0 引言

中国深部页岩储层具有埋藏深、压力大且裂缝发育等特点，油气资源潜力巨大^[1-4]。页岩储层为典型的横向各向同性（Vertical Transverse Isotropy，VTI）介质^[5]，除了黏土等矿物的优选排列之外，水平裂缝也是影响页岩储层VTI的一个重要因素^[6-7]。因此，深部页岩储层弹性参数的预测不仅需要考虑黏土等矿物的优选排列，还需要考虑压力对水平裂缝的影响。

地震岩石物理模型是搭建岩石微观物性参数与弹性参数的桥梁^[8-9]。Vernik等^[10]发现页岩各向异性源于矿物定向排列，并最早利用Bcakus平均理论构建了VTI介质岩石物理模型；Hornby等^[11]将各向异性SCA-DEM模型用于页岩储层岩石物理建模，利用高斯分布模拟黏土矿物与干酪根的定向排列，效果更接近实际，因而成为在页岩各向异性地震岩石物理建模中最常用的方法之一；Xu等^[12]将页岩岩石物理模型框架划分为岩石基质、骨架和流体三个部分；Jiang等^[13]利用Chapman模型耦合水平裂缝，以构建岩石物理模型；Guo等^[14]将指示黏土矿物定向排列的压实指数（CL）用于岩石物理模型，并通过井资料反演研究CL对页岩各向异性的影响。

上述模型主要是针对浅层页岩储层，压力对浅层页岩储层影响较小，因此建模时仅重点考虑了黏土等矿物的影响，而未考虑压力作用。

可以利用实验数据构建地震波速度与围压、孔隙压力、有效压力等之间的经验关系^[15-17]，也可以通过地震岩石物理模型预测深部页岩储层的压力。Dinh等^[18]利用储层孔隙结构与压力之间的关系，提出了孔隙刚度空间各向同性岩石物理模型；Li等^[19]根据Digby接触模型，利用纵波约束求取配位数（Cp）方法，在建模中考虑压力的影响，构建了基于干岩石模量预测横波速度的方法；Zong等^[20]建立了基于孔隙空间刚度理论的页岩岩石物理模型以及耦合有效压力的各向同性致密砂岩岩石物理模型。

上述考虑压力作用的岩石物理建模方法，大多针对各向同性介质，未考虑裂缝对压力的影响。

裂缝是诱导储层各向异性的主要原因之一。Hudson模型^[21]假设裂缝为薄硬币形状的椭球，从而提出了含裂缝的弹性固体平均波场散射理论，但Hudson模型适用于裂缝稀疏排列且裂缝纵横比较小的情况；Schoenberg线性滑动模型^[22]认为裂缝是没有厚度的平面且裂缝面两侧位移不连续，从而指出了定向排列裂缝组对背景介质弹性性质的影响，但Schoenberg线性滑动模型忽略了裂缝结构；裂缝纵横比是描述裂缝信息的重要参数，因此提出了Eshelby-Cheng模型^[23-24]，该模型适用于任意裂缝纵横比，并可用于含单一裂缝组的横向各向同性介质。

因此，本文开展了考虑压力的深部页岩储层地震岩石物理建模方法研究。首先，根据Toksöz包体理论推导有效压力与水平裂缝纵横比的关系，选择对裂缝纵横比更敏感的Eshelby-Cheng模型进行压力修正，并利用各向异性SCA-DEM模型耦合黏土颗粒与干酪根，构建了考虑压力的深部页岩储层地震岩石物理模型；然后，通过构建的地震岩石物理模型讨论了有效压力对裂缝纵横比、Thomsen各向异性参数以及储层纵、横波速度的影响；最后，将该模型应用于实际工区，并对比非压力修正的Eshelby-Cheng模型对储层纵波速度（V_P）、横波速度（V_S）预测的精度，验证了本文方法的可行性和准确性。

1 方法原理 1.1 岩石物理建模

考虑压力的深部页岩储层岩石物理模型的构建过程包括混合背景基质、添加硬孔隙、耦合黏土颗粒与干酪根和耦合水平裂缝等四个部分（图 1）。

1.1.1 混合背景基质

通常由石英石、方解石、黄铁矿、白云石、长石等构成页岩储层背景基质。在实际建模中，需要根据研究区的实际情况选取矿物组分。这些矿物随机、均匀排列，表现为宏观各向同性特征，因此可以应用各向同性的SCA模型计算页岩储层混合固体基质的等效弹性模量，即

$\begin{align}{V}_{\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}} & \left({K}_{\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}}-{K}_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}\right){P}_{\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}}^{\mathrm{*}}+{V}_{\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{l}}\left({K}_{\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{l}}-{K}_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}\right){P}_{\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{l}}^{\mathrm{*}}+\\ &{V}_{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{l}}\left({K}_{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{l}}-{K}_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}\right){P}_{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{l}}^{\mathrm{*}}+{V}_{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{l}}\left({K}_{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{l}}-{K}_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}\right){P}_{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{l}}^{\mathrm{*}}+\\ &{V}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}}\left({K}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}}-{K}_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}\right){P}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}}^{\mathrm{*}}=0\end{align}$

(1)

$\begin{align}{V}_{\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}}& \left({\mu }_{\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}}-{\mu }_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}\right){Q}_{\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}}^{\mathrm{*}}+{V}_{\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{l}}\left({\mu }_{\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{l}}-{\mu }_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}\right){Q}_{\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{l}}^{\mathrm{*}}+\\ &{V}_{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{l}}\left({\mu }_{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{l}}-{\mu }_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}\right){Q}_{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{l}}^{\mathrm{*}}+{V}_{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{l}}\left({\mu }_{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{l}}-{\mu }_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}\right){Q}_{\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{l}}^{\mathrm{*}}+\\ &{V}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}}\left({\mu }_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}}-{\mu }_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}\right){Q}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}}^{\mathrm{*}}=0\end{align}$

(2)

上述式中：V为体积含量；$K$、$\mu$分别为构成背景基质矿物的体积模量、剪切模量；下标$\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}$、$\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{l}$、$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{l}$、$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{l}$、$\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}$分别对应石英石、长石、方解石、白云石和黄铁矿；${K}_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}$、${\mu }_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}$分别为背景基质矿物的等效体积模量、等效剪切模量；${P}^{\mathrm{*}}$、${Q}^{\mathrm{*}}$均为包含物几何因子。

1.1.2 添加硬孔隙

页岩储层裂缝中所含流体一般具有部分饱和、不均匀分布的特点，因此在本文的建模中，利用Domenico公式^[25]对储层气体、液体体积模量进行加权平均，即

${K}_{\mathrm{f}}={S}_{\mathrm{w}}{K}_{\mathrm{w}}+\left(1-{S}_{\mathrm{w}}\right){K}_{\mathrm{g}}$

(3)

式中：${K}_{\mathrm{f}}$、${K}_{\mathrm{w}}$、${K}_{\mathrm{g}}$分别为（气液）混合流体、液体、气体体积模量；${S}_{\mathrm{w}}$为液体饱和度。

分布在页岩储层背景介质中的硬孔隙抗压缩能力强，在受到压力时其纵横比基本不变，通常可假设为1。由于这些硬孔隙均匀分布在背景基质中，填充着气、水混合流体，因此可以利用DEM模型向混合背景基质中添加包含混合流体的硬孔隙，其表达式为

$\frac{\mathrm{d}{K}_{\mathrm{m}2}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{d}{\phi }_{\mathrm{p}}}=\frac{\left({K}_{1}-{K}_{\mathrm{m}2}^{\mathrm{*}}\right){P}_{{}_{{\phi }_{\mathrm{p}}}}^{\mathrm{*}}}{1-{\phi }_{\mathrm{p}}}$

(4)

$\frac{\mathrm{d}{\mu }_{\mathrm{m}2}^{\mathrm{*}}}{\mathrm{d}{\phi }_{\mathrm{p}}}=\frac{\left({\mu }_{1}-{\mu }_{\mathrm{m}2}^{\mathrm{*}}\right)Q{P}_{{}_{{\phi }_{\mathrm{p}}}}^{\mathrm{*}}}{1-{\phi }_{\mathrm{p}}}$

(5)

上述式中：${\phi }_{\mathrm{p}}$为硬孔隙的孔隙度；${K}_{1}$、${\mu }_{1}$分别为逐渐加入包含物的体积模量、剪切模量；${K}_{\mathrm{m}2}^{\mathrm{*}}$、${\mu }_{\mathrm{m}2}^{\mathrm{*}}$分别为添加硬孔隙之后的介质等效岩石体积模量、剪切模量，其初始条件为${K}_{\mathrm{m}2}^{\mathrm{*}}\left(0\right)={K}_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}$，${\mu }_{\mathrm{m}2}^{\mathrm{*}}\left(0\right)={\mu }_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}$，“0”表示未添加任何包含物。

1.1.3 耦合黏土和干酪根

定向排列分布的黏土颗粒和干酪根是导致页岩储层表现VTI特征的主要原因之一，因此基于已构建含硬孔隙的背景介质，采用各向异性SCA-DEM模型模拟黏土颗粒与干酪根混合物以构建横向各向同性等效岩石，即

$\begin{align}\underset{\_}{\tilde{\boldsymbol{C}}}=&\sum _{n=1}^{N}{v}_{n}{\underset{\_}{\boldsymbol{C}}}^{n}{\left[\boldsymbol{I}+\underset{\_}{\widehat{\boldsymbol{G}}}\left({\underset{\_}{\boldsymbol{C}}}^{n}-\underset{\_}{\tilde{\boldsymbol{C}}}\right)\right]}^{-1}\times \\ &\begin{array}{cc}& \end{array}{\left\{{\sum _{n=1}^{N}{v}_{n}\left[\boldsymbol{I}+\underset{\_}{\widehat{\boldsymbol{G}}}\left({\underset{\_}{\boldsymbol{C}}}^{n}-\underset{\_}{\tilde{\boldsymbol{C}}}\right)\right]}^{-1}\right\}}^{-1}\end{align}$

(6)

式中：$\underset{\_}{\tilde{\boldsymbol{C}}}$为耦合黏土颗粒与干酪根混合物等效刚度张量；$\boldsymbol{I}$为单位张量；$v$为各组分体积含量；$\underset{\_}{\boldsymbol{C}}$为各组分刚度张量；N为种类数，当N=3时表示等效岩石、黏土颗粒及干酪根三项；$\underset{\_}{\widehat{\boldsymbol{G}}}$是包含物的几何张量。

1.1.4 耦合水平裂缝

有效压力是上覆地层压力与孔隙压力的函数，即

${\sigma }_{\mathrm{e}}={\sigma }_{\mathrm{c}}-{\sigma }_{\mathrm{p}}$

(7)

式中：${\sigma }_{\mathrm{c}}$为上覆地层压力；${\sigma }_{\mathrm{p}}$为孔隙压力。

Toksöz包体理论^[26]给出有效压力与裂缝体积变化率的关系，即

$\frac{\mathrm{d}V}{V}=\frac{-\frac{{\sigma }_{\mathrm{e}}}{{K}_{\mathrm{m}2}^{\mathrm{*}}}}{\frac{{E}_{1}-{E}_{2}{E}_{3}}{{E}_{3}+{E}_{4}}}$

(8)

式中：$\frac{\mathrm{d}V}{V}$为裂缝体积变化率；${E}_{i}$（i=1，2，3，4）为包含裂缝纵横比$\alpha$、${K}_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}$、${\mu }_{\mathrm{m}1}^{\mathrm{*}}$的函数。

根据裂缝纵横比与裂缝体积的关系^[21]，可推导出有效压力与裂缝纵横比关系为

${\alpha }_{\mathrm{m}}={\alpha }_{0}\left[1+\frac{\mathrm{d}V}{V}\left({\alpha }_{0}, {\sigma }_{\mathrm{e}}\right)\right]$

(9)

式中：${\alpha }_{0}$为初始裂缝纵横比；${\alpha }_{\mathrm{m}}$为${\sigma }_{\mathrm{e}}$下裂缝纵横比。

基于Eshelby模型，Cheng^[24]构建了含有裂缝的岩石储层的等效介质模型，即Eshelby-Cheng模型。相比于其他经典裂缝模型，Eshelby-Cheng模型适用的裂缝纵横比变化范围更大，对裂缝纵横比变化更敏感。鉴于本文重点研究有效压力对水平裂缝纵横比的影响，因此根据Toksöz包体理论对Eshelby-Cheng模型进行压力修正。

Eshelby-Cheng模型表达式^[24]为

${C}_{ij}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}={C}_{ij}^{0}-{\phi }^{\mathrm{\text{'}}}{C}_{ij}^{1}$

(10)

式中：${\phi }^{\mathrm{\text{'}}}$为软孔隙度，即裂缝孔隙度；${C}_{ij}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}$为耦合水平裂缝岩石等效模量；${C}_{ij}^{0}$为背景基质模量；${C}_{ij}^{1}$为裂缝相关更正项，其中下标$i, j=\mathrm{1, 2}, \dots$。

将${\alpha }_{\mathrm{m}}$和修正后的裂缝孔隙度${\phi }_{\mathrm{m}}$代入式（10），得到压力修正的Eshelby-Cheng模型，即

${\stackrel{-}{C}}_{ij}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}={C}_{ij}^{0}-{\phi }_{\mathrm{m}}{\stackrel{-}{C}}_{ij}^{1}$

(11)

式中：${\stackrel{-}{C}}_{ij}^{1}$为压力修正裂缝相关更正项；${\stackrel{-}{C}}_{ij}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}$为经压力修正的最终等效模量。

1.2 Thomsen各向异性参数

深部页岩储层具有VTI各向异性特征，VTI各向异性刚度矩阵一般可以通过5个独立参数进行表达，其表达式为

${\boldsymbol{C}}_{\mathrm{V}\mathrm{T}\mathrm{I}}=\left[\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& {c}_{12}& {c}_{13}& 0& 0& 0\\ {c}_{12}& {c}_{11}& {c}_{13}& 0& 0& 0\\ {c}_{13}& {c}_{13}& {c}_{33}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& {c}_{44}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& {c}_{44}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& {c}_{66}\end{array}\right]$

(12)

其中

${c}_{66}=\frac{1}{2}\left({c}_{11}-{c}_{12}\right)$

Thomsen将各向异性的影响从各向同性背景中分离出来，将弹性参数组成无量纲各向异性参数^[27]，其表达式为

$\left\{\begin{array}{l}{V}_{\mathrm{P}0}=\sqrt{\frac{{c}_{33}}{\rho }}\\ {V}_{\mathrm{S}0}=\sqrt{\frac{{c}_{44}}{\rho }}\\ \varepsilon=\frac{{c}_{11}-{c}_{33}}{2{c}_{33}}\\ \gamma =\frac{{c}_{66}-{c}_{44}}{2{c}_{44}}\\ \delta =\frac{{\left({c}_{13}+{c}_{44}\right)}^{2}-{\left({c}_{33}-{c}_{44}\right)}^{2}}{2{c}_{33}\left({c}_{33}-{c}_{44}\right)}\end{array}\right.$

(13)

式中：$\rho$为密度；${V}_{\mathrm{P}0}$、${V}_{\mathrm{S}0}$分别为沿对称轴方向传播的纵、横波速度；$\varepsilon$为表征qP波各向异性强弱的参数；$\gamma$为表征qSV波各向异性强弱的参数；$\delta$为连接${V}_{\mathrm{P}0}$与${V}_{\mathrm{S}0}$之间的过渡性参数。

2 有效压力与储层参数分析

为了分析有效压力对储层微观物性的弹性响应规律，建立参数如表 1所示模型，分别模拟不同${\alpha }_{0}$（0.12、0.10、0.08、0.05、0.03、0.01）条件下${\alpha }_{\mathrm{m}}$随有效压力${\sigma }_{\mathrm{e}}$（0~100 MPa）的变化。

2.1 裂缝纵横比

可以根据${\sigma }_{\mathrm{e}}$对${\alpha }_{\mathrm{m}}$的影响分析储层的受压情况。图 2展示了不同${\alpha }_{0}$条件下${\alpha }_{\mathrm{m}}$随${\sigma }_{\mathrm{e}}$增大的变化情况。由图可见，随${\sigma }_{\mathrm{e}}$增大，${\alpha }_{\mathrm{m}}$减小；在${\sigma }_{\mathrm{e}}$增大初期，${\alpha }_{\mathrm{m}}$变化剧烈，当有效压力${\sigma }_{\mathrm{e}}$增大到一定强度时，${\alpha }_{\mathrm{m}}$逐渐变小，裂缝趋于闭合，从而导致储层有效孔隙度降低。

2.2 Thomsen各向异性参数

本文构建的地震岩石物理模型考虑了影响深部页岩储层VTI各向异性特征的主要因素，即黏土矿物优选排列和受压力影响的水平裂缝。通过模型分析有效压力与Thomsen各向异性参数的关系，可获取有效压力对深部页岩储层各向异性特征的影响规律。

Thomsen各向异性参数中，$\varepsilon$越大，表示纵波各向异性越强，$\varepsilon$=0，则纵波无各向异性；$\gamma$越大，表示横波各向异性越强，$\gamma$=0，则介质横波无各向异性。

从图 3可以看出，$\varepsilon$、$\gamma$、$\delta$随有效压力的增大而减小，最终趋于平稳，这是由于$\varepsilon$受水平方向与垂直方向之间的纵波速度差异所致。随着有效压力增大，裂缝纵横比减小，储层有效孔隙度减小，水平方向纵波速度与垂直方向纵波速度间差异逐渐减小。参数$\gamma$同理。当Thomsen各向异性参数趋于0时，背景介质趋于各向同性。

2.3 地震波速度

深部页岩储层中多发育裂缝纵横比较小的微裂缝，选择合适的初始裂缝纵横比（α₀=0.08）^[28]可以模拟${\sigma }_{\mathrm{e}}$与纵波速度、横波速度的关系（图 4）。

由图 4可见，随着${\sigma }_{\mathrm{e}}$的增大，储层的V_P和V_S上升趋势均很明显；当${\sigma }_{\mathrm{e}}$增大到一定限度时，V_P、V_S上升趋势均逐渐平缓；再继续增大${\sigma }_{\mathrm{e}}$时，V_P、V_S均不再变化。

由图 3、图 4可以看出，当${\sigma }_{\mathrm{e}}$增大到一定限度时，${\sigma }_{\mathrm{e}}$对深部页岩储层V_P、V_S及各向异性强度影响变弱。

2.4 岩石物理模板

根据本文方法构建的深部页岩储层岩石物理模板如图 5所示。由图可见，${\sigma }_{\mathrm{e}}$从10 MPa增大至40 MPa时，对储层弹性影响最为明显；而随着裂缝纵横比的减小，储层有效孔隙度$\phi$（$\phi ={\phi }_{\mathrm{P}}+{\phi }_{\mathrm{m}}$）则成为影响储层弹性的主要因素。

3 实际资料应用

为了验证考虑压力的深部页岩储层地震岩石物理模型（本文方法）的有效性，选取四川A井实际资料预测纵、横波速度。A井所含流体主要为地层水和天然气，基质矿物主要为石英、黏土颗粒及干酪根。建模所用的各矿物组分体积模量、剪切模量及密度如表 2所示。

A井的矿物组分含量及物性参数（$\rho$、${S}_{\mathrm{w}}$、$\phi$、V_P、V_S、${\sigma }_{\mathrm{e}}$）如图 6所示。从图 6b可以看出，当有效压力突增（红框内）时，储层V_P、V_S均显著增大。

利用本文方法建立的深部页岩储层岩石物理模型计算A井深层的V_P、V_S，并分别与实际测井数据进行对比；然后与未考虑压力影响的页岩岩石物理模型计算的V_P、V_S进行对比。未考虑压力影响的页岩岩石物理模型利用非压力修正的Eshelby-Cheng模型^[23-24]（式（9））耦合水平裂缝，其余建模流程与本文方法相同。为了方便表述，将未考虑压力影响的页岩岩石物理模型称为非压力修正的Eshelby-Cheng模型。储层V_P、V_S估算与相对误差分析如图 7所示。

从图 7可以看出，通过非压力修正Eshelby-Cheng模型得到的V_P、V_S与实测V_P、V_S差别较大，尤其在有效压力激增段（黑色箭头处），非压力修正Eshelby-Cheng模型得到的V_P、V_S对有效压力变化均不敏感。而据图 6b可知，在有效压力激增层段，储层有效孔隙度减小，实测地震波速度随有效压力增大而增大。通过本文岩石物理模型得到的V_P、V_P与实测V_P、V_P变化趋势大致相同，尤其在有效压力激增段（黑色箭头处）。对比两种岩石物理模型计算所得V_P、V_S的相对误差，可以看出本文建模方法误差明显降低，验证了本文岩石物理模型的有效性。

4 结论

页岩储层的VTI各向异性特征主要由黏土矿物的优选排列和水平裂缝引起。随着埋藏深度的加大，压力对储层性质的影响不可忽略。深部页岩储层虽含有的裂缝纵横比较小，但裂缝对岩石弹性性质具有明显的影响。本文针对深部页岩储层裂缝发育、压力大的特点，从有效压力影响水平裂缝结构的角度出发，推导了有效压力与裂缝纵横比的关系，选择对裂缝纵横比更敏感且适用范围更广的Eshelby-Cheng模型进行压力修正，构建了考虑压力的深部页岩储层岩石物理模型。

依据本文方法分析了有效压力对储层弹性参数、物性参数及各向异性参数等的影响。在有效压力增大初期，对储层性质影响较显著，但当增大到一定限度时，储层性质趋于稳定且不再随有效压力增大而改变。

将本文建模方法应用于实际工区，与非压力修正Eshelby-Cheng模型的V_P、V_S估算结果进行对比，可见在有效压力较大层段，本文建模方法预测结果与实际数据吻合度更高，因而本文方法具备有效性和实用性。