传统纹影是通过一系列的光学器件组合，利用穿过流场光线的偏转，将人眼无法观察到的流场内密度变化展现为图像的技术。传统纹影虽然在可视化流场的观测中已有着广泛的应用，但它还存在着诸多局限性，如传统纹影有着相对复杂的系统、使用不灵活、成本相对较高、只能获得流场的某一个方向上的偏转角信息，而且鉴于其易受光源亮度、流场均匀程度、镜片反射率、流场对光线的透射率、刀口切入深度、相机光圈大小等因素的影响，传统纹影很难实现定量化。
21世纪初，Richard和Meier等[1, 2]在传统纹影的基础上发展了背景纹影技术。背景纹影系统设置简单、使用灵活、成本较低、可以获得流场2个方向上的偏转角信息，且容易定量化，在国内外研究中已有广泛的应用。如Klinge等[3]联用背景纹影和PIV技术获得了风洞内流场的密度和速度分布。Goldhahn等[4]详细地分析了背景纹影在流场测量中灵敏度和精度等问题。Elsinga等[5]将彩色纹影和背景纹影技术相结合获得了流场中的剪切层和流体的膨胀与压缩信息。Leopold等[6, 7]用改进后的彩色背景纹影技术获得了超音速风洞内流场和直升机翼片周围的流场。Ramanah等[8]将背景纹影技术应用于超声速冲击波流场的显示。Kotchourkoa等[9]利用背景纹影获得了氢气射流的密度。周昊等[10]研究了背景纹影技术在火焰温度场测量中的应用，发现所得的温度场符合实际情况。
背景纹影算法方面，多数学者采用PIV技术中的互相关算法来分析像素偏移情况。少数学者引入了光流算法，如Atcheson B[11]等详细地介绍了光流算法，并比较分析了各种光流算法在背景纹影中应用情况，发现由于光流算法在背景计算中的取样点远远多于互相关算法，可大大改进所得结果。
国内外关于背景纹影的研究表明，该技术是一种可靠的获得流场密度分布信息的有效检测手段，与PIV等技术的联用，可实现流场的可视化测试。但是，目前此类研究的重点主要关注流场信息定性的分布及变化情况，对参数定量化的研究相对欠缺，仍在逐步开展。例如，Klinge[3]等学者已对该技术的定量化研究进行了探索。S. Tokgoz等[12]开始研究用背景纹影技术进行温度测量，在他们的薄液层温度测量研究中发现，背景纹影定量化技术不仅可测得薄液层稳定状态下的温度，也可以测得其流动时的温度。但总的来看，多数研究中的测量对象仅限于无化学反应、无明显温度变化的流体中，在火焰等复杂流体中的应用研究则相对较少，难以满足应用需要。
基于以上分析，有必要分析和探讨背景纹影定量化技术在火焰研究中应用的可行性及准确性，尝试从纹影测量的流场密度分布出发，基于Gladstone-Dale公式和理想气体方程，获得流场温度信息。本文比较了各类常用背景的特点，采用了多尺度小波噪点背景，接着在应用小波噪点背景的基础上详细分析了互相关算法和变分光流算法在获得图像像素偏移值上的优劣，并搭建了背景纹影技术测火焰温度的实验系统，最终通过背景纹影的定量化计算方法获得了火焰的温度分布，与Q.V.Nguyen[13]等的实验结果相比较具有一定的准确性。
1 背景纹影原理与算法区别于传统的纹影，背景纹影的偏转角获得是通过对比具有一定时间间隔前后拍摄的2张图片上像素差别得到的，其原理如图 1所示，实线表示无火焰时从背景发出到相机成像平面上的光线，虚线表示火焰存在时，因流场折射率变化发生偏转后进入到相机成像平面上的光线。通过比较前后2图像上位置的变化，可以得到偏转角分布。
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| 图 1 背景纹影原理示意图 Fig. 1 Schematic of background oriented schlieren |
光线经过一个折射率有变化的流场，就会发生偏转，其偏转角θ和折射率n的关系可用下式表述[14]：
式中:rn指火焰截面最外圈半径，ri指θi所对应的半径，y等于ri。
通过背景纹影获得流场折射率信息，进一步可处理获得温度分布，实现过程首先需要假设条件并计算获得定量化的流场密度分布，具体方法是通过计算前后2张背景图片的像素偏移来获得光线偏转角。通过式(1)可由光线偏转角获得折射率。在得到流场的折射率后，可以通过Gladstone-Dale公式由折射率获得密度。在获得密度的基础上，结合理想气体状态方程可以将温度和密度联系起来，完成整个由背景纹影定量化获得流场温度的过程[10]。
1.1 多尺度小波噪点背景背景的选择在背景纹影中占有很重要的地位。几个常用的背景如图 2所示。大多数背景纹影会选择随机噪点[11]。随机噪点和有规则噪点的最大问题是它们具有尺度限制。特别是应用互相关算法时，一个窗口的粒子数不宜太多也不宜太少，那么为了适应不同尺度的噪点，每次取窗口大小时都需要预先判定，具有一定的随机性。尺度限制同样影响相机的设定，如果背景离相机太远，相机镜头的分辨率和焦距就需要相应提高，否则特定尺度的随机噪点或有规则噪点背景就会失去作用。
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| 图 2 几个常用的背景 Fig. 2 Common backgrounds |
由于多尺度小波噪点背景更接近自然背景，连续性更好，因此它的引入可以有效地解决随机噪点背景和有规则噪点背景的尺度限制问题，适用性更广。此外，多尺度小波噪点背景可以使得应用变分光流算法时获得的像素流场更加光滑。
二维多尺度小波噪点背景图像生成步骤如下，其流程图如图 3所示：
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| 图 3 多尺度小波噪点背景的生成流程 Fig. 3 The generation process of multi-scale wavelet noise background |
(1) 首先确定背景图像尺寸，设为2n×2n。
(2) 取某一分辨率下的尺寸2k×2k，为k<n。产生该尺度下随机噪点图 1幅，记为I(k)。
(3) 将该图像进行小波分析，取其低通信号，即对图片进行降采样，记为Idown(k－1)。
(4) 再将降采样后的图片进行小波重构，升采样为原始图片尺寸，记为Idownup(k)。
(5) 最后将所有n-1个尺度的图片都升采样至尺度n，取平均权重叠加在一起就形成了多尺度小波噪点图片。
本文中，为了方便图像尺寸的缩放采用“Haar”小波作为变换小波。
1.2 互相关算法在利用前后2张背景图片像素偏移值的计算中，需要利用图像运动分析算法，目前常用的算法是互相关算法，同时也有少数学者引用了光流算法。互相关算法是PIV粒子图像处理技术中常用的粒子测速方法。它是通过计算2个查询区内粒子速度的互相关性来获得粒子速度的。二维互相关函数定义如下[15]
式中：I1、I2为2张图像查询区内的像素灰度实函数。
由于互相关算法每迭代一次都需要查问整个图像空间域，计算量大。因此，Willert和Gharib[16]提出了在互相关算法中加入快速傅里叶变化(FFT)，较大程度地提高了互相关算法的运算速度，其流程图如图 4所示。首先在2张图像上取一样的查询区，分别对查询区内的像素灰度函数作快速傅里叶变换，然后通过互相关函数确定查询区间的最佳匹配，最后作傅里叶逆变换得到相应查询区内的速度。
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| 图 4 基于快速傅里叶变换的互相关算法流程图 Fig. 4 Flow chart of FFT cross-correlation algorithm |
由Horn和Schunck[17]最先引进的变分光流法是运动分析里最基本的方法。该算法假设图像序列在短时间内亮度恒定不变，即
式中：I(x+δx,y+δy,t+δt)是t+δt时刻的图片像素灰度，I(x,y,t)是t时刻的图片像素灰度。将式(4)右边进行泰勒级数展开，并舍去高阶项后，可得到光流梯度守恒方程:
式中：
。式(5)中有2个未知数u、v，未知数数量大于方程数，因此无法求解。为求解该方程需额外添加一个约束条件。最基本的约束方法是Horn-Schunck[17, 18]的全局平滑法和Lucas-Kanade的局部平滑法[19, 20]。
在式(5)的基础上，Horn和Schunck提出了一个全局光滑约束项，为
式中：
。这样，由式(5)和(6)就可以得到目标函数E(u,v)，即
于是，光流场的计算问题就变成了求解式(7)的最小值问题。
1.3.2 Lucas-Kanade算法Lucas和Kanade则认为光流梯度守恒方程在局部图像域Ω上成立，即
同样地，该方法也存在着未知数大于方程数的问题。该问题可通过由最小二乘法得到一个近似解来解决[21]。于是，目标函数就变为：
式中：
是系数矩阵，V是待求速度矢量，
为常数项。
互相关算法与变分光流算法相比，一方面，由于互相关算法计算过程中需要取查询区，而查询区内的样本数目有限，因此由互相关算法获得的结果在一定程度上受查询区选取情况的影响。而变分光流算法所取的区域为整个背景的像素点，相比于互相关算法，样本数目较庞大。因此，基于变分光流的Horn-Schunck算法和Lucas-Kanade算法能获得更加致密的速度场，更适用于灰度变化较连续的背景。另一方面，由于Horn-Schunck算法是基于全局平滑项来控制方程收敛的，当图像局部粒子密度差别较大时，单一变量控制无法得到局部平滑收敛解，此时误差会相对较大，该种情况下更适合采用Lucas-Kanade算法和互相关算法。
2 实验设置 2.1 实验系统为了实现用背景纹影定量化技术获得火焰温度场，本文建立了如图 5所示的背景纹影实验系统，其实物图如图 6所示。该实验系统可以分为燃烧实验台和背景纹影2部分。
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| 图 5 背景纹影实验系统图 Fig. 5 Schematic of the background oriented schlieren apparatus |
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| 图 6 背景纹影实验实物图 Fig. 6 Photo of the background oriented schlieren apparatus |
燃烧实验台用于产生本生型甲烷/空气层流预混火焰，其本生灯管口是外径为20mm、壁厚2mm、长度为100mm的不锈钢圆管。
背景纹影系统主要由相机和背景2部分组成。相机型号为佳能EOS-550D，背景图片为多尺度小波噪点背景。为使相机的快门和感光度选择有利于拍出低噪图像，特在背景后加设了1个250W的卤素灯。实验时，相机、火焰、背景需设置在同一直线上。由于本生灯火焰位置是固定的，因此相机和背景的位置依据本生灯火焰位置而定，相机的高度通过三脚架调整，背景的位置通过三维坐标架配合步进电机完成，其定位精度为0.1mm。
为了满足变分光流算法中亮度不变的假设，同时提高实验的精度，本实验特在以下几个方面做了相应的改进：(1)选择本生型层流预混火焰为测量对象，流场相对透明，密度梯度相对较小，可减少反射和散射的影响；(2)背景后设置卤素灯，可保证光源稳定；(3)选用的背景图案接近漫反射，可减少从不同角度观察时光线发生的变化；(4)为减少图像体积折射的再聚焦效应，选择较小的相机光圈。
实验中，背景与火焰的距离ZD=0.4m，背景与相机镜头的距离ZB=0.8m，相机镜头焦距fc=50mm。设背景图像上实际像素位移为Δy′，相机拍摄的图像像素位移为Δy，可以得到背景纹影光线偏转角的计算公式为：
图 7为实验获得的火焰背景纹影图像。从图中可以看出，由互相关算法获得的纹影图像噪声较大，由Horn-Schunk算法和Lucas-Kanade算法获得的纹影图像噪声较小。这是因为多尺度小波噪点背景更接近自然背景，像素分布较为连续，不利于提高互相关算法的信噪比。
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| 图 7 (a)多尺度小波噪点火焰背景纹影图 (b)互相关算法 (c)Horn-Schunck算法 (d)Lucas-Kanade算法 Fig. 7 (a)BOS picture of flame (b)cross-correlation algorithm(c)Horn-Schunck algorithm (d)Lucas-Kanade algorithm |
为了更好地比较在多尺度小波噪点背景下互相关算法、Horn-Schunk算法和Lucas-Kanade算法的计算结果，我们取距离本生灯管口上方200个像素处为研究对象，如图 7(a)中的红线所示。实验中，互相关算法中查询区的大小为8×8，重叠区域为查询区大小的50%。Horn-Schunck算法中规范化因子alpha取25，迭代步数为1000，在进行迭代前先对原始图片进行高斯滤波。Lucas-Kanade算法中邻域选择为20×20，同样在进行迭代前先对原始图片进行高斯滤波。这3种算法的火焰背景纹影像素偏移结果如图 8所示。
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| 图 8 3种算法的背景纹影像素偏移计算结果比较 Fig. 8 Comparison of pixel shift calculation results |
从图 8中可以看出，用互相关算法计算的像素偏移结果曲线波动明显较大，说明噪声比较严重。而由Horn-Schunck算法和Lucas-Kanade算法产生的像素偏移结果曲线则较为平滑，说明噪声较小，且2种算法结果基本一致。这是因为互相关算法得到的是查询区内粒子的平均速度，它的数据点远小于2种变分光流算法所用的数据点。这就进一步加大了噪声对互相关算法的影响。
从整个实验中，我们可以发现，多尺度小波噪点背景与2种变分光流算法的组合，可以得到相对平滑准确的像素偏移值。它不仅可以增强实验的自适应性，而且可以减少调试和选择的影响。这为后续温度场的计算提供了良好的基础条件。
在获得火焰背景纹影像素偏移值后，利用式(11)就可得到光线偏转角。接着，利用轴对称断层投影算法可以得到火焰折射率分布，本文利用的是直接积分法，该方法假设在半径ri和半径ri+1之间，折射率成线性变化,从而折射率梯度可以表达为：
，结合式(12)和(13)可以得到每个半径环ri对应的折射率ni。而要得到最终的温度场，还需利用Gladstone-Dale公式n=κρ+1来获得密度场，再利用理想气体状态方程[10]由密度场获得温度场。本文在计算过程中，假定流场为空气、Gladstone-Dale公式中的κ为常数，对于甲烷/空气层流预混火焰而言，κ为常数的假设所带来的误差相对较小，在6%~10%之间[22]。因此该假设在本文实验条件下是合理的。
本实验中，采用了2组当量比分别为1.06和0.83的甲烷层流预混火焰为测量对象，实验结果如图 9和10所示。
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| 图 9 当量比为1.06的甲烷层流预混火焰的温度场结果 Fig. 9 The temperature field of methane/air laminar premixed flame(φ＝1.06) |
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| 图 10 当量比为0.83的甲烷层流预混火焰的温度场结果 Fig. 10 The temperature field of methane/air laminar premixed flame (φ＝0.83) |
从图 9中可以看到，当量比为1.06的甲烷层流预混火焰最高温度约为1800K，温度分布从管口轴线向外逐渐升高，然后又降到环境温度。这是因为管口轴线处的来流预混气温度接近环境温度，预混气经预热后在火焰锋面处发生化学反应，温度逐渐升高。当温度到达最高点后，随着甲烷气体被消耗殆尽，又逐渐回到环境温度。
将图 10与9相比，可以发现当量比为0.83和1.06的甲烷层流预混火焰的温度分布大致相同，都是从管口轴线向外逐渐升高，然后又降到环境温度。不同的是，当量比为0.83的甲烷火焰最高温度只有1400K左右，低于当量比为1.06的甲烷火焰。
将本文所获得的温度场结果与Q.V.Nguyen[13]等人用Raman-LIF测定的甲烷本生型火焰温度场结果相比，趋势基本一致。
3 结 论在火焰温度的测量中，背景纹影定量化技术可以相对简单地获得轴对称火焰的温度场。本文在背景纹影实验台的基础上，利用多尺度小波噪点背景比较了互相关算法、Horn-Schunck算法和Lucas-Kanade算法这3种算法在火焰背景纹影图片像素偏移计算中的优劣。最后基于轴对称假设，再结合Gladstone-Dale公式和理想气体假设得到了预混火焰温度。将多尺度小波噪点背景和变分光流算法结合起来，一方面使得实验设置更加简单；另一方面由于多尺度小波噪点背景接近于实际自然背景的特点，也将进一步扩展背景纹影定量化技术在工程实践中的应用。本文获得的结论主要如下：
(1) 随机噪点背景具有尺度限制问题，而采用多尺度小波噪点背景更适用于背景纹影实验，它可以使得实验设置和调试更加简单。
(2) 在利用多尺度小波噪点背景时，基于变分光流的Horn-Schunck算法和Lucas-Kanade算法相比于互相关算法，所获得的图像像素偏移值噪声更小，数据更平滑。文中得出的这个结论，在一定程度上为大流场下背景像素偏移算法的选择提供了新的参考。
(3) 当量比为1.06的甲烷空气预混火焰最高温度为1800K，大于当量比为0.83的甲烷预混火焰温度。不过2者温度分布规律基本一致，都是从管口轴线向外逐渐升高，在达到最高点后又降到环境温度，符合本生灯火焰的特点。
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