要素中“作用点”位置的准确。然而,由于加载头制造和尺寸参数测量过程中存在各种误差,导致各施力点的实际位置偏离其理论正确位置,从而产生误差。这些施力点的位置误差会传导到天平校准公式中,进而影响天平的测量不确定度。因此,有必要对加载头不确定度的评定方法进行研究。
本文采用GUM（guide to the expression of uncertainty in the measurement,ISO/IEC GUIDE 98-3:2008）方法,建立加载头施力点位置坐标的测量模型及不确定度评定方法,给出加载头不确定度的表示方法及指标要求,以某型加载头为例,分析不确定度来源,给出不确定度评定的详细过程及结果,并对评定结果进行分析。
1 加载头不确定度的评定方法 1.1 测量不确定度的评定流程用GUM方法评定加载头测量不确定度的流程分以下5个步骤进行：(1) 建立测量模型,分析不确定度来源；(2) 评定标准不确定度或相对标准不确定度；(3) 计算合成标准不确定度或合成相对标准不确定度；(4) 确定扩展不确定度或相对扩展不确定度；(5) 报告测量结果。
1.2 测量模型的建立测量中,当被测量Y（即输出量）由n个其它量X1,X2,…,Xn（即输入量）通过函数f来确定时,被测量Y的数学模型为：
式中：大写字母表示量的符号,f为测量函数。
设输入量Xi的估计值为xi,被测量Y的估计值为y,则测量模型可写成如下形式：
加载头的主要作用是保证天平校准过程中施力点作用位置的准确，当施加力分量载荷时,需要知道加载头各施力点的三维空间位置坐标，当施加力矩分量载荷时,需要知道力臂的大小,这些参量都是可以直接测量的自变量。尽管测量模型与测量方法有关,但无论采用何种测量方法,加载头各施力点的位置坐标及力臂大小都可以用式（3）所示的线性测量模型表示：
根据GUM方法,测量不确定度一般由若干个分量组成,每个分量用其概率分布的标准偏差估计值来表征,称作标准不确定度。用标准不确定度表示的各个分量用ui表示。按标准不确定度值的评定方法不同,可分为A、B2类不确定度。
1.3.1 加载头标准不确定度的A类评定方法标准不确定度的A类评定流程可分为以下4个步骤进行：
（1）对被测量X进行n次独立观测,得到一系列观测值xi（i=1,2,…,n）；
（2）按下式计算被测量的最佳估计值；
（3）按下式计算实验标准差；
（4）按下式计算A类标准不确定度。
标准不确定度的B类评定流程可分为以下4个步骤进行：(1) 根据相关信息确定区间半宽度a；(2) 假设被测量值在该区间内的概率分布；(3) 确定k值；(4) 按下式计算B类标准不确定度。
式中：a是被测量可能值区间的半宽度；当根据概率论获得k值时,k称为置信因子；当k为扩展不确定度的倍乘因子时,k称为包含因子。
如不确定度来源于制造部门的说明书、校准证书、手册或其他资料,其中同时还明确给出了其扩展不确定度U是标准差s(x)的k倍,则标准不确定度为
加载头合成标准不确定度计算流程如下：
（1）对式（2）所示的测量模型,按下式计算灵敏系数
（2） 按下式计算不确定度分量；
（3）通常假定各分量间互不相关,按下式计算加载头合成标准不确定度。
将标准不确定度除以测得值的绝对值即为相对标准不确定度,用符号urel(y)表示。
1.6 扩展不确定度的评定方法扩展不确定度是被测量可能值包含区间的半宽度,其计算方法如下：
测量结果可用下式表示：
y是被测量Y的估计值,当取包含因子k=2时,上式表明：被测量的值大约有95%的概率落在区间［y-U,y+U］内。
1.7 加载头测量不确定度的报告与表示加载头各施力点位置坐标测量不确定度采用扩展不确定度U报告与表示,加载头力矩力臂的测量不确定度采用相对扩展不确定度Urel报告与表示,取2位有效数字,具体表示格式将结合应用案例在第3节给出。
2 加载头不确定度的指标 2.1 施力点位置坐标的不确定度指标一般而言,影响加载头施力点位置误差的主要因素有：
（1）尺寸公差。应不低于GB/T 1800.2—2009规定的IT7级,用符号δ1表示（B类评定）；
（2）尺寸对称性公差。应不低于GB/T 1184—1996规定的7级,用符号δ2表示（B类评定）；
（3）安装误差。依据文献[10],安装误差应控制在0.02mm以内（B类评定）。
假定上述误差均服从均匀分布,根据式（7）,可得：
假定上述各不确定度分量之间相互独立,根据式（11）,则有：
那么,加载头施力点位置坐标扩展不确定度的合格指标为：
加载头是天平校准装置的重要组成部分,而天平校准装置是风洞天平的校准（标定）设备,因此,可以认为天平校准装置是风洞天平的上一级计量设备,加载头是其上二级计量设备。从理论上来讲,上一级计量设备的不确定度应比下一级设备高一个数量级。这一条件较为苛刻,在工程实践中通常难以实现,或者实现的经济代价较高。文献[6]给出的建议是：上一级计量设备的不确定度应不低于下一级设备不确定度的1/4。根据这一原则,加载头的不确定度应不低于风洞天平不确定度的1/16。
文献[7]给出的风洞天平相对扩展不确定度为：合格指标Urel=1.0%,先进指标Urel=0.3%,扩展因子k=2。根据上述原则,确定加载头力矩力臂的指标如下：
（1）合格指标：Urel=1.0%/16=0.063%
（2）先进指标：Urel=0.3%/16=0.019%
（3）扩展因子k=2。
3 应用案例 3.1 评定对象简介TJZ-1校准架配备的A、B和C3个型号的加载头施力挂点布局形式完全相同,共有14个施力挂点。以A型加载头（见图 1）为例,施力挂点具体布置如下：
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| 图 1 加载头施力点位置及编号 Fig. 1 Application points’ locations and serial numbers for the load adapter |
(1) 沿+y轴方向布置有2个施力挂点（编号为11和12）,通过定滑轮换向,用以施加+y方向的载荷；
(2) 沿-y轴方向布置有4个施力挂点（编号为7～10）,用以施加-y方向的载荷；
(3)沿+x轴方向布置有2个施力挂点（编号为13和14）,通过定滑轮换向,用以施加-x方向的载荷；
(4)沿-x轴方向布置有2个施力挂点（编号为3和4）,通过定滑轮换向,用以施加+x方向的载荷；
(5)沿+z轴方向布置有2个施力挂点（编号为5和6）,通过定滑轮换向,用以施加+z方向的载荷；
(6)沿-z轴方向布置有2个施力挂点（编号为1和2）,通过定滑轮换向,用以施加-z方向的载荷。
3.2 加载头施力挂点不确定度的评定过程 3.2.1 测量方法及步骤(1)选用三坐标测量仪（型号FARO,U=0.018mm,k=2）作为加载头空间位置的测量设备,用标准球头进行自校准,以此建立仪器默认坐标轴系o0x0y0z0；
(2)在默认坐标轴系o0x0y0z0,测量图 1中编号为11和12的2施力点定位圆柱孔,同时测量加载头上表面,以此建立图 2所示的加载头参考坐标轴系oxyz；
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| 图 2 加载头坐标轴系 Fig. 2 Coordinate system for the load adapter |
(3)在参考坐标轴系oxyz下,用三坐标测量仪测量加载头各施力点的位置坐标；
(4)按第1节所述方法评定其不确定度。
需要说明的是,该型加载头六个分量的载荷均以顶尖+顶尖窝配合的形式施加。顶尖的准确位置坐标难以测量,而其定位圆柱孔的孔径容易测量准确。因此,采用测量各挂点定位圆柱孔孔径的办法来定义各方向施力挂点的位置坐标。这样,只有2个位置坐标对定义各挂点的位置有效（沿自身坐标方向的位置坐标无效）。例如,7号挂点是沿-y坐标轴方向的挂点,在该挂点定位圆柱孔的测量结果中,x和z坐标是有效位置坐标,而y坐标测量结果是无效的。其它挂点的有效坐标以此类推。
3.2.2 测量模型为节约篇幅,以该型加载头编号为7的施力点定位圆柱孔的x坐标为例,详细说明其不确定度的评定过程。其测量数学模型为：
(1)数学公式
式中：x7为加载头7号施力点在参考坐标轴系oxyz中的位置坐标测量值,是输入量,mm；X7为加载头7号施力点在参考坐标轴系oxyz中的位置坐标,是输出量,mm。
(2)灵敏系数
根据式（9）,有：
影响7号施力点位置坐标测量不确定度的主要因素有：
(1) 7号施力点位置在参考坐标轴系oxyz中x坐标重复性测量引起的标准不确定度分量u1（A类评定）；
(2) 三坐标测量仪引起的标准不确定度分量u2（B类评定）；
(3) 建立加载头参考坐标轴系oxyz的x坐标轴引起的标准不确定度分量u3。u3是合成标准不确定度,由下列分量构成：
a.11号施力点在默认坐标轴系o0x0y0z0中的x0坐标引起的标准不确定度分量u31。u31是合成标准不确定度,由下列分量构成：
(a)11号施力点在默认坐标轴系o0x0y0z0中x0坐标重复性测量引起的标准不确定度分量u311（A类评定）；
(b)三坐标测量仪引起的不确定度分量u312（B类评定）。
b.12号施力点在默认坐标轴系o0x0y0z0中的x0坐标引起的标准不确定度分量u32。u32是合成标准不确定度,由下列分量构成：
(a)12号施力点在默认坐标轴系o0x0y0z0中x0坐标重复性测量引起的标准不确定度分量u321（A类评定）；
(b)三坐标测量仪引起的不确定度分量u322（B类评定）。
3.2.4 不确定度分量的评定(1) u1的计算。用三坐标测量仪对7号施力点在参考坐标轴系oxyz中的x坐标重复进行7次测量,测得的原始数据如下（单位：mm）：750.054 5,750.050 6,750.051 9,750.055 9,750.046 2,750.041 1,750.045 9。根据1.3.1节,可得：
(2) u2的计算。根据式（8）,可得：
(3) u3的计算。根据3.2.1节所述参考坐标轴系oxyz的建立方法,可得如下测量模型：
则有：
式中：x011和 x012分别为加载头11号和12号施力点在默认坐标轴系o0x0y0z0中的x位置坐标测量值,都是输入量,mm；x0为加载头参考坐标轴系oxyz的x坐标轴在默认坐标轴系o0x0y0z0中的位置坐标,是输出量,mm。
（4） u31的计算。u311和u312评定方法同u1和 u2,限于篇幅,直接给出其评定结果如下：
假定u311和u312之间不相关,则有：
（5）u32的计算。同理,可得：
由于11和12号挂点的位置坐标是用同一测量仪器且在同一时间段测量的,因此,应该认为2者的测量数据存在相关性。此处,假定u31和u32完全正相关,即相关系数为1,则有：
根据式（11）,可得：
根据式（12）,可得其扩展不确定度为：
加载头7号施力点定位圆柱孔的x坐标不确定度为：
同样,可得出其它施力点的扩展不确定度,最大值为U=0.064mm,最小值U=0.042mm,平均值为U=0.044mm。
3.3 加载头力矩力臂不确定度的评定过程为节约篇幅,以A型加载头7号施力点的俯仰力矩力臂为例,说明其不确定度的评定过程。
由图 1和2可知,7号施力点的x坐标值即为该加载头俯仰力矩的力臂。由3.2节可知,7号施力点x坐标的不确定度评定结果为：
则其相对扩展不确定度为：
7号施力点俯仰力矩力臂的不确定度评定结果报告为：
同样,可得出其它力矩力臂的相对扩展不确定度。最大值为Urel=0.0082%,最小值为Urel=0.0056%,平均值为Urel=0.0072%。
3.4 结果分析 3.4.1 性能指标分析根据A型加载头各施力点尺寸,查文献[11],可知：δ1=0.046mm,δ2=0.030mm,由2.1节可得：
即该型加载头施力点位置坐标的扩展不确定度合格指标为：U=0.068mm。
如前所述,该型加载头各施力点扩展不确定度评定结果的最大值为U=0.064mm,最小值U=0.042mm,平均值为U =0.044mm。由此可见,该型加载头全部施力点的位置坐标不确定度指标均满足合格指标。
对比2.2节所给指标要求,可见该型加载头力矩力臂参数的相对扩展不确定度指标全部达到0.019%的先进指标。
3.4.2 UPC分析为了定量分析不确定度各分量对总不确定度的贡献,引入不确定度贡献百分比（The Uncertainty Percentage Contribution(UPC)）如下：
式中：ui为标准不确定度的第i个不确定度分量。
由此可见,UPC值代表了第i个不确定度分量在合成标准不确定度中所占的比重。因此,UPC值又可称为不确定度相对灵敏度因子。研究试验结果中各不确定度分量相对于试验结果总不确定度的灵敏度是非常有用的,它使得人们能集中精力于那些关键性的测量过程,并决定是否做出改变以满足试验目标要求。
将3.2节分析结果代入式（40）,可得：
由此可见,在该型加载头编号为7的施力点定位圆柱孔x坐标不确定度评定结果中：(1)第1和第2两个不确定度分量所占权重较小,表明测量仪器选用合理,测量过程可靠；(2)第3个不确定度分量,即建立加载头参考坐标轴系oxyz的x坐标轴引起的标准不确定度分量占有最大的权重（UPC=79.3%）,表明建立加载头参考坐标轴系oxyz的过程引入了最大的误差。
分析其他施力点位置坐标不确定度评定结果,也可得出类似的结论。因此,针对本文所提加载头不确定度评定方法,如何建立加载头参考坐标轴系是有待进一步改进的试验步骤。
4 总结与展望本文依据统计学原理,结合风洞天平加载头的实际,提出了一种天平加载头不确定度的评定方法,解决了天平加载头不确定度的评定方法问题,为进一步评定天平校准系统的不确定度奠定了基础。
本文研究了天平加载头施力点位置坐标及力矩力臂不确定度的性能指标,为在设计、加工制造等环节中控制加载头的不确定度提供了依据。
本文所述方法符合GUM规范及参考文献[8] 和[9]的相关规定,条理清晰、层次分明,可操作性强。案例分析结果合理,反映了风洞天平加载头的物理本质。针对本文所提加载头不确定度的评定方法,如何建立加载头参考坐标轴系是有待进一步改进的试验步骤。
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